1、第六节第六节 空间直线极其方程空间直线极其方程1.1.一般方程一般方程2.2.对称式方程与参数方程对称式方程与参数方程3.3.两直线的夹角两直线的夹角4.4.直线与平面的夹角直线与平面的夹角5.5.小结、作业小结、作业1/14xyzo1 2 若空间直线若空间直线L为两平面为两平面0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA:LL一、一般方程一、一般方程与与则则的交线，的交线，空间直线的空间直线的一般一般方程方程。2/14xyzo 如果一个如果一个非零非零向量平行于直向量平行于直线线L L，就称这个向量为直线，就称这个向量为直线L
2、 L的一的一个个方向向量方向向量sL,),(0000LzyxM 设设0M M LzyxM),(sMM0/二、对称式方程与参数方程二、对称式方程与参数方程的的一一个个方方向向向向量量，则则为为 ),(Lpnms pzznyymxx000 直线直线L的的点向式点向式方程方程或或对称式对称式方程方程。直线直线L的一组的一组方向数。方向数。3/14n/MM0 又又直线的直线的参数参数方程方程。，ntMM 0，即即),(),(000pnmtzzyyxx ptzzntyymtxx000得得:L4/14例例1 1 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线.043201 zyxzyx解解,
3、z0 令令).0,32,35(得得直直线线上上的的一一点点,04201 yxyx得得解解之之，得得，3235 yx)3,1,2()1,1,1(/s又又),3,1,4(得得对对称称式式方方程程3132435 zyx参参数数方方程程.tz,ty,tx3 32 435 5/14例例 2 2 一一直直线线过过点点)4,3,2(A，且且和和 y 轴轴垂垂直直相相交交，求求其其方方程程.解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交,所以交点为所以交点为),0,3,0(B取取BAs ),4,0,2(所求直线方程所求直线方程.440322 zyx，则则，、若若2122221111),(),(MMLzyxMz
4、yxM :L121121121zzzzyyyyxxxx 两点式两点式方程。方程。注：注：6/14例例 3 3 求过求过)3,1,2(M且与且与 L:12131 zyx垂直相交的直垂直相交的直线方程线方程.解解先作过先作过点点M且与已知直线且与已知直线 L 垂直的平面垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,，由由 tztytx1213LM N代入平面方程，得代入平面方程，得,73 t交点交点)73,713,72(N取方向向量取方向向量MN)373,1713,272(),4,1,2(76 所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyx
5、7/14另解另解:12131:)3,1,2(垂直的平面垂直的平面且与已知直线且与已知直线先做过点先做过点zyxLMLM )0,1,1(0LM L)1,2,3()3,0,3(/0 sMMns所所求求直直线线：0)3()1(2)2(3 zyx0)3()1(2)2(zyx）（1,2,16 再求过再求过M与与L的的：0)3()1(2)2(:zyx.0)3()1(2)2(3 zyx8/14:1L:2L22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的方向向量的夹角（锐角）称为两直线的方向向量的夹角（锐角）称为两直线的夹角两直线的夹角.两直线的夹角公式。两直线的夹
6、角公式。三、两直线的夹角三、两直线的夹角两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL ,0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 9/14,111111pzznyymxx ,222222pzznyymxx 直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为称为直线与平面的夹角直线与平面的夹角,:000pzznyymxxL ,0:DCzByAx),(pnms ),(CBAn 四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角 0.2),(2ns ),(2 ns 或或直线与平面的夹角公式。直线与平面的夹角公式。222222|sinpnmCBACpBnA
7、m|),cos(|sinns 10/14*例例 4 4 设设直直线线:L21121 zyx，平平面面:32 zyx，求求直直线线与与平平面面的的夹夹角角.解解),2,1,1(n),2,1,2(s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21|.637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系：L)1(.pCnBmA L)2(/.0 CpBnAm11/141、空间直线的、空间直线的一般一般方程方程.2、空间直线的、空间直线的对称式对称式方程、方程、两点式两点式方程与方程与参参数数方程方程.3、两直线的夹角、两直线的夹角.4、直线与平面的夹角、直线与平面的夹角.（注意两直线的位置关系）（注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）五、小结五、小结12/14作 业 习题7-6 4 7 16-(1)(4)思考题思考题 在在 直直 线线 方方 程程pznymx 6224中中，m、n、p各各怎怎样样取取值值时时，直直线线与与坐坐标标面面xoy、yoz都都平平行行.13/14思考题解答思考题解答),6,2(pnms ,0 ks,0 is 0206mp,0,6 mp,0 s,0 n故当故当 时结论成立时结论成立,0 m6 p,0 n14/14
