1、数学物理方法数学物理方法 理学院 冯国峰 第2章 分离变量法?分离变量法的基本思想：把数学物理方程定解问题中未知的多元函数分解成若干个一元函数的乘积，从而把求解偏微分方程的定解问题转化为求解若干个常微分方程定解问题。第第2章章 分离变量法分离变量法?第1节 有界弦的自由振动?第2节 有限长杆上的热传导问题?第3节 二维拉普拉斯方程的边值问题?第4节 非齐次方程的求解问题?第5节 非齐次边界条件的处理?第6节 固有值与固有函数 第2章 分离变量法?例求解下列问题?yeyuyuxu38),0(4)4(38),(yxeyxu?第2-1节 有界弦的自由振动?问题：研究一根长为l，两端（）固定的弦作微小
2、振动的现象。给定初始位移和初始速度后，在无外力作用的情况下，求弦上任意一点处的位移，即求解下列定解问题?式中，均为已知函数。lxx?,0?)(|),()0,(0),(),0(022222xtuxxutlutuxuatut?)(),(xx?第2-1节 有界弦的自由振动?这个定解问题的特点是：泛定方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。求解这样的问题，可以运用叠加原理。如果能够找到泛定方程足够个数的特解，则可以利用它们的线性组合去求定解问题的解。第2-1节 有界弦的自由振动?从物理学可知，乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的单音，每个单音在振动时形成的波形是正弦曲线，其振幅依赖于时间t，也就是说每
3、个单音总可以表示成 的形式，这种形式的特点是：二元函数 是只含变量x的一元函数与只含变量t的一元函数的乘积，即它具有变量分离的形式。弦的振动也是波，它也应该具有上述的特点。xtAtxu?sin)(),(?),(txu第2-1节 有界弦的自由振动 )()(),(tTxXtxu?0)()()()0()()()()(2tTlXtTXtTxXatTxX第2-1节 有界弦的自由振动?0)()0()()()()(2lXXtTatTxXxX?)()()()(2tTatTxXxX0)()(2?tTatT?0)()0(0)()(lXXxXxX?第第2-1节节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动?若对于的某些 值，
4、常微分方程定解问题的非平凡解存在，则称这种 的取值为该问题的固有值（或特征值）；同时称相应的非平凡解为该问题的固有函数（或特征函数）。这样的问题通常叫做施图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）问题（或固有值问题）。?第2-1节 有界弦的自由振动?（1）当 时，方程没有非平凡解。?（2）当 时，方程也没有非平凡解。?（3）当 时，方程有如下形式的通解：0?0)()0(0)()(lXXxXxX?0?0?xBxAxX?sincos)(?第2-1节 有界弦的自由振动?称为固有值问题?的一系列固有值，相应的非零解?为对应的固有函数。),3,2,1(,)(2?nlnn?0)()0(0)()(lXX
5、xXxX?),3,2,1(sin)(?nxlnBxXnn?第2-1节 有界弦的自由振动?将固有值 代入方程?中，有?可得其通解为 2)(lnn?0)()(2?tTatT?0)()(2222?tTlnatT?),3,2,1(sincos)(?ntlanDtlanCtTnnn?第2-1节 有界弦的自由振动?这样，就得到泛定方程的满足齐次边界条件的下列变量分离的特解?式中，是任意常数。),3,2,1(sinsincos)()(),(?nxlntlanbtlanatTxXtxunnnnn?nnnnnnDBbCBa?,第2-1节 有界弦的自由振动?由于初始条件式中的 与 是任意给定的，一般情况下，任何一
6、个特解都不会满足初始条件式。但由于泛定方程是线性齐次的，根据叠加原理，级数?仍是泛定方程的解，并且同时满足边界条件。)(x?)(x?11sinsincos),(),(nnnnnxlntlanbtlanatxutxu?第2-1节 有界弦的自由振动?为了选取 ，使得上式也满足初始条件，在上式及其关于t的导数式中，令?，由初始条件得 nnba,0?t?1sin)()0,(nnxlnaxxu?10sin)(|nntxlnlanbxtu?第2-1节 有界弦的自由振动?傅里叶级数（补充）：?（1）设 是周期为 的周期函数，则?其中 )(xf?2),2,1,0(,cos)(1?nnxdxxfan?),3,2
