1、1.2.3 空间中的垂直关系空间中的垂直关系(1)一一.直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义1 两直线互相垂直：两直线互相垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且后相交于一点，并且交角为直角交角为直角，则称这，则称这两条直线两条直线互相垂直互相垂直。?l?O?B?A 观察旗杆与地面内的每一条观察旗杆与地面内的每一条直线有什么关系，旗杆与地面的直线有什么关系，旗杆与地面的关系呢？关系呢？2 直线与平面垂直：直线与平面垂直：如果一条直线（如果一条直线（l）和一个平面（）和一个平面（）相）相交于点交于点A，并且，并且a和这个平面内过点和这个平面内过
2、点A的的任任何直线都垂直何直线都垂直，则该直线垂直于这个平面，则该直线垂直于这个平面，记作记作l，这条直线叫做平面的，这条直线叫做平面的垂线垂线，这，这个平面叫做个平面叫做直线的垂面直线的垂面，交点叫做，交点叫做垂足垂足。lAab 在几何中，定义兼具在几何中，定义兼具两重性两重性，既是，既是判定判定又是又是性质性质。判定是指：如果一条直线垂直一个平面内判定是指：如果一条直线垂直一个平面内的任意一条直线，那么这条直线与这个平的任意一条直线，那么这条直线与这个平面垂直，这是面垂直，这是判定证明直线与平面垂直判定证明直线与平面垂直的的一种方法；一种方法；性质是指：如果一条直线垂直于一个平面，性质是指
3、：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线。条直线。这是在这是在线面垂直问题线面垂直问题中经常要用到的中经常要用到的一个结论。一个结论。即即aabb判断正误：判断正误：如果一条直线如果一条直线 l 和一个平面内的和一个平面内的无数条无数条直直线都垂直，则直线线都垂直，则直线 l和平面和平面 互相垂直互相垂直.二二.直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理1定理：定理：文字语言：如果一条直线与平面内的两文字语言：如果一条直线与平面内的两条条相交直线相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直，则这条直线与这个平面垂直垂直.图形语
4、言：图形语言：符号语言：符号语言：a?，b?，ab=O，la，lb，l.balOD DC CB BA A /aambmmbabm已知已知：，/aba求证求证：b证明：设证明：设m是是内的内的任意任意一条直线一条直线 ：如果两条平行直线中的一条垂：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面平面 推论推论2：如果两条直线如果两条直线垂直垂直于同一个平于同一个平面，那么这两条直线面，那么这两条直线平行平行。?m?m?l?B?A已知：直线已知：直线l平面平面，直线，直线m平面平面，垂足分别为垂足分别为a，b，求证：，求证：l/m.证明：假设直
5、线证明：假设直线m与直线与直线l不不平行。过直线平行。过直线m与平面与平面的交的交点点B作直线作直线m/l，由直线与平面垂直的判定定理的推论由直线与平面垂直的判定定理的推论1可可知知m.?m?m?l?B?A 设设m和和m确定的平面为确定的平面为，与与的交线的交线为为a，因为直线因为直线m和和m都垂直于平面都垂直于平面，所以所以 直线直线m和和m都垂直于交线都垂直于交线a，因为在同一平面内，通过直线上一点并因为在同一平面内，通过直线上一点并与已知直线垂直的直线不可能有两条，与已知直线垂直的直线不可能有两条，所以直线所以直线m与与m必重合，必重合，即有即有l?/m.例例1过一点和已知平面垂直的直线
6、只有过一点和已知平面垂直的直线只有一条。一条。已知：平面已知：平面和一点和一点P.求证：过点求证：过点P与与垂直的直线只有一条。垂直的直线只有一条。?P?B?A?P?B?A证明：不论证明：不论P点在点在外或内，设外或内，设PA，垂，垂足为足为A(或或P)，如果过如果过P点，除直线点，除直线PA外，还有一条直外，还有一条直线线PB，设，设PA，PB确定的平面为确定的平面为,且且=a，于是在平面于是在平面内过点内过点P有两条直线有两条直线PA，PB垂直于交线垂直于交线a，这是不可能的。所以过点这是不可能的。所以过点P与与垂直的直垂直的直线只有一条。线只有一条。DC BA解：在解：在ABC和和ABD
7、中，因为中，因为AB=8，BC=BD=6，AC=AD=10，所以所以 AB2+BC2=82+62=102=AC2.AB2+BD2=82+62=102=AD2.所以所以ABC=ABD=90，即即ABBC，ABBD，又知又知B，C，D三点不共线，三点不共线，因此因此AB平面平面BCD，即旗杆和地面垂直。，即旗杆和地面垂直。例例3已知：直线已知：直线l平面平面，垂足为，垂足为A，直，直线线APl.求证：求证：AP在在内。内。?M?P?l?A证明：设证明：设AP与与l?确定的平面为确定的平面为，假设，假设AP不在不在内，内，则设则设与与相交于直线相交于直线AM。因为因为l，AM?,所以所以lAM，又已
8、知又已知APl，于是在平面，于是在平面内，内，过点过点A有两条直线垂直于有两条直线垂直于l，这是不可能的，这是不可能的，所以所以AP一定在一定在内。内。?M?P?l?A直线与平面垂直的判定方法直线与平面垂直的判定方法3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。平面，那么另一条也垂直于同一个平面。1.定义定义：如果一条直线垂于一个平面内的：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线，则此直线垂直于这个平面任何一条直线，则此直线垂直于这个平面.2.判定定理判定定理:如果一条直线垂直于一个平面如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那
9、么此直线垂直于这内的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平面。个平面。4.如果直线和平面所成的角等于如果直线和平面所成的角等于90,则这则这条直线和平面垂直条直线和平面垂直练习题：练习题：A.平行平行 B.相交相交 C.平行或相交平行或相交CB3 如图，正方体如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，中，O是底面是底面ABCD的中心，的中心，B1HD1O，H为为垂足，求证：垂足，求证：B1H平面平面AD1C.证明：连接证明：连接B1D1，B1BAB，B1BBC，B1B平面平面ABCD，B1BAC，HOABCC1B1D1A1D 又又ACBD，AC平面平面BB1D1D，又又B1H平面平面BB1D1D，ACB1H，又又B1HD1O，B1H平面平面AD1C.?H?O?A?B?C?C 1?B 1?D 1?A 1?D
