1、第第2 2章章 点、线、面的投影点、线、面的投影2.1 2.1 投影法的基本概念投影法的基本概念2.2 2.2 点的投影点的投影2.3 2.3 直线的投影直线的投影2.4 2.4 平面的投影平面的投影2.1 2.1 投影法的基本知识投影法的基本知识投影概念投影概念S 投影中心投影中心 Bc投影线投影线投影面投影面 P C Aba投影投影投影法种类投影法种类中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法S 投影中心投影中心A投影线投影线(a)(a)中心投影法中心投影法P PP P(b)(b)平行投影法平行投影法1.1.常用的投影方法有两大类常用的投影方法有两大类P b cCBACBA b caa投影中
2、心、物体、投影面之间的相对距离对投影的大小有影响。投影中心、物体、投影面之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差。度量性较差。物体位置改物体位置改变，投影大变，投影大小也改变。小也改变。投影线投影线物体物体投影面投影面投影投影投影中心投影中心2.1.1 2.1.1 中心投影法中心投影法 投影线都从一个投影中心投射出来的投影法投影线都从一个投影中心投射出来的投影法透视图透视图2.1.2 2.1.2 平行投影法平行投影法 投影线相互平行的投影法称为平行投影法。投影线相互平行的投影法称为平行投影法。在平行投影法中又分为两种：在平行投影法中又分为两种：(1)(1)正投影法正投影法-投影线与投影面垂
3、直的平行投影投影线与投影面垂直的平行投影工程图、工程图、正轴测图正轴测图 (2)(2)斜投影法斜投影法-投影线与投影面投影线与投影面倾斜倾斜的平行投影的平行投影斜轴测图斜轴测图H(a)正投影法(b)斜投影法斜投影法HcCBbBCbcAAaa 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好。投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好。2.1.2 2.1.2 平行投影法平行投影法 投影线相互平行的投影法称为平行投影法。投影线相互平行的投影法称为平行投影法。在平行投影法中又分为两种：在平行投影法中又分为两种：(1)(1)正投影法正投影法-投影线与投影面垂直的平行投影投影线与投影面垂直的平行投
4、影工程图、工程图、正轴测图正轴测图 (2)(2)斜投影法斜投影法-投影线与投影面投影线与投影面倾斜倾斜的平行投影的平行投影斜轴测图斜轴测图H(a)正投影法(b)斜投影法斜投影法HcCBbBCbcAAaa 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好。投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好。正投影法：能反应物体的真实大小且作图简便正投影法：能反应物体的真实大小且作图简便正投影与三面视图正投影与三面视图 视图：机件向投影面投影所得到的图形为视图视图：机件向投影面投影所得到的图形为视图 仅有一个视图不能说明物体空间形状和结构H HW WV V三视图的形成三视图的形成投影面投影面正立投影
5、面正立投影面（简称正面或（简称正面或V V面）面）水平投影面水平投影面（简称水平面或（简称水平面或H H面）面）侧立投影面侧立投影面（简称侧面或（简称侧面或W W面）面）投影轴投影轴O OX XZ ZOXOX轴轴 V V面与面与H H面的交线面的交线OZOZ轴轴 V V面与面与W W面的交线面的交线OYOY轴轴 H H面与面与W W面的交线面的交线三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直Y YV VW WH H PbAP采用多面投影。过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。B3B2B1 点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。点在一个投影面上的投影点在一个投影面上的投影a解决
6、办法？2.2 2.2 点的投影点的投影2.2.1 2.2.1 点在两个投影面上的投影点在两个投影面上的投影W WH HV VO OX XZ ZY Ya 点点A A的正面投影的正面投影a点点A A的水平投影的水平投影a 点点A A的侧面投影的侧面投影a aa A A标记规定：标记规定：1.1.空间点用大写字母表示空间点用大写字母表示2.2.点的投影用小写字母表示点的投影用小写字母表示2.2.2 2.2.2 点的三面投影点的三面投影H HX XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayW向右转向右转H面向下翻面向下翻V面不动面不动W WV Va aa ZYWYHXV Va 投