7、,1(,sin)(1?nnxdxxfbn?10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf第2-1节 有界弦的自由振动?傅里叶级数（补充）：?（2）设 是周期为 的周期函数，则?其中 )(xfl 2?10)sincos(2)(nnnxlnbxlnaaxf?),2,1,0(,cos)(1?nxdxlnxflalln?),3,2,1(,sin)(1?nxdxlnxflblln?第2-1节 有界弦的自由振动?（3）当 为奇函数时，?为奇函数，为偶函数。?正弦级数为)(xfxlnxf?cos)(xlnxf?sin)(),2,1,0(,0?nan),3,2,1(,sin)(20?nxdxlnxflbl
8、n?1sin)(nnxlnbxf?第2-1节 有界弦的自由振动?（4）当 为偶函数时，?为偶函数，为奇函数。?余弦级数为)(xfxlnxf?cos)(xlnxf?sin)(),2,1,0(,cos)(20?nxdxlnxflaln?),3,2,1(,0?nbn?10cos2)(nnxlnaaxf?第2-1节 有界弦的自由振动?和 分别是函数 、在区间 上的傅里叶正弦级数展开式的系数，即 nalanbn?)(x?)(x?l,0?lnxdxlnxla0sin)(2?lnxdxlnxanb0sin)(2?第2-1节 有界弦的自由振动?取级数的一般项，并作如下变形：?式中，最大振幅?相位 频率 xln
9、tNxlntlanbtlanatxunnnnnn?sin)sin(sinsincos),(?22nnnbaN?nnnbaarctan?lann?第2-1节 有界弦的自由振动?表示这样一个振动波，在所考察的弦上各点以同样的频率作简谐振动，各点的初相相同，其振幅与点的位置有关，此振动波在任一时刻的波形都是一条正弦曲线。（初相与最大振幅由初始条件确定，频率与初值无关）。),(txun第第2-1节节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动?这种振动波还有一个特点，即在 范围内有 个点在整个过程中始终保持不动，即在 的那些点，这样的点在物理上称为 的节点。这说明?的振动是在 上的分段振动，人们把这种包含节点的
10、振动波称为驻波驻波。另外，驻波还在另外的一些点 处振幅达到最大值，这样的点叫做腹点腹点。?l,01?n),2,1,0(nmnmlx?),(txun),(txun?l,0),2,1(2)12(nknlkxk?第第2-1节节 有界弦的自由振动有界弦的自由振动?是一系列驻波，它们的频率、相位和振幅都随n而异。因此，可以说原定解问题的级数解是由一系列频率不同（成倍增加）、相位不同、振幅不同的驻波叠加而成的，每一个驻波的波形由固有函数和初值确定，频率则由固有值确定，与初值无关。因此，分离变量法也称为驻波法。?),(,),(),(21txutxutxun第2-2节 有限长杆上的热传导问题?问题设有一均匀细
11、杆，长为l，两个端点的坐标为 和 ，端点处的温度保持为零度，已知杆上初始温度分布为 ，求杆上的温度变化规律，即求解下列问题。0?xlx?)(x?)()0,(0),(,0),0()0,0(222xxutlututlxxuatu?第2-2节 有限长杆上的热传导问题?使用分离变量法求解：)()(),(tTxXtxu?)()()()(2tTatTxXxX?0)()(2?tTatT?0)(,0)0(0)()(lXXxXxX?第2-2节 有限长杆上的热传导问题?该边值问题的固有值为：?固有函数为：),3,2,1(2?nlnn?),2,1(sin)(?nxlnxXn?0)()(2?tTlantTnn?),3
12、,2,1()(2?neCtTtlannn?第2-2节 有限长杆上的热传导问题?则定解问题的解为?由初始条件得?11sin),(),(2ntlannnnxlneCtxutxu?1sin)(nnxlnCx?),2,1(sin)(20?nxdxlnxlCln?第2-2节 有限长杆上的热传导问题?当边界条件的类型发生改变后，一个或两个为第二类齐次的或第三类齐次的，这种定解问题的求解方法不变，可是求出的固有值与固有函数会发生改变。第2-2节 有限长杆上的热传导问题?问题下面考虑杆的两端 处绝热，初始温度分布为 ，并且无热源的有限长杆的热传导问题，它归结为求解?式中 为给定的已知函数。lxx?,0)(x?
