1、目的：掌握一般可测函数积分的定义，熟悉它与广义Riemann积分的异同，掌握并能证明一般可测函数积分的性质。重点与难点：一般可测函数的积分与广义Riemann积分的异同，可测函数积分的性质。基本内容：一有界可测函数积分的性质（续）问题问题1 1：如果如果f(x)f(x)是区间是区间a,ba,b上的非负上的非负RiemannRiemann可积函数，且可积函数，且a ab bf(x)dxf(x)dx=0,=0,则则f(x)=0f(x)=0。如果将区间换成有限测度集，非。如果将区间换成有限测度集，非负负RiemannRiemann可积函数换成非负可测函数，可积函数换成非负可测函数，结果如何？结果如何
2、？问题问题2：如何用集合表示：如何用集合表示f(x)0的那些点？的那些点？问题问题3：问题问题1中，有没有可能中，有没有可能f(x)0？定理3 设 f 是E上的有界可测函数,若 且 则证明：任取正数，则由积分的可加性，得,mE,.0)(Eeaxf Edxxf,0)(。.0)(Eeaxf ExfxExfxEdxxfdxxfdxxf)(|)(|)()()(由于 故 ，又由积分的单调性得于是 ，然而由假设 ，所以 ，,.0Eeaf )(0)(xxfEdxxf )(|)(|)(|)(xfxExfxExfxmEdxdxxf ExfxmEdxxf)(|)(Edxxf0)(0)(|xfxmE特别地，对任意
3、进而证毕。，01)(|,nxfxmENn0 1)(|0)(|1 nnxfxEmxfxmE二一般可测函数的积分问题问题4 4：如果：如果E E是有限测度集，是有限测度集，f(x)f(x)是是E E上的上的非负可测函数（可能无界），如何将有非负可测函数（可能无界），如何将有界可测函数的积分推广到这种情形？界可测函数的积分推广到这种情形？（1）有限测度集上非负可测函数积分的定义问题问题5 5：如果：如果E E是有限测度集，是有限测度集，f(x)f(x)是是E E上的上的可测函数（可能无界，也未必非负），可测函数（可能无界，也未必非负），如何将有界可测函数的积分推广到这种如何将有界可测函数的积分推广到
4、这种情形？情形？与广义Riemann积分类似，Lebesgue积分也分无界可测函数以及定义域为无限测 度 集 等 情 形。但 其 定 义 与 广 义Riemann积分有所不同。定义2 设 是E上的非负可测函数，对每一正数m，令)(,xfmE ),(min)(mxfxfm 则 是E上的非负有界可测函数，由定理1知每个 在E上可积，由于 是单调数列，故 总是存在的（允许等于+），记 ，称 为 在E上的积分，若 ，则 mfmf Emdxxf)(Emmdxxf)(lim EmmEdxxfdxxf)(lim)(Emdxxf)()(xf Edxxf)(称 为E上的Lebesgue可积函数。(2)有限测度集
5、上一般可测函数积分的定义问题问题6 6：如果如果mEmE=,=,如何定义如何定义E E上非负可上非负可测函数的积分测函数的积分？)(xf定义3 设 是E上的可测函数，若 在E上的积分至少有一个不为 +，则称 在E上有积分，并记若 为有限数，则称 在E上Lebesgue可积。)(,xfmE ff,)(xf EEEdxxfdxxfdxxf)()()(Edxxf)()(xf 容易看到，若 是E上有界可测函数，则 与前面定义的积分是一致的，特别应该注意的是，称 在E上Lebesgue可积当且仅当其正部 及负部 都可积，因此，显然有 在E上Lebesgue可积当且仅当 在E上Lebesgue可积。这与)
6、(xf Edxxf)()(xf f f)(xf|)(|xfRiemann积分大不相同，例如，若则不难证明，是0，1上的广义Riemann可积函数，然而 不是广义Riemann可积的。0 x 010,1sin1)(xxxxf)(xf|)(|xf（3）无限测度集上非负可测函数的积分定义问题问题7 7：如果如果mEmE=,=,如何定义如何定义E E上一般可上一般可测函数的积分测函数的积分定义4 设 是E上的非负可测函数，对任意正整数m，令 ，其中 ，显然 在每个Em上有积分（积分值可能为+），记 ,显然Jm是单调递增的，故极限总是存在的。定义 在E上的积分为 )(xfmmSEE|mxRxSnm mE
