1、8.6 8.6 空间向量及其运算空间向量及其运算要点梳理要点梳理1.1.空间向量的有关概念空间向量的有关概念 (1)(1)空间向量：在空间中，具有空间向量：在空间中，具有 和和 的量的量 叫做空间向量叫做空间向量.(2)(2)相等向量：方向相等向量：方向 且模且模 的向量的向量.(3)(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在直共线向量：表示空间向量的有向线段所在直 线互相线互相 于同一平面的向量于同一平面的向量.(4)(4)共面向量：共面向量：的向量的向量.大小大小方向方向相同相同相等相等平平行行平行或重合平行或重合基础知识基础知识 自主学习自主学习2.2.共线向量、共面向量定理和空间向量基
2、本定理共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 （1 1）共线向量定理）共线向量定理 对空间任意两个向量对空间任意两个向量a a,b b(b b0 0),),a ab b的充要条的充要条 件是件是 .推论推论 如图所示，点如图所示，点P P在在l l上的充要条上的充要条 件是：件是：其中其中a a叫直线叫直线l l的方向向量，的方向向量，t tR R,在在l l上取上取 ,则则可化为可化为存在实数存在实数，使得，使得a a=b btaOAOPaABOP.)1(OBtOAtOP或ABtOA（2 2）共面向量定理的向量表达式：）共面向量定理的向量表达式：p p=，其中，其中x x,y yR R,a
3、 a,b b为不共线向量，推论的为不共线向量，推论的表达式为表达式为 或对空间任意一点或对空间任意一点O O有有,其中其中x x+y y+z z=1.=1.(3)(3)空间向量基本定理空间向量基本定理如果三个向量如果三个向量a a,b b,c c不共面，那么对空间任一向不共面，那么对空间任一向量量p p,存在有序实数组存在有序实数组 x x,y y,z z，使得，使得p p=，把把 a a,b b,c c 叫做空间的一个基底叫做空间的一个基底.xaxa+ybybMByMAxMPOPMByMAxOM,OBzOAyOMxOP或xaxa+ybyb+zczc3.3.空间向量的数量积及运算律空间向量的数
4、量积及运算律 （1 1）数量积及相关概念）数量积及相关概念 两向量的夹角两向量的夹角 已知两个非零向量已知两个非零向量a a,b b,在空间任取一点在空间任取一点O O,作作 =a a，=b b，则，则 叫做向量叫做向量a a与与b b的的 夹角，记作夹角，记作 ,其范围是其范围是 ,若若a a,b b=,=,则称则称a a与与b b ,记作记作a ab b.两向量的数量积两向量的数量积 已知空间两个非零向量已知空间两个非零向量a a,b b,则则 叫做向量叫做向量a a,b b的数量积的数量积,记作记作 ,即即 .OAOBAOBAOBa a,b b00a a,b b2互相垂直互相垂直|a a
5、|b b|cos|cosa a,b ba ab ba ab b=|=|a a|b b|coscosa a,b b (2)(2)空间向量数量积的运算律空间向量数量积的运算律 结合律结合律:(:(a a)b b=；交换律：交换律：a ab b=;分配律：分配律：a a（b b+c c）=.4.4.空间向量的坐标表示及应用空间向量的坐标表示及应用 （1 1）数量积的坐标运算）数量积的坐标运算 若若a a=(=(a a1 1,a a2 2,a a3 3),),b b=(=(b b1 1,b b2 2,b b3 3),),则则a ab b=.（2 2）共线与垂直的坐标表示）共线与垂直的坐标表示 设设a
6、a=(=(a a1 1,a a2 2,a a3 3),),b b=(=(b b1 1,b b2 2,b b3 3),),则则a ab b ,（a ab b）b ba aa ab b+a ac ca a1 1b b1 1+a a2 2b b2 2+a a3 3b b3 3a a=b ba a1 1=b b1 1a a2 2=b b2 2a a3 3=b b3 3(R R)a ab b (a a,b b均为非零均为非零向量）向量）.（3 3）模、夹角和距离公式）模、夹角和距离公式设设a a=(=(a a1 1,a a2 2,a a3 3),),b b=(=(b b1 1,b b2 2,b b3 3
