1、Laurent 展式中 项的系数,称作 f(z)在孤立奇点 z0 的留数(Residue)。d)(d)(d)(0000 klkklkkklzzzazzzazzf i 2d)(1azzfl10)(zz 1a)(sRe0zf)(Resi 2d )(0zfzzfl1、l 内有 n 个孤立奇点nbbb,21 d )(d )(d )(d )(d )(121njllllljnzzfzzfzzfzzfzzfkkjjkbzazf)()()(n 个孤立奇点,这里画了其中4个留数定理 设函数 在回路 l 所围区域 B 上除有限个孤立奇点 外解析，在闭区域 上除 外连续，则 njjnjjnjjlbfbfazzf11
2、1)(1)(Res i 2)(Res i 2 i 2d )()(zfnbbb,21Bnbbb,21njjlbfzzf1)(Res i 2 d )(留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围区域上各奇点的留数之和。以上讨论都限于有限远点，我们还可以将这种讨论推广到无限远点zzazzflkkkld d)()(sRei 2)(i 2i 2 d )(11faazzfl计算绕无穷远（路左）的正向积分将f(z)在无穷远邻域展开lzzfd )(即使无限远点不是奇点，也可以不为零。1i 2 d )(azzfl1)(sReaf数之和在所有有限远奇点的留)(i 2 d )(zfzzfl)(sRei 2 d )(f
3、zzfl在所有各点的留数之和)(i 20zf+|同一函数，同一环路 向的两个积分和为0.计算留数的公式：一、一阶极点留数的计算：设 z0 是 f(z)的一阶极点，因此特殊情形：.)()(01001zzaazzazf )()(lim)(Res0100非零的有限值zfzzazfzz.0)(,)(,)()()(0zPzQzzQzPzf的一价零点是)()()()()(lim)(Res00000zQzPzQzPzzzfzz二、m(m2)阶极点留数的计算：设 z0 是 f(z)的 m 阶极点,两边乘 ,得到：mzz)(0)()()(010010zzaazzazzazfmmmmmmmzzazzazzaazf
4、zz)()()()()(00101010非零有限值mmzzazfzz)()(lim00函数极点价数 m 的判据为了求 a-1,对上式求 m-1 阶导数：因此,已知 m 后：)(!)!1()()(dd001011zzmamazfzzzmmm)()(dd)!1(1lim)(Res011100zfzzzmazfmmmzznzzzzzzzzfznnznnz111lim)1)(1(1)1(lim)1(sRe,1211211是一价极点nznznznz1 1lim)1(1lim111例1：求 在 处的留数。解：)1(1)(nzzf10z)1)(1(1)1(1)(21zzzzzzfnnn另解m?例3：求 在其
5、奇点的留数。解：单极点 2i,三阶极点0nnznznznzzznzznzzfnz)1(cos1lim)(sin)(limsinlim)()(lim 354i 2)(zzzzfi 21i 2i 2i 2)4(i 2)(3323zzzzzzzzzzf例2：求 在其奇点 的留数。解：一价极点 z=nzzfsin1)(nz 08ii 811lim)(i 2lim)i 2(sRe3i22zzfzfziz8ii 81)i 2(221limi 21dd!21lim)(dd!21lim)0(sRe)(i 21i 21lim)(0lim302203220030zzzzfzzfzzfzzzzzz判断极点价数i 2
6、1)(3zzzf)()(dd)!1(1lim)(Res011100zfzzzmazfmmmzz例4：求积分解：)10(2 d1|2zzzz02 2zz211z111111|22z1)1(1)1)(1(1)1)(1(11111|22z2222121)1111(1)(1lim)(1)(lim11 sRezzzzzzzzfzzzz 1i 121i 2)(Res i 22 d2201|2zfzzzz142222121)211(212 21lim)2(1lim11 sRezzzfzzzz另外4.2 应用留数理论计算实变函数定积分实变函数积分实变函数积分复变函数的回路积分复变函数的回路积分基本思想:将在区
