1、EXIT1/120 6.1 热力学基础知识6.1.1 热力学的物系6.1.2 完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学第一定律6.1.3 熵，热力学过程，热力学第二定律6.2 音速和马赫数6.2.1 弱扰动与强扰动6.2.2 微弱扰动传播过程与传播速度音速6.2.3 音速公式6.2.4 马赫数EXIT2/1206.3 高速一维定常流6.3.1 一维定常绝热流的能量方程6.3.2 一维定常绝热流参数间的基本关系式6.4 微弱扰动的传播区，马赫锥与马赫波6.4.1 微弱扰动的传播区，马赫锥6.4.2 马赫波满足的基本关系6.5 膨胀波6.5.1 壁面外折 6.5.2 超音速流绕外钝角膨胀的计算66
2、 激波6.6.1 正激波6.6.2 斜激波6.6.3 圆锥激波6.6.4 收敛扩张喷管在非设计状态下的工作EXIT3/120 热力学体系：和周围环境的其它物体划开的一个任意形态热力学体系：和周围环境的其它物体划开的一个任意形态的物质体系的物质体系（一）既无物质交换又无能量交往的，称为隔绝体系（一）既无物质交换又无能量交往的，称为隔绝体系（二）无物质交换，但有能量交换的，称为封闭体系（二）无物质交换，但有能量交换的，称为封闭体系（三）有物质交换，也有能量交换的，称为开口体系（三）有物质交换，也有能量交换的，称为开口体系 高速流中遇到的情况绝大多数属于隔绝体系和封闭体系。高速流中遇到的情况绝大多数
3、属于隔绝体系和封闭体系。经典热力学所处理的都是处于平衡状态下的物系。但在分经典热力学所处理的都是处于平衡状态下的物系。但在分析时我们也常用开口体系（控制体）。析时我们也常用开口体系（控制体）。EXIT4/1206.1.2 完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学第一定律完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学第一定律1、完全气体假设与状态方程、完全气体假设与状态方程完全气体：完全气体：气体分子直径远小于分子的平均自由程，且分子间不气体分子直径远小于分子的平均自由程，且分子间不存在引力仅为完全弹性碰撞的气体称为完全气体，空气可被假设存在引力仅为完全弹性碰撞的气体称为完全气体，空气可被假设为完全气
4、体。为完全气体。状态方程：状态方程：任何气体的压强、密度、绝对温度三者之间存在一定任何气体的压强、密度、绝对温度三者之间存在一定的关系，称为状态方程。对于完全气体的状态方程为：的关系，称为状态方程。对于完全气体的状态方程为：其中其中 R R 称为气体常数，空气的称为气体常数，空气的 R R=287.053 N.m/(kg.K=287.053 N.m/(kg.K)。RTpEXIT5/120在热力学中，常常引入另外一个代表热含量的参数在热力学中，常常引入另外一个代表热含量的参数 h h（焓）（焓）由于由于 表示单位质量流体所具有的压能，故表示单位质量流体所具有的压能，故焓焓 h h 表示单位质表示
5、单位质量流体所具有的内能和压能之和量流体所具有的内能和压能之和。puhp2、内能、焓、内能、焓 气体气体内能内能是指分子微观热运动（与温度有关）所包含的动能是指分子微观热运动（与温度有关）所包含的动能与分子之间存在引力而形成的位能之和。对于完全气体而言，分与分子之间存在引力而形成的位能之和。对于完全气体而言，分子之间无引力，单位质量气体的内能子之间无引力，单位质量气体的内能 u 仅仅决定于分子间的热运仅仅决定于分子间的热运动，是温度的函数。动，是温度的函数。6.1.2 完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学一定律完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学一定律EXIT6/1203.热力学热力学
6、第一定律第一定律 热力学第一定律是一条能量守恒定律。对一个封闭物系来热力学第一定律是一条能量守恒定律。对一个封闭物系来说，经过一步说，经过一步无限微小的可逆过程无限微小的可逆过程，由外界给物系的热量，由外界给物系的热量 dQ 必等于物系的内能增量必等于物系的内能增量 dU 和该物系对外界膨胀所作的功和该物系对外界膨胀所作的功 pdV 这二者之和这二者之和(这里这里V是体积是体积)，即：，即：这是静止物系的热力学第一定律的公式。上式两端同除以这是静止物系的热力学第一定律的公式。上式两端同除以物系的质量可得静止物系满足的单位质量能量方程物系的质量可得静止物系满足的单位质量能量方程：pdVdUdQ1