7、dxxfJm)()(xf)(xf若 为有限数，则称 在E上Lebesgue可积。(4)无限测度集上一般可测函数积分的定义定义5 设 是E上的可测函数，对任意正整数m，同定义4，记 mEmmmEdxxfJdxxf)(limlim)(Edxxf)()(xf)(xfmE若 与 至少有一个不为+，则称 在E上有积分并记若 均为有限数，则称 在E上Lebesgue可积。mmEEmmdxxfJdxxfJ)(,)(EEdxxfdxxf)(,)(mmJlim mmJlim EEEdxxfdxxfdxxf)()()()(xf)(xf三可积函数积分的性质问题问题8 8：对对RiemannRiemann积分而言，积
8、分而言，f f与与|f|f|的的可积性是否相同？对可积性是否相同？对LebesgueLebesgue积分而言，积分而言，情形又如何？情形又如何？f与|f|的可积性可以证明：对E上任一非负可测函数f，有所以定义5中 的积分也可以定义为 mkkEmmEmEkmmmkdxxfdxxfdxxf)(lim )(lim)(limlim EEmmdxxfdxxfm)(lim)()(xf 从定义5不难看到，可积性与 的可积相同，即有定理4 设 是可测集E上的可测函数，则 在E上Lebesgue可积当且仅当 在E上Lebesgue可积。)(xf|)(|xf)(xf)(xf|)(|xf问题问题9 9：有限测度集上
9、有界可测函数的积分有限测度集上有界可测函数的积分性质能否推广到一般可测函数的积分情性质能否推广到一般可测函数的积分情形（包括有限测度集上的可测函数与无形（包括有限测度集上的可测函数与无限测度集上的可测函数）？限测度集上的可测函数）？定理2中的（i）(iv)对于一般可积函数也同样是正确的。其证明需实施一下极限手续。*定理5 如果E是可测集，则(i)当 在E上可测，在E上非负可积，时，也在E上可积，且)(xf)(xg)(|)(|xgxf)(xf证明 因为 ，故当时，有 EEdxxgdxxf)(|)(|)(|)(|xgxf Edxxg)(kkEEmmdxxgdxxf)(|)(|kEEdxxgdxxg
10、)()(其中 是任意正整数，于是由积分定义立知 可积，且 。(ii)当 是E的互不相交的可测子集，在E上有积分时，在每一Ei上有积分，且mk,|)(|xf EEdxxgdxxf)(|)(|mEE，1)(,1xfEEmii )(xf mEEEEdxxfdxxfdxxfdxxf)()()()(21特别地，当 是E上的非负可测函数时，证明 只需就情形 证之，一般情利用归纳法可证。由定理2知，对任意正整数 有midxxfdxxfEiE,2,1 ,)()()(xf2 mmk,kkkEEEEEmmmdxfdxfdxf12施行极限手续后立知显然当 存在时，与 kkkEEEEEmmmdxfdxfdxf12 E
11、EEdxfdxfdxf112 EEEdxfdxfdxf112 Edxxf)(1)(Edxxf 2 2E Ef(x)dxf(x)dx都存在，且由此可见f 在E上可积时，f 在 上均可积，且当f可积时，有(iii)对任意常数c，。证明 不妨设 ，由于。)()()(21 EEEdxxfdxxfdxxf21,EE。)()()(21 EEEdxxfdxxfdxxf EEdxxfcdxxcf)()(0 c cfcfcfcf)(,)(且 ，故同理所以cmmfccf)(EEmkmkdxcfdxcf)(lim)(kEEcmkmdxfcdxfc)(lim EEdxcdxcf)(EEdxfcdxcf (iv)若 都
12、是E上的可积函数，则证明 首先设 都是非负可测函数，注意到对任意m，有于是)(),(xgxf EEEdxxfdxxfdxxgxf)()()()(gf,2mmmmgfgfgf kkkEEEmmmdxgdxfdxgf由 的可积性知所以 kEmdxgf2gf,kkEEEEmmkmdxxgdxxfdxgdxf)()(lim kEEEmkmdxxgdxxfdxgf)()(lim kEmkmdxgf2lim由第一个不等式知 可积，且由第二个不等式知因此gf EEEdxxgdxxfdxgf)()(EEEdxgfdxxgdxxf)()()(EEEgdxdxfdxgf 下设 是一般可积函数，则不难证明因此，若
13、都是可积函数，则 也是可积的，注意到gf,gfgfgfgf)(,)(gf gf,gfgfgf )()()(gfgf所以有进而上面已证非负函数的积分具有可加性，于是 )()(gfgfgfgf EEdxgfgfdxgfgf)()(故 EEEdxgdxfdxgf)(EEEdxgfdxgdxf)(EEdxgfdxgf)()(),()(EEEEdxgdxgdxfdxf 即 证毕。(v)当 在E上有积分，且 时，。证明 现设 在E上有积分，且)(xf.)()(Eeaxgxf EEdxxgdxxf)()(EEEgdxfdxdxgf)()(xf,.)()(Eeaxgxf 记 ，则 且 ，由积分的可加性得)()
