1、第第4章章 刚体力学刚体力学内容：内容：刚体运动学刚体运动学 刚体运动的动力学方程刚体运动的动力学方程 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动 刚体的定点转动刚体的定点转动重点：重点：刚体上任一点的速度和加速度刚体上任一点的速度和加速度 刚体运动的动力学方程刚体运动的动力学方程难点：难点：惯量张量惯量张量 定点转动定点转动 刚体可以看成任意二质点之间的相对位置保持不变的质点系，是一个刚体可以看成任意二质点之间的相对位置保持不变的质点系，是一个理想化的力学模型。本章讨论刚体运动的一般理论。理想化的力学模型。本章讨论刚体运动的一般理论。4.1 刚体运动学刚体运动学 4.1.1 刚体运动的类型及其自由
2、度刚体运动的类型及其自由度 一个包含有一个包含有n个质点的质点系的自由度为个质点的质点系的自由度为3n。对于刚体这个特殊的质。对于刚体这个特殊的质点系，只要刚体上任意三个不在一直线的质点的位置确定了，刚体的位置点系，只要刚体上任意三个不在一直线的质点的位置确定了，刚体的位置也就确定了，因此，刚体运动时能独立变化的坐标变量即自由度为也就确定了，因此，刚体运动时能独立变化的坐标变量即自由度为6（为（为什么？）。若刚体运动时受到某些约束，自由度小于什么？）。若刚体运动时受到某些约束，自由度小于6。刚体的运动有以下几种形式刚体的运动有以下几种形式 （1）平动）平动 刚体运动中刚体上任意一直线始终彼此平
3、行时称为平动，刚体平动刚体运动中刚体上任意一直线始终彼此平行时称为平动，刚体平动时刚体上所有点的速度、加速度相同，刚体上任意一点的运动都可以代表时刚体上所有点的速度、加速度相同，刚体上任意一点的运动都可以代表整个刚体的运动，其自由度为整个刚体的运动，其自由度为3，如图，如图4.1所示。所示。（2）定轴转动）定轴转动 刚体运动时，其中有两个点始终不动，则刚体绕这两点决定的直线刚体运动时，其中有两个点始终不动，则刚体绕这两点决定的直线转动，称为定轴转动（自由度多少？）转动，称为定轴转动（自由度多少？）（3）平面平行运动）平面平行运动 刚体运动时，刚体中任一点如果始终平行于一固定平面而运动。这时刚刚
4、体运动时，刚体中任一点如果始终平行于一固定平面而运动。这时刚体作平面平行运动。如图体作平面平行运动。如图4.2所示，这时只需研究刚体中任一和固定平面平所示，这时只需研究刚体中任一和固定平面平行的截面的运动就够了（行的截面的运动就够了（Why？）？）平面平行运动可视为以某点（基点）为代表的平动和绕基点的转动的合平面平行运动可视为以某点（基点）为代表的平动和绕基点的转动的合成。如图成。如图4.4所示。因此其自由度为所示。因此其自由度为3（为什么？）（为什么？）图图4.1图图4.2图图4.3 （4）定点转动）定点转动 若刚体运动中有一点固定不动，整个刚体围绕该点转动称为定点转动若刚体运动中有一点固定
5、不动，整个刚体围绕该点转动称为定点转动（实际上是绕通过该点的瞬时轴转动）。如图（实际上是绕通过该点的瞬时轴转动）。如图4.5所示，圆盘可绕对称轴所示，圆盘可绕对称轴oz转动，与转动，与oz固结的内悬架可绕固结的内悬架可绕ON轴转动，与轴转动，与ON围绕的外悬架又可围绕的外悬架又可绕固定轴绕固定轴oz转动，圆盘绕三轴的交点转动，圆盘绕三轴的交点o（始终固定不动）转动。其自由度（始终固定不动）转动。其自由度为为3（Why？）？）节线节线ON与与ox轴间的夹角，刚体绕轴间的夹角，刚体绕oz轴轴的转动角（自转角）的转动角（自转角）oz轴与轴与oz0轴间的夹角是刚体自转轴轴间的夹角是刚体自转轴oz绕绕O
6、N转动角（章动角）转动角（章动角）为了描述刚体的位形，通常取两个坐标系：以固定点为了描述刚体的位形，通常取两个坐标系：以固定点o为原点固定在为原点固定在空间（静止坐标系）空间（静止坐标系）000zyox；固定在刚体上并随刚体运动（动坐；固定在刚体上并随刚体运动（动坐标系）标系）cxyz，取取t=0时两坐标系的坐标轴重合，则刚体的运动可用坐标时两坐标系的坐标轴重合，则刚体的运动可用坐标000zyox坐标系坐标系cxyz相对于相对于来表示，如图来表示，如图4.6所示。图中：所示。图中：ON 固定坐标平面固定坐标平面00oyx与动坐标平面与动坐标平面xoy的交线（节线）。的交线（节线）。0ox0oz
