1、空间的角的计算空间的角的计算 沛县第二中学高二数学组知识目标知识目标:v 掌握空间向量的夹角公式及其简单应用；掌握空间向量的夹角公式及其简单应用；v 提高学生选择恰当的方法求异面直线夹角的技能提高学生选择恰当的方法求异面直线夹角的技能能力目标：能力目标：v 培养学生观察分析、类比转化的能力；培养学生观察分析、类比转化的能力；v 体验从体验从 “定性定性”推理到推理到“定量定量”计算的转化计算的转化,提高提高分析分析 问题、解决问题的能力问题、解决问题的能力.情感情感目标目标：v 激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；v 感受和体会数学美
2、的魅力，激发感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学学数学用数学”的的热情热情.教学重点：教学重点：1.空间向量夹角公式及其坐标表示；空间向量夹角公式及其坐标表示；2 2.选择恰当方法求两异面直线的夹角选择恰当方法求两异面直线的夹角教学难点：教学难点：1 1.两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹 角之间的区别；角之间的区别；2 2.构建恰当的构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出空间直角坐标系，并正确求出 点的坐标及向量的坐标点的坐标及向量的坐标.C1EDCB1A1D1F1BA情境情境：如图如图,已知正方体已知正方体ABCD-A1B1C1D中，中，,求证求证
3、 与与 垂直垂直.1 1111AE DFAB41DFBE问题问题1 1：如图，若将如图，若将E E点在点在AAAA1 1，A A1 1B B1 1上移动，若移上移动，若移 至至A A1 1B B1 1的的E E1 1处，又将如何确定处，又将如何确定DFDF1 1与与BEBE1 1的夹角的夹角?C1EDCB1A1D1F1BAE111222()()cosaxybxy za ba bab ，1，已知空间内两个非零向量，z，从而有121212222222112212a bxxy yz zabxyzxyza b cos=求下列两个向量夹角的余弦值求下列两个向量夹角的余弦值（1），（2）.(233)(10
4、0)a，b，(1 11)(101)a ，b，空间的角：空间的角：空间的角常见的有：空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角线线角、线面角、面面角。空间两条异面直线所成的角可转化为两条空间两条异面直线所成的角可转化为两条相交直线所成的锐角或直角。两条异面直线所相交直线所成的锐角或直角。两条异面直线所成角的范围是成角的范围是(0,2 总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。空间两条异面直线所成的角的定义：空间两条异面直线所成的角的定义：经过
5、空间任一点作两条分别与异面直线平行的直经过空间任一点作两条分别与异面直线平行的直线所成的锐角或直角叫异面直线所成的角线所成的锐角或直角叫异面直线所成的角斜线与平面所成角的定义斜线与平面所成角的定义斜线与它在平面内的斜线与它在平面内的射影所成的锐角射影所成的锐角0,2斜线与平面所成斜线与平面所成角的范围角的范围直线与平面所直线与平面所成角的范围成角的范围0,2异面直线所成角的范围：异面直线所成角的范围：0,2ABCD1D,与 的关系？CD AB思考：思考：,与 的关系？DC AB结论：结论：cos|cos,|a b ab，ab，设直线的方向向量为，的方向向量为CAaBbDaabb异面直线所成角与
6、它们的异面直线所成角与它们的方向向量所成的角相等或方向向量所成的角相等或互补互补题型一：线线角题型一：线线角ADCBD1C1B1A1E1F1题型一：线线角题型一：线线角异面直线所成角的范围：异面直线所成角的范围：0,2 几何法（综合法）解：设解：设 G 是是 AB 的中点，点的中点，点H在在GH1 111 114ABAHAB上，且，连结连结AH,GH,AH,GH,则则AHAH DF1,GH/BE.所以所以AHG就是异面直线就是异面直线 BE 1与与 DF1所成的角所成的角.不妨设正方体的棱长为不妨设正方体的棱长为4，则，则AG=2,AH=HG=17.由余弦定理得由余弦定理得22217 1741
7、5cos2172 1717AHGHAGAHGAHGHADCBD1C1B1A1E1F1从而可得异面直线从而可得异面直线BE 1与与 DF1所成的夹角余弦值所成的夹角余弦值1517ADCBD1C1B1A1E1F1分析分析:也可以用向量的方法，先求出也可以用向量的方法，先求出它们方向向量的夹角，再确定两条它们方向向量的夹角，再确定两条异面直线直线所成的角。异面直线直线所成的角。解法解法2（向量法）（向量法）1114,.DDa DFbab ab 设则 11114,BBDDa B Eb 因为 111 14,DFDDDFa b 可得1111+4,B EB BB Eab2222211417,DFBEaba所
8、以 22211(4)(4)1615DF BEabababa 11111115,17BEDFBEDFBEDF 由 cosADCBD1C1B1A1E1F1 向量法向量法本题的几何结论：本题的几何结论：异面直线异面直线BEBE1 1与与DFDF1 1夹角的余夹角的余 弦值为弦值为 .1517 几何法几何法1115cosDF,BE17=11B15cosDF,E17=-质疑：质疑：空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么 区别？如何转化为本题的几何结论区别？如何转化为本题的几何结论?思考：还有其它的证明方法吗？思考：还有其它的证明方法吗？yzADCBD1C1B1A1E1F
9、1xO解法解法3：设正方体的棱长为：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系立空间直角坐标系 ，则，则O xyz13(1,1,0),1,1,4BE11(0,0,0),0,1.4DF，1311,1(1,1,0)0,1,44BE 例例1.1.如图如图,在正方体在正方体中，中，求求与与所成的角的余弦值所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D 11B E 11114A BD F1BE1DF1110,1(0,0,0)0,1.44DF ，1111150 01 1,4416BE DF 111717|,|.44BED F 111111151516cos,.17|171744BE DFBEDF