13、)()0,(0|,0|)0,0(0222xxuxuxutlxxuatulxx?)(x?第2-2节 有限长杆上的热传导问题?使用分离变量法求解：)()(),(tTxXtxu?)()()()(2tTatTxXxX?0)()(2?tTatT?0)(,0)0(0)()(lXXxXxX?第2-2节 有限长杆上的热传导问题?（1）当 时，方程没有非平凡解。?（2）当 时，方程有解 （常数）。?（3）当 时，方程有如下形式的通解：0?0?0?xBxAxX?sincos)(?0)(,0)0(0)()(lXXxXxX?BxX?)(第2-2节 有限长杆上的热传导问题?该边值问题的固有值为：?固有函数为：),3,2
14、,1(2?nlnn?0)()(2?tTlantTnn?),3,2,1()(2?neCtTtlannn?),3,2,1(,cos)(?nlxnAxXn?第2-2节 有限长杆上的热传导问题?则定解问题的解为?由初始条件得?10cos21),(2ntlannxlneaatxu?),2,1,0(cos)(20?nxdxlnxlaln?第第3节节 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题?（一）矩形区域上的拉普拉斯边值问题（一）矩形区域上的拉普拉斯边值问题?一个长为a，宽为b的矩形薄板，上下两面绝热，四周边界温度已知，具体为：板的两边（）始终保持零度，另外两边（）的温度分别为 和 ，求薄板内
15、稳恒状态下的温度分布规律。axx?,0byy?,0)(xf)(xg第3节 二维拉普拉斯方程的边值问题?矩形区域上的拉普拉斯方程边值问题：?)(),(),()0,(0),(,0),0()0,0(02222xgbxuxfxuyauyubyaxyuxu第3节 二维拉普拉斯方程的边值问题?设 )()(),(yYxXyxu?)()()()(yYyYxXxX0)()(?yYyY?0)(,0)0(0)()(aXXxXxX?第3节 二维拉普拉斯方程的边值问题?固有值为?固有函数为?),2,1(2?nann?),2,1(2?nann?),2,1(sin?naxnXn?0)()(2?yYanyYnn?),2,1(
16、)(?neDeCyYyannyannn?第3节 二维拉普拉斯方程的边值问题?原定解问题的解：?由边界条件得：?1sin)(),(nyannyannaxneDeCyxu?11sin)()(sin)()(nbannbannnnnaxneDeCxgaxnDCxf?第3节 二维拉普拉斯方程的边值问题?应用傅里叶系数公式得：?)(sin)(sin)(2)(sin)(sin)(20000banbanaabannbanbanabananeeadxaxnxgdxaxnxfeDeeadxaxnxfedxaxnxgC?第3节 二维拉普拉斯方程的边值问题?当矩形区域的两组对边的边界条件都是齐次时，方程只有零解，这从
17、物理模型上分析也是显然的。若两组边界条件都是非齐次的，则无法直接应用分离变量法。此时，可以根据叠加原理，将其分解为两个各含有一组对边是齐次边界条件的边值问题，再利用分离变量的方法分别求解。第3节 二维拉普拉斯方程的边值问题?问题一个半径为 的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边界上的温度已知，求达到稳恒状态时圆盘的温度分布规律。?由于稳恒状态下温度满足拉普拉斯方程，并且区域是圆形的，为了应用分离变量法，拉普拉斯方程采用极坐标形式将是方便的，用 来表示圆板内点 的温度，则区域的边界是圆周 ，所以边界条件可以表示为?式中 为圆周边界上的已知温度，且 。0R),(?ru?,r0Rr?)(),(0?fRu?)
18、20)(?f)2()0(?ff?第3节 二维拉普拉斯方程的边值问题?令 ，则?sin,cosryrx?cossinsincosryurxuyyuxxuuyuxuryyurxxuru第3节 二维拉普拉斯方程的边值问题?sincoscoscossin2sinsincoscossincoscossinsinsincoscoscossinsinsincossin2cossinsincoscos222222222222222222222222222222222222222222222ryurxuryuryxurxuryuryurxxyurxuryxurxuryuryyurxxyurxuryyxurxxu
19、uyuyxuxuryyurxxyuryyxurxxuru第3节 二维拉普拉斯方程的边值问题?这样所述问题可以表示为下列定解问题：?周期性边界条件：?有界性条件：?)(),()20,0(0110022222?fRuRrurrurru)2,(),(?ruru?),0(?u第3节 二维拉普拉斯方程的边值问题?设泛定方程的解为 )()(),(?rRru?)()()()()(2rRrRrrRr?)0(0)()()(2RrRrRrrRr?)2()(0)()(?第3节 二维拉普拉斯方程的边值问题?（1）当 时，方程的通解为?式中A与B是任意常数。这样的函数不满足周期性条件。?（2）当 时，?的解为?原定解问
