1、第一章第一章 极限和连续极限和连续（一）（一）数列的极限数列的极限1.1.数列数列 12:,1 2 32 4 622 3 41nnnxx xxxnnn数列常表示为其中称为数列的通项。例如：，；，单调数列：为单调增数列，则称若nnnxxxn1,为单调减数列，则称若nnnxxxn1,有界数列：MxnMn有使得若,01.1 极限极限2.数列的极限数列的极限如果当n 无限增大时,xn 无限地接近于常数 a,那末称 a 为数列xn的极限。lim()nnnxaxan 记作：或表示 n 很大时，xn 几乎都凝聚在点 a 的近旁。数列极限的几何解释lim00nnnxaNnNxa，当时，总有有极限的数列称为收敛
2、数列，反之称为发散数列。()a-n Na+a定理2（有界性）收敛数列必有界()AB(二二)收敛数列的性质收敛数列的性质定理1（唯一性）若数列xn收敛，则其极限值唯一。3(lim0(0)0(0)nnnnxaaaNnNxx定理保号性)若且或则必存在，当时恒有或0(0)lim0(0)nnnnxxxaaa推论：若或且，则或0a()极限存在准则极限存在准则准则1.单调有界数列必有极限。有界是数列收敛的必要条件，单调有界是数列收敛的充分条件。11.(1)nn例 数列的极限存在。1lim(1)2,7182818nnen2.(),xyznnn准则夹逼准则 设有三个数列满足条件：2)lim,limnnnnyaz
3、alimnnnxxa那么数列的极限存在，且1)(1,2,)nnnyxzn2.limlimnnnnxAaA推论若，则 极限运算法则极限运算法则1.limlimlim()nnnnnnnxAyBxyAB法则若，则2.limlimlim()nnnnnnnxAyBxyA B法则若，则3.limlim0limnnnnnnnxAxAyBByB法则若，且，则1.limlimnnnnxAccxcA推论若，为常数，则1231231.111(1)248(1)0.90.990.999xxxxxx 例 求下列数列的极限：，；，。32322232.234112(1)lim(2)lim3521111(3)lim1 22 3
4、3 4(1)1(2)lim(sin!)32nnnnnnnnnnnnnnnn例求下列数列的极限：；。（三）（三）函数的极限函数的极限 lim()()()xf xAf xAx 或lim()()()xf xAf xAx或1.1.当当 x 时函数的极限时函数的极限(1)定义 对于函数 f(x)，如果当 x 时，f(x)无限趋近于常数A，则称A为函数 f(x)当 x 时的极限，记为：(3)定义 对于函数 f(x)，如果当 x-时，f(x)无限趋近于常数A，则称A为函数 f(x)当 x-时的极限，记为：lim()()()xf xAf xAx 或(2)定义 对于函数 f(x)，如果当 x+时，f(x)无限趋
5、近于常数A，则称A为函数 f(x)当 x+时的极限，记为：无极限举例：均存在且相等。及存在的充要条件是定理)(lim)(lim )(lim.xfxfxfxxx1()f xx，()sinf xx，xxfarctan)(12.lim(1)1xx例；1lim(1)1xx；lim(1)1xxe2.当当 x x0 时函数的极限时函数的极限00lim()()()xxf xAf xA xx或(1)定义 对于函数 f(x)，如果当 x 无限地趋近于 x0 时，函数 f(x)无限地趋近于一个常数A，则称A为函数 f(x)当 x x0时的极限，记为：00lim()()()xxf xAf xA xx或00lim()
6、()()xxf xAf xA xx或(3)定义 对于函数 f(x)，如果当 x 从x0右边无限地趋近于 x0 时，函数 f(x)无限地趋近于一个常数A，则称A为函数 f(x)当 x x0时的右极限，记为：(2)定义 对于函数 f(x)，如果当 x 从x0左边无限地趋近于 x0 时，函数 f(x)无限地趋近于一个常数A，则称A为函数 f(x)当 x x0时的左极限，记为：11213.()021xxf xx例讨论函数在处是否有极限。?1212lim)(lim1100 xxxxxf解：=1?110021lim()lim121xxxxf x110021lim()lim121xxxxf x，0002.l