7、pddudq6.1.2 完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学一定律完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学一定律EXIT7/120密度的倒数就是单位质量的体积，即比容密度的倒数就是单位质量的体积，即比容 。单位质量的焓的微分是：单位质量的焓的微分是：从而静止物系单位质量的能量方程可用焓表为：从而静止物系单位质量的能量方程可用焓表为：一个物系的压强、密度和温度都是一个物系的压强、密度和温度都是状态函数状态函数或称或称点函数点函数 ，内能，内能和焓都是状态函数或函数。和焓都是状态函数或函数。1dppddudh11dpdhdq16.1.2 完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学一定律完全气体假
8、设与状态方程、内能和焓、热力学一定律EXIT8/1204.比热比热比热：单位质量气体每加热升高一度时所吸收的热量比热：单位质量气体每加热升高一度时所吸收的热量比热的大小与热力学过程有关比热的大小与热力学过程有关。由静止气体热力学第一定律：由静止气体热力学第一定律：定容过程的比热（定容过程的比热（c）和等压过程的比热（）和等压过程的比热（cp）:dTcduvdTcdhp1pddudqdpdhdq1dTducvppdTdhc6.1.2 完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学一定律完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学一定律EXIT9/120将比热关系和状态方程代入焓的表达将比热关系和状态方程代
9、入焓的表达 可得可得梅耶公式梅耶公式：采用完全气体模型，比热及比热比采用完全气体模型，比热及比热比 都是常数。完全气体的模都是常数。完全气体的模型只能用到型只能用到 M 数不太高的超音速流为止。对于数不太高的超音速流为止。对于 M 数很高的高数很高的高超音速流动，则必须计及气体的非完全性超音速流动，则必须计及气体的非完全性1pcR11vcR4.1vpcc puhRccvp常规状态下空气的比热比：常规状态下空气的比热比：6.1.2 完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学一定律完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学一定律EXIT10/120revBAABTdqsss1.熵熵熵是反映热能可利用部
10、分的指标，熵是反映热能可利用部分的指标，有意义的是熵增量。有意义的是熵增量。熵增量的定义是：系统经历可逆过程时的加热量与温度之比。熵增量的定义是：系统经历可逆过程时的加热量与温度之比。下标表示可逆：下标表示可逆：6.1.3 熵，热力学过程，热力学第二定律熵，热力学过程，热力学第二定律或：,revTdqdSdRTdTcdTpTduTdqdSvrev)1(熵是熵是状态参数状态参数，这是因为熵增可以写为全微分：，这是因为熵增可以写为全微分：pdpRTdTcdpdhTTdqdSprev)1(1EXIT11/120熵增量的表达还可写为（根据上述二式）熵增量的表达还可写为（根据上述二式）：CTp1pdcT
11、RdTpRddSvlnlnln111因此因此等熵等熵即：即：或：或：或：或：2Cp111CT6.1.3 熵，热力学过程，热力学第二定律熵，热力学过程，热力学第二定律EXIT12/1202.热力学过程热力学过程 系统可在各种条件下经历热力学过程从一种热力学状态变化系统可在各种条件下经历热力学过程从一种热力学状态变化到另一种热力学状态，不同的热力学过程可用其对应的压强到另一种热力学状态，不同的热力学过程可用其对应的压强和比容关系即和比容关系即 p图表达出来。常见的热力学过程可用下式表图表达出来。常见的热力学过程可用下式表达：达：其中其中 是比容是比容Cppnnn=0等压过程等压过程n=1等温过程等