7、),),则则|a a|=|=，coscosa a,b b=.若若A A（a a1 1，b b1 1，c c1 1），），B B（a a2 2，b b2 2，c c2 2），），则则d dABAB=.a ab b=0=0a a1 1b b1 1+a a2 2b b2 2+a a3 3b b3 3=0=0aa332221aaa|baba232221232221332211bbbaaabababa|AB212212212)()()(ccbbaa基础自测基础自测1.1.下列命题中是真命题的是下列命题中是真命题的是()()A.A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是分别表示空间向量的有向线段所在的直线
8、是 异面直线，则这两个向量不是共面向量异面直线，则这两个向量不是共面向量 B.B.若若|a a|=|=|b b|，则，则a a，b b的长度相等且方向相同或的长度相等且方向相同或 相反相反 C.C.若向量若向量 ，满足满足 且且 与与 同向，则同向，则 D.D.若两个非零向量若两个非零向量 与与 满足满足 +=0+=0，则则 ABCD|,|CDAB ABCDABCDABCDABCDABCD解析解析 A A错错.因为空间任两向量平移之后可共面，因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面所以空间任意两向量均共面.B B错错.因为因为|a a|=|=|b b|仅表示仅表示a a与与b
9、b的模相等，与方向的模相等，与方向无关无关.C C错错.因为空间向量不研究大小关系，只能对向量因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较的长度进行比较,因此也就没有因此也就没有 这种写法这种写法.D D对对.+=.+=0 0,=-,=-，与与 共线，故共线，故 正确正确.答案答案 D DABCDABCDABCDABCDABCD2.2.已知空间四边形已知空间四边形OABCOABC中，点中，点MM在线段在线段OAOA上，上，且且OMOM=2=2MAMA,点点N N为为BCBC的中点，设的中点，设 =a a,=,=b b,=c c，则，则 等于等于()()解析解析OAOBOCMNcbacb
10、acbacba213232.D213221.C212132.B322121.AOAOCOBOMONMN32)(21.322121acbB3.3.下列命题：下列命题：若若A A、B B、C C、D D是空间任意四点，则有是空间任意四点，则有|a a|-|-|b b|=|=|a a+b b|是是a a、b b共线的充要条件；共线的充要条件；若若a a、b b共线，则共线，则a a与与b b所在直线平行；所在直线平行；对空间任意一点对空间任意一点O O与不共线的三点与不共线的三点A A、B B、C C，若若 （其中（其中x x、y y、z zR R）,则则P P、A A、B B、C C四点共面四点共
11、面.其中不正确命题的个数是其中不正确命题的个数是 ()()A.1 B.2 C.3 D.4 A.1 B.2 C.3 D.4 BCAB;0 DACDOCzOByOAxOP解析解析 中四点恰好围成一封闭图形，正确；中四点恰好围成一封闭图形，正确；中当中当a a、b b同向时，应有同向时，应有|a a|+|+|b b|=|=|a a+b b|；中中a a、b b所在直线可能重合；所在直线可能重合；中需满足中需满足x x+y y+z z=1=1，才有，才有P P、A A、B B、C C四点共面四点共面.答案答案 C C4.4.A A(1,0,1),(1,0,1),B B(4,4,6),(4,4,6),C
12、 C(2,2,3),(2,2,3),D D(10,14,17)(10,14,17)这四个点这四个点 (填共面或不共面填共面或不共面).).解析解析 =（3 3，4 4，5 5），），=（1 1，2 2，2 2），），=（9 9，1414，1616），），即（即（9 9，1414，1616）=（3 3x x+y y，4 4x x+2+2y y，5 5x x+2+2y y），），ABACAD.ACyABxAD设.,3,2四点共面所以、C、DA、yx共面共面B题型一题型一 空间向量的线性运算空间向量的线性运算 如图所示，在平行六面体如图所示，在平行六面体ABCDABCD-A A1 1B B1 1C
13、C1 1D D1 1中，设中，设 =a a，=b b，=c c，MM，N N，P P分别是分别是AAAA1 1，BCBC，C C1 1D D1 1的中点，的中点，试用试用a a，b b，c c表示以下各向量：表示以下各向量：（1 1）；（；（2 2）；（；（3 3）.根据空间向量加减法及数乘运算的法根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可则和运算律即可.1AAABADAPNA11NCAP题型分类题型分类 深度剖析深度剖析解解 （1 1）P P是是C C1 1D D1 1的中点，的中点，.212121111111bcacaABCDADaPDDAAAAP.212121,)2(11cbabab
