1、小专题复习课（三）数列、不等式、推理与证明热热 点点 聚聚 焦焦考考 情情 播播 报报热点一：等差热点一：等差数列与等比数数列与等比数列的基本计算列的基本计算1.1.主要考查利用等差数列、等比数列的通项公式、主要考查利用等差数列、等比数列的通项公式、前前n n项和公式进行基本运算，考查解方程项和公式进行基本运算，考查解方程(组组)思想方思想方法的应用法的应用2.2.试题以选择题、填空题的形式出现，难度中低档试题以选择题、填空题的形式出现，难度中低档热点二：等差热点二：等差数列与等比数数列与等比数列的性质及应列的性质及应用用1.1.主要考查利用等差数列、等比数列的性质解决有主要考查利用等差数列、
2、等比数列的性质解决有关的计算问题关的计算问题2.2.试题为选择题、填空题，命题角度新颖、灵活，试题为选择题、填空题，命题角度新颖、灵活，经常与其他知识交汇在一起，难度中等经常与其他知识交汇在一起，难度中等热点聚焦热点聚焦考情播报考情播报热点三：热点三：数列的通数列的通项与求和项与求和问题问题1.1.主要考查利用累加法、累乘法、构造法等求数列的主要考查利用累加法、累乘法、构造法等求数列的通项公式以及利用公式法、错位相减法、裂项求和法、通项公式以及利用公式法、错位相减法、裂项求和法、分组转化法等求数列的前分组转化法等求数列的前n n项和项和2.2.试题主要以解答题的形式出现，考查学生的运算能试题主
3、要以解答题的形式出现，考查学生的运算能力，难度中等力，难度中等热点四：热点四：一元二次一元二次不等式的不等式的解法解法1.1.主要考查一元二次不等式的解法，多与集合运算、主要考查一元二次不等式的解法，多与集合运算、求函数定义域、用导数求单调区间等融合在一起命题求函数定义域、用导数求单调区间等融合在一起命题2.2.试题一般以选择题、填空题形式出现，难度不大，试题一般以选择题、填空题形式出现，难度不大，属于基础题属于基础题热点聚焦热点聚焦考情播报考情播报热点五：热点五：平面区域平面区域与线性规与线性规划问题划问题1.1.一是考查平面区域，多与判断区域形状、面积计算、几一是考查平面区域，多与判断区域
4、形状、面积计算、几何概型求解、函数图象应用等交汇在一起，题目灵活多变；何概型求解、函数图象应用等交汇在一起，题目灵活多变；二是考查线性规划问题，多为线性目标函数，还会涉及距二是考查线性规划问题，多为线性目标函数，还会涉及距离、斜率等非线性模型，有时还可与平面向量联系离、斜率等非线性模型，有时还可与平面向量联系2.2.该考点试题主要是选择题、填空题，以考查基础知识为该考点试题主要是选择题、填空题，以考查基础知识为主，难度为中低档主，难度为中低档热点六：热点六：基本不等基本不等式的应用式的应用1.1.通常有两种考查形式：一是与命题真假判断、充分必要通常有两种考查形式：一是与命题真假判断、充分必要条
5、件判断等交汇在一起，考查对基本不等式成立条件的理条件判断等交汇在一起，考查对基本不等式成立条件的理解；二是考查用基本不等式求最值，求取值范围，求解恒解；二是考查用基本不等式求最值，求取值范围，求解恒成立问题等成立问题等2.2.试题多以选择题、填空题形式出现，主要考查学生灵活试题多以选择题、填空题形式出现，主要考查学生灵活运用知识的能力，属于中低档试题运用知识的能力，属于中低档试题热点聚焦热点聚焦考情播报考情播报热点七：热点七：归纳推理归纳推理与类比推与类比推理理1.1.以考查归纳推理为主，兼考查类比推理，通以考查归纳推理为主，兼考查类比推理，通常是根据已有结论推得一般结论常是根据已有结论推得一
6、般结论2.2.试题以选择题、填空题为主，考查学生观察、试题以选择题、填空题为主，考查学生观察、分析、归纳问题的能力，属于基础题分析、归纳问题的能力，属于基础题热点一热点一 等差数列与等比数列的基本计算等差数列与等比数列的基本计算1.(20131.(2013海口模拟海口模拟)若数列若数列aan n 是等差数列，且是等差数列，且a a6 6=-2 013,=-2 013,a a1313=-2 013,S=-2 013,Sn n是是aan n 的前的前n n项和，则项和，则S Sn n()()(A)(A)必大于零必大于零(B)(B)必小于零必小于零(C)(C)必等于零必等于零(D)(D)无法确定与零