20、题的解为 0?BeAe)(0?0)(B?0)()()(2?rRrRrrRr?00)(DrR?000021),(aDBru?第3节 二维拉普拉斯方程的边值问题?（3）当 时，方程的通解为?固有值为?相应的固有函数为 和 ，在这里，一个固有值对应多个线性无关的固有函数。欧拉（Euler）方程?它的通解为 0?sincos)(BA?),2,1(2?nnn?nsin?ncos0)()()(22?rRnrRrrRr?,2,1?nrDrCRnnnnn第3节 二维拉普拉斯方程的边值问题?补充：欧拉方程的解法：?令 ，有 ，则?代入欧拉方程中，得到?有通解 ter?rtln?dtdRrdrdtdtdRdrdR
21、1?dtdRdtRdrdtRdrdtdRrdrdtdtRdrdtdRrdtdRdrdrdtdRrdrRd222222222222211111)(110222?RndtRdnnntntrcrcececR?2121第3节 二维拉普拉斯方程的边值问题?原定解问题的一些列特解?式中 ),3,2,1()sincos()()(),(?nrnbnarRrunnnnnn?nnnnnnCBbCAa?,?100)sincos(21),(),(nnnnnnrnbnaaruru?),3,2,1(sin)(1),3,2,1,0(cos)(1200200?ndnfRbndnfRannnn?第第2-4节节 非齐次方程的求解
22、问题非齐次方程的求解问题?（一）有界弦的强迫振动问题（一）有界弦的强迫振动问题?齐次边界条件与零初始条件的强迫振动问题，即一根弦在两端固定、初始无变化的情况下，受外力作用所产生的振动现象。定解问题归纳为：?0|,0)0,(0),(,0),0()0,0(),(022222ttuxutlututlxtxfxuatu第2-4节 非齐次方程的求解问题?根据物理规律，外力只影响振动的振幅，而不改变振动的频率，因此我们可以采用类似于线性非齐次常微分方程所用的“参数变易法”的形式，通过齐次方程的解来构造非齐次方程的解。并保持如下的设想：这个定解问题的解可分解为无穷多个驻波的叠加，而每个驻波的波形仍然是由该振
23、动体的相应的齐次方程的固有函数所决定。第2-4节 非齐次方程的求解问题?与泛定方程相应的齐次方程的固有函数系为?假设本问题的解具有如下形式：?式中，是t的待定函数。?lxn?sin?1sin)(),(nnlxntutxu?)(tun第2-4节 非齐次方程的求解问题?将方程中的自由项也按上述固有函数系展开成傅里叶级数，?式中?1sin)(),(nnlxntftxf?),2,1(,sin),(2)(0?ndxlxntxfltfln?),3,2,1()()()(2?ntftulantunnn?第2-4节 非齐次方程的求解问题?由初始条件可得：?于是得常微分方程的初值问题：?由对应齐次方程的基础解系为
24、 和?，所以应用常数变易法得到：0)0()0(?nnuu?0)0()0()()()(2nnnnnuutftulantu?latn?sinlatn?cos第2-4节 非齐次方程的求解问题?)()cos()()sin()(0sin)(cos)(2121tflatnlandttdClatnlandttdClatndttdClatndttdCn?tntndlanfanltCdlanfanltC0201cos)()(sin)()(?第2-4节 非齐次方程的求解问题 ),3,2,1()(sin)(cossin)(sincos)(cos)(sinsin)(cossin)(cos)()(000021?ndlt
25、anfanldlatnlanflatnlanfanldlanfanllatndlanflatnanllatntClatntCtutntnntntnn?第2-4节 非齐次方程的求解问题?原定解问题的解为?这种方法实质上是将方程的自由项及解都按照相应的齐次方程固有函数系展开，因此这种方法也称为固有函数法。需要注意的是，随着边界的变化，固有函数也会变化。?10sin)(sin)(),(ntnlxndltanfanltxu?第2-4节 非齐次方程的求解问题?带有初始形变的强迫振动问题：?此时弦的振动是由两部分干扰引起的，其一是外部的强迫力，其二是弦的初始形变所产生的回复力。由物理规律可知，这种情形的振
26、动可以看作是仅由强迫力引起的振动和仅由初始状态引起的振动的合成。?)(|),()0,(0),(,0),0()0,0(),(022222xtuxxutlututlxtxfxuatut?第2-4节 非齐次方程的求解问题?设本问题的解为?式中 表示仅由强迫力引起的弦的振动的位移，它满足：),(),(),(txwtxvtxu?),(txv?0|,0)0,(0),(,0),0()0,0(),(022222ttvxvtlvtvtlxtxfxvatv第2-4节 非齐次方程的求解问题?而 则表示仅由初始状态引起的弦振动的位移，它满足：?而这两个问题在上述讨论中已经圆满解决。),(txw?)(|),()0,(0