7、影面展开投影面展开aX XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a aax=a ax=aay=xaazayY YZ Zaza X XY YayO Oaxaya=y=A Aa （A A到到V V面的距离）面的距离）a az =x =A Aa（A A到到W W面的距离面的距离）a ay=z =A Aa （A A到到H H面的距离面的距离）a azXZY点的直角坐标点的直角坐标X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a 1.aaOX轴3.aaxaazayY YZ Zaza X XY YayO Oaaxaya 2.aaOZ轴=yaaz点的投影规律点的投影规律=xa aaxa a
8、 aaxaa方法一方法一:方法二方法二:a 通过作通过作4545线使线使a az=aax用圆规直接量取用圆规直接量取a az=aaxzz 例例1 1 已知点的两个投影，求第三投影。已知点的两个投影，求第三投影。例例2 2 已知点已知点A A（1010，1212，1515），求作它的三面投影。），求作它的三面投影。aa a 特殊位置的投影特殊位置的投影定义定义:空间点在投影面上或投影轴上空间点在投影面上或投影轴上,称之为特殊位置的点称之为特殊位置的点.分类分类:投影面上的点投影面上的点投影轴上的点投影轴上的点投影特性投影特性:投影面上的点投影面上的点:必有一个坐标为零必有一个坐标为零在该投影面上
9、的投影与该点自身重合在该投影面上的投影与该点自身重合,在另两个投影面上的投影分别在相应的投影轴上。在另两个投影面上的投影分别在相应的投影轴上。投影轴上的点投影轴上的点:必有两个坐标为零必有两个坐标为零在包含该轴的两个投影面上的投影都与该点自身重合在包含该轴的两个投影面上的投影都与该点自身重合,在另一投影面上的投影则与原点在另一投影面上的投影则与原点O O重合。重合。坐标原点上的点：坐标原点上的点：三个坐标都为零三个坐标都为零三个投影都与该点自身重合三个投影都与该点自身重合 两点的相对位置指两点在空间两点的相对位置指两点在空间的的上下、前后、左右上下、前后、左右位置位置关系。关系。判断方法：判断
10、方法：X X坐标大的在左坐标大的在左b aa a b bX XY YY YZ Zo oB B点在点在A A点之前点之前B B点在点在A A点之下点之下B B点在点在A A点之右点之右 Y Y坐标大的在前坐标大的在前Z Z坐标大的在上坐标大的在上2.2.3 两点的相对位置两点的相对位置 例例3 3 已知已知A A点的点的V V面投影面投影a和和W W面投影面投影a，求作求作A A点点的的H H面投影面投影a。XZYHYWa a aObb 你会画你会画B B点的投影吗？点的投影吗？b aaAabbbBVXWHZYO()a cc 重影点：重影点：空间两点在某一投空间两点在某一投影面上的影面上的投影重
11、合为一投影重合为一点点时，则称此两点为时，则称此两点为该该投影面投影面的重影点。的重影点。a a c 被挡住的被挡住的投影加投影加()A、C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？A、C为为H面的重影点面的重影点aa a b b b2.3 2.3 直线的投影直线的投影 两点确定一条直线，将两点两点确定一条直线，将两点的的同面投影同面投影用直线连接，就得到用直线连接，就得到直线的同面投影。直线的同面投影。直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性2.3.1 直线及直线上点的投影特性直线及直线上点的投影特性 B BA Aab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为
12、一点 （积聚性）（积聚性）直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=ABAB（真实性）（真实性）直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短ab=ABABcos（收缩性）（收缩性）A AB Bab A AM MB Babm直线上点的投影直线上点的投影(1)(1)直线上点的投影直线上点的投影点在直线上，点的各个投影必点在直线上，点的各个投影必定在该直线的同面投影上。在该直线的同面投影上。(b)HWxYoYz(2)(2)点分割线段成定比点分割线段成定比 点分割线段成定比，则分割线段的各个投影之比等点分割线段成定比，则分割线段的各个投影之比等于其线段
13、之比。于其线段之比。AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb(a)YZXABWHVo例例1：判断点：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。c abca b abca b c 在在不在不在a b c aa b c bc不在不在应用定比定理应用定比定理另一判断法另一判断法?例例2：已知点：已知点K在线段在线段AB上，求点上，求点K正面投影。正面投影。解法一：解法一：（应用第三投影）（应用第三投影）解法二：解法二：（应用定比定理）（应用定比定理）aa b bka bkk aa b bkk 2.3.2 直线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投