12、温过程n=Cp/Cv等熵（绝热可逆）过程等熵（绝热可逆）过程n=等容过程等容过程n=其他多变过程其他多变过程16.1.3 熵，热力学过程，热力学第二定律熵，热力学过程，热力学第二定律EXIT13/120热力学第二定律指出：在热力学第二定律指出：在绝热变化过程绝热变化过程中，如果过程中，如果过程可逆可逆，则，则熵值保持不变，熵值保持不变，s=0，称为，称为等熵等熵过程；如果过程过程；如果过程不可逆不可逆，熵，熵值必增加，值必增加，s0。因此，。因此，热力学第二定律也称为热力学第二定律也称为熵增原理熵增原理。在高速流中，不可逆是因气体摩擦、激波出现以及因温度梯度在高速流中，不可逆是因气体摩擦、激波
13、出现以及因温度梯度而引起。一般在绝大部分流场区域速度梯度和温度梯度都不大，而引起。一般在绝大部分流场区域速度梯度和温度梯度都不大，可近似视为绝热可逆的，称为等熵流动，等熵关系式成立。可近似视为绝热可逆的，称为等熵流动，等熵关系式成立。在边界层及其后的尾迹区，激波附近区域，气体的粘性和热传在边界层及其后的尾迹区，激波附近区域，气体的粘性和热传导不能忽视区域，流动是熵增不可逆过程，等熵关系式不能用。导不能忽视区域，流动是熵增不可逆过程，等熵关系式不能用。3.热力学第二定律热力学第二定律 6.1.3 熵，热力学过程，热力学第二定律熵，热力学过程，热力学第二定律EXIT14/1206.2 音速和马赫数
14、音速和马赫数6.2.1 弱扰动与强扰动弱扰动与强扰动 可压流场的流动现象与可压流场的流动现象与扰动传播速度和扰动传播区扰动传播速度和扰动传播区有关有关如果描写流场的诸物理参数（如果描写流场的诸物理参数（V，p，T）发生了变化，）发生了变化，就说流场受到了扰动。就说流场受到了扰动。使流动参数的数值改变得非常微小的扰动，称为微弱扰动简称使流动参数的数值改变得非常微小的扰动，称为微弱扰动简称为为弱扰动弱扰动，例如说话（即使是大声说话）时声带给空气的扰动，例如说话（即使是大声说话）时声带给空气的扰动就是如此。就是如此。使流动参数改变有限值的扰动，称为有一定强度的扰动简称为使流动参数改变有限值的扰动，称
15、为有一定强度的扰动简称为强扰动强扰动，例如激波便是一种强扰动。，例如激波便是一种强扰动。1 ,1,1TdTdpdpEXIT15/1206.2.2 微弱扰动传播过程与传播速度微弱扰动传播过程与传播速度音速音速在不可压流中，微弱扰动传播速度在不可压流中，微弱扰动传播速度 a 是无限大，扰动瞬间将是无限大，扰动瞬间将传遍全部流场传遍全部流场在可压流中，情况就不一样了。因为气体是弹性介质，扰动在可压流中，情况就不一样了。因为气体是弹性介质，扰动不会在一瞬间传遍整个流场，不会在一瞬间传遍整个流场，扰动的传播速度扰动的传播速度a不是无限大，不是无限大，而是有一定的数值而是有一定的数值。注意。注意扰动的传播
16、速度扰动的传播速度 a 与介质本身的运与介质本身的运动速度动速度 dV 是两码事，一般情况下是两码事，一般情况下 dV a音速音速微弱扰动在弹性介质中的传播速度微弱扰动在弹性介质中的传播速度，是研究可压流，是研究可压流场的一个很重要的物理量。场的一个很重要的物理量。音速大小只与介质物理属性、状音速大小只与介质物理属性、状态、以及波传播过程的热力学性质有关，而同产生扰动的具态、以及波传播过程的热力学性质有关，而同产生扰动的具体原因无关体原因无关。a不可压介质：1adV弹性介质：EXIT16/120 如图充满气体的活塞，设想对活塞轻微的推动一下，则扰动便如图充满气体的活塞，设想对活塞轻微的推动一下
17、，则扰动便以速度以速度a向右传播，扰动波未到达前后气体的参数如图所示。取随向右传播，扰动波未到达前后气体的参数如图所示。取随波阵面波阵面AA运动的相对坐标，我们从基本方程出发导出音速的表达式运动的相对坐标，我们从基本方程出发导出音速的表达式。由质量守恒定律：由质量守恒定律：略二阶小量得：略二阶小量得：根据动量定理（向左为正）：根据动量定理（向左为正）：整理得：整理得：二式相除得：二式相除得：aa-dVp,Tp+dp,+dT+dTadVaadpppdVadadVdp)(dVada2dpadxEXIT17/120由于音速的平方与密度变化量成反比，即同样的压强变化量由于音速的平方与密度变化量成反比，
18、即同样的压强变化量下，音速的大小反映了密度变化的小大，下，音速的大小反映了密度变化的小大，因此音速因此音速 a 是介质是介质压缩性的一个指标。压缩性的一个指标。由于介质的弹性模量定义为产生单位相对体积变化时（或产由于介质的弹性模量定义为产生单位相对体积变化时（或产生单位相对密度变化时）所需的压强变化量生单位相对密度变化时）所需的压强变化量 ，所，所以弹性模量是反映介质压缩难易程度的指标以弹性模量是反映介质压缩难易程度的指标。实际上音速可。实际上音速可用弹性模量用弹性模量 E 写为：写为：微弱扰动在空气中的传播可看成是等熵过程，将等熵关系代微弱扰动在空气中的传播可看成是等熵过程，将等熵关系代入音