7、轴与轴与ON间的夹角，描述了间的夹角，描述了oz轴（刚体自转轴）绕轴（刚体自转轴）绕（进动角）。（进动角）。转动转动 三个角坐标称为欧拉角，确定了定点转动刚体在空三个角坐标称为欧拉角，确定了定点转动刚体在空间的位置，其变化范围为间的位置，其变化范围为 上述上述 ,20,0,20 （5）一般运动）一般运动 刚体运动时不受任何约束，可以在空间任意运动，可分解为质心的平刚体运动时不受任何约束，可以在空间任意运动，可分解为质心的平动与绕通过质心的某直线的定点转动。其自由度为动与绕通过质心的某直线的定点转动。其自由度为6.000,zyx ,平动可用平动可用C点的坐标点的坐标定点转动用欧拉角定点转动用欧拉
8、角描述。描述。描述，描述，4.1.2 刚体的角速度刚体的角速度 刚体转动特性可用角位移和角速度来描述。刚体转动特性可用角位移和角速度来描述。（1）角位移）角位移t 设刚体在设刚体在时间内绕某轴线转过角度时间内绕某轴线转过角度，则角位移为，则角位移为kn （4.1）方向沿转轴，并与转动方向成右手螺旋关系。方向沿转轴，并与转动方向成右手螺旋关系。角位移是有方向的量，但不一定就是矢角位移是有方向的量，但不一定就是矢量。理论和实验证明：有限转动的角位移不量。理论和实验证明：有限转动的角位移不 是矢量，无限小转动的角位移是矢量。是矢量，无限小转动的角位移是矢量。（2）定轴转动的角速度）定轴转动的角速度k
9、dtndtnt lim0（4.2）（3）定点转动的角速度）定点转动的角速度、章动角速度、章动角速度和自转角速度和自转角速度是进动角速度是进动角速度 的合成的合成 （4.3）在固定坐标系在固定坐标系000zyOx中的分量为中的分量为 cossincossincossinsinozoyox（4.4）在动坐标系在动坐标系oxyz中的分量为中的分量为 cossincossincossinsinzyx（4.5）（4.4）或（）或（4.5）式称为定点转动欧拉运动学方程。）式称为定点转动欧拉运动学方程。4.1.3 刚体上任意点的速度和加速度刚体上任意点的速度和加速度 （1）刚体只转动无平动）刚体只转动无平动
10、 如图如图4.9所示，刚体上任意点所示，刚体上任意点p的速度、加速度为的速度、加速度为rdtrd （4.6）)()(rrdtddtrdrdtdrdtddtda （4.74.7）（2）刚体既转动又平动）刚体既转动又平动rAr 如图如图4.10所示，在刚体内任意取一点所示，在刚体内任意取一点P，其位矢为，其位矢为，再任意取一点，再任意取一点，则，则A作为基点，作为基点，A点的位矢为点的位矢为rrrA P点的速度为点的速度为 rdtrddtrddtrdAA （4.8）上式表明：上式表明：刚体上任意点的速度等于刚体随基刚体上任意点的速度等于刚体随基点的平动速度和绕基点的转动速度的合成点的平动速度和绕基
11、点的转动速度的合成速速度基点法或合成法。度基点法或合成法。P点的加速度：点的加速度：)9.4()()(rrdtdadtrdrdtddtdrdtddtdaAAA 其中：其中：Aa基点基点A平动加速度；平动加速度；rdtd P点绕转动瞬轴转动的加速度（沿切向）；点绕转动瞬轴转动的加速度（沿切向）；)(r P点绕转动瞬轴转动的向轴加速度。点绕转动瞬轴转动的向轴加速度。（4.8）和（）和（4.9）式是刚体一般运动时刚体上任意点的速度和加速度）式是刚体一般运动时刚体上任意点的速度和加速度公式，是处理刚体运动学问题的基础。公式，是处理刚体运动学问题的基础。（3）瞬时转轴）瞬时转轴由（由（4.8）式知：）式
12、知：当某时刻刚体上某点当某时刻刚体上某点Q绕基点绕基点A的转动速度的转动速度AQr 时，时，0 rAQ 即即Q点的速度为零，意味着此刻刚体无平动，只有转动，点的速度为零，意味着此刻刚体无平动，只有转动，Q点称为瞬点称为瞬时转动中心（或瞬时转心）。若某瞬时能在刚体上找到二个速度为零的点，时转动中心（或瞬时转心）。若某瞬时能在刚体上找到二个速度为零的点，以二点的连线为刚体的瞬时转轴，此时刚体的运动可视为绕该瞬时转轴的以二点的连线为刚体的瞬时转轴，此时刚体的运动可视为绕该瞬时转轴的纯转动，刚体上任一点纯转动，刚体上任一点P的速度就可按纯转动计算的速度就可按纯转动计算瞬时转轴法，即瞬时转轴法，即 op
