1、11012011012()()()()()()()()()mmmmmnnnnnb sb sbs z s zs zR SH SHE Sa sa sasp spspizip0mnbHa网络函数的零点和极点分析网络函数的零点和极点分析线性系统网络函数的一般描述线性系统网络函数的一般描述:为为零点零点，为为极点极点，为为增益系数增益系数。1.网络函数的极点是系统固有的特征值，网络函数的极点是系统固有的特征值，称为网络的自然频率称为网络的自然频率(固有频率固有频率)。()iU ticRC C()oUt01()11()11()iUSSCH sU sRCRSSCRC1SRC 极点极点取取 为输出，为输出，为
2、激励为激励,0()Ut()iU t网络函数为网络函数为:例：例：如图电路，如图电路，1)取取 为输出，为输出，为激励为激励,()Cti()iU t()11()11()CiISSH sU sRRSSCRC网络函数为网络函数为:1SRC 极点极点2)()iU ticRC C()oUt电路的冲击响应电路的冲击响应:111()11SCU SRCRSSCRC1SRC 极点极点3)4)电路的零输入响应电路的零输入响应:(0)(0)()11CCuuRU SSRSSCRC1SRC 极点极点网络函数决定着系统暂态分量的形式和网络函数决定着系统暂态分量的形式和系统的稳定性系统的稳定性。每一个极点代表着一个响应分量
3、的形式，极点在复平面每一个极点代表着一个响应分量的形式，极点在复平面上的分布决定其响应形态。（如图）上的分布决定其响应形态。（如图）()1,()()E Se tt 时,121121()()nniniKKKR SH SS SS SS SS S111()()nniinis ts ts tr th tK eK eK e2.网络函数极点与冲激响应的关系网络函数极点与冲激响应的关系当当（设无重极点）（设无重极点）则则()()()R SH sE S1 1j j讨论：讨论：左半平面极点为左半平面极点为衰减过渡过程衰减过渡过程右半平面极点为增右半平面极点为增长过渡过程长过渡过程虚轴极点为正弦或虚轴极点为正弦或
4、直流响应直流响应sintetsintetsint 由网络函数可判别电网络系统的稳定性。有右半平面极点由网络函数可判别电网络系统的稳定性。有右半平面极点的系统是非稳定系统的系统是非稳定系统（自激振荡）（自激振荡），通常用网络的冲击响应来，通常用网络的冲击响应来判别稳定性。判别稳定性。9.6 网络函数与输出响应网络函数与输出响应1()t()1(),()()()R SH SR SH SE SS 0()lim()(0)psrrS R SH 0()(0)sH SH一、网络函数与稳态响应关系一、网络函数与稳态响应关系1）单位阶跃）单位阶跃 稳态响应稳态响应由由由终值定理由终值定理单位阶跃激励的稳态响应值为
5、单位阶跃激励的稳态响应值为E(S)H(S)R(S)()2sin()u tt(1)H jR j()2si()n()E jUu tUt()()()R jH jE j2）单位正弦激励）单位正弦激励的稳态响应的稳态响应稳态响应相量（复数）形式为稳态响应相量（复数）形式为一般正弦激励时一般正弦激励时有有:E(S)H(S)R(S)u1(t)u2(t)RC C211()11()11()UsscH SU sRCRSscRC例：求图示电路的网络函数和频率响应。例：求图示电路的网络函数和频率响应。解：解：极点极点:1SRC()()()H jH jH j二、网络函数零极点与频率特性关系二、网络函数零极点与频率特性关
6、系（稳态频率响应分析）（稳态频率响应分析）()H Ssj()H j设网络函数设网络函数，令，令，则，则随随变化关系称为频率特性。变化关系称为频率特性。()H j11()1H jRCjRC1jRC1RC注意：注意：可由相平面图估计获得可由相平面图估计获得.为图中为图中 至至 点的相量模（长度）。点的相量模（长度）。jRC C12()H j11()1H jRCjRC2211()1()H jRCRC1()H jtg R C 频率响应频率响应幅频特性幅频特性:相频特性相频特性:极点位置对频率特性的影响极点位置对频率特性的影响(frequency2)P1P21 112,1 1P Pi 2122SS 极点