19、速公式入音速公式 可得：可得：RTpddpa例如在海平面空气的音速例如在海平面空气的音速a340m/s，而水的音速，而水的音速a1440m/s 被压缩即音速越大介质越不易,2Ea ddpddpEEXIT18/120马赫数：气流速度马赫数：气流速度 V 与当地音速与当地音速 a 之比之比由于音速随高度（或温度）变化，因此在不同高度上，同样由于音速随高度（或温度）变化，因此在不同高度上，同样的的M 数並不一定表示速度相同。数並不一定表示速度相同。马赫数是一个非常重要的无量纲参数，是一个反映压缩性大马赫数是一个非常重要的无量纲参数，是一个反映压缩性大小的相似准则。小的相似准则。M 数的大小标志着运动
20、空气压缩性的大小，数的大小标志着运动空气压缩性的大小，M 值越大则压缩性越大：值越大则压缩性越大：可证当可证当 时，时，密度的相对变化不大，这时，密度的相对变化不大，这时可将低速气体近似视为不可压缩流体。事实上即使是液体也可将低速气体近似视为不可压缩流体。事实上即使是液体也不可能绝对不可压。我们将低速气体看成不可压流体的原因不可能绝对不可压。我们将低速气体看成不可压流体的原因在于，流动时引起密度的变化很小，因此不可压仍然是一种在于，流动时引起密度的变化很小，因此不可压仍然是一种理想化的假设模型，而这种模型具有一定程度的合理性。理想化的假设模型，而这种模型具有一定程度的合理性。aVM%53.0M
21、222MaVppEXIT19/120马赫数还代表单位质量气体的动能和内能之比，即马赫数还代表单位质量气体的动能和内能之比，即 M 数很小，说明单位质量气体的动能相对于内能而言很小，数很小，说明单位质量气体的动能相对于内能而言很小，速度的变化不会引起气体温度即内能的显著变化，因此对于速度的变化不会引起气体温度即内能的显著变化，因此对于不可压流体其内能不变或温度不变，不考虑其热力关系。不可压流体其内能不变或温度不变，不考虑其热力关系。对不可压流体来说，如果温度有变化，那一定是传热引起的对不可压流体来说，如果温度有变化，那一定是传热引起的，但加热只能使温度升高或内能增加，不能使流体膨胀做功，但加热只
22、能使温度升高或内能增加，不能使流体膨胀做功。对于高速气体来说（对于高速气体来说（M 较大），即使是在绝热情况下，速度较大），即使是在绝热情况下，速度的变化会引起热力关系（的变化会引起热力关系（p、T）变化，内能将参与能）变化，内能将参与能量转换。量转换。222(1)22121VMpc T 动能内能2V2VCEXIT20/120高速流动时，即使只是一维定常流动，由于密度高速流动时，即使只是一维定常流动，由于密度和温度和温度 T 发生发生变化，流动参数增加为四个：变化，流动参数增加为四个：V、p、T已经有了三个基本方程，它们是：连续方程、动量方程和状态已经有了三个基本方程，它们是：连续方程、动量方
23、程和状态方程方程。为了能解出四个流动参数，需要补充第四个方程为了能解出四个流动参数，需要补充第四个方程能量方程能量方程。EXIT21/1201.一维定常一维定常流能量方程流能量方程在第在第2章，我们讨论了能量方程即积分形式的能量方程为：章，我们讨论了能量方程即积分形式的能量方程为：一维定常一维定常时时：dsnVVpudVutWWQstp)()2()2(2222Vddpddudwdq 在在重力场重力场下即：下即：表明对流体微团加热和做功，等于微团内能增加、势能增加、表明对流体微团加热和做功，等于微团内能增加、势能增加、动能增加、对外膨胀做功以及压强做功（合为流动功）动能增加、对外膨胀做功以及压强
24、做功（合为流动功）dwdqVdVgdypdduEXIT22/120 当当不考虑做功和略势能不考虑做功和略势能时流动子物系的能量守恒式为时流动子物系的能量守恒式为:这个式子比静止物系多了两项，其中的这个式子比静止物系多了两项，其中的 是流动时所特有是流动时所特有的功，那是流体微团的体积不变，在压强有变化的流场中运的功，那是流体微团的体积不变，在压强有变化的流场中运动时所作的功；另一项是动能的改变量。动时所作的功；另一项是动能的改变量。CVh22VdVdppddudq11 在一维定常在一维定常绝热绝热可压缩流中可压缩流中，上能量方程可积分为：，上能量方程可积分为：用焓表示时，上述能量方程为：用焓表
