1、“旋转旋转”那些事那些事 在平面内，将一个图形绕在平面内，将一个图形绕 按按 转转动动 ，这样的图形运动称为，这样的图形运动称为旋转旋转一个定点一个定点某个方向某个方向一定的角度一定的角度 三要素：三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度旋转中心、旋转方向、旋转角度2.向哪个方向旋转？向哪个方向旋转？1.1.绕哪个点旋转？绕哪个点旋转？3.转动了多少度？转动了多少度？如图如图ADC=ADC=B=90B=90，DEDEABAB，E E为为ABAB上的一点上的一点,且且AD=CDAD=CD，DE=5.DE=5.请求出四边形请求出四边形ABCDABCD的面积的面积.F FA AB BC CD DE E
2、反思：解本题的关键是图中已有的反思：解本题的关键是图中已有的两条相等的线段两条相等的线段DA=DCDA=DC，这就为，这就为“旋转旋转”奠奠定了基础。将定了基础。将ADAD绕着点绕着点D D按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转9090至至DCDC位置，则由点位置，则由点D D出发的第三条线段出发的第三条线段DEDE也作相同的旋转至也作相同的旋转至DFDF位置，得到如图所位置，得到如图所示辅助线。可以证出示辅助线。可以证出B B、C C、F F三点共线（即三点共线（即DAF+DCBDAF+DCBA+DCB=180A+DCB=180），进而），进而解决问题。解决问题。解题后反思：过点解题后反思：过点D
3、 D作作DFBCDFBC于点于点F F，可由条件推出，可由条件推出ADEADECDFCDF，这样也达到了与上述旋转同样的目的，这也是学生容易想到的辅助线，这样也达到了与上述旋转同样的目的，这也是学生容易想到的辅助线。前面的。前面的“旋转法旋转法”，必须证明，必须证明B B、C C、F F三点共线；而后者必须证明三点共线；而后者必须证明ADEADECDFCDF，两者各有裨益。，两者各有裨益。如左图，等腰如左图，等腰ABC绕着点绕着点A按按逆时针方向旋转逆时针方向旋转度至度至ABC位位置，易知置，易知ABCABC（即旋（即旋转后的图形与旋转前的图形全等）。转后的图形与旋转前的图形全等）。如左图，若
4、连接如左图，若连接BB、CC，易证明易证明ABB ACC（SAS）。）。这就是传说中的这就是传说中的“旋转一拖二旋转一拖二”，即等腰三角形旋转之后会，即等腰三角形旋转之后会有两个全等三角形，尤其是第二个全等往往是解题的关键。另有两个全等三角形，尤其是第二个全等往往是解题的关键。另外，结合外，结合“8字形字形”，易证，易证BDC=BAC。上述模型有个形象的名字，可以称为上述模型有个形象的名字，可以称为“手拉手模型手拉手模型”。如右图，如右图，ABC和和ABC都都是等边三角形（是等边三角形（AB绕绕A逆时针旋转旋逆时针旋转旋转转60 0至至AC位置、位置、AB绕绕A逆时针旋逆时针旋转旋转转旋转60
5、 0至至AC位置），易知位置），易知ABBACC(SAS)。这个模型可以形象地称为这个模型可以形象地称为“共顶点的双等边三角形模型共顶点的双等边三角形模型”。如右图，如右图，ABC和和ABC都都是等腰直角三角形（是等腰直角三角形（AB绕绕A逆时针旋逆时针旋转旋转转旋转90 0至至AC位置、位置、AB绕绕A逆时逆时针旋转旋转针旋转旋转60 0至至AC位置位置），易知），易知ABBACC(SAS)。这个模型可以形象地称为这个模型可以形象地称为“共顶点的双等腰直角三角形模型共顶点的双等腰直角三角形模型”。传统意义上，此类问题可以用传统意义上，此类问题可以用“截长补短法截长补短法”解决。如图，在解决。
6、如图，在PA上上截取截取PQ=PB，易证明，易证明BPA=CPA=60,这样这样PBQ为等边三角形，为等边三角形，由由“共顶点双等边三角形模型共顶点双等边三角形模型”易证明易证明ABQ CBP(SAS)，故，故PC=QA，所以，所以PA=PQ+QA=PB+PC，得证。这是传统的，得证。这是传统的“截长法截长法”。传统意义上，此类问题还可以用传统意义上，此类问题还可以用“补短法补短法”解决。如图，延长解决。如图，延长CP至点至点Q，使，使PQ=PB，易证明，易证明BPQ=60,这样这样PBQ为等边三角形，为等边三角形，由由“共顶点双等边三角形模型共顶点双等边三角形模型”易证明易证明ABP CBQ