14、aADBCBNABAANABCN的中点是.232123)21()2121(,212121,2121)21(2121,)3(1111111cbacacbaaccbabcaaNCMPAAADAABCCCNCNCAPAAAPMAMPAAM又的中点是 用已知向量来表示未知向量，一定要结用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个
15、法则称为向尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立然成立.知能迁移知能迁移1 1 如图，在长方体如图，在长方体ABCDABCDA A1 1B B1 1 C C1 1D D1 1中，中，O O为为ACAC的中点的中点.(1)(1)化简：化简：;21211ADABOA,32,)2(11DDDEDDE且上的点是棱设.,1的值试求若z、x、AAzADyABxEO解解,)1(ACADAB.21)(21212111111AAAOO
16、AACOAADABOAADABOAy.32,21,21,322121212132)(21322132)2(1111zyxAAADABABDAAAABDADDDBDDDOEDEO题型二题型二 共线、共面向量定理的应用共线、共面向量定理的应用 已知已知E E、F F、G G、H H分别是空间分别是空间 四边形四边形ABCDABCD的边的边ABAB、BCBC、CDCD、DADA 的中点，的中点，（1 1）求证：）求证：E E、F F、G G、H H四点共面；四点共面；（2 2）求证：）求证：BDBD平面平面EFGHEFGH；（3 3）设）设MM是是EGEG和和FHFH的交点，求证：对空间任一的交点，
17、求证：对空间任一 点点O O，有，有 (1(1）要证）要证E E、F F、G G、H H四点共面，可四点共面，可 寻求寻求x x,y y使使 （2 2）由向量共线得到线线平行，进而得到线面）由向量共线得到线线平行，进而得到线面 平行平行.).(41ODOCOBOAOM.EHyEFxEG证明证明 （1 1）连接）连接BGBG，则，则由共面向量定理的推论知：由共面向量定理的推论知：E E、F F、G G、H H四点共面四点共面.（2 2）因为）因为所以所以EHEHBDBD.又又EHEH平面平面EFGHEFGH，BDBD平面平面EFGHEFGH，所以所以BDBD平面平面EFGHEFGH.,)(21E
18、HEFEHBFEBBDBCEBBGEBEGAEAHEH,21)(212121BDABADABAD（3 3）连接）连接OMOM，OAOA，OBOB，OCOC，ODOD，OEOE，OGOG.所以所以 ，即，即EH FGEH FG，所以四边形所以四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形.所以所以EGEG，FHFH交于一点交于一点MM且被且被MM平分平分.,21,21)2(BDFGBDEH同理知由FGEH).(41)(2121)(21212121)(21ODOCOBOAODOCOBOAOGOEOGOEOM故 在求一个向量由其他向量来表示的在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形
19、法则、平行四边时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点形法则和共线向量的特点,把要求的向量逐步分把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解解，向已知向量靠近，进行求解.若要证明两直线若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性平行，只需判定两直线所在的向量满足线性a a=b b关系，即可判定两直线平行，如第（关系，即可判定两直线平行，如第（1 1）（）（2 2）问即）问即是如此是如此.知能迁移知能迁移2 2 设设A A，B B，C C及及A A1 1，B B1 1，C C1 1分别是异面分别是异面 直线直线l l1 1，l l2 2上的三点，而上的三点，而M