7、间 l1=a,b 的实变函数积分与复平面上的回路积分联系起来,可以看做复变函数线积分的特例,即是复变函数在实轴上的线积分。因此，可把上述实数积分与复变函数积分联系起来。baxxfId )(方法：如果 补充线段 l2,并且延拓函数到整个复平面，可构成围路积分：左边积分和右边第二个积分则可以利用复变函数理论求出,然后再求出 I。lbalzzfxxfzzf 2d )(d )(d )(xyoabl1l2l=l1+l2b1b3b2bmbkl类型一类型一：其中：（1）R(cosx,sin x)是 sin x,cos x 的有理式；（2）积分区间是 0,2；(3)在区间0,2内，无奇点。2 0 d )sin
8、 ,(cosxxxR如果令 z=1 eix=cos x+i sin x,则积分路径变成单位圆的围路积分。因为zzxzzeexzzeexxxxxdi1d)(i 21)(i 21sin)(21)(21cos1ii1iizzzzzzRIzid i 2,2 111|dz=d(eix)=i eix dx=i z dxy原积分变成xo 0 2 x z平面(1,0)映射例题 1 计算积分解：20)1(0 ,dcos11xxI)4(121i i22 di221i/d221|21|1的结果由上节例zzzzzzzzzI例题 2 计算积分202)1(0 ,dcos211xxIzzzzzzzzzzzIzzzd )(1
9、(i )(1 id)(1)i/(d1|1|211|21dz=i z dx1/i=-iz=eix)(1()1()1()()()1(2222zzzzzzzzzz被积函数有单极点由留数定理得1i1 ilim)(1(i)(lim)(sRe2zzzzfzz22121i i 2I ,/100zz,1/1类型二类型二：其中：(1)积分区间是(-,+);(2)复变函数 f(z)在实轴上无奇点，在上 半平面除有限个奇点（b1,b2bn)外解析；(3)当 z 在上半平面和实轴上时，一致 的|z f(z)|0；如果 f(x)是有理分式 ，则分母在实轴无零点，且分母的次数高于分子次数至少二次。xxfd )()(/)(
10、zQzP积分主值概念：反常积分定义为当 R1=R2 时，称为 I 的积分主值一般，积分主值存在，不一定反常积分存在，一般，积分主值存在，不一定反常积分存在，反之，如果反常积分存在，积分主值一定存在反之，如果反常积分存在，积分主值一定存在！2121d )(limRRRRxxfIRRRxxfxxfPd )(limd )(计算积分主值计算积分主值 补充围路如图,作线积分由留数定理：当 R,左边的第一个积分即是要求的，第二个积分可证明当 f(z)满足条件（3）z ,|z f(z)|0 时为零。LRRCRzzfxxfzzfd )(d )(d )(n1)(Resi 2d )(d )(kkRRCbfzzfx
11、xfR-R+RxyCR bkoR0|)(|max|)(|max|d|)(|max|d|)(|d )(d )(zfzRRzfzzzzfzzzzfzzzzfzzzfRRRRCCCCnkkbfxxf)(1)(Resi 2d )(上半平面2d|die|)e d(|d|d|d|,0d iizzzz例题3 求积分解：i21)i)(i()i(lim(i)Resizzzfz)i)(i(111)(,0)(lim2zzzzfzfzz单极点 只需考虑上半平面极点+ii0zi21i 2I21dxxI例题4 求积分)3,2,1,(,)1(d2nxxInnnnznnnzzznzfzznf)i(dd)!1(1lim)()i
12、(dd)!1(1lim(i)Res11i11i i.,ii1)1(1)(:2价极点上半平面的奇点是这里解nzzzzfnnn28)!22()22()1()!1(i2)!1()!22(2i)2()!1()22()1()(i)1(2i)i 2()!1()22()1()1()i 2()!1()22()1(2-n1 1-n,1-n .2 1 )i(dd)!1(1lim122221211211innnnnnnnnnnnnnnnnnnzznnnnnnnnnnnz项小项比第项相乘-n-(n-2)-n-(n-1)因此积分为例题5 求积分222122 )!1()!22(2 i2)!1()!22(i 2nnnnIn