25、示时，上述能量方程为：VdVdhdqdp1EXIT23/1202.一维定常流能量方程的不同形式一维定常流能量方程的不同形式 根据焓的不同表达根据焓的不同表达 从而：从而：1112apRTTcpuhp条件：沿流线定常、绝条件：沿流线定常、绝热、绝功、略势能、可热、绝功、略势能、可压缩、允许有粘性压缩、允许有粘性表明：沿流（线）管表明：沿流（线）管 V 增加时，增加时，h,T,a下降，但下降，但总能量不变总能量不变6.3.1 一维定常绝热流的能量方程一维定常绝热流的能量方程22pc T常数(沿流线)221RT常数(沿流线)221p常数(沿流线)2221a常数(沿流线)2V2V2V2VEXIT24/
26、120 对于一维定常绝热流，我们可以确定流动参数沿流线（或沿对于一维定常绝热流，我们可以确定流动参数沿流线（或沿流管轴线）变化的关系式，但需给定参考点上的参数值。流管轴线）变化的关系式，但需给定参考点上的参数值。常常 用用的参考点是的参考点是驻点或临界点。驻点或临界点。1.使用驻点参考量的参数关系式使用驻点参考量的参数关系式 驻点指速度等熵地降为零的点。在驻点处焓达到最大值，称驻点指速度等熵地降为零的点。在驻点处焓达到最大值，称为为总焓总焓或或驻点焓驻点焓h0。由由定常一维绝热流能量方程：定常一维绝热流能量方程：驻点处的温度，称为驻点处的温度，称为总温总温T0：h0、T0（或（或0）可以代表一
27、维绝热流的总能量，当）可以代表一维绝热流的总能量，当绝热时总焓和绝热时总焓和总温均不变总温均不变。而。而T是是 V0 点处的当地温度，称为静温。点处的当地温度，称为静温。22hh02V202pTTc2VEXIT25/120由前式可得总、静温之比为：由前式可得总、静温之比为：在一维绝热有粘流中，我们定义流线上任一点（或任一截面）在一维绝热有粘流中，我们定义流线上任一点（或任一截面）处的处的总压总压 是该处流速等熵滞止为零时所达到的压强，或称是该处流速等熵滞止为零时所达到的压强，或称驻点压强驻点压强，根据等熵关系：，根据等熵关系：1)211(20Mppiiip021101()(1)2oiipTMp
28、TiRTVTCVTTp1212122020211MTTEXIT26/120由等熵关系式还可写出密度比与温度比的关系为由等熵关系式还可写出密度比与温度比的关系为从而得到所谓的从而得到所谓的一维等熵关系式一维等熵关系式对应的可将对应的可将0 0 看成流动等熵滞止时达到的密度，称为总密看成流动等熵滞止时达到的密度，称为总密度、驻点密度或滞止密度。度、驻点密度或滞止密度。对于一维等熵流，则对于一维等熵流，则 T0 ，p0 ，0 0 这三个这三个总参数总参数均不变均不变。1100TT20112TMT2101(1)2pMp12101(1)2M其中第一式只要求绝热就成立其中第一式只要求绝热就成立说明一维绝热
29、流中总、静温及说明一维绝热流中总、静温及相应的压强和密度之比均只取相应的压强和密度之比均只取决于当地决于当地M数数 EXIT27/120 熵增与总压的关系熵增与总压的关系 由熵增公式：由熵增公式：对于对于1、2两个状态，分别对应了总参数与静参数，且满足下列等两个状态，分别对应了总参数与静参数，且满足下列等熵关系：熵关系：将上述关系代入熵增公式，并注意到绝热时总温不变将上述关系代入熵增公式，并注意到绝热时总温不变T01=T02：对于绝热但不等熵的流动，由对于绝热但不等熵的流动，由S0可知，虽然沿流动方向总温可知，虽然沿流动方向总温T0 不变，但不变，但 p02 p01，总压总压 p0 值下降。对
30、等熵流动，总压不变。值下降。对等熵流动，总压不变。因此因此总压可看成流动的总机械能。总压可看成流动的总机械能。)(ln1211212TTppRSSS1)(101101TTpp1)(202202TTpp010210201010212ln)(lnppRTTppRSSSEXIT28/120气流按不可压缩处理的限度气流按不可压缩处理的限度.48)23)(2(82211)211(6422011MMMM当马赫数不大时，密度比可用二项式展为当马赫数不大时，密度比可用二项式展为M的级数：的级数：则密度的相对变化量可写为（略去则密度的相对变化量可写为（略去4阶以上小量）：阶以上小量）：20211Md密度变化的相
31、对误差与马赫数的关系见上表。显然密度变化的密度变化的相对误差与马赫数的关系见上表。显然密度变化的相对误差随着马赫数增大而迅速增大，如果我们约定相对误差随着马赫数增大而迅速增大，如果我们约定4.5是是将密度视为不可压的误差上限，则将流体视为不可压的马赫数将密度视为不可压的误差上限，则将流体视为不可压的马赫数上限为上限为M0.30。%18%5.12%8%5.4%2%5.060.050.040.030.020.010.0dMEXIT29/1202.使用临界参考量的参数关系式使用临界参考量的参数关系式 在一维绝热流中，沿流线某点处的流速恰好等于当地的音速，在一维绝热流中，沿流线某点处的流速恰好等于当地