20、M，N N，P P，Q Q分别是线分别是线 段段AAAA1 1，BABA1 1，BBBB1 1，CCCC1 1的中点的中点.求证：求证：MM、N N、P P、Q Q四点共面四点共面.证明证明 依题意有依题意有.2,211NPBANMBACCCBBCCCBCCCCBBBQCCBPBPQ1111111111111121)(212121又.,)22(21(*).2,2,),(21111111111共面式得代入分别共线及NPNMPQNPNMNPNMPQNPBACBNMBABCCBACBACBBCMM、N N、P P、Q Q四点共面四点共面.(*)题型三题型三 空间向量的模、夹角及数量积空间向量的模、夹
21、角及数量积 （1212分）如图所示，已知空间分）如图所示，已知空间 四边形四边形ABCDABCD的各边和对角线的长都的各边和对角线的长都 等于等于a a，点，点MM、N N分别是分别是ABAB、CDCD的中点的中点.（1 1）求证：）求证：MNMNABAB，MNMNCDCD；（2 2）求）求MNMN的长；的长；（3 3）求异面直线）求异面直线ANAN与与CMCM所成角的余弦值所成角的余弦值.把把 用用 ，表示出来，然后表示出来，然后 计算数量积，求模和夹角计算数量积，求模和夹角.MNABACAD（1 1）证明证明 由题意可知：由题意可知：|p p|=|=|q q|=|=|r r|=|=a a，
22、且，且p p、q q、r r三向量两三向量两两夹角均为两夹角均为6060.,rqpADACAB2121)(21ABADACAMANMN(q q+r r-p p)21ABMN(q q+r r-p p)p p21(q qp+rp+rp-pp-p2 2）.,0)60cos60cos(21222CDMNABMNaaa同理可证2 2分分4 4分分（2 2）解解21)1(MN可知由(q q+r r-p p).22,22|.2241414141|2222aMNaMNaaMNMN的长为(q q+r r-p p)2 2q q2 2+r r2 2+p p2 2+2+2（q qr r-p pq q-r rp p）)
23、222(2222222aaaaaa8 8分分(3)(3)解解.的夹角为与设向量MCAN.2)424(21)60cos2160cos60cos21(21)2121(21)21()(21,2121)(212222222222aaaaaaaaaMCANAMACMCADACANprqrpqqpqrqpq(q q+r r),23|aMCAN又1010分分 （1 1）用基向量解决问题，首先要选）用基向量解决问题，首先要选取一组基底，该基底的模与夹角应已知或可求取一组基底，该基底的模与夹角应已知或可求.（2 2）注意两向量夹角与异面直线所成的角的区别）注意两向量夹角与异面直线所成的角的区别与联系与联系.32
24、,32,32cos.2cos2323cos|2所成角的余弦值为与面直线从而异的夹角的余弦值为与向量CMANMCANaaaMCANMCAN1111分分1212分分知能迁移知能迁移3 3 已知平行六面体已知平行六面体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 中，底面中，底面ABCDABCD是边长为是边长为1 1的正方形，的正方形，AAAA1 1=2=2，A A1 1ABAB=A A1 1ADAD=120=120.（1 1）求线段）求线段ACAC1 1的长；的长；（2 2）求异面直线）求异面直线ACAC1 1与与A A1 1D D所成角的余弦值；所成角的余弦值；（3 3）证明
25、：）证明：AAAA1 1BDBD.（1 1）解解 如图所示，设如图所示，设 =a a，则则|a a|=|=|b b|=1|=1，|c c|=2.|=2.a ab b=0=0，a ac c=b bc c =2 =21 1cos 120cos 120=-1.=-1.AB,1cAAbAD=a a+b b+c c.=（a a+b b+c c）2 2=a a2 2+b b2 2+c c2 2+2+2a ab b+2+2a ac c+2+2b bc c=1+1+2=1+1+22 2-2-2=2.-2-2=2.（2 2）解解 =a a+b b+c c，=b b-c c，=（a a+b b+c c）（b b-
26、c c）=a ab b-a ac c+b b2 2-b bc c+b bc c-c c2 2=1+1=1+12 2-2-22 2=-2.=-2.11CCBCABAC21|AC.2.2|11的长为即ACAC 1ACDA1DAAC11又又 =（b b-c c）2 2=b b2 2+c c2 2-2-2b bc c=1+4+2=7.=1+4+2=7.异面直线异面直线ACAC1 1与与A A1 1D D所成角的余弦值为所成角的余弦值为（3 3）证明证明 b b-a a，=c c（b b-a a）=c cb b-c ca a=-1-=-1-（-1-1）=0.=0.21|DA,714722|,cos.7|