7、的大小关系无法确定与零的大小关系【解析】【解析】选选B.B.由已知可得该等差数列的公差为由已知可得该等差数列的公差为0 0，是常数列，是常数列，故故S Sn n=-2 013n,=-2 013n,必有必有S Sn n0.00，因此，因此q q454500，从而，从而q0q0，即正确即正确.其余命题均错误，如当其余命题均错误，如当 时满足题意，时满足题意，但数列但数列aan n 的各项全为负数，故和均错；当的各项全为负数，故和均错；当时满足题意，故错误时满足题意，故错误.答案答案:1a2,q1 1a2,q1热点二热点二 等差数列与等比数列的性质及应用等差数列与等比数列的性质及应用1.1.在各项均
8、为正数的等比数列在各项均为正数的等比数列aan n 中，中，则下列结则下列结论中正确的是论中正确的是()()(A)(A)数列数列aan n 是递增数列是递增数列(B)(B)数列数列aan n 是递减数列是递减数列(C)(C)数列数列aan n 是常数列是常数列(D)(D)数列数列aan n 有可能是递增数列也有可能是递减数列有可能是递增数列也有可能是递减数列486aa2a，【解析】【解析】选选C.C.因为因为aan n 各项均为正数，所以各项均为正数，所以a a4 4+a+a8 8 因此因此 而已知而已知 所以只能有所以只能有a a4 4+a+a8 8=2a=2a6 6，这时，这时a a4 4
9、=a=a8 8，数列，数列aan n 是常数列是常数列.482 a a2662 a2a，486aa2a，486aa2a，2.(20132.(2013珠海模拟珠海模拟)已知各项均不为零的等差数列已知各项均不为零的等差数列aan n 满足：满足：数列数列bbn n 是各项均为正值的等比数列，且是各项均为正值的等比数列，且b b7 7=a=a7 7,则则 等于等于()()【解析】【解析】选选A.A.由由 可得可得 所以所以 于是于是 于是于是22712aaa0,66410tan(b b)3(A)3 (B)3 (C)3 (D)322712aaa066272127a(aa)2a,66g7a3，7b.34
10、107tan(b b)tan btan3.33.(20133.(2013聊城模拟聊城模拟)已知等差数列已知等差数列aan n 的公差为的公差为2 2，项数是偶，项数是偶数，所有奇数项之和为数，所有奇数项之和为1515，所有偶数项之和为，所有偶数项之和为3535，则这个数，则这个数列的项数为列的项数为_._.【解析】【解析】设项数为设项数为n n，依题意有，依题意有 解得解得n=20.n=20.答案答案:2020n35 152,2热点三热点三 数列的通项与求和问题数列的通项与求和问题1.(20131.(2013厦门模拟厦门模拟)已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=3,a=3,an+
11、1n+1-6a-6an n=3=3n+1n+1(nN(nN*),),则数列则数列aan n 的通项公式为的通项公式为()()(A)a(A)an n=6=6n n-3-3n n (B)a(B)an n=6=6n n(C)a(C)an n=3=3n n (D)a(D)an n=6=6n-1n-1-3-3n-1n-1【解析】【解析】选选A.A.由已知可得由已知可得即即 即数列即数列 是等比数列，是等比数列，其首项为其首项为 公比为公比为2,2,所以所以 故故a an n=6=6n n-3-3n n.n 1nn 1naa2133g，n 1nn 1naa12(1),33 nna13312,3 n 1nn