7、(SAS)，故，故PA=QC，所以，所以PA=QC=QP+PC=PB+PC，得证。，得证。纵观上述两种传统解法，若是纵观上述两种传统解法，若是用旋转的眼光来看用旋转的眼光来看，就更有趣了。，就更有趣了。观察到原题中点观察到原题中点B出发有出发有三条线段三条线段BA、BC、BP，其中其中BA=BC，这就为，这就为旋转作了很好地铺垫。旋转作了很好地铺垫。第一种第一种“截长法截长法”可以看成可以看成BP、BC同时绕点同时绕点B按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转60所得，即将所得，即将PBC绕着点绕着点B逆时针旋转逆时针旋转60至至QBA。若是这样作辅助线，。若是这样作辅助线，难在证明难在证明P、Q、A
8、三点共线（提示：三点共线（提示：AQB=CPB120,BQP60可证）。可证）。第二种第二种“补短法补短法”可以看成可以看成BP、BA同时绕点同时绕点B按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转60所得，即将所得，即将PBA绕着点绕着点B顺时针旋转顺时针旋转60至至QBC。若是这样作辅助线，。若是这样作辅助线，难在证明难在证明Q、P、C三点共线（提示：三点共线（提示：BPQ60,BPC120可证）。可证）。总而言之，上述两种解法若用旋转的眼光来看，就是绕着旋转中心总而言之，上述两种解法若用旋转的眼光来看，就是绕着旋转中心B按按顺时针或逆时针方向旋转顺时针或逆时针方向旋转60度，这样度，这样BA与与BC必
9、然重合（这是由必然重合（这是由BA=BC产生产生的结果）。的结果）。BP则旋转则旋转60至至BQ位置，构造出位置，构造出“共顶点双等边三角形模型共顶点双等边三角形模型”，得出全等，解决问题。得出全等，解决问题。但旋转的缺点是麻烦在证明但旋转的缺点是麻烦在证明“三点共线三点共线”上，这也是对学生而言易忽略上，这也是对学生而言易忽略的地方。建议，在解题中，用的地方。建议，在解题中，用“旋转旋转”的眼光立即想到解题方案，但书写过的眼光立即想到解题方案，但书写过程可以借用程可以借用“截长补短截长补短”的方法进行，两种想法相得益彰。但后者必须证明的方法进行，两种想法相得益彰。但后者必须证明全等。全等。B
10、P绕绕B旋转：旋转：逆时针逆时针顺时针顺时针所有转法所有转法由由AB=AC，绕，绕A转：转：由由CA=CB，绕，绕C转：转：由由BA=BC，绕，绕B转：转：逆时针逆时针 逆时针逆时针 逆时针逆时针 顺时针顺时针 顺时针顺时针 顺时针顺时针 规律总结：规律总结：当某个顶点处有当某个顶点处有两条相等的线段两条相等的线段时，这就为旋转提供了先天时，这就为旋转提供了先天条件，只需将此顶点处出发的第三条线段绕着这个顶点作相应的条件，只需将此顶点处出发的第三条线段绕着这个顶点作相应的旋转即可，可顺时针转，也可逆时针转，构造出旋转即可，可顺时针转，也可逆时针转，构造出“共顶点的双等共顶点的双等腰三角形模型腰
11、三角形模型”，借助，借助“旋转一拖二旋转一拖二”，得到全等，解决问题。，得到全等，解决问题。上述规律可简记为上述规律可简记为“等线段、等线段、共顶点共顶点；造旋转、一拖二；造旋转、一拖二”。逆时针逆时针 顺时针顺时针 简析：由简析：由BA=BC，可绕，可绕B转转90度，可证得度，可证得逆时针逆时针 顺时针顺时针 简析：由简析：由BA=BC，可绕，可绕B转转120度，可证得度，可证得EF=AE+CF（一）正方形中（一）正方形中“半角（半角（45度）模型度）模型”已知正方形已知正方形ABCD中，中，EBF45，则，则EF=AE+CF（二）四边形中更一般的（二）四边形中更一般的“半角模型半角模型”E
