1、1第三章 流体动力学基础第三节 流体动力学基本方程式 一、连续性微分方程 二、理想流体运动微分方程 三、粘性流体的运动微分方程第四节 欧拉运动微分方程的积分 一、在势流条件下的积分 二、沿流线的积分2 单位时间内x方向流出流进的质量流量差：dxdydzxxudydzdxxxu21xudydzdxxxu21xuMM)()()(左右ABCDA BCDdzdydxzyxo2dxxuuxxM2dxxuuxxNuxuzuyo第三节 流体动力学基本方程式在流场内取一微元六面体（如图），边长为dx,dy,dz，中心点O流速为（ux,uy,uz）以x轴方向为例：dxxu21uuxxMdxxu21uuxxN右表
2、面流速一、连续性微分方程第三节 流体动力学基本方程式左表面流速30zuyuxutzyx)()()(流体的连续性微分方程的一般形式：质量守恒定律：单位时间内流出与流入六面体的流体质量差之总和应 等于六面体内因密度变化而减少的质量，即：dxdydztdxdydzzuyuxuzyx)()()(dxdydzxux)(X方向dxdydzzudxdydzyuzy)()(y方向：z方向：第三节 流体动力学基本方程式同理可得：在dt时间内因密度变化而减少的质量为：dxdydztdxdydztdxdydz)(适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流；可压 缩流体。（不可压 缩流体 ）0t40)()()(z
3、uyuxuzyx（1）可压缩流体恒定流动的连续性微分方程 适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。（2）不可压缩流体的连续性微分方程0zzuyyuxxu 物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量），与流出的流体体积（质量）之差等于零。适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。0)()()(zuyuxutzyx第三节 流体动力学基本方程式0t当为恒定流时Const当为不可压缩流时5例：有两种二元流体，其流速可表示为：（1）ux=-2y,uy=3x；（2）ux=0,uy=3xy。试问这两种流体是不可压缩流体吗？解：（1）000)3()2(yxxyzuyu
4、xuzyx符合不可压缩流体的连续性方程。是不可压缩流体。（2）030)3()0(xyxyxzuyyuxuzx不符合不可压缩流体的连续性方程。不是不可压缩流体。62dxxpp2dxxpp 理想流体的动水压强特性与静水压强的特性相同：ppppzyxABCDABCDdzdxdyp(x,y,z)ozxyMNO第三节 流体动力学基本方程式 从理想流体中任取一(x,y,z)为中心的微元六面体为控制体，边长为dx,dy,dz，中心点压强为p(x,y,z)。受力分析(x方向为例)：1.表面力理想流体，=0左表面dydzxp2dxpApPMM)(右表面dydzxp2dxpApPNN)(二、理想流体运动微分方程7
5、流体平衡微分方程回顾 一、流体平衡微分方程欧拉平衡方程p(x,y,z)M2dyypp2dyypp 根据平衡条件，在y方向有Fy=0，即：0)2()2(dxdydzYdxdzdyyppdxdzdyypp整理得：01ypYABCDABCDdzdxdyxyzo在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为dx，dy，dz，设中心点的压强为p(x,y,z)=p，对其进行受力分析：y向受力表面力：dxdzdyypp)2(dxdzdyypp)2(质量力：dxdydzY8010101zpZypYxpX 流体平衡微分方程（即欧拉平衡方程）：物理意义：处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与 质量力分量彼此相
6、等。压强沿轴向的变化率（）等于 该轴向单位体积上的质量力的分量（X,Y,Z）。zpypxp,（1）流体平衡微分方程回顾9x方向（牛顿第二运动定律 ）：maFdtdudxdydzdxdydzXdydz2dxxppdydz2dxxppx)()(zuuyuuxuutudtduxp1Xxzxyxxxx2.质量力单位质量力在各坐标轴上分量为X,Y,Z，质量力为Xdxdydz10适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流或不可压缩流体。zuuyuuxuutudtduzp1Zzuuyuuxuutudtduyp1Yzuuyuuxuutudtduxp1Xzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx 理想流体的运动
7、微分方程（欧拉运动微分方程）第三节 流体动力学基本方程式若加速度 等于0，则上式就可转化为欧拉平衡微分方程0zp1Z0yp1Y0 xp1Xdtdudtdudtduzyx,11三、粘性流体的运动微分方程1、粘性流体的特点 （2）实际的流动流体任一点的动压强，由于粘性切应力的存在，各向大小不 等，即pxx pyy pzz。任一点动压强为：)p p (p31pzzyyxxxzxzzxzyzyyzyxyxxyzuxuyuzuxuyu)()()(zu2ppyu2ppxu2ppzzzyyyxxx（1）实际流体的面积力包括：压应力和粘性引起的切应力。该切应力由广义牛顿内摩擦定律确定：第三节 流体动力学基本方