12、na12 223，2.(20132.(2013济宁模拟济宁模拟)已知数列已知数列aan n 是首项为是首项为2 2，公差为，公差为1 1的等差的等差数列，数列，bbn n 是首项为是首项为1 1，公比为，公比为2 2的等比数列，则数列的等比数列，则数列的前的前1010项的和等于项的和等于()()(A)511 (B)512 (C)1 023 (D)1 013(A)511 (B)512 (C)1 023 (D)1 013【解析】【解析】选选D.D.依题意可得依题意可得a an n=2+(n-1)=2+(n-1)1=n+1,1=n+1,b bn n=1=12 2n-1n-1=2=2n-1n-1,于是
13、于是因此因此其前其前1010项之和为项之和为nnabba nnn 1n 1 1nbaa21,b22,nnnn 1n 1abba2(21)21,101012S101 013.123.(20133.(2013太原模拟太原模拟)已知数列已知数列aan n 是各项均不为是各项均不为0 0的等差数的等差数列，公差为列，公差为d,Sd,Sn n为其前为其前n n项和，且满足项和，且满足a an n2 2=S=S2n-12n-1(nN(nN*).).数列数列bbn n 满足满足 T Tn n为数列为数列bbn n 的前的前n n项和项和.(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式和的通项公式和T Tn
14、n.(2)(2)是否存在正整数是否存在正整数m,n(1mn)m,n(1m0+4m+10，又又mNmN*，且，且m1,m1,所以所以m=2,m=2,此时此时n=12.n=12.因此，当且仅当因此，当且仅当m=2,n=12m=2,n=12时，时，T T1 1，T Tm m,T,Tn n成等比数列成等比数列.22mn,4m4m16n32232m4m10,nm661m1.22 方法二：因为方法二：因为故故 即即2m2m2 2-4m-10,-4m-10,(以下同方法一以下同方法一)n11,36n366n22m14m4m16，661m1.22 热点四热点四 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法1.1.
15、已知函数已知函数 图象经过点图象经过点 则函数的则函数的定义域为定义域为()()2f x2x3xa，(1,3)，1(A)(,2,)21(B)(,2,)21(C),221(D)2,2 UU【解析】【解析】选选A.A.由已知可得由已知可得 即即所以所以a=-2a=-2，即即 要使函数有意义，应满足要使函数有意义，应满足2x2x2 2-3x-20-3x-20，解得解得 或或x2.x2.f(1)3，5a3，2f(x)2x3x2.1x2 2.2.已知函数已知函数 则不等式则不等式f(x)xf(x)x2 2的解集是的解集是()()(A)(A)-1-1，1 1 (B)(B)-2-2，2 2(C)(C)-2-
16、2，1 1 (D)(D)-1-1，2 2【解析】【解析】选选A.A.由由 得得-1x0;-1x0;由由 得得0 x100-kx+k-10对对x(1,2)x(1,2)恒成恒成立，则实数立，则实数k k的取值范围是的取值范围是_._.【解析】【解析】不等式可化为不等式可化为x x2 2-1k(x-1),-1k(x-1),由于由于x(1,2)x(1,2)，所以，所以x-10,x-10,于是于是x+1kx+1k，当，当x(1,2)x(1,2)时，时，x+1(2,3)x+1(2,3)，因此，因此k k的的取值范围是取值范围是k2.k2.答案答案:k2 k2 热点五热点五 平面区域与线性规划问题平面区域与
