1、上节课的主要内容上节课的主要内容v弹性力学与材料力学、结构力学的关系弹性力学与材料力学、结构力学的关系v基本概念：体力、面力、应力及符号规则基本概念：体力、面力、应力及符号规则v基本方程和基本未知数基本方程和基本未知数v基本假设：连续性、完全弹性、均匀性、各基本假设：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性（理想弹性体）、小变形假定。向同性（理想弹性体）、小变形假定。第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 2.2 2.2 平衡微分方程平衡微分方程2.3 2.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态2.4 2.
2、4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移2.5 2.5 物理方程物理方程2.6 2.6 边界条件边界条件2.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用 2.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题2.9 2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程2.10 2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 v重点：理解两个平面问题的概念重点：理解两个平面问题的概念一、平面应力问题一、平面应力问题几何：等厚度薄板几何：等厚度薄板受力：平行于板平面且沿厚度方向均布受力：平行于板平面且沿
3、厚度方向均布(z无关无关)板面上自由板面上自由0222 tzzytzzxtzz 板很薄，外力沿厚度不变化，故：板很薄，外力沿厚度不变化，故：0 zyzxz 0 z 注意：注意：二、平面应变问题二、平面应变问题几何：等截面长柱体，几何：等截面长柱体，（z 方向无限长，任意截面为对称面）方向无限长，任意截面为对称面）受力：沿长度方向不变化受力：沿长度方向不变化0 w0 zyzx 0 z 注意：注意：0 z 平面应力、平面应变及板的比较平面应力、平面应变及板的比较v相同点：等厚度板，载荷沿厚度不变，按平相同点：等厚度板，载荷沿厚度不变，按平面问题处理，基本变量是面问题处理，基本变量是x和和y的函数。
4、的函数。v平面应变：一般厚度很厚，力作用在面内。平面应变：一般厚度很厚，力作用在面内。v平面应力：一般厚度很薄，力作用在面内。平面应力：一般厚度很薄，力作用在面内。v板：一般厚度很薄，力不作用在面内。板：一般厚度很薄，力不作用在面内。0 w0 z 0 z 注意：注意：0 z 0 z 注注意意：平面应力与平面应变平面应力与平面应变v梁的弯曲问题梁的弯曲问题v拦水大坝拦水大坝v带孔薄板的拉伸问题带孔薄板的拉伸问题xy2.2 2.2 平衡微分方程平衡微分方程单元体单元体P：（x，y）A：（x+dx，y）B：（x，y+dy）yx dyyyxyx dxxxx dxxxyxy xy x y dyyyy 弹
5、性力学分析：平衡方程、几何方程、物理方程弹性力学分析：平衡方程、几何方程、物理方程PABCxyfxfy平衡方程平衡方程 00yyxyxyxxfyxfyx 0 dxdyfdxdxdyydydydxxxyxyxyxxxx yx dyyyxyx dxxxx dxxxyxy xy x y dyyyy PABCxyfxfy本质：本质：x、y方向合力为零。方向合力为零。2.3 2.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态v一点的应力状态的概念一点的应力状态的概念受力构件内一点处不同方位截面应力的集合受力构件内一点处不同方位截面应力的集合.已知一点处的应力分量已知一点处的应力分量求任意斜截面上的
6、应力求任意斜截面上的应力记：记：xyyx，mynlxn ),cos(),cos(xyOPABpnpxpy n ny x xyyx微元体平衡微元体平衡xyOPABpnpxpy n ny x xyyx设：设：AB=dsldsBPmdsAP 02 mdsldsfmdsldsdspxyxxx mynlxn ),cos(),cos(ml sincosyxyyyxxxmlpmlp v斜截面上正应力斜截面上正应力v斜截面上切应力斜截面上切应力xyyxyxnlmmlmplp 2 22 xyxyxynmllmmplp )()(22 ml sincosyxyyyxxxmlpmlp xyOPABpnpxpy n n
