1、第一节 拉普拉斯变换的概念1拉普拉斯变换的定义二 拉氏变换存在定理-1-一 拉普拉斯变换的定义-2-傅氏变换对函数的两个主要限制傅氏变换对函数的两个主要限制1)1)函数的定义域函数的定义域(,)2 2）|()|f tdt 如果函数如果函数()f t定义在定义在0,),补充函数在补充函数在(,0)的定义的定义1()0()()()00f ttf tu t f tt 如果存在常数如果存在常数0,0Mc使得使得|()|(0)ctf tMet-3-定义函数定义函数1()()tg tef t 选取选取,c 由于由于0|()|()|tg tdtf tedt ()0c tMMedtc 因此对因此对()g t可
2、以求傅氏变换，可以求傅氏变换，()0()wi tf t edt 如果记如果记,siw 且记且记且且()()iwtg tg t edt -4-0()()(Re)stF sf t edtsc 这表明这表明()Fiw 实际上为函数实际上为函数()g t傅氏变换的像傅氏变换的像函数，函数，1()2iwtFiw edw 即即1()()()2tiwtf t u t eFiw edw 特别当特别当0t 时有时有()1()()2iw tf tFiw edw (2.1.1)因此有因此有()g t 1()Fiw -5-如果令如果令,siw 上式又可以写为上式又可以写为1()()(0)2istif tF s e d
3、sti (2.1.2)定义定义设函数设函数()f t在在0,)有定义，有定义，积分积分0()stf t edt 在在s的某一域内收敛，的某一域内收敛，则称此积分为则称此积分为()f t的的拉普拉拉普拉斯变换式斯变换式，()F s 记为记为 (),f t复变量函数复变量函数()F s称为称为()f t的的拉普拉斯变换像函数拉普拉斯变换像函数，称积分称积分即即0()()stf tf t edt -6-1()2istiF s e dsi 为为()F s的的拉普拉斯逆变换式拉普拉斯逆变换式，记为记为 1(),F s 而称而称()f t为为()F s拉普拉斯逆变换的像原函数拉普拉斯逆变换的像原函数。由定
4、义可以看出，由定义可以看出，()f t拉普拉斯变换像函数拉普拉斯变换像函数()F s则则()Fiw 实际上是实际上是()()tf t u t e 傅氏变换的像傅氏变换的像函数。函数。1()()F sF s 同样有同样有1 ()()(0)f tf tt 二 拉氏变换存在定理-7-拉氏变换存在定理拉氏变换存在定理设函数设函数()f t满足下列条件满足下列条件1 1）在）在0t 的任何一个有限区间上分段连续；的任何一个有限区间上分段连续；2 2）存在常数）存在常数0,0,Mc使得使得|()|(0)ctf tMet(称称c为函数为函数()f t的的增长指数增长指数)则则()f t的拉氏变换的拉氏变换0
5、()()stF sf t edt 在半平面在半平面Resc 上一定存在，上一定存在，且在且在0Rescc上上-8-右端的积分是绝对、一致收敛的，右端的积分是绝对、一致收敛的，()F s在在Resc 是解析的，是解析的，上上且有且有0()()()stF st f t edt ()0()()()nnstFstf t edt (2.1.3)证证 由条件由条件2)2)可知，可知，对任何的对任何的0t 有有|()|()|sttf t ef te ()c tMe (Re)s 1()cc tMe 1(Re)scc 由于由于1()01cc tMMedtcc -9-所以所以0()stf t edt 在在1Re(
6、)scc上绝对且一致收上绝对且一致收敛，敛，由由1c的任意性，的任意性，函数函数()f t的拉氏变换的拉氏变换0()()stF sf t edt 在在Resc 一定存在。一定存在。同理积分同理积分00()()()ststdf t edtt f t edtds在在1Re()scc上绝对且一致收敛的，上绝对且一致收敛的，因此因此00()()ststddf t edtf t edtdsds 0()()stt f t edt -10-对于对于1Re()scc成立，成立，由由1c的任意性，的任意性，上式对一切上式对一切Resc 成立，成立，即即0()()()stF st f t edt 因此因此()F
7、s在在Resc 上是解析的。上是解析的。例例1 1求单位阶跃函数求单位阶跃函数10()00tu tt 的拉氏变换。的拉氏变换。解解0stes 1s Re0s 00()()ststu tu t edtedt-11-因此因此(Re0)1()u tss 例例2 2求正弦函数求正弦函数()sinf tat 的拉氏变换。的拉氏变换。解解012stiatiateeedti()()001112s ia ts ia teeisiasia 221112ai siasiasaRe0s 或或11(0)1st 0sinsinstateatdt -12-即即22sin()Re0aatsas 解解01mstt des 或
8、或122si(0)ntaatsa 同理同理22cos()Re0satsas (Re)1atesasa 例例3 3设设m为正整数，为正整数，求求mt 0mmsttt edt -13-1001mstmstt emtedts Re0s 10mstmtedts 0!stmmedts 110!stmmmmess 更一般的可得当更一般的可得当m为大于为大于1 1的实数时，的实数时，即即1!(Re0)mmmtss 有有1(1)(Re0)mmmtss -14-其中其中10()(0)mtmte dtm 称为称为伽玛函数伽玛函数，满满足足()(1),(1)1.mmm 解解(1)0()nTstnTnf t edt
9、()00()Ts nTnfnT ed 00()TnTssnefed 例例4 4设设()f t为以为以T为周期的周期函数，为周期的周期函数，且在一且在一个周期上分段连续，个周期上分段连续，求求()f t 0()()stf tf t edt -15-0()1TstTsf t edte (Re0)s 这就是周期函数求拉氏变换公式。这就是周期函数求拉氏变换公式。例如例如()f t以以2 2为为周期，周期，且且101()012tf tt 1022111(1)(1)stssssedteesese (Re0)s 则则202()()1stsf t edtf te -16-必须指出，必须指出，对于在对于在0t 处含有脉冲的函数处含有脉冲的函数(如如()t 的拉氏变换，的拉氏变换，()f t0lim()stf t edt (2.1.4)解解0()1ststtt edte 例例5 5求求()t ()t 0()stt edt 即即()1t 或或11()t 0()()stf tf t edt 我们定义我们定义-17-例例6 6求函数求函数2()()cos2()tf ttte u t 的拉氏变换。的拉氏变换。解解200()cos2sttstt etdte edt 11122sss 20()()cos2()tstf ttte u t edt