32、的音速，即即M=1，则称为，则称为临界点或临界截面临界点或临界截面。临界参数用上标。临界参数用上标“*”表示表示 由绝热能量方程可得：由绝热能量方程可得：a*称为临界音速：称为临界音速：得临界点与滞止点温度比为：得临界点与滞止点温度比为：200*2()0.8331TaTa02*1aa12*1*2022aaaEXIT30/120 由等熵关系可得临界压强与驻点压强、临界密度与驻点密度由等熵关系可得临界压强与驻点压强、临界密度与驻点密度之间的关系：之间的关系：由于临界音速由于临界音速 a*正比于滞止音速正比于滞止音速 a0 ，即正比于，即正比于 ，故它，故它也可代表一维绝热流的总能量，同时可以作为一
33、个参考量。也可代表一维绝热流的总能量，同时可以作为一个参考量。10*2()0.5281pp110*2()0.63410RT833.0120*TTEXIT31/120速度系数速度系数 与马赫数与马赫数 M 之间的关系是：之间的关系是：22221121MM22221111M 222*aV 速度系数速度系数 利用临界音速利用临界音速 a*可以定义一个无量纲可以定义一个无量纲速度系数速度系数：*aV采用速度系数采用速度系数 的好处的好处是：当绝热时临界音速是：当绝热时临界音速 a*是个定值，方是个定值，方便计算，而便计算，而 M 数中的音速数中的音速 a 还会随流动变化，计算不方便。还会随流动变化，计
34、算不方便。21211122MM22020222*aaaaaVEXIT32/120速度系数速度系数与马赫数与马赫数M 的关系曲线见下图，其特点是：的关系曲线见下图，其特点是：M 161M=0，=0；M1，1；M=1，=1；M1，1；2212121MM由绝热能量方程由绝热能量方程 可知，当温度可知，当温度 T 降为降为0，速度达到，速度达到最大：最大：11:max即当然根据热力学第二定律，实际上不可能用加速膨胀的方法使当然根据热力学第二定律，实际上不可能用加速膨胀的方法使气流毫无损失地将温度降到绝对零度。气流毫无损失地将温度降到绝对零度。0max2TCVp*,11120aa022TCVTCppEX
35、IT33/120 一维等熵关系式可用速度系数来表达一维等熵关系式可用速度系数来表达 绝热能量方程用滞止音速可写为：绝热能量方程用滞止音速可写为：用右端同除式子，同时注意到右端还可表为总参数：用右端同除式子，同时注意到右端还可表为总参数：从而绝热能量方程可写为：从而绝热能量方程可写为：压强比与密度比关系可利用等熵关系写出：压强比与密度比关系可利用等熵关系写出：12*11002RTha20111TT1100TT,100TTpp2*112122aVRTEXIT34/120 这三个用速度系数表达的式子也称为这三个用速度系数表达的式子也称为一维等熵关系式一维等熵关系式，其中，其中第一式只要求绝热即成立。
36、第一式只要求绝热即成立。可见可见随速度系数增加，温度、压强和密度一路都是下降的随速度系数增加，温度、压强和密度一路都是下降的。这些关系都做成了表格方便查阅。这些关系都做成了表格方便查阅。)(11120TT)()111(120pp)()111(1120从而：从而：EXIT35/1201.等熵管流的速度与截面积关系等熵管流的速度与截面积关系又一维定常流又一维定常流微分形式的连续方程是：微分形式的连续方程是：综合两式，得等熵管流中速度变化与截面积变化的关系式：综合两式，得等熵管流中速度变化与截面积变化的关系式：0dddAAVV将音速公式将音速公式2dpad代入欧拉方程代入欧拉方程dpd 可得可得：V
37、V2ddM VV2(1)ddAMAVVEXIT36/120发生音速处面积发生音速处面积 A 有极值，从物理上可判断该处有极值，从物理上可判断该处A 应是极小值应是极小值（反证）（反证）亚音速（包括低速）时如果管截面收缩则流速增加，面积扩大亚音速（包括低速）时如果管截面收缩则流速增加，面积扩大则流速下降；超音速时情形则刚好相反。则流速下降；超音速时情形则刚好相反。从式从式我们可以看出：我们可以看出：2(1)ddAMAVV0,0;10,0.0,0;10,0.1,0,d AdMd Add AdMd Add AMAAVVVVEXIT37/120上述截面流速与截面积变化规律的上述截面流速与截面积变化规律