13、pr （4.10）刚体的一般运动可视为基点的平动与绕基点的转动的合成，也可视刚体的一般运动可视为基点的平动与绕基点的转动的合成，也可视为绕瞬时转轴的纯转动，因而计算刚体上任一点为绕瞬时转轴的纯转动，因而计算刚体上任一点P的速度有两种方法：的速度有两种方法：小结：小结：基点法（合成法）基点法（合成法）ApApr Apr为基点的速度，为基点的速度，A 其中其中为为P P点相对于基点的位矢。基点点相对于基点的位矢。基点A A的位置可以的位置可以任意选取，通常选取质心为基点。任意选取，通常选取质心为基点。瞬时转轴法瞬时转轴法oppr ，求轮子边缘上任一点，求轮子边缘上任一点P P的速度和加速度。的速度
14、和加速度。例例1半径为半径为R R的轮子在直线轨道上匀速只滚不滑（纯滚动），质心的轮子在直线轨道上匀速只滚不滑（纯滚动），质心C C0 的速度为的速度为是刚体（动系）绕瞬时转轴转动角速度，是刚体（动系）绕瞬时转轴转动角速度，为为P P点相对于瞬时转轴点相对于瞬时转轴 opr式中式中的的位矢。位矢。解：（解：（1）用基点法求）用基点法求p RrRcpc ,0由图知，由图知，sin2cos200 p为为PQ与直线轨道之间的夹角与直线轨道之间的夹角 （2）用瞬时转轴法求）用瞬时转轴法求p sin2cos2RRrQP sin2sin20 RrrQPQPp p PQ的方向：的方向：指向前进方向。指向前进
15、方向。（3）用基点法求）用基点法求pa pRcpcpcpcpeRRrrrdtdaa22022022eR 的大小：的大小：paR20 的方向：指向轮心的方向：指向轮心C C；pa例例2半径为半径为L的圆盘的圆盘地面作滚动，圆盘中心地面作滚动，圆盘中心C以速度以速度Rc1 沿着半径为沿着半径为R的圆周运动，求圆盘边缘上任一点的圆周运动，求圆盘边缘上任一点P的速度。的速度。解：圆盘运动可视为绕解：圆盘运动可视为绕o点的定点点的定点 转动，转动，QO为瞬时转轴，则为瞬时转轴，则klRijklRk11110121sincos j lkRr kljRiRj lkRklRijrp sinsin)cos1()
16、()sincos(111111 4.2 刚体运动的动力学方程刚体运动的动力学方程 4.2.1 刚体运动的动力学量刚体运动的动力学量 （1）刚体的动量）刚体的动量ciimrmp （4.11）（2）刚体的角动量）刚体的角动量)()(2 iiiiiiiiiiiiirrrmrrmmrL（4.124.12）若质量连续分布，则若质量连续分布，则 dmrrrL)(2 （4.134.13）是否同方向？是否同方向？与角速度与角速度L 思考：角动量思考：角动量 （3）刚体的动能）刚体的动能 212122TmmTciii （4.144.14）其中其中 221iiimT 是刚体中质点相对于质心的动能。是刚体中质点相对
17、于质心的动能。4.2.2 刚体运动的动力学方程刚体运动的动力学方程 刚体是个特殊的质点系，因此质点系的动量定理、角动量定理和动刚体是个特殊的质点系，因此质点系的动量定理、角动量定理和动能定理对刚体也适用。刚体的一般运动可视为质心能定理对刚体也适用。刚体的一般运动可视为质心C（基点）的平动与绕（基点）的平动与绕质心的转动的合成。质心的运动服从质心系的质心运动规律质心的转动的合成。质心的运动服从质心系的质心运动规律 ieicFdtdm)(（4.154.15）绕质心的转动由角动量定理决定：绕质心的转动由角动量定理决定：)(eiiiFrdtLd （4.164.16）可用质心系的动能定理可用质心系的动能
18、定理 iieiiiiieirdFrdFFdT )()()()(（4.17）取代（取代（4.15）或（）或（4.16）中任一个方程。）中任一个方程。4.3 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动 （1）任一点）任一点P的速度和加速度的速度和加速度 速度为：速度为：)(rrrpccp （4.18）p 00yxo 在在系和系和c-xyc-xy系中的分量式系中的分量式 )()(000000ccypyccxpxxxyy （4.194.19）xycypycxpx（4.20）加速度为：加速度为：22)()(rrrrdtdarrdtdaapcpccp （4.214.21）质心运动方程质心运动方程 ycxcFym
19、Fxm （4.22）对质心的角动量定对质心的角动量定理理ZZMI （4.23）动能定理动能定理)21()21(22 ccIdmddT （4.244.24）其中其中cI为对质心的转动惯量。为对质心的转动惯量。例例1 均匀圆柱体沿固定斜面滚下。求圆柱体的加速度和约束反力均匀圆柱体沿固定斜面滚下。求圆柱体的加速度和约束反力 解：（解：（1）用拉格朗日方程求加速度）用拉格朗日方程求加速度为广义坐标。为广义坐标。取如图取如图4.144.14所示的坐标系。约束所示的坐标系。约束条件为：条件为：0 cy Rxc，故自由度，故自由度 为为1 1，以，以cx 体系的动能和势能为体系的动能和势能为22222224