27、),(,0),0()0,0(022222xtwxxwtlwtwtlxxwatwt?第2-4节 非齐次方程的求解问题?（二）有限长杆的热传导问题（有热源）（二）有限长杆的热传导问题（有热源）?首先考虑齐次的边界条件和零初始条件的情况，以两端温度保持零为例。定解问题归结为?0)0,(0),(,0),0()0,0(),(222xutlututlxtxfxuatu第2-4节 非齐次方程的求解问题?将定解问题的解 关于x按固有函数系 展开为傅里叶级数。式中),(txu?lxn?sin?1sin)(),(nnlxntutxu?1sin)(),(nnlxntftxf?),3,2,1(sin),(2)(0?n
28、dxlxntxfltfln?第第2-4节节 非齐次方程的求解问题非齐次方程的求解问题?将上面两个级数代入得到?（补充）一阶线性方程的参数变易法（补充）一阶线性方程的参数变易法：?满足初值条件 的解存在且唯一，?0)0()()()(2nnnnutftulantu?)()(xqyxpdxdy?00)(yxy?xxdttpdpdeqyeyxxx000)(0)()(?第2-4节 非齐次方程的求解问题?原定解问题的解：?ttlanntlanntlantdlanndlanndefdefedefetut0)(002220202)()()(0)(?10)(sin)(),(2nttlannlxndeftxu?第
29、2-5节 非齐次边界条件的处理?当边界条件是非齐次的时候，我们就无法分离出常微分方程的边值问题，无法求出问题的固有函数。处理这类问题的基本原则是：不论方程是齐次的还是非齐次的，选取一个辅助函数 ，通过函数之间的代换 ，使得对于新的未知函数 而言，边界条件是齐次的。),(txw),(),(),(txwtxvtxu?),(txv第2-5节 非齐次边界条件的处理?考察如下形式的定解问题：?令?)(|),()0,()(),(),(),0()0,0(),(02122222xtuxxuttluttutlxtxfxuatut?),(),(),(txwtxvtxu?)(),(),(),0(21ttlwttw?
30、第2-5节 非齐次边界条件的处理?求得 )()()(),(112tttlxtxw?)(|),()0,(0),(,0),0()0,0(),(101122222xtvxxvtlvtvtlxtxfxvatvt?),0()0()0()(|)()(),0()0()0()()0,()()()()()(),(),(),(112011121112222221?lxxtwxtlxxxwxxtttlxtxftwxwatxftxft第2-5节 非齐次边界条件的处理?若边界条件不是第一类的，要把边界条件化成为齐次的，可以采用类似的方法。就下列几种非齐次边界条件的情况，分别给出相应的 的一种表达式。?（1）?（2）?（
31、3）),(txw)()(),(),(|),(),0(1221txttxwtxuttulx?)()()(),(),(),(),(|121210tltxttxwttlutxux?xtltttxwtxutxulxx)(2)()(),(),(|),(|112210?2-6 固有值与固有函数固有值与固有函数?对一维波动方程和一维热传导方程的定解问题而言：当泛定方程与边界条件均为齐次时，不管初始条件如何，可直接应用分离变量法求解；当边界条件为齐次，泛定方程与初始条件为非齐次时，原定解问题可以分解成两个：其一是泛定方程为齐次的并具有原定解条件的定解问题，这个问题可以用分离变量法求解；其二是方程为非齐次的并具
32、有齐次定解条件的定解问题，该问题用固有函数法求解；当边界条件为非齐次时，则必须引进辅助函数把边界条件化为齐次的，然后再应用上述方法求解。2-6 固有值与固有函数固有值与固有函数?对于二维的拉普拉斯方程的边值问题而言，应根据求解区域的形状适当地选取坐标系，使得在此坐标系中边界条件的表达式最为简单，便于求解。应当指出，只有当求解区域很规则时，才可以应用分离变量法求解拉普拉斯方程的边值问题。2-6 固有值与固有函数固有值与固有函数?关于固有值与固有函数，给出几点结论：?（1）存在无穷多个实的固有值，适当安排顺序，可构成一个非减序列?对应这些固有值存在无穷多个固有函数?（2）所有特征值均非负，即。?n?21?),(,),(),(21xyxyxyn),2,1(0?nn?2-6 固有值与固有函数固有值与固有函数?（3）如果把对应于固有值 的固有函数记为 ，那么所有 组成一个带权函数 的正交函数系，即 n?)(xyn)(xyn)(x?)(,0)()()(nmxyxyxbamn?谢谢！Thank you!?再见！Good Bye!
