1、23.3.3 学习目标学习目标 1.在理解相似三角形基本性质的在理解相似三角形基本性质的 基础上基础上, ,掌握相似三角形对应中线、掌握相似三角形对应中线、 对应高线、对应角平分线的比等对应高线、对应角平分线的比等 于相似比，周长的比等于相似比于相似比，周长的比等于相似比, , 面积的比等于相似比的平方。面积的比等于相似比的平方。 2.通过实践体会相似三角形的性通过实践体会相似三角形的性 质，会用性质解决相关的问题。质，会用性质解决相关的问题。 1.1.相似三角形有何特征？相似三角形有何特征？ （对应边成比例，对应角相等）（对应边成比例，对应角相等） 2.2.识别三角形相似的主要方法有识别三角
2、形相似的主要方法有 那些？那些？ 两个角对应相等的两个三角形相似。两个角对应相等的两个三角形相似。 两边对应成比例且夹角相等的两两边对应成比例且夹角相等的两 个三角形相似个三角形相似 。 三边对应成比例的两个三角形相似。三边对应成比例的两个三角形相似。 1.1.如图如图, ,ABC ABC, 相似比为相似比为K, AD、AD分别为分别为 ABC和和 ABC的高，的高， 求证求证：AD: AD=K A B C D A B C D 2.2.如图如图, ,ABC ABC, 相似比为相似比为K, AD、AD分别为分别为 ABC和和 ABC的中线，的中线， 求证求证：AD: AD=K C A B C D
3、 A B D 3.3.如图如图, ,ABC ABC, 相似比为相似比为K, AD、AD分别为分别为 ABC和和 ABC的角平分线，求证的角平分线，求证： AD: AD=K A B C D B A C D 4.4.如图如图, ,ABC ABC, 相似比为相似比为K,AD、AD分别为分别为 ABC和和 ABC的高，的高， 求证求证: ABC ： ： ABC的值 的值 A B C D A B C D 相似三角形性质相似三角形性质: 相似三角形对应高的比、对相似三角形对应高的比、对 应中线的比、对应角平分线的应中线的比、对应角平分线的 比、周长的比等于相似比。比、周长的比等于相似比。 相似三角形面积的
4、比等于相似三角形面积的比等于 相似比的平方。相似比的平方。 一、相似三角形的基本性质：一、相似三角形的基本性质： 对应边成比例，对应角相等对应边成比例，对应角相等 二、相似三角形的性质：二、相似三角形的性质： 相似三角形对应高的比、对应中线的相似三角形对应高的比、对应中线的 比、对应角平分线的比、周长的比等比、对应角平分线的比、周长的比等 于相似比。于相似比。 相似三角形面积的比等于相似比的平相似三角形面积的比等于相似比的平 方。方。 例例1 1：如图，：如图，ABCABC，它，它 们的周长分别是们的周长分别是60厘米和厘米和72厘米，厘米， 且且AB=15厘米，厘米，BC=24厘米。求：厘米
5、。求： BC、AC、AB、AC。 C B A C B A 例例2:2:有同一块三角形土地的甲有同一块三角形土地的甲、乙乙 两幅地图，比例尺分别为两幅地图，比例尺分别为1：200和和 1：500，求甲地图与乙地图的相似，求甲地图与乙地图的相似 比和面积比。比和面积比。 解解 因为因为甲、乙两幅地图都与这块三角形土地相似，甲、乙两幅地图都与这块三角形土地相似， 所以所以这两幅地图相似。这两幅地图相似。 设三角形土地的某一边长为设三角形土地的某一边长为m m， 甲地图的对应边为甲地图的对应边为a:200,a:200,乙地图的对应边为乙地图的对应边为a:500a:500， 所以这两幅地图相似比为所以这
6、两幅地图相似比为 a a 200 500 : = 5 2 所以所以 它们的面积比为它们的面积比为25：4 1 1. .相似三角形对应边的比为相似三角形对应边的比为 35 , , 那 么 相 似 比 为那 么 相 似 比 为 _,_,对应角的角平分对应角的角平分 线的比为线的比为_,_,对应边的对应边的 中线比为中线比为_，周长的周长的 比 为比 为 _,_, 面 积 的 比 为面 积 的 比 为 _。 35 35 35 925 35 2.2.两个相似三角形对应的中线两个相似三角形对应的中线 长分别是长分别是6cm和和18cm，若较，若较 大三角形的周长是大三角形的周长是42cm，面，面 积是积
7、是12cm2, ,则较小三角形的则较小三角形的 周长是周长是 cm，面积，面积 cm2。 14 4 3 3.3.把一个三角形变成和它相似的三角把一个三角形变成和它相似的三角 形，形， （1 1）如果边长扩大为原来的）如果边长扩大为原来的5倍，倍， 那么面积扩大为原来的那么面积扩大为原来的 倍。倍。 （2 2）如果面积扩大为原来的）如果面积扩大为原来的100倍，倍， 那么边长扩大为原来的那么边长扩大为原来的 倍。倍。 25 10 4.4.两个相似三角形的一对对应边分两个相似三角形的一对对应边分 别是别是35厘米和厘米和14 厘米，厘米， （1 1）它们的周长差）它们的周长差6060厘米，这两厘米
8、，这两 个三角形的周长分别是个三角形的周长分别是 。 （2 2）它们的面积之和是）它们的面积之和是58平方厘平方厘 米，这两个三角形的面积分别米，这两个三角形的面积分别 是是。 100厘米厘米、40厘米厘米 50平方厘米平方厘米、8平方厘米平方厘米 5. 如图如图, ,在在 ABCD中中, ,E是是AB上一上一 点点, ,AC与与DE相交于相交于F, ,AE:EB=1:2, , 求求AEF与与CDF的相似比的相似比. .若若AEF 的面积为的面积为5平方厘米平方厘米, ,求求CDF的面积。的面积。 B F E D C A 6. 求三角形的三条中位线所围成求三角形的三条中位线所围成 的三角形与原