27、1111111DAACDAACDAACDA.714BDcAA,1BDAA 1.,11BDAABDAA即题型四题型四 空间向量坐标及坐标运算空间向量坐标及坐标运算 设向量设向量a a=(3,5,-4),=(3,5,-4),b b=(2,1,8),=(2,1,8),计算计算2 2a a+3+3b b,3 3a a-2-2b b,a ab b以及以及a a与与b b所成角的余弦值所成角的余弦值,并确定并确定,应满足的条件，使应满足的条件，使a a+b b与与z z轴垂直轴垂直.代入向量坐标运算的公式求代入向量坐标运算的公式求2 2a a+3+3b b,3,3a a-2 2b b，a ab b，利用数
28、量积求，利用数量积求a a与与b b的夹角余弦值的夹角余弦值,利利 用（用（a a+b b）（0 0，0 0，1 1）=0=0，确定，确定,的的 关系关系.解解 2 2a a+3+3b b=2=2（3 3，5 5，-4-4）+3+3（2 2，1 1，8 8）=（6 6，1010，-8-8）+（6 6，3 3，2424）=（1212，1313，1616）.3 3a a-2-2b b=3=3（3 3，5 5，-4-4）-2-2（2 2，1 1，8 8）=（9 9，1515，-12-12）-（4 4，2 2，1616）=（5 5，1313，-28-28）.a ab b=（3 3，5 5，-4-4）（
29、2 2，1 1，8 8）=6+5-32=-21.=6+5-32=-21.（a a+b b）（0 0，0 0，1 1）=（3 3+2+2，5 5+，-4-4+8+8）（0 0，0 0，1 1）=-4=-4+8+8=0=0，即，即=2=2，当当，满足满足=2=2时，可使时，可使a a+b b与与z z轴垂直轴垂直.空间向量的坐标运算，关键是要注意空间向量的坐标运算，关键是要注意向量坐标与点的坐标间的关系，并熟练掌握运算向量坐标与点的坐标间的关系，并熟练掌握运算公式公式.2301387695021|,cos,69812|,50)4(53222222babababa知能迁移知能迁移4 4 已知已知AB
30、CABC的顶点的顶点A A（1 1，1 1，1 1），），B B（2 2，2 2，2 2），），C C（3 3，2 2，4 4），试求），试求 （1 1）ABCABC的重心坐标；（的重心坐标；（2 2）ABCABC的面积；的面积；（3 3）ABCABC的的ABAB边上的高边上的高.解解 （1 1）设重心坐标为（）设重心坐标为（x x0 0,y y0 0,z z0 0）,).37,35,2(,373421,353221,23321000重心坐标为则zyx,6312,14|,3|),3,1,2(),1,1,1()2(ACABACABACAB.267114321sin|21.7142361sin,4
31、261436,coscosAACABSAACABAABC.2.232126|,|21,)3(边上的高是的故则边上的高为设ABABCCDCDABSCDABABC方法与技巧方法与技巧1.1.熟练掌握空间向量的运算、性质及基本定理是熟练掌握空间向量的运算、性质及基本定理是 解决空间向量问题的基础，特别是共线向量定解决空间向量问题的基础，特别是共线向量定 理、共面向量定理、空间向量基本定理、数量理、共面向量定理、空间向量基本定理、数量 积的性质等积的性质等.2.2.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或 角度转化为向量表示角度转化为向量表示,用已知向量表示未知
32、向量用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算或证明去解决问题然后通过向量的运算或证明去解决问题,在这里在这里,恰当地选取基底可使向量运算简捷恰当地选取基底可使向量运算简捷,或者是建立或者是建立 空间直角坐标系空间直角坐标系,使立体几何问题成为代数问使立体几何问题成为代数问 题，在这里题，在这里,熟练准确地写出空间中任一点的坐熟练准确地写出空间中任一点的坐 标是解决问题的基础标是解决问题的基础.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高失误与防范失误与防范1.1.利用坐标运算解决立体几何问题利用坐标运算解决立体几何问题,降低了推理难降低了推理难 度度,可以避开一些较复杂的线面关系，但较复杂的可以避开一