7、y x xyyx v主应力：过主应力：过 P 点某一斜截面上剪力为零，则点某一斜截面上剪力为零，则该斜截面上的正应力称为该斜截面上的正应力称为P点的一个主应力。点的一个主应力。v应力主面：应力主面：主应力所在截面。主应力所在截面。v应力主向：应力主向：应力主面所在截面的法线方向应力主面所在截面的法线方向 即主应力方向。即主应力方向。确定主应力及应力主面位置确定主应力及应力主面位置v设应力主面存在，则该截面上只有正应力设应力主面存在，则该截面上只有正应力（主应力）记（主应力）记。xyOPABnpxpy y x xyyx mplpyx yxyyyxxxmlpmlp yxyyxxmlmmll 00
8、ml yxyxyx xxyxyymlml 0 yxyxyx 0-22特特征征方方程程）（）（xyyxyx yxyyxxmlmmll 2221)2(2xyyxyx 21 注注意意：yx 210 22 ）（）（xyyxyx 解得主应力：解得主应力：应力主方向的确定应力主方向的确定，则则轴轴方方向向夹夹角角为为与与设设11 x1111111cos)90cos(cossintanlm xyx 11tan，同同理理可可得得：轴轴方方向向夹夹角角为为与与设设22 xyxy 22tan例例外外）相相互互垂垂直直（与与2121 yxyxyxlm yx 21xxy 1确定一点处最大最小正应力确定一点处最大最小正
9、应力主应力就是一点处的最大最小正应力主应力就是一点处的最大最小正应力任任意意斜斜截截面面上上的的正正应应力力22122212221222)()1(2 lllmllmmlxyyxn21210 yxxyyx，的的主主方方向向，此此时时所所在在、应应力力轴轴分分别别放放在在已已确确定定的的主主轴轴、将将12 n确定一点处最大最小切应力确定一点处最大最小切应力2 2 21min21max 角角方方向向：与与应应力力主主向向成成45210 yxxyyx，轴，则轴，则轴、轴、同样设定同样设定)(2141)(1 )()()(12221221222 llllmmllmxyxyn最小值最小值时，剪应力取得最大、
10、时，剪应力取得最大、，即，即220l212 l任意斜截面上的切应力任意斜截面上的切应力结论结论yx 2111tanxxy 222nxyxylmlm22()()nyxxylmlm2221)2(2xyyxyx 主应力：主应力：主方向：主方向：12max 2 最大剪应力：最大剪应力：xyz3214767x 3y 4z 1xy 2yz 6zx 7161320624 37814403114478nn 1.8461.9271.9381.9391.9402(1.94)(1.9474.23)01237.701.949.64 111111716013206240lmn 1237.701.949.64 22211
11、11lmn0 zzyzxyzyyxxzxyx032213 III zyxI 12222zxyzxyxzzyyxI zzyzxyzyyxxzxyxI 3应力第一不变量：应力第一不变量：应力第二不变量：应力第二不变量：应力第三不变量：应力第三不变量：上节课的主要内容上节课的主要内容v平面应力、平面应变及板的概念平面应力、平面应变及板的概念v平衡微分方程平衡微分方程：00yyxyxyxxfyxfyx v一点的应力状态一点的应力状态xxyxyxyyplmplm222nxyxylmlm22()()nyxxylmlm2221)2(2xyyxyx 主应力：主应力：11tanxxy 主方向：主方向：2.4 2
12、.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移v几何方程几何方程形变分量与位移的关系形变分量与位移的关系PABxyOPABdxxvv dyyvv dxxuu dyyuu uvxPA 的的线线应应变变：xudxudxxuux )(，略略去去不不计计。的的伸伸缩缩是是高高一一阶阶的的微微量量引引起起的的PAvyvdyvdyyvvy )(同理：同理：dxxuu dyyvv dyyuu dxxvv PABxyOPABuvPA:dxPB:dy夹角的改变夹角的改变xvdxvdxxvv )(yu 同理：同理：yuxvxy P点的切应变点的切应变 xy：直角的改变。：直角的改变。dxxuu dyyvv dyyuu
13、dxxvv PABxyOPABuvyuxvyvxuxyyx ，几何方程：几何方程：已知位移求应变，已知位移求应变，完全确定。完全确定。已知应变求位移，已知应变求位移，不能完全确定。不能完全确定。时时当：当：0,0,0 xyyx 0 0 ，由几何方程由几何方程yvxu xfvyfu21 ，由第三式可得：由第三式可得：)()(21xfyfyuyfu 01)(xvxfv 02)(刚体位移不引起应变。刚体位移不引起应变。yuu 0 xvv 0u0：O沿沿x方向的刚体位移。方向的刚体位移。v0：O沿沿y方向的刚体位移。方向的刚体位移。xyOPP v-usincosuyvx yx sincos：绕：绕O转