7、离虚轴较远时极点离虚轴较远时,幅幅频特性变化平缓频特性变化平缓.12,0.5 1P Pi 211.25SSP1P21 1 极点离虚轴较近时极点离虚轴较近时,幅幅频特性变化快频特性变化快.例例:图示的图示的RLC串联电路中，分串联电路中，分别以别以R、L、C上的电压作为输出，上的电压作为输出，讨论三种输出的不同特性。讨论三种输出的不同特性。RLC Cu u(t)t)u uR R(t)t)u uL L(t)t)u uC C(t)t)解解:电容电压电容电压作为输出作为输出 1211()()11()CUSSCLCH SRU SRSLSSSCLLC01,2RbLLC 201220()2H ssbs令令网
8、络零点对系统网络零点对系统特性的影响分析特性的影响分析电阻电压作为输出电阻电压作为输出 022220()2()()2iUsbsHsH ssbs2033220()()()2iUssHsU ssbs电感电压作为输出电感电压作为输出1,1,1RCF LH 设设011,0.52RbLLC121()1H sss 电容电压作为输出电容电压作为输出:121()1Hjj 低通滤波器低通滤波器Frequency3.m电阻电压作为输出电阻电压作为输出 22()1sHsss 22()1jHjj 带通滤波器带通滤波器电感电压作为输出电感电压作为输出232()1sHsss 232()1Hjj 高通滤波器高通滤波器12(
9、)()1()1CUsUH ssss RLC Cu u(t)t)u uR R(t)t)u uL L(t)t)u uC C(t)t)例例:插入微分环节改善系统频率特性插入微分环节改善系统频率特性.2()()()OiUSHSRCU SS221()()()()()OiHSHSUSU SH S U S2()1sH sss RC Cu ui i(t)t)u uo o(t)t)RR1,1RCF 9.7 冲激函数冲激函数、阶跃函数和斜坡函数的响应关系阶跃函数和斜坡函数的响应关系()h t()s t()()dh ts tdt1）系统的冲击响应）系统的冲击响应 是阶跃响应是阶跃响应 的导数的导数(零状态零状态)(
10、)()()()RSH SE SH S冲()1E S()()rth t冲证明证明:冲击响应冲击响应（冲击激励时（冲击激励时 ）1()()()()SSH S E SH SS阶阶跃激励时阶跃激励时0(0)()0tss t由于由于 （零状态情况）（零状态情况）()s t阶跃响应阶跃响应:()()(0)dLf tSF Sfdt()()(0)H SS SSS阶即有即有由拉氏变换定理由拉氏变换定理可知可知()()dh ts tdt应用：求电路冲击响应时，可先求阶跃响应，再求导得冲应用：求电路冲击响应时，可先求阶跃响应，再求导得冲 击响应。击响应。()tN N()h t1()tN N()S t()()dh t
11、s tdt()()U tt()Li t()1()U tt1()Lit11()(1)RLLtiteR11()()1()RLLLtdi titetdtL例：求例：求 时的时的 。iLRLu u(t t)解：由三要素法，直接导出解：由三要素法，直接导出时的时的冲击响应为冲击响应为()()ds tr tdt2）阶跃响应是单位斜坡响应的导数）阶跃响应是单位斜坡响应的导数（证略）（证略）1()tN N()S t1()ttN N()r t9.8 卷积积分卷积积分1）网络过渡过程激励与响应关系）网络过渡过程激励与响应关系a由多个线性组合激励产生的由多个线性组合激励产生的零状态响应零状态响应等于各个激励等于各个
12、激励 产生的零状态响应之和。产生的零状态响应之和。11()SCUUt22()SCUUt1212()()()SSCCCAUBUUtAUtBUt如图，设如图，设则则Ru uc c(t t)R2R1Us1 1Us2 2C C0t0t()()th t000()()1()tth ttttb激励延迟激励延迟 的零状态响应等于原激励零状态响应延迟的零状态响应等于原激励零状态响应延迟 。设设则如图则如图0()h tt0()tt0t()h t()t000()()1()tth tttktk()h t()e t()()1()edh tt2)卷积积分的时域物理意义卷积积分的时域物理意义设单位冲击响应为设单位冲击响应为