17、线性规划问题1.(20131.(2013浙江模拟浙江模拟)已知变量已知变量x,yx,y满足约束条件满足约束条件则则z=3x+yz=3x+y的最小值为的最小值为()()(A)12 (B)11 (C)8 (D)-1(A)12 (B)11 (C)8 (D)-1【解析】【解析】选选C.C.画出可行域画出可行域(如图如图)，而而y=-3x+z,y=-3x+z,所以当直线所以当直线y=-3x+zy=-3x+z经过点经过点A(2A(2，2)2)时，时，z z取最小值，最小值取最小值，最小值z=8.z=8.x2,xy4,xy1,2.2.已知实数已知实数x x，y y满足满足 如果目标函数如果目标函数z zx-
18、yx-y的最小的最小值为值为-1-1，则实数，则实数m m等于等于()()(A)7 (B)5 (C)4 (D)3(A)7 (B)5 (C)4 (D)3y1y2x 1xym.，【解析】【解析】选选B.B.画出可行域如图中阴影部分，画出可行域如图中阴影部分，由题意知，由题意知，当当(x(x，y)y)在点在点A A处时取得最小值处时取得最小值.由由 得得因此因此 所以所以m m5.5.y2x 1yxm，m 1 2m 1A().33，m 12m 1133，3.(20133.(2013潍坊模拟潍坊模拟)如果直线如果直线2ax-by+14=0(a0,b0)2ax-by+14=0(a0,b0)和函数和函数f
19、(x)=mf(x)=mx+1x+1+1(m0,m1)+1(m0,m1)的图象恒过同一个定点，且该定点始的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆终落在圆(x-a+1)(x-a+1)2 2+(y+b-2)+(y+b-2)2 2=25=25的内部或圆上，那么的内部或圆上，那么 的取的取值范围是值范围是_._.ba【解析】【解析】函数函数f(x)=mf(x)=mx+1x+1+1+1的图象经过定点的图象经过定点(-1,2)(-1,2)，所以直线，所以直线2ax-by+14=02ax-by+14=0也经过点也经过点(-1,2)(-1,2)，于是，于是-2a-2b+14=0-2a-2b+14=0，即，即a+
20、b=7.a+b=7.又点又点(-1,2)(-1,2)在圆在圆(x-a+1)(x-a+1)2 2+(y+b-2)+(y+b-2)2 2=25=25的内部或圆上，所以的内部或圆上，所以a a2 2+b+b2 22525，故点，故点P(a,b)P(a,b)在直线在直线x+y=7x+y=7和圆和圆x x2 2+y+y2 2=25=25相交形成相交形成的弦的弦MNMN上，其中上，其中M(3,4),N(4,3)M(3,4),N(4,3)，而，而 表示点表示点P P与原点的斜率，与原点的斜率，所以所以 即即答案答案:ba3b4.4a33 4,4 3ONOMbkka，热点六热点六 基本不等式的应用基本不等式的
21、应用1.(20131.(2013郑州模拟郑州模拟)已知角已知角的终边上有一点的终边上有一点则则tan tan 的最小值为的最小值为()()【解析】【解析】选选B.B.依题意知依题意知 由于由于t0,t0,所以所以 当且仅当当且仅当 即即 时，时，tan tan 取最取最小值小值1.1.21P(t,t)t04，1(A)(B)1 (C)2 (D)2221t14tan tt4t ，11t2 t14t4tg，1t4t，1t22.(20132.(2013温州模拟温州模拟)已知函数已知函数 有最大值有最大值-4-4，则则a a的值为的值为()()(A)1 (B)-1 (C)4 (D)-4(A)1 (B)-
22、1 (C)4 (D)-4【解析】【解析】选选B.B.由于由于当当 即即x=2x=2时，时，取得最小值取得最小值4 4，而函数而函数 有最大值有最大值-4-4，所以，所以a=-1.a=-1.2axy(x1)x122x(x1)2(x1)1x1x111(x1)22(x1)24,x1x1g1x1x1，2xx12axy(x1)x13.(20133.(2013宝鸡模拟宝鸡模拟)“)“蛟龙号蛟龙号”载人潜水器是我国首台自主载人潜水器是我国首台自主设计、自主集成研制的作业型深海载人潜水器设计、自主集成研制的作业型深海载人潜水器.设计最大下潜设计最大下潜深度为深度为7 0007 000米米.6.6月月2424日