38、的物理原因物理原因是：是：亚音速时密度亚音速时密度变化较速度变化为慢，而超音速时密度变化比流速变化快变化较速度变化为慢，而超音速时密度变化比流速变化快亚音速时想增加流速，由连续方程亚音速时想增加流速，由连续方程 则截面积应缩小。则截面积应缩小。超音速时想增加流速，由连续方程超音速时想增加流速，由连续方程 则截面积应放大。则截面积应放大。CAVCAV2ddM VVEXIT38/120 由上已经看到，一维定常等熵流中由上已经看到，一维定常等熵流中密度密度的变化趋势与速度的变化趋势与速度V相反相反，其他气流参数（，其他气流参数（p、T）随速度）随速度V的变化趋势是怎样的？的变化趋势是怎样的？压强压强
39、 p 变化趋势与速度相反变化趋势与速度相反 由微分形式的动量方程（欧拉方程）：由微分形式的动量方程（欧拉方程）：将音速表达代入上式得：将音速表达代入上式得：温度温度 T变化趋势与速度也相反变化趋势与速度也相反 将上二式代入状态方程将上二式代入状态方程 可得温度比的关系：可得温度比的关系：VdVMpdp2TdTdpdp0VdVdp2.其它流动参数与截面积的关系其它流动参数与截面积的关系EXIT39/120由这三个关系右端的系数可见，由这三个关系右端的系数可见，当速度增加时，当速度增加时，p、T 都是都是减小的，但减小的，但 p 减小最快，减小最快，减小次之，而减小次之，而 T 减小最慢减小最慢（
40、空气（空气1.4）。）。即：即：VdVMTdT2)1(VdVMpdp2VdVMTdT2)1(2ddM VVEXIT40/120面积面积 减小减小 增大增大 增大增大 减小减小 速度速度 增大增大 减小减小 增大增大 减小减小压力压力 减小减小 增大增大 减小减小 增大增大密度密度 减小减小 增大增大 减小减小 增大增大温度温度 减小减小 增大增大 减小减小 增大增大马赫数马赫数 增大增大 减小减小 增大增大 减小减小用以下图表来表示一维定常等熵变截面管流中的参数变化：用以下图表来表示一维定常等熵变截面管流中的参数变化：EXIT41/1203.拉瓦尔喷管或喷管拉瓦尔喷管或喷管对一维等熵管流，如想
41、让气流沿管轴线连续地从亚音速加速对一维等熵管流，如想让气流沿管轴线连续地从亚音速加速到超音速，即始终保持到超音速，即始终保持 dV0，则管道应先收缩后扩张，中，则管道应先收缩后扩张，中间为最小截面，即喉道。间为最小截面，即喉道。即使气流在喉道之前收缩膨胀加速，在喉道处达到音速，之即使气流在喉道之前收缩膨胀加速，在喉道处达到音速，之后继续膨胀加速，达到超音速。后继续膨胀加速，达到超音速。EXIT42/120一个喷管在出口截面一个喷管在出口截面产生产生 M1 的超音速气流的条件的超音速气流的条件是：是：管道形状应成为拉瓦尔管形状管道形状应成为拉瓦尔管形状在喷管上下游配合足够大的压强比在喷管上下游配
42、合足够大的压强比一个出口接大气的喷管，当喷管出口达到设计一个出口接大气的喷管，当喷管出口达到设计 M 数而出口压数而出口压强恰等于外界大气压强时，则喷管处于设计状态。如果上游强恰等于外界大气压强时，则喷管处于设计状态。如果上游压强过高或过低，喷管出口内外将出现激波或膨胀波。压强过高或过低，喷管出口内外将出现激波或膨胀波。EXIT43/1204.流量公式与面积比关系流量公式与面积比关系 喷管截面积与马赫数的关系可由如下的喷管截面积与马赫数的关系可由如下的流量公式与面积比关流量公式与面积比关系系计算：计算：可见，用该式计算流量只需知道总压、总温、截面积和可见，用该式计算流量只需知道总压、总温、截面
43、积和 q()AaVAm*)(0流量公式)(00qTAPCm)(2111212111100TAPR)(11200TAPRARTRTP12)(000C)(qEXIT44/120q（）随）随 变化的曲线如图，其特点是：变化的曲线如图，其特点是：0404.0)(:常数其中,287R4.11211空气RC当当=1时，时，q（）=1；当；当=0 和和=max 时，时，q()=0；q()等函数与等函数与的关系均已做成表格的关系均已做成表格(附表附表4、5)，可方便查读。，可方便查读。111()()2q 流量函数还可用马赫数表达为：流量函数还可用马赫数表达为：流量函数：流量函数：)1(212)211)(12(
44、)(MMMqEXIT45/120可得喷管中任一截面与喉道的可得喷管中任一截面与喉道的面积比关系面积比关系：*()AqA由管流的质量守恒关系：由管流的质量守恒关系：利用上述面积比关系可求出喷管中某截面处利用上述面积比关系可求出喷管中某截面处（M）数，或根据）数，或根据 （M）数要求初步设计喷管，确定喷管出口与喉道面积比。）数要求初步设计喷管，确定喷管出口与喉道面积比。0*000)(TAPCqTAPCm由于流量函数由于流量函数 q()在在1 1 处达到极大值处达到极大值 q(1 1)=1=1，因此当喉，因此当喉道达音速时，下式规定了喷管的道达音速时，下式规定了喷管的最大流量最大流量：0*00*0m