14、过的角度。转过的角度。注意注意v刚体位移由约束条件确定，仅已知应变无法刚体位移由约束条件确定，仅已知应变无法完全确定位移。（积分常数问题）完全确定位移。（积分常数问题）v并非所有应变都是可能的应变！并非所有应变都是可能的应变！yuxvyvxuxyyx ，,xyxyu v2.5 2.5 物理方程物理方程v物理方程物理方程应变分量与应力分量间关系。应变分量与应力分量间关系。v理想弹性体理想弹性体Hooke定律定律 zxzxyxzzyzyzzxyyxyxyzyxxGEGEGE 1 )(11 )(11 )(1数数）：泊泊松松比比（侧侧向向收收缩缩系系：剪剪切切模模量量：拉拉压压弹弹性性模模量量；GE2
15、(1)EG 平面应力问题平面应力问题0 z 1)(1)(1xyxyxyyyxxGEE xyyxxyyxE )1(20001011)(yxzE xyyxxyyxE 2/)1(00010112 )1(2)(1)(122xyxyxyyyxxEEE 平面应变问题平面应变问题0 z 0)(1 yxzzE )(yxz 1)1()1(1)1()1(122xyxyxyyyxxGEE xyxyyxGEE 1)1(1)1(122 21 EE 1不变不变G212(1)2(1)1EEG 2.6 2.6 边界条件边界条件v边界条件：指边界上位移与约束或应力与面边界条件：指边界上位移与约束或应力与面力之间的关系。力之间的
16、关系。v可划分为：位移边界条件、应力边界条件和可划分为：位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。混合边界条件。一、位移边界条件一、位移边界条件特例：特例：已知）已知），（，)()()()(vusvvsuuss 0)(0)(ssvu，xyqq二、应力边界条件二、应力边界条件 )()()()(sfmlsfmlysyxyxsyxx y方向正面：方向正面：10 mlqyxy 0y方向负面：方向负面：10 mlqyxy 0 x方向正面：方向正面：01 mlx方向负面：方向负面：01 ml00 xxy 三、混合边界条件三、混合边界条件xyO00 xyu 特例：特例：01 ml )()(sfmluuysy
17、xy 注意：边界上任意点、任意方向上，位注意：边界上任意点、任意方向上，位移和面力条件只能给定一个，且必须给移和面力条件只能给定一个，且必须给定一个。定一个。上节课内容上节课内容v几何方程几何方程v物理方程物理方程v边界条件边界条件v圣维南原理圣维南原理2.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用 v作用于小区域的静力等效的不同力系，其影响作用于小区域的静力等效的不同力系，其影响主要集中在近处，而对远处的影响可忽略。主要集中在近处，而对远处的影响可忽略。FFF/2F/2F/2F/2F/AF/AF满足圣维南条件：满足圣维南条件：局部局部 静力等效静力等效xyx xy FSFNM Nhhl
18、xxFdy 2/2/ShhlxxyFdy 2/2/Mydyhhlxx 2/2/当一小部分边界条件不当一小部分边界条件不能精确满足时，可以应能精确满足时，可以应用圣维南原理，此时的用圣维南原理，此时的解不是精确解，而是圣解不是精确解，而是圣维南意义下的精确解。维南意义下的精确解。梁问题：上下面必须精确满足，两头可圣维南满足！梁问题：上下面必须精确满足，两头可圣维南满足！xylh/2h/2q1MFNFSqy=-h/2 y=-q xy=0y=h/2 y=0 xy=-q1x=lu=0 v=0 x=0/2/2hxNhdyF /2/2hxyShdyF /2/2hxhydyM xx 2/2/)2/(hhxM
19、dyhy bh2h1yx g位移边界条件：位移边界条件：2yh 时时0 0uv应力边界条件：应力边界条件：精确满足：精确满足：0,xb 时时1()xg hy 圣维南满足：圣维南满足：10bydxgbh 00bxydx 00byxdx 0y 时时0 xy 0(/2)0byxbdx 2.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题v结构力学求解超静定结构：结构力学求解超静定结构：位移法位移法、力法力法、混合法混合法v弹性力学求解问题：弹性力学求解问题：按位移求解按位移求解、按应力求按应力求解解、混合求解混合求解v位移解法位移解法以位移为基本未知量，将应力、以位移为基本未知量，将应力、应变用位移
20、表示应变用位移表示 )1(2)(1)(122xyxyxyyyxxEEE 位移表示的应力：位移表示的应力：yuxvyvxuxyyx 22,112(1)xyxyEuvEvuxyyxEvuxy 0)2121(10)2121(1222222222222yxfyxuxvyvEfyxvyuxuE 位移表示的平衡微分方程位移表示的平衡微分方程位移表示的应力边界条件位移表示的应力边界条件 ysxsfyuxvlxuyvmEfxvyumyvxulE21121122 0,0yxxyyxxyffxyxy 112，平平面面应应变变问问题题：EE解题步骤：解题步骤：v 求解位移表示的偏微分方程，使其满足求解位移表示的偏微