20、32121212121cccccxmRxmRxmIxmT sincmgxV 拉格朗日函数为拉格朗日函数为 sin432ccmgxxmVTL 代入拉格朗日方程可得质心加速度代入拉格朗日方程可得质心加速度 sin32gxc 角加速度角加速度 sin32gRRxc （2）用机械能守恒定律求加速度）用机械能守恒定律求加速度常数常数 sin432ccmgxxmVTE0 dtdE即即0sin23 cccxmgxxm sin32gxc （3）用角动量定理求加速度）用角动量定理求加速度 对对P点应用角动量定理，得点应用角动量定理，得RmgIp sin 将将RxmRmRIIccp/,2322 代入：代入：Rmg
21、RxmRcsin/232 sin32gxc (4)用质心运动定理和对质心的角动量定理求约束力用质心运动定理和对质心的角动量定理求约束力 Fmgxmc sin NFmg cos0 RFIc Rxc NF F由以上四式，可得法向约束反力由以上四式，可得法向约束反力和切向约束反力和切向约束反力：cosmgFN sin31mgF 因切向约束反力为静摩擦力：因切向约束反力为静摩擦力：NFF cossin31mgmg tg31 讨论：讨论：若保持斜面倾角若保持斜面倾角不变，则斜面的粗糙程度达到不变，则斜面的粗糙程度达到 tg31 时，圆柱体在斜面上只滚不滑；时，圆柱体在斜面上只滚不滑；，讨论乒乓球以后的运
22、动情况。，讨论乒乓球以后的运动情况。向右沿水平面抛出，同时球具有向右沿水平面抛出，同时球具有0 0 例例2 质量为质量为m m的乒乓球以初速度的乒乓球以初速度 解：解：乒乓球作平面平行运动。运动中乒乓球作平面平行运动。运动中受重力受重力mgmg，约束反力，约束反力 NF擦力擦力FF作用。根据质心运动定理和对作用。根据质心运动定理和对质心的角动量定理，有质心的角动量定理，有和滑动摩和滑动摩mgFxmc （2 2）RmgRFIc tg31 tg31 若保持斜面粗糙程度不变，改变倾角若保持斜面粗糙程度不变，改变倾角，只有满足，只有满足圆柱体只滚不滑，故圆柱体只滚不滑，故是圆柱体只滚不滑的条件。是圆柱
23、体只滚不滑的条件。积分，得积分，得（1）0 gtxcc（3 3）0023 RgtImgRtc（4 4）c 0 可见：乒乓球的质心速度可见：乒乓球的质心速度和转动角速度和转动角速度逐渐减小，至逐渐减小，至时所经历的时间时所经历的时间 gRt 3201（5 5）0 c 时的时间时的时间 gt 02（6）根据初始条件，乒乓球运动可能出现三种情况：根据初始条件，乒乓球运动可能出现三种情况：，则经过，则经过21tt 0032 R1t 若若，即，即后，乒乓球停止运动。后，乒乓球停止运动。21tt 0032 R 若若，即，即，则经过，则经过 1t后，后，0 ，而，而 03200 Rc（向右），在（向右），在
24、F（向左）作用下变为顺时针转动。（向左）作用下变为顺时针转动。这时（这时（3）和（）和（4）式变为）式变为)32(00 Rgtc （7 7）gtR23 （8 8）逐渐减小。当逐渐减小。当即即从从0 0逐渐增大，逐渐增大，c)32(00 R 从从c 减小至减小至 Rc 时，乒乓球作纯滚动，所经历的时间时，乒乓球作纯滚动，所经历的时间t t由（由（7 7）与（）与（8 8）式联立）式联立确定：确定：)32(2300 Rgtgt （9 9）)32(5200 Rgt 将（将（9）式代入（）式代入（7）式，得此时球心的速度为）式，得此时球心的速度为常常量量 0000005253)32()52(52 RR
25、RF（10）)(52001 Rgtt F 0032 R所以，在所以，在的情况下，乒乓球从抛出后经过时间的情况下，乒乓球从抛出后经过时间后，以后，以匀速继续向前（向右）纯滚动。匀速继续向前（向右）纯滚动。12tt 0032 R00)23(gRg 若若，即，即，而，而02300 R ，即：这时球心的，即：这时球心的速度为零，但球仍逆时针方向转动，于是速度为零，但球仍逆时针方向转动，于是c 改变方向，从原来向右运动改变方向，从原来向右运动后后，则经过时间，则经过时间2t0 c 变为向左滚回去，（变为向左滚回去，（3）、（）、（4）式变为）式变为gtc )23(2300RtRg （1212）再经过一定