7、im()lim()lim()xxxxxxf xf xf x定理存在，均存在且相等。0lim()xf x不存在。104.()00010 xxf xxxxx，例讨论函数，在处是否有极限。，00lim()lim(1)1xxf xx解：，00lim()lim(1)1xxf xx ，00lim()lim()xxf xf x，0lim()xf x不存在。无极限举例：在讨论分段函数的分割点的极限时，一定要考虑左、右极限。11)()0f xxx，2)()0 xf xxx，13)()sin0f xxx，14)()arctan0f xxx，(四四)函数极限的性质函数极限的性质004()lim()0(0)()0()
8、0)xxf xAAAxf xf x定理保号性 若且或，则在点的某个邻域内，有或。0()0()0)lim()0(0)xxf xf xf xAAA推论：若或且，则或。03()lim()xxf x定理唯一性 若存在，则极限值必唯一。000005()()()()()()()()lim()lim()lim()xxxxxxf xg xh xxxg xf xh xg xh xAf xA定理夹逼定理 设函数，在点的某个邻域内可除外 满足条件：且有，则。002.lim()lim()nnxxxxf xAf xA推论若，则 极限运算法则极限运算法则0001.lim()lim()lim()()xxxxxxf xAg
9、xBf xg xAB法则若，则0002.lim()lim()lim()()xxxxxxf xAg xBf xg xA B法则若，则0003.lim()lim()0()lim()xxxxxxf xAg xBBf xAg xB法则若，且，则001.lim()lim()xxxxf xAccf xcA推论若，为常数，则21313.lim1xxxx例计算215.lim1nxxxxnx例计算3x-8134.lim2xx例计算0116.limnxxx例计算4222)1(nnn1“0”是作为无穷小的唯一的常数。(五五)无穷小无穷小(量量)和和(无穷大量无穷大量)1.1.无穷小无穷小(量量)定义：极限为零的数列
10、和函数称为无穷小。为无穷小。，则称数列如果nnnxx0lim时的无穷小。为，则称函数如果xxfxfx)(0)(lim时的无穷小。为，则称函数如果0)(0)(lim0 xxxfxfxx。为小为了讨论方便，记无穷0lim1210uu定理若 为无穷大，则为无穷小，若为无穷小且，则为无穷大。定义：绝对值无限增大的数列或函数称为无穷大。2.无穷大无穷大()limlim0uAuA定理1 极限与无穷小的关系的充要条件是，其中。3.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系定理2.设 为无穷小，u 有界，则 u 也是无穷小。推论1.常数乘以无穷小仍是无穷小。推论2.无穷小乘以无穷小仍是无穷小。推论.有限个无穷小
11、的代数和仍为无穷小。有限个无穷小的乘积仍是无穷小。3.limuAu推论若为无穷小，则也为无穷小lim(0)uA Au若 为无穷小，则也为无穷小。定理1.设 和 为无穷小，则 也是无穷小4.4.无穷小无穷小(量量)的基本性质的基本性质1.1.两个重要极限两个重要极限1sinlim10 xxx：重要极限(六六)两个重要极限两个重要极限12lim(1)xxex重要极限：，10lim(1)xxxe201 cos8.limxxx例求21)22sin(21lim2sin2limcos1lim2022020 xxxxxxxxx解：22cos222sinlim2tanlim00 xxxxxxx解：0tan27
12、.limxxx例求329.lim(1)xxx例求23223)21(211lim)21(limexxxxxxx解：2110.lim()21xxxx例求1 e()lim()1()lim()1lim()lim()g xf xg xf xg xf xe 设，且，则0ln(1)12.limxxx例求21011.lim(cos)xxx例求2011lim(cos1)2xxxee 解：原式1ln)1ln(lim10exxx解：原式1ln(1)00 xetxtxt 解：令，则，当时，0113.limxxex例求1)1ln(lim1lim00ttxetxx3000sin1coslim1 lim0 limxxxxx
13、xxxx 而，两个无穷小的商实际反映了在变化过程中趋于零的速度快慢程度。为此引入定义等都是无穷小。时例如：当3,cos1,sin,0 xxxxx两个无穷小的代数和、积仍为无穷小，那么两个无穷小的商会是什么呢？2.无穷小的比较无穷小的比较lim(0)kc ck如，称为 的 阶无穷小。1.lim0 lim0定义 设，lim0()如，则称为 的高阶无穷小，记作，或称为 的低阶无穷小。lim(0)()c cO如，则称为 的同阶无穷小，记作。lim1特别当，则称为 的等价无穷小，记作。3.无穷小的主部无穷小的主部21115.sinnnnn例 问当时，是 的几阶无穷小？2.()lim0()()定义给定无穷