14、影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般一般位置位置直线直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置 投影面平行线投影面平行线X XZ ZbaaabbO OY YY Y水水平平
15、线线实长实长 在其平行的那个投影在其平行的那个投影 面上的投影反映实长，面上的投影反映实长，并反映直线与另两投并反映直线与另两投 影面倾角的实大。影面倾角的实大。另两个投影面上的投另两个投影面上的投 影平行于相应的投影影平行于相应的投影 轴，其到相应投影轴轴，其到相应投影轴 距离反映直线与它所距离反映直线与它所 平行的投影面之间的平行的投影面之间的 距离。距离。投影特性：投影特性：V VH HabAaaBbbW W判断下列直线是什么位置的直线？判断下列直线是什么位置的直线？侧平线侧平线正平线正平线与与H面的夹角面的夹角:与与V面的角面的角:与与W面的夹角面的夹角:实长实长 实长实长 b a a
16、ba b b aa b ba 直线与投影面夹角的表示法：直线与投影面夹角的表示法：反映线段实长，且垂直反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。于相应的投影轴。投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 另外两个投影另外两个投影，在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有积聚性。投影有积聚性。投影特性投影特性:a b a(b)a b c(d)cdd c e f efe(f)一般位置直线一般位置直线Z Z Y YaO OX XabbaY Yb 三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个并不反映空间线
17、段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。的实长。投影特性投影特性H HaaAb V VBbW Wa b 2.3.3 两直线的相对位置两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉（异面）。平行、相交、交叉（异面）。（1 1）两直线平行）两直线平行若空间两直线平行，则其各若空间两直线平行，则其各同面投影同面投影必相互平行；必相互平行；若两直线的各同面投影均平行，则该空间两直线平行。若两直线的各同面投影均平行，则该空间两直线平行。bcdH HAdaCcV VaDbBacdbc
18、dabO OX X 若空间两直线相交，则此两直线的同面投若空间两直线相交，则此两直线的同面投影定相交，且交点一定符合点的投影规律。影定相交，且交点一定符合点的投影规律。Kkkk k（2 2）两直线相交）两直线相交 在空间既不平行又不相交的两直线在空间既不平行又不相交的两直线叫交叉两直线叫交叉两直线（3 3）两直线交叉）两直线交叉 同面投影可能相交，但同面投影可能相交，但 “交点交点”不符合空间一个点的投影规律不符合空间一个点的投影规律。“交点交点”是两直线上的一是两直线上的一 对对重影点的投影重影点的投影 例例 判别下列直线的空间位置，并画出第三投影。判别下列直线的空间位置，并画出第三投影。水
19、平水平一般位置一般位置侧垂侧垂 例例 过过A A点作正平线点作正平线ADAD与直线与直线BCBC相交，相交，D D点在点在BCBC上。上。dd2.3.4 用直角三角形法作直线的实长用直角三角形法作直线的实长 及其对投影面的倾角及其对投影面的倾角ababVHXOABCDa babZyXOAB实长2.3.5 一边平行于投影面的直角的投影一边平行于投影面的直角的投影空间的直角投影有如下的特性：空间的直角投影有如下的特性：若直角中有一边平行于某一投影面，若直角中有一边平行于某一投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。则它在该投影面上的投影仍为直角。5.5.平面平面2.4 2.4 平面的投影平面的投影2
20、.4.1 2.4.1 平面的表示法平面的表示法1.1.三点三点2.2.一直线一直线和线外一点和线外一点3.3.相交两相交两4.4.平行两平行两直线直线直线直线图形图形几何元素表示法几何元素表示法迹线表示法迹线表示法 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性2.4.2 2.4.2 平面相对投影面的位置关系平面相对投影面的位置关系垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性平面平行投影面平面平行投影面投影就把实形现投影就把实形现平面垂直投影面平面垂直投影面投影积聚成直线投影积聚成直线平面倾斜投影面平面倾斜投影面投影类似原平面投影类似原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性平行平行2.4.2