13、n)3,2,1,(,)1(d02nxxIn2 122)!1()!22(21d21nnxxInn类型三类型三：0201 d sin)(d cos)(xmxxGIxmxxFI,0其中:（1）积分区间 ；(2)偶函数 F(z)和奇函数 G(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点（b1,b2bn)外解析；(3)当 z 在上半平面和实轴上 时，一致地 F(z),G(z)0；0i0i0ii0d )(21d )(21d )(21)(d cos)(xexFxexFxeexFxmxxFmxmxmxmxyxxexFxexFxexFyeyFxexFxmxxFmxmxmxmymxd )(21d )(21d )(2
14、1d )(21d )(21d cos)(i0i0i0i0i0 xexGxmxxGmxd )(i 21d sin)(i0在第二积分中，同理偶函数 F(-y)=F(y)xy 32xexGyeyGxexG-yeyGxexGxexGxexGxmxxGmxmymxmymxmxmxd )(21d )(i 21d )(i 21)d()(i 21d )(i 21d )(i 21d )(i 21d sin)(i0i0i0i0i0i0i0奇函数-G(-y)=G(y)y x)(i 21siniimxmxeemx约当引理 如m为正数，是以原点为圆心而位于 上半平面得半圆周 ，又设当 z 在上半平面及实轴上时，f(z)
15、一致地0,则0d )(limiRCmzRzezFRC-R+RxyCRoR0sin0isincosiiiid|)(|maxid )e (d )(d )(RezFeReRFzezFzezFmRmRmRCmymxCmzRR证：z,F(z)0。约当引理要求有限0sin d RemR2/sin2/0sin0sind d d ReReRemRmRmR右第二项中右第二项中2/0sin02/sin2/0sin0sind 2)(-d d d ReReReRemRmRmRmR如果 m 0,应改为下半平面计算oy2/2ysiny1sin20 ,20 中在有限值RmRmRmRmRmRememmRemReRe)1(22
16、 )2d(2 d d 2/0/22/0/22/0/22/0sin留数在上半平面所有奇点的mzezFxmxxFi0)(i d cos)(留数在上半平面所有奇点的mzezGxmxxGi0)(d sin)(xexGxmxxGmxd )(i 21d sin)(i0 xexFxmxxFmxd )(21d cos)(i038例题6：求积分).0(,d cos022axaxmxIi 2i lim)i (limi)i)(i(:i22ii22iaeazeazeaz，azazazeazemamzaizmzaizmzmz点是上半平面内的一价奇解mamaeaaeI2i2i 例题7：求积分 ,d sin0222xaxm
17、xxI mamzaizmzazmzmzeamazzezazzeazzaf。az，azazzeazze4 iddlim)i(dd!11limi)(sReiii)i(:2i222i2i22i222i点是被积分函数的二阶奇解mamaeameamI44类型四类型四：实轴上有单极点的积分 xxfd )(其中：(1)函数 f(z)在实轴上有单极点 a，上半平面除有限个奇点（b1,b2bn)外解析；(2)当 z 在上半平面和实轴上时，一致地|z f(z)|0；或满足第三类型的条件。先考虑只有一个先考虑只有一个单极点单极点(m=1)由于 的存在，作如图围路。在围路内如有有限个奇点，则RCCRRlzzfzzfx