8、程式122、实际流体的运动微分方程式 同样取一微元六面体作为控制体。()yxyxyxdxdzdy dxdzyx方向（牛顿第二运动定律 ）：maF第三节 流体动力学基本方程式 yzyx pyyxzxypxxzxzypzzxyxz pxxyzyxpyyzyzx pzzdzdxdyxyz左右向压力x向受力质量力前后面切力上下向切力xdudxdydzdt()zxzxzxdydxdz dydxzXdxdydz()xxxxxxppdydzpdx dydzx13 1）不可压缩流体的连续性微分方程：2）切应力与主应力的关系表达式zuuyuuxuutudtduuvzp1Zzuuyuuxuutudtduuvyp1
9、Yzuuyuuxuutudtduuvxp1Xzzzyzxzzz2yzyyyxyyy2xzxyxxxxx2 不可压缩粘性流体运动微分方程：纳维埃-斯托克斯方程（Navier-Stokes，N-S)方程：考虑条件：第三节 流体动力学基本方程式2x22x22x2x2zuyuxuu0zuyuxuzyx拉普拉斯算符 ，例：2222222zyx14第四节 欧拉运动微分方程的积分一、在势流条件下的积分 由于欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组（迁移加速度的三项中包含了未知数与其偏导数的乘积），因而至今还无法在一般情况下积分，只能在一定条件下积分。欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任
10、意相邻两点间距ds的坐标分量），然而相加得：dzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxp1ZdzYdyXdxzyx)()(考虑条件第四节 欧拉运动微分方程的积分0tp1、恒定流=dp115 3、质量力只有重力，即X=Y=0，Z=-gxuzuyuzuxuyuzxzyyx，4、有势流动：2、均匀不可压缩流体，即=Const；=)(pd1II()ppppdxdydzdxyz-gdz IZdzYdyXdxdzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxp1ZdzYdyXdxzyx)()(1622222222211()()221()2xyzxyzxyzuuudxuuudyxyu
11、uudzz积分得：Cgupz22第四节 欧拉运动微分方程的积分()xxxxyzuuuuuudxxyz)2()(2udpdgdz由以上得：xduIIIdxdtxdudtxxxxyzuuuuuuxyzxdudtxxxxyzuuuuuuxyz由欧拉加速度ydudydtzdudzdt()yyyxyzuuuuuudyxyz()zzzxyzuuuuuudzxyzxuzuyuzuxuyuzxzyyx由222()()()222uuudxdydzxyz2()2ud17 理想势流伯努里方程 符号说明z 单位重流体的位能（比位能）位置水头 p单位重流体的压能（比压能）压强水头gu22单位重流体的动能（比动能）流速水
12、头pz单位重流体总势能（比势能）测压管水头gupz22总比能 总水头 物理意义 几何意义 物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中，理想流体各点的总比能相等即在整个势流场中，伯努里常数C均相等。（应用条件：“”所示）Cgupz22gupzgupz2222222111或第四节 欧拉运动微分方程的积分18 二、沿流线的积分 2、恒定流中流线与迹线重合：zyxudtdzudtdyudtdx,注意：积分常数C，在不可压缩恒定流流动中，沿同一流线保持不 变。一般不同流线各不相同（有旋流）。（应用条件：“”所示，可以是有旋流）Cg2upz2 沿流线（或元流）的能量方程：)()(2uduuud21duud
13、uuduuIII22z2y2xzzyyxx =-gdz1II dp 1、只有重力作用的不可压缩恒定流：IIIIIIdzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxp1ZdzYdyXdxzyx)()(第四节 欧拉运动微分方程的积分191、实际流体区别于理想流体有何特点？理想流体的运动微 分方程与实际流体的运动微分方程有何联系？2、连续性微分方程有哪几种形式？不可压缩流体的连续性 微分方程说明了什么问题？一般形式，恒定流，不可压缩流；质量守恒 实际流体具有粘性，存在切应力；实际流体的运动微分方程中等式的左边比理想流体运动微分方程增加了由于粘性而产生的切应力这一项。203、欧拉运动微分方程
14、组在势流条件下的积分形式的应用 与沿流线的积分有何不同？End 形式完全相同，但含义不一样。势流条件下积分形式是针对理想流体的恒定有势流动中的任何质点，而不局限于同一流线。它不适用于有旋流。沿流线积分形式是针对理想流体恒定流流动中同一条流线的质点。它适用于有旋流。21本课完本课完 按任意键或点击鼠标退出课件，返按任意键或点击鼠标退出课件，返回书目请点击回书目请点击“返回书目返回书目”按钮。按钮。工程流体力学电子教案第一版由毛根海教授工程流体力学电子教案第一版由毛根海教授主持，浙江大学水利实验室开发研制而成。主持，浙江大学水利实验室开发研制而成。开发组人员：开发组人员：项目主持：毛根海项目主持：毛根海 教授教授 脚本编写：毛根海、邵卫云、张燕脚本编写：毛根海、邵卫云、张燕 课件开发：胡卫红、邵卫云、张燕课件开发：胡卫红、邵卫云、张燕 素材准备：毛根海、邵卫云、张燕、洪源、章军军、素材准备：毛根海、邵卫云、张燕、洪源、章军军、陈少庆等陈少庆等