10、BEDF ADCBD1C1B1A1E1F1xzy 向量法向量法 几何法几何法 坐标法坐标法问题问题3：利用坐标法求两条异面直线利用坐标法求两条异面直线夹角夹角 的一般步骤是什么？的一般步骤是什么？小结评价(1)恰当的构建空间直角坐标系；恰当的构建空间直角坐标系；(2)正确求得所对应点的坐标，空间正确求得所对应点的坐标，空间向量的坐标表示及其数量积；向量的坐标表示及其数量积；(3)代入空间向量的夹角公式，求得代入空间向量的夹角公式，求得其余弦值；其余弦值；(4)根据题意，转化为几何结论根据题意，转化为几何结论.1.设点设点O(0,0,0)，A(0,1,1)，B(1,1,1)，C(0,0,1)异异
11、 面直线面直线OA与与BC夹角为夹角为，则则的值为的值为 （）A.60A.60B.120B.120D.240D.240C.-60C.-60 2.已知正方体已知正方体ABCD-A1B1C1D1,请用恰当的请用恰当的方方法求异面直线法求异面直线AC与与BD1所成的角所成的角.ADCBD1C1B1A1巩固练习一巩固练习一A9090 3.如图如图,在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,M是是AB的中点的中点,求对角线求对角线DB1与与CM所所成角的余弦值成角的余弦值.ADCBD1C1B1A1M15152n BA ，直线与平面所成角的范围直线与平面所成角的范围：0,2ABO,设平面 的法向量为
12、，则与 的关系？nn BA思考：思考：结论：结论：sin|cos,|n AB nnBAAB2n BA ，题型二：线面角题型二：线面角A AD DC CB BD D1 1C C1 1B1A A1 1F FE E1 1xyz例例2 在在 中，中，F是是BC的中点，的中点，点点1 1 11ABCD ABCD11111111ED CD E=D C4在上，且，试求直线试求直线E1F与平面与平面D1AC所成角的大小所成角的大小.分析分析思考：若题目中的条件思考：若题目中的条件“点点F是是BC的中点的中点”改为改为“CF=1/4CB”，你能，你能得到什么结论？得到什么结论？题型二：线面角题型二：线面角1.1
13、.（20102010全国卷全国卷1 1）（）（9 9）正方体）正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中，BBBB1 1与平面与平面 ACDACD1 1所成角的余弦值为所成角的余弦值为 （A A）（B B）（C C）（D D）33236323ADCBD1C1B1A12.在长方体在长方体 中，中，1111ABCDABC D58,ABAD=，14,AA 112,MBCBM 为上的一点,且1NAD点 在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD 1(0,8,4),AD ADANM（2）求与平面
14、所成的角.1(0,0,4),A(0,8,0),D1cos,AD AD 2 55ADANM与平面所成角的正弦值是2 55OABCSxyz3、如图，已知：直角梯形、如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的所成的 角的余弦值角的余弦值 (1)OAOC OS 解：以，为正交基底建立空间直角坐标系如图。(0 0 0)(0 01)(2 0 0)(110)OSAB则，(2 01)(110)SAOB，20010cos552SAOB ，OABCSxyz3、如图，已知：直角梯形、如图，已知：直
15、角梯形OABC中，中，OABC,AOC=90，SO面面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值 (2)(2 01)(111)SASB解：，()SABnxyz设平面的一个法向量为，201120 xzxyzxyz 取，则，(112)(0 01)SABnOS 故平面的一个法向量为，又，0026cos316nOS ，所以所以OS与面与面SAB所成角的余弦值为所成角的余弦值为334.（20102010辽宁理数）（辽宁理数）（1919）已知三棱锥已知三棱锥P PABCABC中，中，PAPAABCABC，ABABACAC，PA=AC=PA=A
16、C=ABAB，N N为为ABAB上一点，上一点，AB=4AN,M,SAB=4AN,M,S分别为分别为PB,BCPB,BC的中点的中点.（）证明：）证明：CMCMSNSN（）求）求SNSN与平面与平面CMNCMN所成角的大小所成角的大小.证明：证明：设设PA=1PA=1，以，以A A为原点，射线为原点，射线ABAB，ACAC，APAP分别为分别为x x，y y，z z轴正向建立空间直角坐轴正向建立空间直角坐标系如图。标系如图。则则P P（0,0,10,0,1），），C C（0,1,00,1,0），），B B（2,0,02,0,0），），M M（1,0,1,0,），），N N（,0,00,0），）
17、，S S（1,01,0）（）因为因为 ，所以所以CMCMSNSN（）,设设a=a=（x x，y y，z z）为平面）为平面CMNCMN的一个法向量，的一个法向量，则则所以所以SNSN与与平平面面CMNCMN所成角为所成角为4545。1(1,1,)2CM 11(,0)22SN 110022CM SN 1(,1,0)2NC 1021022,(2,1,2)x yx yxa 令得SBCMPANxyz121212小结：小结：1.异面直线所成角：异面直线所成角：coscos,CD AB 2.直线与平面所成角：直线与平面所成角：sincos,n AB 关键关键：建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标向量的坐标,将几何问题转化为代数问题将几何问题转化为代数问题.布置作业：布置作业：课本课本101页页 习题习题6,7,8