21、 2.4.2 平面相对投影面的位置关系平面相对投影面的位置关系平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般一般位置位置平面平面特殊特殊位置位置平面平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面（1 1）一般位置平面）一般位置平面 一般位置平面对三个投影面都倾斜，因此它的一般位置平面对三个投影面都倾斜，
22、因此它的三面投影均为小于实形的类似形。三面投影均为小于实形的类似形。（2 2）投影面垂直面）投影面垂直面垂直一个投影面，且倾斜于另二个投影面的平面。垂直一个投影面，且倾斜于另二个投影面的平面。面，面，积聚为一直线 正垂面正垂面H面投影和W面投影均为类似形。H面，积聚为一直线 铅垂面铅垂面V面投影和W面投影均为类似形。Y YH HW WA Aa V Va a X XO Ob a c b c abcB BC CH HO Ob B BC CX Xb H HY YY YW WZ Zabcc b c W面，面，集聚为一直线 侧垂面侧垂面V面投影和H面投影均为类似形。（3 3）投影面平行面投影面平行面平行
23、于一个投影面，必垂直于另外两个投影面的平面。平行于一个投影面，必垂直于另外两个投影面的平面。V面投影反映实形。H面投影和W面投影积聚为一直线。正平面正平面H H面投影反映实形。面投影反映实形。V V面投影和面投影和W W面投面投影积聚为一直线影积聚为一直线。水平面水平面W W面投影反映实形面投影反映实形。V V面投影和面投影和H H面投面投影积聚为一直线影积聚为一直线。侧平面侧平面OWHZYYXcbbccboYZXWHVcbcbcbCBA 例例 已知平面图形的已知平面图形的V V面和面和H H面投影，求其面投影，求其W W面投影。面投影。11“12”（2）22.4.3 2.4.3 平面上的点和
24、直线平面上的点和直线平面上的点和直线具有以下特性：平面上的点和直线具有以下特性：(1)(1)如果一点位于平面上的一已知直线上，则该点必定在如果一点位于平面上的一已知直线上，则该点必定在该平面内。该平面内。(2)(2)一直线通过平面内的两个点，则此直线必定在该平面内。一直线通过平面内的两个点，则此直线必定在该平面内。(3)(3)如果一直线通过平面内的一个点，且平行平面内的另如果一直线通过平面内的一个点，且平行平面内的另一直线，则此直线必定在该平面内。一直线，则此直线必定在该平面内。Fff1.1.过过d作作df/ab2.2.过过d d作作df/df/ab b 例例 如图示，已知如图示，已知ABCA
25、BC表示的铅垂面上一点表示的铅垂面上一点K K的正面投影的正面投影kk，试求试求K K点的水平投影。点的水平投影。例例 完成平面四边形完成平面四边形ABCDABCD的水平投影。的水平投影。例例 直线直线MNMN是是ABCABC面内的直线，已知面内的直线，已知V V面投影面投影mnmn,求其求其H H面的投影面的投影mnmn。m n 例例1010已知已知ABCABC的的H H、W W面投影，求该平面面投影，求该平面 图形的图形的V V面投影。面投影。例例11 11 判别平面对投影面的相对位置。判别平面对投影面的相对位置。一般位置一般位置铅垂铅垂侧垂侧垂2.4.4 2.4.4 圆的投影圆的投影一般
26、位置圆一般位置圆XZYWYHO特殊位置圆特殊位置圆投影面垂直圆投影面垂直圆投影面平行圆投影面平行圆XZYWYHOadbccadbabd(c)XZYWYHOccc1.1.实形性实形性 当直线或平面图形平行于投影面时，其投当直线或平面图形平行于投影面时，其投影反映实长或实形。影反映实长或实形。2.2.积聚性积聚性 当直线或平面图形垂直于投影面时，其投当直线或平面图形垂直于投影面时，其投影积聚成点或直线。影积聚成点或直线。正投影法的投影特性总结正投影法的投影特性总结3.3.类似性类似性 当直线或平面图形既不平行、也不垂直于投影面时，直线当直线或平面图形既不平行、也不垂直于投影面时，直线的投影仍然是直
27、线，平面图形的投影是原图的类似形，投影小于实长或的投影仍然是直线，平面图形的投影是原图的类似形，投影小于实长或实形。实形。4.4.平行性平行性 两互相平行的直线，其投影仍然平行两互相平行的直线，其投影仍然平行。5.5.定比性定比性 两平行线段长度之比，与其投影长之比相等。直线上两线两平行线段长度之比，与其投影长之比相等。直线上两线段长度之比，与其投影长之比相等段长度之比，与其投影长之比相等。6.6.从属性从属性 直线上的点，或平面上的点和直线，其投影必在直线或平直线上的点，或平面上的点和直线，其投影必在直线或平面的投影上。面的投影上。正投影法的投影特性总结（正投影法的投影特性总结（2 2）aaa