14、小，若存在无穷小，使得为 的高阶无穷小，即或，则称为的主部，此时。.等价无穷小的代换定理等价无穷小的代换定理.limlimlim定理1 如果、均为无穷小，且存在，则。2.lim0定理如果、为无穷小，且，则。当 x 0 时，常见的等价无穷小xxxxxxxxarctan,tan,arcsin,sin21cos,ln(1),12xxxxx ex1ln,11,(1)1xnxaxaxxxn0ln(1)14.limsinxxx例求201 cos15.lim(1)ln(1 tan)xxxex例求20sincos116.limtanxxxxx例求1411 1.2 函数的连续性函数的连续性000lim0lim(
15、)()xxxyf xf x 连续的等价定义：连续的三个要素：(一一)函数连续的概念函数连续的概念定义1设函数 f(x)在点 x0 的某个邻域内有定义,如果当自变量增量 x 趋于零时，对应的函数增量y=f(x0+x)f(x0)也趋于零，那末称函数 f(x)在 x0 处连续。f(x)在 x0 点处有定义、有极限、极限值等于函数值。1.函数在函数在点 x0 处连续处连续定理1.函数 f(x)在点 x0 处连续的充要条件是：函数 f(x)在点 x0 处既左连续又右连续。)()()()0(0000 xfxfxfxf或即)()(lim00 xfxfxx左连续：左、右连续)()(lim00 xfxfxx右连
16、续：)()()()0(0000 xfxfxfxf或即如果 f(x)在(a,b)内任意一点连续，则称 f(x)在(a,b)上连续，或称 f(x)为(a,b)上的连续函数。如果 f(x)在(a,b)上连续，且在 x=a 处右连续，在 x=b 处左连续，则称 f(x)在 a,b 上连续。1sin01.()000 xxf xxxx，例讨论函数，在处的连续性。，2.函数在区间函数在区间a,b 上连续上连续3.函数的间断点函数的间断点间断点的常见类型如果函数 f(x)在 x0 处不 连续(即连续的三个要素中有一个不满足)，那末称 f(x)在 x0 处间断。处在111)(xxxf处在00,00,1sin)(
17、xxxxxf无穷间断点震荡间断点左、右极限均存在的间断点,称为第一类间断点，其余的间断点,称为第二类间断点。处在0,0,00,1arctan)(xxxxxf处在0,sin)(xxxxf跳跃间断点可去间断点1112.()111011xxf xxxxxx 例设，问，是否为间断点？若是，确定其类型。1103.()1000 xxfxexx，例设，问是 否 为 间 断 点？若 是，确 定 其 类 型。(二二)函数在一点处连续的性质函数在一点处连续的性质处也连续。在点此时设那么处均连续在点如果函数定理000)0)()()(,)()(,)()(,)(,)(.2xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf处连续。
18、点在处连续，那么复合函数在处连续在点如果函数定理00000)()()(,)(.3xxfyxuuufyxxu定理4.如果函数 y=f(x)在某个区间上严格单调增(或降)且连续，那末它的反函数 x=(y)在对应的区间上也严格单调增(或降)且连续。推论：闭区间上的连续函数是有界函数。定理5.(最大值、最小值定理)(三三)闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。闭区间上连续的函数至少取得最大值，最小值各一次。定理 6.(介值定理)推论(零值定理)如果 f(x)在 a,b 上连续，且 f(a)f(b)0,那末在开区间(a,b)内至少存在一点，使得f()=0(a b)。闭区间上连续的函数可取得介于最值之间的任意值。4.lg10(2,3)xx 例证明方程在区间内至少有一根。5.()0,1(0)(1)0(01)(01)()()f xffllffl 例 已知在上非负连续，且，证明：对于任意一个实数必存在实数，使得。()()()F xf xf xl证：作函数，(0)(0)()()0(1)(1)(1)(1)0Fff lf lFlflffl，()00(1)01f lfll 若，则取；若，则取。()0(1)0011()0()()f lfllFffl 若，则由介值定理知：，即。