13、，激励函数，激励函数为为，则任一微小脉冲的，则任一微小脉冲的响应可响应可写为写为()e t()r tdt tt t()e t()r tN N()()edt()e t()r tN N的含义：的含义：t 时刻前所有激励的时刻前所有激励的累积响应累积响应组成了该时组成了该时 刻的电路状态（响应值）刻的电路状态（响应值）()r t作用：若已知冲击响应（网络函数）情况，作用：若已知冲击响应（网络函数）情况，任意激励源任意激励源作用下的作用下的零状态响应零状态响应可由可由 卷积积分计算。卷积积分计算。()e t()r tdt tt t()()()1()r ted h tt0d0()()()tr teh t
14、d对从对从0到到t的激励源作用进行积分，响应为的激励源作用进行积分，响应为当当 时有时有上式即为卷积积分公式上式即为卷积积分公式.1122()(),()()L f tF sL f tF s 112122100()()()()()()ttLF s F sff tdff td3）卷积积分及频域变换（卷积定理）卷积积分及频域变换（卷积定理）设设，则，则频域函数相乘等于时域函数的卷积。频域函数相乘等于时域函数的卷积。卷积定理卷积定理:()e t()r tN N卷积积分与网络函数卷积积分与网络函数若系统网络函数为若系统网络函数为()()()R SH sE S输出响应为输出响应为()()()R SH s
15、E S拉氏反变换为拉氏反变换为00()()()()()ttr teh tdeh t d特别注意，当激励为分段连续函数特别注意，当激励为分段连续函数001001200()()()(0)()()()()()()ttttr teh tdttr teh tdeh tdtt 时（见图）时（见图）,有有1()e tt tt t0 02()e t2003 02()0 tette ttt()Cut例：图示电路，例：图示电路，R1R2C CUce e(t t)t tt t0 0()e t123,6,0.5,RRCF 求求 的零状态响应。的零状态响应。2()0002()()()323tttttcU teh tde
16、edee d2022(1)2()1()tttttteeeeeet(02)t 2()2002()()()3213ttttcU teh tdeedee1.731()tet(2)t R1R2C CUce e(t t)()h t12121212121()1131RRH sR R CSRRSSCRR2()1()3th tet解：求解：求，由运算电路求，由运算电路求()H S9.9 状态方程状态方程一、基本概念一、基本概念状态：状态：电路（系统）状态是指确定该电路（系统）必电路（系统）状态是指确定该电路（系统）必须具备的最少信息，须具备的最少信息，这些信息这些信息和和从该时刻起输入的量从该时刻起输入的量能
17、完全确定该系统能完全确定该系统以后任何时刻的状态以后任何时刻的状态。状态变量：状态变量：状态变量是分析动态电路（系统）的状态变量是分析动态电路（系统）的独立变量。独立变量。LiLCucq电路中电路中状态变量状态变量一般为电感电流一般为电感电流 （磁链（磁链 ）和电容电压和电容电压 （电荷电荷 ）。状态方程：状态方程：由状态变量组成的描述系统变化关系由状态变量组成的描述系统变化关系的一阶微分方程组。的一阶微分方程组。C CUcR2R1LiLu u(t)t)0t00(),()LCi tut()e t0()tt（2）以后的电路状态，可由此时以后的电路状态，可由此时 初始条件初始条件及及 求出。求出。
18、（1）任一瞬间）任一瞬间 状态变量状态变量 已知，则结已知，则结 合外加激励合外加激励 可求出其余电路可求出其余电路 时的状态时的状态。0()e t0t00(),()LCi tut0t1011CCLLCLSdUUidtCdiRUiUdtLLL 整理后整理后（标准方程）（标准方程）()()CLLLCSKdUiCdtdiRiLCUUtLKVLd 二、状态方程的建立二、状态方程的建立用用KVL和和KCL手工建立状态方程手工建立状态方程例：例：u us s(t)t)RLC CiLu uC Cu us s(t)t)RLC CiLu uC C10011LLCSCCURLididLLdUUdtt矩阵形式有矩
