1、数列的求和 献给玉潭中学最棒的你献给玉潭中学最棒的你 一.公式法：等差数列的前等差数列的前n项和公式：项和公式：等比数列的前n项和公式 11()(1)22nnn aan nSnad?111(1)(1)(1)11nnnna qSaa qaqqqq?cn=an+bn(an、bn为等差或等比数列。）项的特征 反思与小结：要善于从通项公式中看本质：一个等差 2n 一个等比2n，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题.分组求和法分组求和法 探究二：1、看通项，是什么数列，用哪个公式；2、注意项数 3、注意公比 已知等差数列?na的前n项和为?*310,5
2、,100,nSnNaS?.（）求数列?na的通项公式；（）设32nanbn?，求数列?nb的前n项和为.nT解：（）设等差数列an的公差为d，由题意，得a12d5，10a110 92d100，解得a11，d2，3 分所以an2n1.4 分（）因为bnna32n39n2n，5 分所以Tnb1b2bn39992n?2(12n)8)19(3?nn2n8 分裂项求和法：裂项求和法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为分裂通项法.（见到分式型的要往这种方法联想）已知数列?na是等差数列，且12a
3、?，12312aaa?()求数列?na的通项公式及前n项和nS；()求123101111SSSS?的值.解：()由题意知：1232312aaaa?，24a?，212daa?2 分数列?na的通项公式为：1(1)22(1)2naandnn?3 分数列?na的前n项和为：1()(22)(1)22nnn aannSn n?4 分()1111(1)1nSn nnn?123101111SSSS?6 分1111111(1)()()()223341011?=1-111=10118 分等比数列?na的各项均为正数，且212326231,9.aaaa a?()求数列?na的通项公式.()设31323loglog
4、.log,nnbaaa?求数列1nb?的前 n 项和.（）设数列an的公比为 q，由23269aa a?得32349aa?所以219q?。由条件可知0na，故13q?2 分由12231aa?得11231aa q?，所以113a?3 分故数列an的通项式为13nna=5 分（）31323nloglog.lognbaaa?(1 2.)(1)2nn n?7 分故12112()(1)1nbn nnn?12111111112.2(1)().()22311nnbbbnnn?所以数列1nb的前 n 项和为21nn?10 分1特别是对于 ，其中 是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用 (其中dan
5、1an)?canan1 an canan1cd?1an1an1 常见的拆项公式有：111)1(1.1?nnnn)11(1)(1.2knnkknn?)121121(21)12)(12(1.3?nnnn)2)(1(1)1(121)2)(1(1.5?nnnnnnn)(11.4bababa?错位相减法：错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.既anbn型 等差 等比 已知数列?na前项n和nnsn42?*)(Nn?，数列?nb为等比数列，首项21?b，公比为q)0(?q，且满足432,4,bqbb?成等差数列.（1）求数列?na，?nb的通
6、项公式；（2）设4)3(3nnnbac?，记数列?nc的前n项和为nT，求nT.解（）当 n=1 时，115aS?当 n2 时，?na?22nn 1414123SSnnnnn?验证1n?时也成立数列?na的通项公式为：n23an?，432,4,bqbb?成等差数列，.21?b所以423)4(2bbqb?，即0322?qq，因为0,3.qq?132qb?，数列?nb的通项公式为：1n2 3nb?(）?nnn3334nabcn?n123nTcccc?231 32 33 33nn?233131 32 33 33nnTn?由-得：231233333nnnTn?113(31)(1 2)3333 12nn
7、nnn?1(21)334nnnT?已知?na是递增的等差数列，24,aa是方程2560 xx?的根。（I）求?na的通项公式；（II）（II）求数列?nna2的前n项和.（I）方程的两根为 2,3,由题意得，设数列的公差为 d,，则，故 d=，从而，所以的通项公式为：()设求数列的前项和为 Sn,由()知，则：两式相减得所以1要求数列的前n n项和，关键是抽取出其通项来加以分析，根据数列的通项的结构特点去选择适当的方法 2等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决 3数列求和是数列的一个重要内容，其实质是将多项式化简，等差、等比数列及可以转化为等差、等比数列的求和问题应掌握，还应掌握一些特殊数列的求和 4解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和 5“错位相减”、“裂项相消”等是数列求和最重要的方法是高考重点考查的内容，应熟练掌握