12、F=AE+CF（三）等腰直角三角形中（三）等腰直角三角形中“半角（半角（45度）模型度）模型”DE2=BD2+CE2已知等腰直角已知等腰直角ABC中，中，DAE45，则，则DE2=BD2+CE2.（四）对角互补模型（四）对角互补模型（1）简称简称“共斜边等腰直角三角形共斜边等腰直角三角形+直角三角形直角三角形”模型（异侧型）模型（异侧型）.（四）对角互补模型（四）对角互补模型（2）简称简称“共斜边等腰直角三角形共斜边等腰直角三角形+直角三角形直角三角形”模型（同侧型）模型（同侧型）.（四）对角互补模型（四）对角互补模型（3）已知等边已知等边ABCABC，且，且BPCBPC120120，则，则P
13、A=PB+PC.PA=PB+PC.简称简称“等边三角形对等边三角形对120120模型模型”.PA=PB+PC（四）对角互补模型（四）对角互补模型（4）简称简称“120120等腰三角形对等腰三角形对6060模型模型”.（五）其他模型（五）其他模型（1）简称简称“等边三角形对等边三角形对3030模型模型”.（五）其他模型（五）其他模型（2）这个模型是前面等腰直角三角形中这个模型是前面等腰直角三角形中“半角（半角（4545度）模型度）模型”的一个变式，的一个变式，如果前面的模型成为如果前面的模型成为“等腰直角三角形内嵌等腰直角三角形内嵌4545度模型度模型”，那这个模型可形象，那这个模型可形象称为称
14、为“等腰直角三角形外嵌等腰直角三角形外嵌4545度模型度模型”。其实两个模型结论一模一样。其实两个模型结论一模一样。（五）其他模型（五）其他模型（3）这个变式可简称为这个变式可简称为“等腰直角三角形内等腰直角三角形内含于含于135135度模型度模型”。（五）其他模型（五）其他模型（4）将上面的将上面的D DCECE单独抽离出来，如下图所示：单独抽离出来，如下图所示：（五）其他模型（五）其他模型（5）下面还有一个下面还有一个“外嵌外嵌60度模型度模型”。将左面的将左面的D DCECE单独抽离出来，如下图所示：单独抽离出来，如下图所示：由由“等腰直角等腰直角ABC”ABC”可构造可构造“共顶点的双
15、等腰直角三角形模型共顶点的双等腰直角三角形模型”，如图所示，求出如图所示，求出ADAD。上述辅助线，忽略次要因素，抽离出右边的基本模式，。上述辅助线，忽略次要因素，抽离出右边的基本模式，还有一个动听的名字，构造还有一个动听的名字，构造“隐形的翅膀隐形的翅膀”。数学就是这么美妙而神奇！。数学就是这么美妙而神奇！将左面的将左面的D DCECE单独抽单独抽离出来，如右图所示：离出来，如右图所示：其中其中DE=10，DF=3，BF=3，EF=13，故故CD=BE=14。再次构造再次构造“隐形的翅膀隐形的翅膀”，充分，充分利用好利用好120构造特殊直角三角形，用构造特殊直角三角形，用勾股定理解决问题。勾
16、股定理解决问题。第三问：222+2AM=BMDM简解如下：简解如下：简单应用：简单应用：（2 2）如图，）如图，ABAB是是OO的直径，点的直径，点C C、D D在在OO上，弧上，弧ADAD弧弧BDBD，若，若ABAB1313，BCBC1212，求，求CDCD的长的长.（简解如下图，即为异侧型（简解如下图，即为异侧型“共斜边等腰直角共斜边等腰直角三角形三角形+直角三角形直角三角形”模型）模型）第四问难在构图，简解如下：第四问难在构图，简解如下：第一种情况：第一种情况：第四问难在构图，简解如下：第四问难在构图，简解如下：第二种情况：第二种情况：十全十美，第十点附赠一个圆中有趣的模型十全十美，第十
17、点附赠一个圆中有趣的模型“折弦模型折弦模型”当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕其邻边当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕其邻边的公共端点旋转到另一位置，将分散的条件相对集中起来，从而解决的公共端点旋转到另一位置，将分散的条件相对集中起来，从而解决问题。因为问题。因为正方形、等腰（直角）三角形、等边三角形正方形、等腰（直角）三角形、等边三角形具备边长相等具备边长相等这一特征，所以在这些图形中，常用旋转变换。即当某顶点处存在相这一特征，所以在这些图形中，常用旋转变换。即当某顶点处存在相等的两条线段时，可以将此顶点出发的第三条线段进行相应的旋转，等的两条线段时，可以将此顶点出发的第三条线段进行相应的旋转，可顺转也可逆转，构造出可顺转也可逆转，构造出“手拉手模型手拉手模型”，从而解决问题。，从而解决问题。最后，归纳总结如下：最后，归纳总结如下：