14、(),()(21xgxfExgxfE 212,0EEmE21EEE EEEdxxfdxxffdx12)()(12)()(EEdxxfdxxg由于对一切有界可测函数，有 ，故由定义2、3不难得知对E上一切可测函数 。所以 ，又因f在E上有积分，从而不难证明在E1上也有积分，而在E1上，因此g在E1上有积分。再次由积 20)(Edxxf 20)(),(Edxxhxh 2 22 2E EE E0 0g(x)dxg(x)dxf(x)dxf(x)dxgf 分的定义，通过极限手续知 在E上也有积分，且 证毕。)(xg EEEdxxgdxxgdxxg12)()()(iEEdxxfdxxg1)()(12)()
15、()(EEEdxxfdxxfdxxf(vi)当 都在E上有积分，且 时 。证明 记 则 ，于是 在E上有积分，且 又 在E上均有积分，且 ，所以由)(),(xgxf)()(Exxgxf EEdxxgdxxf)()(),()()(xfxgxF 0)(xF)(xF EdxxF,0)()(),(xgxf)()()(xfxFxg ggfff,得 ，类似(iv)的证明可知若 ，则不等式 显然成立；若 ，则因 存在，故 ffFfg EEEEEdxgdxfFdxdxfdxg EEdxgdxf Edxg EEfdxgdx Edxg Egdx 从而由上面的不等式知 ，于是有 ；类似地，若 ，则于是有 若 ，则
16、，因此不等式 仍然成立。证毕。，Edxg Edxf EEfdxgdx Edxf Edxg,EEfdxgdx;Edxf Efdx EEfdxgdx Riemann积分与Lebesgue积分的关系我们曾经提到Lebesgue积分是Riemann积分的推广，然而对广义Riemann积分来说，Riemann可积性并不意味着Lebesgue可积性，这从前面的例子已经看到，那么，通常意义下的Riemann可积性是否意味着Lebesgue可积性呢？如 果不是的话，则就不能认为Lebesgue积分是Riemann积分的自然推广，幸运的是，答案是肯定的，即我们有*定理6 如果有界函数 在闭区间a,b 上是Rie
17、mann可积的，则 在a,b 上也是Lebesgue可积的，且)(xf)(xf此处 表示 在 a,b上的积分，表示 在a,b上的Riemann积分。证明：显然，由定理1，只需证明 是a,b上的可测函数。,)(badxxf ,)()(babadxxfdxxffLebesgue badxxf)(ff由于Riemann可积，取a,b的分点组 ，记分别为 在 上的下确界与上确界，由Riemann积分的定义知 1)()(1)(0,:,mmmimmmDbxxxaDmD0max)()(1)(1 mimiiixxmDm)()(,mimiMm,)()(1mimixx f令 为如下的函数列：badxxf)(m m
18、m mi i1 1i ii i1 1i i(m)(m)1 1i i(m)(m)i i(m)(m)i i(m)(m)1 1i i(m)(m)i i(m)(m)i im m)x x(x(xM Mlimlim)x x(x(xm mlimlim,mm axafxxxmxmimimim )(,()()()(1)(axafxxxMxmimimim )(,()()()(1)(则 因，故当区间长度缩小时，上确界不增，下确界不减，所以于是 ，即1 mmDDfm 21fm 321ffffmmmm lim,limfff 注意到 都是有界可测的，所以是非负Lebesgue可积函数，从而ff,ff 0)(,bababadxfdxfdxff bamimibaiimimbadxxfxxmdxxdxxfm)()()()()(1)(,1)(,这说明故换言之 由本节定理3知，进一步 bamimibaiimimbadxxfxxmdxxdxxfm)()()()()(1)(,1)(,bababadxxfdxxfdxxf,)()()(bababadxxfdxxfdxxf,)()()(。0)()(,badxxfxf.,.baeafff 因此f 在a,b上可测，证毕。作业：P167 6，7，9
