1、一、三重积分的一、三重积分的概念与性质概念与性质二、三重积分的计算二、三重积分的计算1、直角坐标（投影法、截面法）、直角坐标（投影法、截面法）2、柱面坐标、柱面坐标3、球球面坐标面坐标一、三重积分的一、三重积分的概念与性质概念与性质讨论密度分布不均匀的物体的质量：讨论密度分布不均匀的物体的质量：(1)一根细棒一根细棒：ab密度为密度为,0)(xfi M badxxf)()(if ix ni 10lim(2)平面薄片：平面薄片：),(ii M),(iif ni 10lim i Ddxdyyxf),(密度为密度为,0),(yxfyxD(3)空间立体：空间立体：密度为密度为,0),(zyxf dvz
2、yxf),(),(iiizyx M),(iiizyxf ni 10lim iv(3)空间立体：空间立体：密度为密度为,0),(zyxf dvzyxf),(),(iiizyx M),(iiizyxf ni 10lim iv 定义定义设函数设函数 f(x,y,z)在有界闭区域在有界闭区域上上有界有界，),2,1(),(nivzyxiiii 作乘积作乘积 iiiivzyxf),(iiiinivzyxf ),(1若对若对的任意分法，的任意分法，及点及点 的任意取法的任意取法 ),(iiizyx时，时，当当 0 和总趋于确定的极限和总趋于确定的极限 I，则称此极限则称此极限I 为函数为函数 f(x,y,
3、z)在区域在区域上的上的.（1）分割）分割（2）近似）近似（3）求和）求和（4）取极限）取极限nvvv ,21将将为为 n 个区域个区域，个个小小区区域域中中直直径径最最大大者者为为令令n 记为记为iiniiivzyxf ),(lim10 积分区域积分区域被积函数被积函数体积元素体积元素注：注：1、被积函数、被积函数 f(x,y,z)在有界闭区域在有界闭区域上上连续连续，则则 f(x,y,z)在在上三重积分存在上三重积分存在.dvzyxf),(积分变量积分变量2、三重积分与二重积分有类似的性质、三重积分与二重积分有类似的性质.dv1)1(的的体体积积 两两部部分分与与面面对对称称，分分成成关关
4、于于设设21 xoy),(),(zyxfzyxf 0 dvzyxf),(1),(2dvzyxf),(),(zyxfzyxf (2)对称性对称性 解解例例1 1)1(:,)3sin(222232 zyxdvyzxey,面对称面对称关于关于xoz 为奇函数，为奇函数，关于关于xxey3sin202 dvyz,面对称面对称关于关于yoz 0sin32 dvxey为奇函数，为奇函数，关于关于xyz2 dvdvyzxey3)3sin(232 4343 二、三重积分的计算二、三重积分的计算（一）直角坐标（一）直角坐标 dxdydzyxf),(用平行坐标平面的平面用平行坐标平面的平面来划分区域来划分区域,z
5、yxv dxdydzdv 1、投影法、投影法(1)：平行于平行于z轴且穿过区域的直线与区域边界的交轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个点不多于两个.DD),(2yxzz ),(1yxzz ),(yx),(2yxzz ),(1yxzz ),(yxD步骤：步骤：1、求、求在在xoy面的投影区域面的投影区域 ;xyD3、dvzyxf),(),(2yxzz ),(1yxzz ),(yx2、过、过 做平行与做平行与 z轴的轴的射线射线，xyDyx),(确定确定),(),(21yxzzyxz ),(),(21),(yxzyxzdzzyxf xyDdxdy4、)()(,:21xyxbxaDxy dv
6、zyxf),(),(),(21),(yxzyxzdzzyxf )()(21xxbadydx (2)：平行平行于于 x 轴轴且穿过区域的直线与区域边界的交且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个点不多于两个.dvzyxf),(),(),(21),(zyxzyxdxzyxf yzDdydz(3)：平行平行于于 y 轴轴且穿过区域的直线与区域边界的交且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个点不多于两个.dvzyxf),(),(),(21),(zxyzxydyzyxf xzDdxdz例例2.12,0,0,0:,zyxzyxxdv解解 在在xoy面的投影区域面的投影区域 ：xyD.210 xy ,1
7、0 x xdvdzxyx 210 210 xdy 10dx 210)21(xdyyx 10 xdxdx 10 x)1(2102xyyx dxxxx)2(413102 481 xozy2111例例3将三重积分将三重积分 化为三次积分化为三次积分.0,1,:)1(222所所围围 zyxyyxzdvzyxf),(xozy11 11xyDdzzyxfyx 220),(12xdy 11dx.2,0,0,:)2(所所围围 zxzyxy 20 dx xdy0dzzyxfx 20),(02 xyDxozy2.1,1,1:)3(2222所所围围 yzxzxydyzyxfzx 1122),(2211xxdz 11