18、xfxxfzzfd )(d )(d )(d )(d )(,CRC-RRO当R时 第 3 部分积分为零。因此问题的关键是求实轴上单极点处的积分。上半平面留数)(Resi 2d )(d )(kCbfzzfxxf Cx事实上)(Resi iid 0 id )(d )(d d )(d )(1010ii1i000iii1i01faaeeaeeaeeaezzzazazzfkkkkCkkkC注意：如果是二阶以上的极点，第一项当0时，发散！)0(044 妈妈开了个淘宝店，欢迎前来捧场妈妈开了个淘宝店，欢迎前来捧场 妈妈的淘宝点开了快半年了，主要卖的是毛绒玩具、坐垫、抱枕之类的，妈妈的淘宝点开了快半年了，主要卖
19、的是毛绒玩具、坐垫、抱枕之类的，感觉妈妈还是很用心的，花了不少功夫，所以我也来出自己的一份力，帮忙感觉妈妈还是很用心的，花了不少功夫，所以我也来出自己的一份力，帮忙宣传一下。宣传一下。并且妈妈总是去五亭龙挑最好的玩具整理、发货，质量绝对有保证。并且妈妈总是去五亭龙挑最好的玩具整理、发货，质量绝对有保证。另外我家就在扬州五亭龙玩具城旁边，货源丰富，质量可靠，价格便宜。另外我家就在扬州五亭龙玩具城旁边，货源丰富，质量可靠，价格便宜。欢迎大家来逛逛欢迎大家来逛逛【扬州五亭龙玩具总动员扬州五亭龙玩具总动员】个人小广告：个人小广告：因此原积分为如果实轴上有多个单极点。)(Resi )(Resi 2d )
20、(上半平面fbfxxfj实轴上上半平面)(Resi )(Resi 2d )(jjfbfxxf注意：实轴上的奇点只能是单极点，不能是二阶或二阶以上极点，更不能是本性奇点。否则，积分（极点情形）或不存在（本性奇点情形）。Ckzzfbfxxfd )()(Resi 2d )(上半平面留数 例题8：求积分 解：利用函数的奇偶性，原积分可化成 被积函数仅仅在实轴上 有单极点 z=0,因此据0dsinxxxIxxeIxdi 21i22)0(lim2 Resi i210i0z0iezezzeIzzz实轴上上半平面)(Resi )(Resi 2d )(jjfbfxxf 由此还可以推论，对于正的m,对于负的m,0
21、)(,2)d(sindsin00mmxmxmxxxmx0)(,2d|sindsin00mxxxmxxmx2dsin0 xxxI*4.3 计算定积分的补充例题1)(0 d1101xxxI求：)()2(,2 .,0)(，,11)(2i)1(2i)1(i2)1(i)1(i1)1)(2(i112i11ezeeeeezez，zz，zfzzzfz多出因子绕支点一周幅角增加支点为是多值函数不是整数平面数解：被积函数延拓到复例149xyCCRl2l11)(0 d1101xxxIIeIeIzzfxxexzzfxxxzzfCRCRlR)1(d)(d 1d )(d1d)(2i2i2i11=0=001 2|1|max
22、 22|1|max|d|1maxd1 d111 RCCCRzRRRzRzzzzzzzzzzzRRR上500 2|1|max 22|1|max|d|1maxd1 d101 zzRzzzzzzzzzzzCCC上数之和在全平面有限远奇点留)(i 2)1(d)(2izfIezzfl1111101)1(lim1)1(lim)1(Res11)(zzzzfzzzzfzz点在全平面只有一个单极51sin sin i 2 i 2)()1(1)(i 2)()1(1)(i 211)(i 2)(i 2)1(i-iii-i2i1-2ieeeeeeIzfIe数之和在全平面有限远奇点留i 2sin)1()(i-iiieee
23、e521)(0 d1101xxxI求：xyCCRK2K1IeIzzz，zzzf2 i1 ，0，0，R.1.,01)(下岸直线段积分为上岸直线段积分为令一个单极点有两个支点本例解答：+1CCRzzfzzfR0d )(,0d )(limlim0半径例2“-”的由来同上一例题53 ctan sincos i)2/()(2/)(i i 1)i(1)(i d)(,i d)(0d)(d)()1(.)(i 2d)(d)()1(i-i i-i i-i i-i i i-i i-2i 2i 2i0002i0 2i211212limlimlimlimaaaaaaaaaaaaaaaKKKKaKKaeeeeeeeeee