45、ax)1(TAPCqTAPCmEXIT46/120例：有一个超音速风洞，试验段截面积为例：有一个超音速风洞，试验段截面积为0.6m0.6m正方形，喷正方形，喷管是二维的（即等宽度管是二维的（即等宽度0.6m），试验段），试验段 Mt=2.0，上游安定段总压，上游安定段总压p0=400kN/m2，T0=293K。试求喉道高度。试求喉道高度h*，试验段试验段 pt、Vt、m t。解解：(1)由由2.0tM 查表或通过计算得查表或通过计算得(2)(3)mhqMqAAhhtt3556.06.05926.05926.0)633.1()2(*smRTMaMVKTTmNppttttttt/5.51179.1
46、622874.1279.1622935556.0)633.1(/12.514001278.0)633.1(020skgqTAPCm/405.2015926.02936.01040404.0)(2500EXIT47/120 亚音速流场和超音速流场有许多本质上的差别，其中之一是亚音速流场和超音速流场有许多本质上的差别，其中之一是小扰动的传播范围或者说影响区是不同的。在一个均匀流场中扰小扰动的传播范围或者说影响区是不同的。在一个均匀流场中扰源发出的小扰动均以音速向四周传播，影响区有下面四种情况：源发出的小扰动均以音速向四周传播，影响区有下面四种情况：1arcsinM的定义域是：的定义域是：M1M1E
47、XIT48/120（a）在静止气体中（）在静止气体中（M=0）从某瞬间看，前从某瞬间看，前 i 秒发出的扰动波面是以扰源秒发出的扰动波面是以扰源O为中心、为中心、i为半径的同心球面。只要时间足够长，空间任一点均会受到扰源为半径的同心球面。只要时间足够长，空间任一点均会受到扰源的影响，即扰源的影响区是全流场的影响，即扰源的影响区是全流场（b）亚音速气流中）亚音速气流中 (M a1，即正激波相对于波前的气体其推进速度是超音速的，即正激波相对于波前的气体其推进速度是超音速的，Vs-Vg1 的超音速流：的超音速流：101020102pp111时，MEXIT86/120221211(1)(1)2MM22
48、112111pMp22212111221()(1)(1)111TMTM02011TT21222121211MMM11212110212011121()11(1)2MpMpM1111EXIT87/120（9）正激波的熵增量与总压损失的关系）正激波的熵增量与总压损失的关系 由熵增公式：由熵增公式：利用总静参数之间关系可得：利用总静参数之间关系可得：经过激波可看成绝热流动有经过激波可看成绝热流动有T02=T01：由于经过由于经过 M1 的正激波是熵增过程，的正激波是熵增过程，S S 0,0,显然显然经过正激经过正激波后总压下降，波后总压下降，1 时，经过激波熵增量总是正的；而当时，经过激波熵增量总是
49、正的；而当 M11 时，熵增量时，熵增量总是负的。总是负的。说明只有在超音速流中才可能产生激波。说明只有在超音速流中才可能产生激波。且且 M1 不大不大时熵增很小。时熵增很小。而而在亚音速流中根本不可能产生激波在亚音速流中根本不可能产生激波。亚音速气流突跃变为。亚音速气流突跃变为超音速气流的情形是不可能发生的，如果在亚音速流中产生超音速气流的情形是不可能发生的，如果在亚音速流中产生激波的话，就直接违反了热力学第二定律。激波的话，就直接违反了热力学第二定律。EXIT89/120（10）熵与激波强度的关系）熵与激波强度的关系弱激波可以看作等熵波弱激波可以看作等熵波 激波强度激波强度 P 定义为通过
50、激波的压强增量与波前压强之比：定义为通过激波的压强增量与波前压强之比：可见激波强度正比于可见激波强度正比于（M2 1）所谓弱激波指的是强度所谓弱激波指的是强度P趋近于零的激波趋近于零的激波。由上式看出弱激波的。由上式看出弱激波的 M1 必趋近于必趋近于1。而。而弱激波可以被看作等熵波弱激波可以被看作等熵波。可以证明：。可以证明：221211121(1)1pppPMpp.8112142232212PPcSSvEXIT90/120当当激波强度很弱时激波强度很弱时，通过激波所引起的，通过激波所引起的熵增量是与激波强度熵增量是与激波强度的三次方同阶的三次方同阶的。因而在一级近似计算中，完全可以不考虑的