26、时间再经过一定时间t t后，后，Rc，乒乓球以匀速向左纯滚动。，乒乓球以匀速向左纯滚动。t t由由（11）与（）与（12）两式联立求得：）两式联立求得：)32(5100 Rgt（1313）（11）)32(5100 RgtcFttRgtt 1002)(52 （1414）0032 R)(52002 Rgtt F 所以在所以在的情况下，乒乓球从抛出后经过的情况下，乒乓球从抛出后经过后以后以匀速继续向左纯滚动。匀速继续向左纯滚动。总结以上三种情况：乒乓球从抛出时刻起，经过总结以上三种情况：乒乓球从抛出时刻起，经过)(5200 Rgt 后，将以等速后，将以等速)23(5100 RF 0032 R 作惯性
27、运动（作惯性运动（，向右，向右;0032 R，向左）向左）此时球心的速度为此时球心的速度为所经过的总时间为所经过的总时间为 4.4 刚体的定点转动刚体的定点转动刚体定点转动时，转轴随时间不断变化，是三维空间运动问题，其刚体定点转动时，转轴随时间不断变化，是三维空间运动问题，其况比刚体的定轴转动和平面平行运动复杂得多。况比刚体的定轴转动和平面平行运动复杂得多。运动情运动情 （1）刚体上任一点刚体上任一点P的速度和加速度的速度和加速度 描述刚体定点转动通常采用固结在刚体描述刚体定点转动通常采用固结在刚体上随刚体运动的动坐标系上随刚体运动的动坐标系o-xyz（原点在固（原点在固 定点定点o上），如图
28、上），如图4.16所示。所示。任一点任一点P的速度为的速度为rdtrd （4.25）加速度为加速度为 Rrdtdrrrdtdrrdtddtda22)()(（4.264.26）式中式中 是刚体的角速度，取向沿转动瞬轴，是刚体的角速度，取向沿转动瞬轴，、章动角速度、章动角速度 是进动角速度是进动角速度和自转角和自转角速度速度 的矢量和：的矢量和：（4.26）R R是是P P点到点到 的的距离。距离。1 例例 碾磨机碾轮在竖直轴驱动下沿水平面作纯滚动，轮的水平轴则碾磨机碾轮在竖直轴驱动下沿水平面作纯滚动，轮的水平轴则绕竖直轴绕竖直轴OBOB转动。转动。OA=COA=C，OB=bOB=b，试求总角速度
29、，试求总角速度、角加、角加以匀角速度以匀角速度速度速度以及轮上最高点以及轮上最高点M的速度和加速度。的速度和加速度。解：（解：（1）用定点运动公式解）用定点运动公式解 取如图所示的直角坐标系，则取如图所示的直角坐标系，则ki20121 bcictgi101101 kbcdtkdbcdtd 110ibcibckkbcibc21111011)0()()()(101j bkckbcij bkcrMM i ci ci c1112 )(00MMMrra )()()()(10110121j bkckbcikbcij bkcibc =kcjbc21223 dtdaMM 思考：用思考：用正确吗？正确吗？Ma求
30、求 （2）用一般运动公式求）用一般运动公式求 如图如图4.18所示。所示。kbciki101201 ibcdtd21 j bkbcii crAMAM )(1011 i ci bbci c1112)0()(AMAMAMrraa )()()(1011012121j bkbcikbcij bibckc)()(11012121i ckbcikckc jbckcjbckckc212121212132 （2）欧拉动力学方程欧拉动力学方程 定点转动的动力学方程是角动量定理：定点转动的动力学方程是角动量定理：Mdtl d（4.27）刚体定点转动的角动量刚体定点转动的角动量 jxyxzxymizxyxzymrr
31、rmrrmmrLiiziiyiiixiiiziiyiiixiiiiiiiiiiiiii)()()()()(22222 kLjLiLkIIIjIIIiIIIkyxyzxzmzyxzyxzyxzyxiiziiyiixii )()()()(33323123222113121122 iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiizymIIzxmIIyxmIIyxmIxzmIzymI322331132112223322222211)()()(yzdmIIxzdmIIxydmIIdmyxIdmxzIdmzyI322331132112223322222211)()()(其中其中 或或 （4.294.29）