19、阵形式有2121,CLCLdUXUXdiXiXdtdt1122 SXXAB UXX101CARLL 01BL记记则有则有（状态方程标准形式）（状态方程标准形式）XAXBUXU记记状态向量，状态向量，输入向量（激励）输入向量（激励）1122 SXXAB uXXu us s(t)t)RLC CiLu uC C输出方程的建立输出方程的建立:LUCiLLCSui RUu CLii设电感电压设电感电压 和电容电流和电容电流 为为系统输出量系统输出量，把输出描述成状态变量与外部激励的关系有把输出描述成状态变量与外部激励的关系有:110100LCLSLSCLCCLuuRiuiiuuRuii YCXDU写成标
20、准形式有写成标准形式有上式即为上式即为输出方程输出方程，记为，记为线性系统中线性系统中A，B，C，D矩阵均为常量。矩阵均为常量。状态方程状态方程XAXBU输出方程输出方程YCXDU状态变量的初始值状态变量的初始值:(0)(0)(0CLXui,CLUi例例2 列写图示电路的状态方程列写图示电路的状态方程,并建立以并建立以 为输出量的为输出量的输出方程。输出方程。u us sC CiLu uC CR1Lis siR2R2u uL L,LCi u2()0CCLsuduii tCRdt11()LCSdii RLuutdt解：取解：取 为状态变量，为状态变量，对节点列对节点列KCL:对对LC列列KVL:
21、12()()11111CCLsLCLSduuii tdtdiuiu tdtCLCCLRRL 整理后得整理后得u us sC CiLu uC CR1Lis siR2R2u uL L写成矩阵形式写成矩阵形式21111011()()0CSCSLLduu tudtiR CCCRLLLtididtXAXBU输出方程输出方程21110110()()1SCCSLLu tiuiuRRti 21()()CCLsLCLSuiii tRuuRiut 写成矩阵形式写成矩阵形式YCXDUR5uciL1L1iL2L2R3i3Us3i5R4i4C C121,1LLH CF例例3 设设3451,RRR 试建立状态方程试建立状
22、态方程.1).选择状态变量选择状态变量电感电流和电容电压为状态变量电感电流和电容电压为状态变量.取电容支路为树支取电容支路为树支，电感支路为电感支路为连支连支，选，选3，4，6为树。为树。2).标参考方向标参考方向,选有向图及树选有向图及树状态方程的系统列写法状态方程的系统列写法1 12 23 34 45 56 611224 43 33440LLCSdiLdtdiR iR iui RuLdt单连支回路单连支回路方程方程R5uciL1L1iL2L2R3i3Us3i5R4i4C C140CLdudtici割集割集(节点节点)方程方程3).列出列出电容支路电容支路的割集的割集(节点节点)电电流方程和
23、流方程和电感支路电感支路的单连支回路的单连支回路电压方程电压方程.1 12 23 34 45 56 64).列出其他支路的割集列出其他支路的割集(节点节点)电电流方程和单连支回路电压方程流方程和单连支回路电压方程.R5uciL1L1iL2L2R3i3Us3i5R4i4C C35324100LLiiiiii55333440CSi Rui Ri Ru节点方程节点方程回路方程回路方程1 12 23 34 45 56 6R5uciL1L1iL2L2R3i3Us3i5R4i4C C434113432244CLLSLCduCidtdiLRRUiiiidtdiLRudt含有含有状态变量导数状态变量导数的方程
24、：的方程：3534345123453000LLsCiiRRRuiiuiiiii补充方程：补充方程：R5uciL1L1iL2L2R3i3Us3i5R4i4C C312341231()312113333LLSCLLSCiiiuuiiiuu 5).由补充方程解出非状态变量由补充方程解出非状态变量12122321133122333221333212133331313CLLCLLCLLLSLSSCdudtdidtdiuiiuiiuduutiiu6).消去非状态变量消去非状态变量,整理得状态方程：整理得状态方程：122333221333212333n n A131313n mBR5uciL1L1iL2L2