21、分方程，使其满足边界条件。边界条件。v 由求得的位移函数求应力。由求得的位移函数求应力。位移法：位移法：理论上适用于各种问题的求解，理论上适用于各种问题的求解，但由于微分方程复杂，很难找到解析解，但由于微分方程复杂，很难找到解析解，但在数值分析中有广泛应用。但在数值分析中有广泛应用。0)2121(10)2121(1222222222222yxfyxuxvyvEfyxvyuxuE xyhxyh(a)(b)g g设：设：=0，则：，则：u=0，v=v(y)022 gyvE BAyyEgv 22)(12)(1)(122yuxvExuyvEyvxuExyyx ）（，0 ,0 xyyxgyAE ，(a)
22、0)(0)(0 hyyyv B=0EghA/)2(2yhyEgv )(yhgy (b)0)(0)(0 hyyvvB=0EghA2 )(2yhyEgv )2(yhgy 一式自动满足。一式自动满足。2.9 2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程yuxvyvxuxyyx ，xvyuyxxyvyxuxyyx223232222 yxxyxyyx 22222相容方程相容方程:是否任意应力函数分布总可以是某种载荷下的解？是否任意应力函数分布总可以是某种载荷下的解？是是否否是是可可行行的的应应力力状状态态，例例：Gxyxyyx 0 ),(),(21xfvyfu 不成立不成立解：解：，x
23、yxyyx 0 yuxvyvxuxyyx ，xyxfyfxy )()(21 按应力求解，不仅需满足平衡方程，还按应力求解，不仅需满足平衡方程，还必须满足相容方程。必须满足相容方程。yxxyxyyx 22222100 相容方程相容方程0 ,4,22 xzyzzxyyxCxyzzCyzCx 1.下列两种应变状态中，下列两种应变状态中，是可能的应变状是可能的应变状态，态，是不可能的应变状态。是不可能的应变状态。A.B.0 ,2,)(222 xzyzzxyyxCxyzzCyzyxC yxxyxyyx 22222yxxyxyyx 22222 1 )(1 )(1xyxyxyyyxxGEE yxxyxyxy
24、yx 22222)1(2)()(00yyxyxyxxfyxfyx yfyyxxfxyxyyxyxxyx222222 协调方程：协调方程：yfxfyxyxyxyxxy 222222 yfxfyxyxyx)1()(2222 应力求解平面问题：应力求解平面问题：（1）在域内满足平衡方程和协调方程，）在域内满足平衡方程和协调方程，（2）在边界满足应力边界条件）在边界满足应力边界条件（3）对多连体，还必须满足位移单值条件。）对多连体，还必须满足位移单值条件。yxxyxyxyyx 22222)1(2)()(2.10 2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数 yfxfyxyxyx)1
25、()(2222 00yyxyxyxxfyxfyx 常体力情况常体力情况0)(2222 yxyx 0)(2 yx 拉普拉斯方程：（调和方程）拉普拉斯方程：（调和方程）0 ,xyyyxxyfxf 特解：特解：xfyfyxxyyx ,0 ,0特解：特解：0 0 yxyxyxyyxx ，xAyAxyx yBxBxyy yBxA xByA yxxyxyyx 22222 yxyfxx fyxyyyxx 22222 yxyfxx fyxyyyxx 22222 0 0 yyxyxyxxfyxfyx 满足满足0)(2222 yxyx 022222 yx024422444 yyxx 04 应力函数已使平衡方程得到
26、满足，需满足协调方应力函数已使平衡方程得到满足，需满足协调方程程 ，边界条件，多连通需满足单值条件。，边界条件，多连通需满足单值条件。04 常体力常体力3223423Fxyqxyycc 可解什么问题？可解什么问题？22332xFqxyyc 220yx 222314xyFyx ycc Fyxq22314ccSxyccFyFdydycc 3123FccFcx=0qx 总总 结结v平衡方程平衡方程v应力状态应力状态v几何方程几何方程v物理方程物理方程v边界条件边界条件 圣维南原理圣维南原理v位移解位移解v应力解应力解 相容方程相容方程 应力函数应力函数作业作业v29v2130 ,4,22 xzyzzxyyxCxyzzCyzCx 1.下列两种应变状态中，下列两种应变状态中，是可能的应变状是可能的应变状态，态，是不可能的应变状态。是不可能的应变状态。A.B.0 ,2,)(222 xzyzzxyyxCxyzzCyzyxC