32、zyxzzyxyzyxxIIILIIILIIIL 333231232221131211（4.30）惯量张量惯量张量（4.28）式表出的角动量）式表出的角动量L中所包含的中所包含的9个量（元素）组成一个完整个量（元素）组成一个完整的数学整体，表征刚体定点转动特性，称为惯量张量，其中元素的数学整体，表征刚体定点转动特性，称为惯量张量，其中元素332211,III分别是刚体绕分别是刚体绕x轴、轴、y轴、轴、z轴的转动惯量，元素轴的转动惯量，元素)(),(),(133132232112IIIIII 称为惯量积。称为惯量积。惯量张量是个二级张量，可写成矩阵形式：惯量张量是个二级张量，可写成矩阵形式：33
33、3231232221131211IIIIIIIIII （4.31）的转动惯的转动惯根据定点转动的惯量张量，可以得到绕过此定点的任一轴线根据定点转动的惯量张量，可以得到绕过此定点的任一轴线l量量:231312233222211222IIIIIIIe （4.32）,e)kjie 式中式中为为的三个方向余弦（的三个方向余弦（可以通过适当选取坐标轴的方向，如坐标轴选在刚体的对称轴上，可以通过适当选取坐标轴的方向，如坐标轴选在刚体的对称轴上，可使可使6个惯量积为零（这时的坐标轴称为刚体主轴或惯量主轴），则个惯量积为零（这时的坐标轴称为刚体主轴或惯量主轴），则（4.31）、（）、（4.32）、（、（4.3
34、0）式简化为）式简化为 321000000IIII（4.33）232221 IIIIe （4.344.34）zzyyxxILILIL 321,（4.354.35）其中其中321,III为对为对x x、y y、z z轴的轴转动惯量，则角动量为轴的轴转动惯量，则角动量为 kIjIiILzyx 321 （4.364.36）欧拉动力学方程欧拉动力学方程 将（将（4.36）式代入（）式代入（4.27）式：）式：MdtkdIdtjdIdtidIkIjIiIkIjIiIdtddtLdzyxzyxzyx 321321321)(（4.37）而而 jikdtkdjkjdtj dkjidti dxyzxyz （4.
35、38）将（将（4.38）代入（）代入（4.37）得）得MkIIIjIIIiIIIdtLdyxzxzyyxx )()()(213132321 （4.394.39）分量式为分量式为 zyxzyxzyxyxxMIIIMIIIMIII )()()(213132321（4.404.40）上式为定点转动的动力学方程，称为欧拉动力学方程。上式为定点转动的动力学方程，称为欧拉动力学方程。（3）定点转动的典型实例（陀螺运动）定点转动的典型实例（陀螺运动）zyxMMM,tzyx,欧拉动力学方程（欧拉动力学方程（4.404.40）中，力矩）中，力矩通常是通常是等多个变量的函数，很难通过积分求出分析解。只等多个变量的
36、函数，很难通过积分求出分析解。只有几种特殊情况下才能求得它的分析解，陀螺运动是定点转动的典型实例。有几种特殊情况下才能求得它的分析解，陀螺运动是定点转动的典型实例。欧拉陀螺欧拉陀螺 若刚体所受的外力的合力通过固定点（即外力矩为零），则刚体因惯性若刚体所受的外力的合力通过固定点（即外力矩为零），则刚体因惯性自由转动，如分子的转动、地球的自转等，称为欧拉陀螺。自由转动，如分子的转动、地球的自转等，称为欧拉陀螺。以地球自转为例。地球是个扁平的均匀球体，若不考虑太阳、月球及其他以地球自转为例。地球是个扁平的均匀球体，若不考虑太阳、月球及其他行星的引力，则地球是对称的欧拉陀螺（行星的引力，则地球是对称的
37、欧拉陀螺（21II ），其运动方程为），其运动方程为 00)(0)(3131311zxzyzyxIIIIIII （4.414.41）由上式中的第三式得由上式中的第三式得（4.424.42）z=常数常数xxzyyyzxnIIInIII 113113（4.434.43）其中其中常数常数 zIIIn 113（4.444.44）由（由（4.43）式，得）式，得将（将（4.42）代入（）代入（4.41）的第一、二式，得）的第一、二式，得 yyxxnn 22 积分，可得积分，可得 )sin()cos(00 ntntyx（4.454.45）则地球自转角速度的大小则地球自转角速度的大小常常数数 220222z