25、R3i3Us3i5R4i4C C写成矩阵形式写成矩阵形式XAXBU12CLLuXii3SUunm状态变量数状态变量数激励源数激励源数解法解法2LiLdiLdtCduCdtCU 电容等效为电压源电容等效为电压源 ，电电感等效为电流源感等效为电流源 ，用迭加定理，用迭加定理直接直接写出电感电压写出电感电压 和电容和电容电流电流 .R5uciL1L1iL2L2R3i3Us3i5R4i4C C模拟迭加法模拟迭加法1L11LdiLdt1Li5341111345()23LLLR RRuiiRRR 为电感两端的电压为电感两端的电压.对对 电感电压由电感电压由迭加定理迭加定理求求:作用作用:1)R5uciL1
26、L1iL2L2R3i3Us3i5R4i4C CuL1R5uciL1L1iL2L2R3i3Us3i5R4i4C CuL1CU341234523LCCRRuuuRRR 作用作用:2Li45132234513LLLR RuiiRRR3SU5143334513LSSRuuuRRR作用作用:作用作用:112322113333LCLLSdiuiiudt合成后合成后:R5uciL1L1iL2L2R3i3Us3i5R4i4C CiC34121134523LCLLRRiiiiRRR35232234523LCLLRRiiiiRRRCduCdt1345113CCCCuiuuRRR 同理，对电容同理，对电容C由迭加定
27、理求由迭加定理求()CiR5uciL1L1iL2L2R3i3Us3i5R4i4C CiC3433345113SCSSuiuuRRR 12312213333CCLLSduuiiudt 合成后合成后:R5uciL1L1iL2L2R3i3Us3i5R4i4C CuL22L22LdiLdt352134523CLCCRRuuuuRRR 541221134523LLLLR RiuiiRRR43243334513SLSSRuuuuRRR3542231345()23LLLLRRR RiuiiRRR 对电感对电感 由迭加定理求由迭加定理求212322213333LCLLSdiuiiudt 合成后合成后:包含有包
28、含有纯电容和独立电压源的回路纯电容和独立电压源的回路，以及，以及纯电感和纯电感和独立电流源的割集（节点）独立电流源的割集（节点），独立状态变量数独立状态变量数 n=电容数电容数+电感数电感数病态回路和割集（节点）数病态回路和割集（节点）数u u(t)t)C C1 1C C2 2LRiSiL1Cu2Cu注意注意:不为独立变量不为独立变量,不能选为状态变量不能选为状态变量!12()CCuuu t 含有病态电路的处理含有病态电路的处理1C2CSU12CCSUUU1CU2CUu us sC C1 1C C2 2LRiSiL1Cu2Cu例：列出图示电路的状态方程例：列出图示电路的状态方程解：解：、为一病
29、态回路为一病态回路,即即 和和 只能选一个为状态变量，只能选一个为状态变量，1,CLui设设 为状态变量，则有为状态变量，则有121210()CCLSSCCLduduCCidtddiuLR iiudtt12CCSuuu补充方程补充方程代入代入1121()0CSCLdudCCuuidtdt12212110011010SCCSLLsduCCCRCCRLLdudtudtudLiidti矩阵形式矩阵形式1212121111CsLLCLSSduduCidtCCCCdtdiRuiuRidtLLL 经整理得经整理得u us sC C1 1C C2 2LRiSiL1Cu2CuXAXBu(0)X三、三、1）拉氏
30、变换法）拉氏变换法(解析解解析解)例：设状态方程和初始值分别为例：设状态方程和初始值分别为求求()X t。1()010236CLCLduutidttdid 4(0)0(0)CLui ()Cut()Li t求求 和和。()Cu t1 11 12 23 32 23 3()Li t状态方程的求解状态方程的求解解：对原式求拉氏变换解：对原式求拉氏变换()(0)()()sX sXAX sBU s()()(0)()sA X sXBU s1()401(001)()00236CLUSISSSS ()010()(0)1()236()(0)CCCLLLU SSU SuI SSSI Si 4(0)0(0)CLui