24、eeeeIezzfzzfzzfzzfIezfzzfzzfIe页以上两式的导出见下一因此围路内无奇点的留数和在正实轴以外有限奇点542i02iii2i2i00iiii002i0110122111i di)d(d1limi d i)d(1d11lim0d )1(lim)1(1.)1(1 1 )1()1()11()1)(11(11)(11)(eeeeezzeeeeezzzzPzPzezzzzzzzzfzzzzfKKKKKnkkk解析部分圆环域展开为圆心而内半径为零的在1|.!2)1(!111)1()(,512z，mzmmzmzzfmm不是整数页见55例31)(0 d1 xeeIxx求：)(11)i
25、2(.),2 ,10()12(i 1)(i 2 i 2i 2i)2(0z zfeeeeeezfkkzeezfzzzzkz和正整数单极点在上半平面有无限个解：.i 1)(,2i2i0z zeezfaaaaaz只有一个单极点内在回路56a+i2424242d )(d )()1(d )(d1d )(d1d )()2id(1d )(d1d)(,2i 2i 2i)2i(lllaaxxlxxaalxxaalxxaalzzfzzfIezzfxeeezzfxeezzfxeezzfxeezzfa当xyii3-a+i2-a al1l2l3l457)(0221d 1d1i)id(1d )()(0212d 1d1i)
26、id(1 d )(02ii20i)i(02)1(20ii20i)i(2042aeeeyeeyeeeeyaeezzfaeeeyeeyeeeeyaeezzfaaaaayayayayalaaaaayayayayal58 ii iz i z i z i i 2ilim)1(i)(lim1i)(lim)(i)(limi)Res(i)Res(i 2)1(d)(,eeeeeeezeezzfzIezzfazzzzzzzl当 sini 2 )1(i 2)1()(i 2)1(i)Res(i 2 i-i 2i i 2i i 2ieeeeeeeI59例4 计算菲涅耳积分022021d )cos(d )sin(xxIx
27、xI和1202002i22ii d )sin(id )cos(d e)(sin i)cos(e :22IIxxxxxxxxx考虑解xyo0 )ed(ed e d e0de,e0/4i)ei(0iiii2/4i2222RRCzxlzzRzxz即在回路中无奇点lRCR/46022)i1(2)22i22(2e-d ee-lim d eelim)e d(elimi d e/4i0-/4i0 ei/4i0/4i)e i(012i2/2i22/4i2RRRRRRRxIIx其中ie/2iRR0-2 d elim261 RRRRRRRRRRRCRCRRCzRRRRCzRRCzeRzzCCwCwCwCzReRe
28、RzzReReRzRRReRzzReRzzzzwwwwwzd 2e)id(2ie d2ie)sin2 i2(cos 021 2e2ie 2ied2ie 2ie 2ied2ie-2ie)ed(2i1)id(2i1 ed21 ed ed esin2 ii22)sin2 2cosi2i2i222i2-i4/i-2ii4/i-2i iiiiii222222222224/i22262042142emax sin2 2 RRRR221221022)i1(i2112IIII本章基本要求：本章基本要求：1.了解留数的意义。2熟练掌握求留数的方法。3熟练掌握利用留数定理计算 实变函数定积分的方法。作业4.1.1
29、(1)(5)(6),2(4)4.2.1(1)(2),2(1)(6),3(2)(3)64复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)类型和特点解析函数除有限孤立奇点外的解析函数泰勒展开|z-b|R洛朗展开 0|z-bk|Rk0d)(lzzf)(Resi 2d)(n1kklbfzzf四种类型的实变定积分运用单(高)价极点留数求法重要性质d)()(i 2!)(.30.2,.11)(lnnzfnzfvuyuxvyvxu阶极点为非零有限值为本性奇点不定值为极点可去奇点有限值n，bzfbz，b，b，bzfknkbzkkkbzkk)()(lim)(lim价数判别mzzzezzz)1(,ln,cos,sin,11表达式回路积分