38、zyx 的方向：绕对称轴的方向：绕对称轴ozoz以等角速度以等角速度n n转动，如图转动，如图4.214.21所示。所示。为了找出三个欧拉角的运动为了找出三个欧拉角的运动L为为oz0oz0方向，如图方向，如图4.224.22所示有所示有（=常数）方向常数）方向)coscossinsin(sinkjiLL kIjIiILzyx 321 规律，取规律，取又又将（将（4.444.44）和（）和（4.454.45）代入上式：）代入上式：kIjntIintILz 30101)sin()cos(比较以上二式，可得比较以上二式，可得 230101cos)sin(sinsin)cos(sinsin ILntI
39、LntIL（4.464.46）解（解（4.464.46）式，可得三个欧拉角的运动情况：）式，可得三个欧拉角的运动情况：21310sec)(cos0 IIInnz常数常数（4.474.47）可见：陀螺无章动，只有自转和进动可见：陀螺无章动，只有自转和进动规则进动。规则进动。拉格朗日陀螺拉格朗日陀螺刚体绕定点转动时其惯量刚体绕定点转动时其惯量21II （即为旋转椭球），重心（即为旋转椭球），重心C在对称轴在对称轴上但不与固定点重合，称为拉格朗日陀螺，如图上但不与固定点重合，称为拉格朗日陀螺，如图4.23所示。所示。陀螺的动能和势能为陀螺的动能和势能为23222123221)cos(2)sin(22
40、)(2 IIIITzyx cosmglV 拉氏函数为拉氏函数为 cos)cos(2)sin(2232221mglIIVTL 和和是循环坐标，可得两个守恒量是循环坐标，可得两个守恒量 常常数数 3cos)cossin(32321eLIIILp （4.48）常常数数 kLILp)cos(3 （4.494.49）常量常量 3ILkz 解拉格朗陀螺三个动力学方程（解拉格朗陀螺三个动力学方程（4.48）、（）、（4.49）、（）、（4.50），可得），可得 21sin/)cos(3ILLke （4.51）1/)(2IVEdteff （4.534.53）式中式中322ILmglEEk （4.544.54）
41、)(cos2)sin(2322221常常数数EmglILIk （4.504.50）根据机械能守恒：根据机械能守恒：213sincoscos)(3ILLILkek （4.52）)cos1(sin2)cos()(2123 mglILLVkeeff（4.554.55）高速自转陀螺（回转仪或陀螺仪）高速自转陀螺（回转仪或陀螺仪）回转效应回转效应 绕对称轴上的定点转动的对称陀螺，在重力矩作用下，一般有自转、绕对称轴上的定点转动的对称陀螺，在重力矩作用下，一般有自转、章动和进动，角速度为章动和进动，角速度为 kkeN 0角动量为角动量为kIjIiILzyx 321 ,yzxz高速自转时：高速自转时：所以所
42、以k kIkILz 33 （4.574.57）（4.56）重力矩重力矩kkmglkmgk lGrM 00)(（4.58）根据角动量定理根据角动量定理MdtLd 有有kkmglkIdtkdI 0033 其中其中kkImglkdtkd 030 030kImgl （4.594.59）30Imgl （4.604.60）陀螺仪在陀螺仪在t内转过的角度为内转过的角度为轴线转动的角速度，也就是陀螺仪的进动轴线转动的角速度，也就是陀螺仪的进动绕绕k为自转轴为自转轴ozoz的方向的方向0oz角速度角速度tImglt 3（4.614.61）高速旋转的陀螺仪在重力矩作用下产生的进动效应称为回转效应。高速旋转的陀螺仪
43、在重力矩作用下产生的进动效应称为回转效应。回转运动的近似理论回转运动的近似理论 设某时刻陀螺仪绕自转轴高速旋转的角动量为设某时刻陀螺仪绕自转轴高速旋转的角动量为kIL 3 imgM i tmgtM 、重力矩、重力矩，在在t内冲量矩为内冲量矩为，根据冲，根据冲 量矩（角动量）定理：量矩（角动量）定理：tMLLtML 或或LLtMLL 根据矢量的平行四边形合成法则，根据矢量的平行四边形合成法则，L仍仍0oz 在水平面在水平面ozxozx内，其方向绕内，其方向绕轴转过轴转过角，即陀螺仪自转轴角，即陀螺仪自转轴oz（k）产生了沿此方向的进动。如图）产生了沿此方向的进动。如图4.25所示。所示。如果加如
44、果加一水平力企图加速进动时，则自转轴向下偏转（为什么？）一水平力企图加速进动时，则自转轴向下偏转（为什么？）以上对高速旋转的陀螺仪的运动分析以上对高速旋转的陀螺仪的运动分析和解释是近似的。实际上陀螺仪除进动外还和解释是近似的。实际上陀螺仪除进动外还有章动。有章动。如图如图4.26所示，如果先把陀螺仪支撑所示，如果先把陀螺仪支撑起来，然后撤去一端（起来，然后撤去一端（A点）的支撑，于是点）的支撑，于是A端下沉，同时沿水平方向进动，接着下沉端下沉，同时沿水平方向进动，接着下沉 运动放慢，直到运动放慢，直到A点沿水平方向运动；然后点沿水平方向运动；然后进动放慢，进动放慢，A点重新抬起至初始高度。这样