33、些较复杂的线面关系，但较复杂的 代数运算也容易导致出错代数运算也容易导致出错.因此，在解决问题时，因此，在解决问题时，可以灵活的选用解题方法，不要生搬硬套可以灵活的选用解题方法，不要生搬硬套.2.2.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一 般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的 长度，一般用向量的模来解决；求异面直线所成长度，一般用向量的模来解决；求异面直线所成 的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意 两种角的范围不同，最后应进行转化；解决垂直两种角的范围不
34、同，最后应进行转化；解决垂直 问题一般可转化为向量的数量积为零问题一般可转化为向量的数量积为零.3.3.空间向量的加法、减法经常逆用空间向量的加法、减法经常逆用,来进行向量的分解来进行向量的分解.4.4.几何体中向量问题的解决，选好基底是关键几何体中向量问题的解决，选好基底是关键.一、选择题一、选择题1.1.若若 a a,b b,c c 为空间的一组基底，则下列各项中，能为空间的一组基底，则下列各项中，能 构成基底的一组向量是构成基底的一组向量是（）A.A.a a,a a+b b,a a-b b B.B.b b,a a+b b,a a-b b C.C.c c,a a+b b,a a-b b D
35、.D.a a+b b,a a-b b,a a+2+2b b 解析解析 若若c c、a a+b b、a a-b b共面，共面，则则c c=(a a+b b)+)+m m(a a-b b)=()=(+m m)a a+(+(-m m)b b,则则a a、b b、c c为共面向量，此与为共面向量，此与 a a、b b、c c 为空间向为空间向 量的一组基底矛盾，故量的一组基底矛盾，故c c，a a+b b，a a-b b可构成空间可构成空间 向量的一组基底向量的一组基底.C定时检测定时检测2.2.在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，给出以下向量表达式：中
36、，给出以下向量表达式：A.A.B.B.C.C.D.D.的是其中能够化简为向量111111111111.)(;2)(;)(;)(BDDDAADBDDABADCDBBBCABAADA()()解析解析 答案答案 A A.A,)(;22)(;)(;）-（111111111111111111111111所以选BDDBDDDBDDAADBBDDDBDDDABADBDCDBCCDBBBCBDABADABAADA3.3.若向量若向量a a=(1,=(1,2),2)，b b=(2,-1,2)=(2,-1,2)且且a a与与b b的夹角的余的夹角的余 弦值为弦值为 ，则，则等于等于 ()()A.2 B.-2 A.
37、2 B.-2 C.D.C.D.解析解析985522或5522或,9542|982baba由已知得.5522),6(3582或解得C4.4.已知已知a a=(2,-1,3),=(2,-1,3),b b=(-1,4,-2),=(-1,4,-2),c c=(7,5,=(7,5,),),若若 a a,b b,c c三向量共面，则实数三向量共面，则实数等于等于 ()()解析解析 由题意得由题意得c c=ta ta+b b =(2 =(2t t-,-,-t t+4+4,3,3t t-2-2),),765.D760.C763.B762.A765.71773323,4527ttttD5.5.已知直线已知直线A
38、BAB、CDCD是异面直线是异面直线,ACACCDCD,BDBDCDCD,且且ABAB=2=2，CDCD=1=1，则异面直线，则异面直线ABAB与与CDCD所成角的大小所成角的大小 为为 ()()A.30 A.30 B.45 B.45 C.60 C.60 D.75 D.75 解析解析|,cosCDABCDABCDAB.60,21212)(2所成角为与CDABCDCDDBCDACC6.6.正方体正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a a，点，点MM在在 上上 且且 N N为为B B1 1B B的中点的中点,则则 为为 ()()解析解析 以以D D
39、为原点建立如图所示的空间直角坐标为原点建立如图所示的空间直角坐标 系系D Dxyzxyz，则则A A（a a，0 0，0 0），），C C1 1（0 0，a a，a a），），设设MM（x x，y y，z z）1AC,211MCAM|MNaaaa315.D615.C66.B621.A).2,(aaaN.621)32()3()32(|),3,3,32(.3,3,32),(21),(,2122211aaaaaaaMNaaaMazayaxzayaxzyaxMCAMACM得上且在点答案答案 A二、填空题二、填空题7.7.如图所示，已知空间四边形如图所示，已知空间四边形ABCDABCD，F F为为BCB