9、三角形的面积的的三角形与原三角形的面积的 比比 如果把一个图形按如果把一个图形按 1 : 10 的比例的比例 缩小，那么缩小后的图形与原图缩小，那么缩小后的图形与原图 形的面积比是多少？形的面积比是多少？ 7.7.如图如图, ,在在ABC 中中, ,AD:DB=1:2,DEBC, ,若若ABC的的 面积为面积为9, ,求求S四边形 四边形DBCEDBCE A B C D E 8.8.如图，在如图，在 ABCD中，中，E为为AB延延 长线上一点，长线上一点，AB:AE=2:5, ,若若 S DFC=12cm2，求 ，求S S EFBEFB D A B C E F 9.9.如图，在如图，在 ABC
10、D 中中 AE:EB=1:2 , ,若若S AEF=6cm2，求 ，求 S CDF D A B C F E 10.10.在在ABC中中, ,C=90,D是是AC上上 一点一点, ,DEAB于于E, ,若若AB=10AB=10， BC=6,DE=2, ,求四边形求四边形DEBC的面积的面积 A B C D E 11.11.如图如图, ,ABC中中, , 点点D,E,F分别在边分别在边AB, BC , AC 上，上， DFBC,EFAB , , AF:FC=2 :3， S ABC=S， ， 求平行四边形求平行四边形BEFD 的面积。的面积。 A D E F B C 12.如图如图, ,ABCABC
11、是一是一 块锐角三角形余料块锐角三角形余料, , 边边BC=120BC=120毫米毫米, ,高高 AD=80AD=80毫米毫米, ,要把它要把它 加工成正方形零件加工成正方形零件, , 使正方形的一边在使正方形的一边在 BCBC上上, ,其余两个顶点其余两个顶点 分别在分别在ABAB、ACAC上上, ,这这 个正方形零件的边个正方形零件的边 长是多少？长是多少？ M P B N Q E D C A 解：设正方形解：设正方形PQMN是符合要求的，是符合要求的， ABC的高的高AD与与PN相交于点相交于点E。 设正方形设正方形PQMN的边长为的边长为x毫米。毫米。 因为因为MNBC，所以，所以AM
12、N ABC 所以所以 所以所以 AE AD = MN BC 48, 12080 80 x xx 解得 13.13.如图如图, ,ABC中中, ,BC=24, ,高高 AD=12, ,矩形矩形EFGH的两个顶点的两个顶点E、 F在在BC上上, ,另两个顶点另两个顶点G、H在在AC、 AB上上, ,且且EF:EH=4:3, ,求求EF、EH的长的长 A B C H E F G K D 14.14.如图，如图，D、E是是ABC的边的边AB、 AC上的点，且上的点，且ADE= C。 求证：求证：AD AB=AE AC。 BC A D E 15.如图，如图，D是是ABC的边的边BC上的点，上的点， 且且
13、ADB= BAC。 (1)(1)图中有相似的三角形吗？为什么？图中有相似的三角形吗？为什么？ (2)求证求证：AB2=BC BD。 BC A D 16.16.如图在梯形如图在梯形ABCD中中, ,ADBC, , A 90,BD DC, ,试问：试问：(1)请你猜想图请你猜想图 中有相似三角形吗？请写出来，并说明中有相似三角形吗？请写出来，并说明 理由。理由。 (2)如果如果CD 3，BC 5，你能求出，你能求出 哪些线段的长？哪些线段的长？ A D B C 17.17.如图已知如图已知1=2，若再增加一个，若再增加一个 条条 件能使结论件能使结论AB ED=AD BC成立，则这成立，则这 个条
14、件可以是个条件可以是_。 2 1 A C E B D 分析：分析：从角的角从角的角 度思考：度思考：D=B 或或AED=C 从边的角度思考从边的角度思考： AD:AB=AE:AC 18.18.如图，在如图，在RtABC中中, ,有正方形有正方形 DEFG,且且E、F在斜边在斜边BC上，上，D、G分分 别在别在AB、AC上上. .试说明：试说明：EF2=BE FC G F E D C B A 解：解： 四边形四边形DEFG是正方形是正方形 DEB=GFC=90, EF=DE=FG. 又又 B+C=90，B+BDE=90 BDE=C RtBED RtGFC BE DE FC GF = BE EF
15、FC EF = EF2=BE FC F E D C B A 19.19.如图，已知如图，已知 BAC=90,BD=DC, DEBC交交AC于于E, ,交交BA的延长的延长 线于线于F. .试说明：试说明：AD2=DE DF 由由AD2=DE DF，得，得 故只要说明故只要说明ADE FDA即可即可 分析：分析： AD DE AD DF = 点评：点评：证明乘积式时，可先将乘积式改为比例式，然后找相似三角形（或平行线）证明乘积式时，可先将乘积式改为比例式，然后找相似三角形（或平行线） 1.1.相似三角形相似三角形对应高的比对应高的比等于等于相似比相似比。 2.2.相似三角形相似三角形对应中线的比对应中线的比等于等于相似比相似比。 3.3.相似三角形相似三角形对应角平分线的比对应角平分线的比等于等于相相 似比似比。 相似三角形的性质：相似三角形的性质： 4.4.相似三角形相似三角形周长的比周长的比等于等于相似比相似比。 5.5.相似三角形相似三角形面积的比面积的比等于等于相似比的相似比的 平方平方。