45、点重新抬起至初始高度。这样周而复始地继续下去，周而复始地继续下去，A点描绘出如点描绘出如 图图4.27 的轨迹。的轨迹。图图4.27 陀螺仪的应用实例陀螺仪的应用实例炮弹的旋转。如图炮弹的旋转。如图4.26所示，空气阻力的合力所示，空气阻力的合力F对质心对质心C的力矩将使的力矩将使炮弹绕质心炮弹绕质心C转动而使炮弹头翻。若在泡筒内刻有陀螺式的来复线，转动而使炮弹头翻。若在泡筒内刻有陀螺式的来复线，就能使炮弹头不翻转（为什么？）回转罗盘。如图就能使炮弹头不翻转（为什么？）回转罗盘。如图4.27所示，罗盘内环所示，罗盘内环自转时其轴线自转时其轴线OO就能追踪北极就能追踪北极N不变，从不变，从 而可
46、代替指南针（磁性罗盘），而可代替指南针（磁性罗盘），且不受磁场影响，广泛应用于导航系统中。且不受磁场影响，广泛应用于导航系统中。上的偏心重物上的偏心重物P产生力矩使罗盘的圆盘轴线产生力矩使罗盘的圆盘轴线OO绕绕SN方向进动，罗盘随地球方向进动，罗盘随地球 高速旋转的陀螺仪在重力矩作用下不倾倒而在水平面内进动。进动中，高速旋转的陀螺仪在重力矩作用下不倾倒而在水平面内进动。进动中，若在水平方向受到一外力作用，自转轴的进度快慢不改变而上下倾斜。若在水平方向受到一外力作用，自转轴的进度快慢不改变而上下倾斜。陀螺仪运动小结陀螺仪运动小结和转过的角度和转过的角度很大，进动速度很大，进动速度 由于由于 3I
47、 式式 和自转轴上下倾斜角度很小。因此，在陀螺仪质量和外界干扰不太和自转轴上下倾斜角度很小。因此，在陀螺仪质量和外界干扰不太 大大时，陀螺仪自转轴线方向可保持稳定不变。实际应用的陀螺仪都是利用时，陀螺仪自转轴线方向可保持稳定不变。实际应用的陀螺仪都是利用这一性质。这一性质。见（见（4.60）和（）和（4.61）4.5 解题指导解题指导 （1）习题基本类型及解法）习题基本类型及解法 刚体运动习题内容广、变化大、计算复杂、不易归纳。常见的习题刚体运动习题内容广、变化大、计算复杂、不易归纳。常见的习题大体上有以下三种类型：大体上有以下三种类型：已知刚体的运动形式，求刚体上一点已知刚体的运动形式，求刚
48、体上一点P的速度和加速度以及有关运动的速度和加速度以及有关运动学量。学量。基本解法：应用基点法（合成法）基本解法：应用基点法（合成法）)(rraarApAp 刚体作平面平行运动时，刚体作平面平行运动时，a,只有二个分量，作一般运动时有三个分量。只有二个分量，作一般运动时有三个分量。已知力和运动情况，求运动规律已知力和运动情况，求运动规律 基本解法：应用质心运动定理和角动量定理，也可用拉格朗日方程基本解法：应用质心运动定理和角动量定理，也可用拉格朗日方程建立动力学方程，然后求解方程。建立动力学方程，然后求解方程。转动惯量（I）、角动量（）和动能（T）的计算L 基本解法：根据定义计算或由有关的基本
49、定理计算。基本解法：根据定义计算或由有关的基本定理计算。（2）范例）范例当螺旋桨尖端当螺旋桨尖端B与中心与中心A联线和垂线成联线和垂线成角时，角时，B点的速度及加速度。已知点的速度及加速度。已知螺旋桨的长度螺旋桨的长度AB=l1 例例1当飞机在空中以定值当飞机在空中以定值V沿半径为沿半径为R的水平圆形轨道的水平圆形轨道C转弯时，求转弯时，求，螺旋桨自身旋转的角速度为，螺旋桨自身旋转的角速度为。解：螺旋桨作一般运动，取图示的坐标系。解：螺旋桨作一般运动，取图示的坐标系。（1 1）kRVj 1 （1 1）kljRlVilklilkRVjjVrAB sin)sin1(cos)cossin()(111
50、 2122221)sin1(|RlVlB （2 2）iRVa2 iRVjkRVjdtj ddtkdRVdtj ddtd 10111 kljRlViRlVlRVkljRVlilkRVjkliliRViRVrraaAB coscos2)sinsin()sinsincos()()cossin()(211221211112 2122121222212)cos()cos2()sinsin(|lRlVRlVlRVa 例例2 长为长为2a的均质杆的均质杆AB，以铰链固结于点，以铰链固结于点A，最初杆由静止从水平，最初杆由静止从水平位置绕点位置绕点A转动，当杆通过竖直位置时，去掉铰链使杆成自由体。试证：转动，