40、C的中点，的中点，E E为为ADAD的中点，若的中点，若 则则=.解析解析 如图所示如图所示,取取ACAC的中点的中点G G,连接连接EGEG、GFGF,),(DCABEF.21)(21DCABGFEGEF则218.8.已知已知a a=（1-1-t t，1-1-t t，t t），），b b=（2 2，t t，t t），则），则|b b-a a|的最小值为的最小值为 .解析解析 b b-a a=（1+1+t t，2 2t t-1-1，0 0），），|b b-a a|=|=,59)51(5)12()1(222ttt.553|,51取得最小值为时当abt5539.9.在正方体在正方体ABCDABCD
41、A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,下面给出四个命题下面给出四个命题:则正确命题的序号是则正确命题的序号是 （填写所有正确命题（填写所有正确命题 的序号）的序号）.|;60;0)(;)(3)(1111111211211111ADAAABBAADAABACABABADAAA此正方体体积为的夹角为与解析解析 由三垂线定理知由三垂线定理知A A1 1C CABAB1 1，正确；正确；ADAD1 1与与A A1 1B B两异面直线的夹角为两异面直线的夹角为6060，但，但 的夹角为的夹角为120120,注意方向注意方向.答案答案 ,)(;|,|3|11111111111111ABCA
42、AABACABACABADAAA正确BAAD11与CDBA11.|,011ADAAABAAAB正确的应是三、解答题三、解答题10.10.证明三个向量证明三个向量a a=-=-e e1 1+3+3e e2 2+2+2e e3 3，b b=4=4e e1 1-6-6e e2 2+2+2e e3 3，c c=-3 -3e e1 1+12+12e e2 2+11+11e e3 3共面共面.证明证明 若若e e1 1、e e2 2、e e3 3共面，显然共面，显然a a、b b、c c共面；共面；若若e e1 1、e e2 2、e e3 3不共面，设不共面，设c c=a a+b b，即即-3-3e e1
43、 1+12+12e e2 2+11+11e e3 3=(-(-e e1 1+3+3e e2 2+2+2e e3 3)+)+(4(4e e1 1-6 6e e2 2+2+2e e3 3),),整理得整理得-3-3e e1 1+12+12e e2 2+11+11e e3 3=(4=(4-)e e1 1+(3+(3-6-6)e e2 2 +(2+(2+2+2)e e3 3,.,215,21,5,1122,1263,34则三个向量共面即解得知由空间向量基本定量可bac11.11.如图所示，平行六面体如图所示，平行六面体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，点中，点MM在
44、在ACAC上，且上，且|AMAM|=|=|MCMC|，点，点N N在在A A1 1D D上，上，且且|A A1 1N N|=2|=2|NDND|，设，设 =a a，=b b，=c c，试用试用a a,b b,c c 表示表示 .解解21ABAD1AAMN.baADABAC|,|2|).(3131|,|21|1NDNAACMAMCAM又ba12.12.已知已知:a a=(=(x x,4,1),4,1),b b=(-2,=(-2,y y,-1),-1),c c=(3,-2,=(3,-2,z z),),a ab b,b bc c,求求:(1)(1)a a,b b,c c;(2)(2)(a a+c c
45、)与与(b b+c c)所成角的余弦值所成角的余弦值.).(31)(32)(31).(32)(323211111acbcbcbacbNAAAMAMNAAADDANA解解 (1)(1)因为因为a ab b,所以所以解得解得x x=2,=2,y y=-4,=-4,这时这时a a=(2,4,1),=(2,4,1),b b=(-2,-4,-1).=(-2,-4,-1).又因为又因为b bc c,所以所以b bc c=0=0，即，即-6+8-6+8-z z=0=0，解得解得z z=2,=2,于是于是c c=(3,-2,2).=(3,-2,2).（2 2）由（）由（1 1）得）得a a+c c=(5,2,3),=(5,2,3),b b+c c=(1,-6,1),=(1,-6,1),设设(a a+c c)与与(b b+c c)所成角为所成角为，,1142yx.19238383125cos因此 返回返回