8、dx1xzDxozy12、截面法、截面法.),(,:21zDyxczc 其中其中Dz是垂直是垂直z轴的平面截轴的平面截 所得到的一个平面闭区域所得到的一个平面闭区域 则则 dvzyxf),(zDdzyxf),(21ccdz例例4.1:,2222222 czbyaxdvz解解:zD,:czc dvz2 ccdz3154abc .1222222czbyax zDdz 2 ccz2dz ccdzz2 zDd 222211czbcza 例例5.1:,)(2222yxzyxdvzx 解解:1zD面面对对称称，关关于于yoz 220dz8 222zyx 1zDzd 0 xdv,220 z,122 z:2z
9、D2221 zyx 122dz 2zDzd 220dz2zz 122dz)1(2zz xozy1221zD2zD（二）柱面坐标（二）柱面坐标则则、z称为点称为点M的柱面坐标的柱面坐标 M在在xOy面上的投影点面上的投影点P 的极坐标为的极坐标为()设设M(x y z)为空间内一点为空间内一点 规定规定、z的变化范围为的变化范围为,0 ,20 .z),(P),(zyxMO 柱面坐标与直角坐标的关系：柱面坐标与直角坐标的关系：cos x sin yzz xy 柱面坐标系下柱面坐标系下 常常数数：以以z轴为轴的圆柱面轴为轴的圆柱面常常数数：过过z轴的半平面轴的半平面常常数数：z 垂直垂直z轴的平面轴
10、的平面O 用以上三组曲面分割用以上三组曲面分割，得，得O z v z 体积元素为体积元素为dzdddv dvzyxf),(柱面坐标系下柱面坐标系下三重积分为三重积分为 (f,cos ,sin )zdzdd 如何化为三次积分？如何化为三次积分？投影法投影法1、求、求在在xoy面的投影区域面的投影区域 ;xyD3、过、过 做平行与做平行与z轴的射线轴的射线，xyD),(确定确定),(),(21 zzz dzzfzz),(),(21),sin,cos()()(21d d)()(,21 2、将、将 化为极坐标：化为极坐标：xyD4、dzddzf ),sin,cos(例例6.,4:,22zyxzzdv
11、解解 在在xoy面的投影区域面的投影区域 ：xyD,422 yx zdvdzz 42 20 d 20d 202 d d)218(2420 21422 z364 化为极坐标：化为极坐标：20,20 xozy44例例6将三重积分将三重积分 化为柱面坐标下三次积分化为柱面坐标下三次积分解解dzzf 21),sin,cos(210 d 20ddvzyxf),(所所围围22222,4:)2(yxzyxz 20 d.1:)1(2222yxzyx dzzf 4212),sin,cos(20d2122 yx:xyD422 yx:xyD.4,1,:)3(22所所围围 zzyxz422 yx:xyD4xozy41
12、1 21 ddzzf 42),sin,cos(20d 10 ddzzf 41),sin,cos(20d.4,0,0,1:)4(2所所围围 zyxyzxy:xyD1 1 0d 10 ddzzf sincos40),sin,cos(（二）球面坐标（二）球面坐标 设设M(x y z)为空间内一点为空间内一点 其中其中|OMr .的的角角轴轴逆逆时时针针转转到到轴轴正正向向看看为为从从OPxz.20 P 球面坐标与直角坐标的关系：球面坐标与直角坐标的关系：cos|OPx cosrz 则点则点M可以用一组数可以用一组数 确定确定 ,r r0M在在xOy面上的投影点为面上的投影点为P，轴轴正正向向夹夹角角
13、，与与为为zOM 0),(zyxMOxyzr cossinr sin|OPy sinsinr 2222rzyx 显然：显然：球面坐标系下球面坐标系下 常常数数：r 以原点为球心的球面以原点为球心的球面常常数数：以原点为顶点以以原点为顶点以z轴轴:常常数数 过过z轴的半平面轴的半平面O 用以上三组曲面分割用以上三组曲面分割，得，得 vr sinr r 体积元素为体积元素为 ddrdrdvsin2 O r sinrr sinr r 为轴的圆锥面为轴的圆锥面 dvzyxf),(球面坐标系下球面坐标系下三重积分为三重积分为 (f,cossin r,sinsin r)cos r ddrdr sin2 如
14、何化为三次积分？如何化为三次积分？一般的，先确定一般的，先确定的的 ，再，再 ，最后，最后r 积分时，先积积分时，先积 ，再积，再积 ，最后积，最后积r 例例7将三重积分将三重积分 化为球面坐标下三次积分化为球面坐标下三次积分解解drrrrrf sin)cos,sinsin,cossin(220 0d 20ddvzyxf),(所所围围0,4,1:)2(2222 zyxzyxz 20 d.4:)1(222 zyx 20ddrrrrrf sin)cos,sinsin,cossin(221 xzy2 xzy所所围围22222,1)1(:)3(yxzzyx 40 d 20ddrrrrrf sin)cos,sinsin,cossin(2cos20 xozy114 例例6.)(3,1:,12222222222yxzyxzdvzyxzyx 解解 46 d 20d)32ln273432(xozy16 4 drrrr sin)1(2cos102