23、，日，“蛟龙号蛟龙号”载人潜水器载人潜水器7 0007 000米海米海试在西太平洋马里亚纳海沟进行了第四次下潜试验试在西太平洋马里亚纳海沟进行了第四次下潜试验.“.“蛟龙号蛟龙号”如果按照预计下潜的深度如果按照预计下潜的深度s(s(米米)与时间与时间t(t(分钟分钟)之间的关系满之间的关系满足关系式为足关系式为s=0.2ts=0.2t2 2-14t+2 000-14t+2 000，则平均速度的最小值是，则平均速度的最小值是_米米/分钟分钟.【解析】【解析】平均速度为平均速度为当且仅当当且仅当 即即t=100t=100分钟时，分钟时，v(t)v(t)取得最小值取得最小值.答案答案:26 26 2
24、s0.2t14t2 000v(t)tt2 0002 0000.2t142 0.2t14ttg2 0000.2tt，2 20 1426/,米 分钟热点七热点七 归纳推理与类比推理归纳推理与类比推理1.(20131.(2013合肥模拟合肥模拟)已知已知x x，yZ,nNyZ,nN*,设设f(n)f(n)是不等式组是不等式组 表示的平面区域内可行解的个数，归纳推理表示的平面区域内可行解的个数，归纳推理f(n)=_.f(n)=_.【解析】【解析】当当n=1n=1时，时，f(1)=1f(1)=1；当；当n=2n=2时，时，f(2)=3f(2)=3；当；当n=3n=3时，时，f(3)=6f(3)=6；当；
25、当n=4n=4时，时，f(4)=10f(4)=10；，归纳可得，归纳可得答案答案:x10yxn ，n(n1)f(n).2n(n1)22.2.对于大于或等于对于大于或等于2 2的自然数的自然数m m的的3 3次方幂，作如下分解：次方幂，作如下分解：1 13 3=1,2=1,23 3=3+5=3+5，3 33 3=7+9+11=7+9+11，4 43 3=13+15+17+19=13+15+17+19，根据上述分解规律，若，根据上述分解规律，若m m3 3(mN(mN*)的的分解式中最小的数是分解式中最小的数是3131，则，则m m的值为的值为_._.【解析】【解析】由给出的几个分解式可得一般规律
26、为：由给出的几个分解式可得一般规律为：m m3 3(mN(mN*)的分的分解式中第解式中第1 1个数是个数是m(m-1)+1m(m-1)+1，令，令m(m-1)+1=31,m(m-1)+1=31,解得解得m=6.m=6.答案答案:6 63.3.问题问题“求方程求方程3 3x x+4+4x x=5=5x x的解的解”有如下的思路：有如下的思路：方程方程3 3x x+4+4x x=5=5x x可变为可变为考查函数考查函数 可知，可知，f(2)=1f(2)=1，且函数，且函数f(x)f(x)在在R R上上单调递减，所以原方程有唯一解单调递减，所以原方程有唯一解x=2.x=2.类比上述解法，可得到不等
27、式：类比上述解法，可得到不等式：x x6 6-(2x+3)(2x+3)-(2x+3)(2x+3)3 3-x-x2 2的解集是的解集是_._.xx34()()155，xx34f(x)()()55，【解析】【解析】将不等式化为将不等式化为x x6 6+x+x2 2(2x+3)(2x+3)3 3+(2x+3).+(2x+3).构造函数构造函数f(x)=xf(x)=x3 3+x+x，显然函数，显然函数f(x)f(x)在在R R上单调递增，上单调递增，而而f(xf(x2 2)f(2x+3)f(2x+3)，所以，所以x x2 22x+32x+3，解得，解得x3x3或或x-1.x-1.答案答案:(-,-1)(3,+)(-,-1)(3,+)结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End谢谢大家荣幸这一路，与你同行ItS An Honor To Walk With You All The Way