31、41623CLUSISS11(1)()(0)()1)X sXUAsBssA1213 1123232SSSSSS2463 1412116232(2)(1)2CLUSSSISSSSSS 321122212SSSSS 22()3 2 (0)()22ttCttLu teeti tee a.符号解符号解-(1)()(0)()sA X sXBU s()401(001)()00236CLU SI SSSS 11(1)()(0)()1)X sXUAsBssA41623()()CLUSISSSSttxxuStatehuhao1.mclc;syms t s;tt=s-1;2 s+3ty=inv(tt)u=4;6/
32、sxx=ty*uxt=ilaplace(xx,s,t)xt=-exp(-2*t)+2*exp(-t)+3-2*exp(-t)+2*exp(-2*t)计算结果计算结果:22()3 2()22(0)ttCttLu teei tetet=0:0.01:5;%定义自变量取值数组定义自变量取值数组uc=3+2.*exp(-t)-exp(-2*t);%计算与自变量相应的计算与自变量相应的y0数组数组il=2.*exp(-t)-2.*exp(-2*t);%计算与自变量相应的计算与自变量相应的y数组数组plot(t,uc,-r,t,il,-b)%用不同颜色、线型绘制曲线用不同颜色、线型绘制曲线grid%画坐标
33、分格线画坐标分格线 计算结果作图计算结果作图:Statetu.m电压电流波形电压电流波形clc;syms t s;a=0 1;-2-3;b=0;6;a0=4;0;ut=1uts=laplace(ut,t,s);p=eye(2);xs=(inv(s*p-a)*(a0+b*uts);xt=ilaplace(xs,s,t)Statehuhao2.m1()010236CLCLduutidttdid 4(0)0(0)CLui 1()(0)(1)()X sXBUAss1()()X tXLS1001b.仿真数值解仿真数值解-state121014(0)0(0)CLUi 1()010236CLCLduutid
34、ttdid 1 000 101()CLLCuiuti 状态方程状态方程XAXBU输出方程输出方程YCXDU0123A06B 1 00 1C00D 1()Sut4(0)0 x 计算仿真结果计算仿真结果:9.10 过渡过程问题的解过渡过程问题的解(0)0,(0)0.CLUi()CUt例例:Us(t)RLC CUc求求.()1()SUtt1,CF1,2,3.设设:1,LH分别为分别为R22ddddCCCSUULCRCUUtt解解:电路方程电路方程22dd1ddCCCUURUtt(0)(0)0,0.CCduudt1.时域方程建模时域方程建模(数值解数值解)22dd1ddCCCUURUtt(0)(0)0
35、,0.CCduudt22d1(dd)dCCCUttUUtR计算仿真结果计算仿真结果:1,CF1,LH3R 2R 1R Us(t)RLC CUc2.频域建模计算频域建模计算(0)0,(0)0.CLUi()CUt例例:求求.()1()SUtt1,CF1,2,3.设设:1,LH分别为分别为R211()11CSUSSRSSRS1SRS1S()CUS21()1CUSSRS1R uc=1/3*i*3(1/2)*(-exp(1/2*(-1+i*3(1/2)*t)+exp(-1/2*(1+i*3(1/2)*t)1313()(2)2212 3sin(3)33()3iittCtuteeie a)反变换求解析解反变换求解析解:(,)ftilaplace fs s t2R uc=t*exp(-t)Ctute3R uc=1/5*5(1/2)*(exp(1/2*(-3+5(1/2)*t)-exp(-1/2*(3+5(1/2)*t)3535225()5Cuee b)传递函数建模数值解传递函数建模数值解21()1CUSSRS1R 3R 3.状态方程建模计算状态方程建模计算Us(t)RLC CUcd1dd11dCLLCLSuitciRuiutLLL CLuXi0(0)0X 011AR01B 1()SUt10C 0D 状态方程状态方程XAXBU输出方程输出方程YCXDUCYu计算结果计算结果:
