1、第第5章章 线性定常系统的综合线性定常系统的综合5.1 5.1 线性反馈控制系统的基本形式及其特性线性反馈控制系统的基本形式及其特性5.2 5.2 极点配置问题极点配置问题5.3 5.3 系统镇定问题系统镇定问题系统的分析与综合：l系统分析：已知系统的结构和参数及已知外输入作用，研究系统运动的定性行为(如能控性、能观测性、稳定性)和定量的变化规律(如系统的解)。相应问题称为系统分析问题。l系统综合：已知系统的结构和参数，以及所期望的系统运动形式或某些性能指标，确定需要施加于系统的外部输入作用即控制作用的规律(简称控制律)。相应问题称为系统综合问题。l通常，控制作用(控制律)常采用反馈的形式：状
2、态反馈或输出反馈。一、什么是综合问题？一、什么是综合问题？)1(0)0(,0 xxxCytxxBuA，A、B、C均为常阵且给定。再给出期望的系统性能指标(体现为以下任一形式)：(1)针对系统状态运动期望形式所规定的某些特征量。(2)针对其运动过程所规定的某种期望形式或需取极小（或极大）值的一个性能函数。综合就是寻找一个控制作用 u，使得在其作用下系统的运动行为满足所给出的期望性能指标。若给定线性系统状态空间描述：若给定线性系统状态空间描述：1、关于性能指标的类型、关于性能指标的类型 非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达到或好于期望指标就算实现了综合目标。优化型性能指标：是一类极
3、值型指标，综合的目的是要使性能指标在所有可能值中取为极小(或极大)值。性能指标l 常用的非优化型性能指标：(1)以渐近稳定为性能指标，相应的综合问题称为镇定问题。(2)以一组期望的闭环系统极点作为性能指标，相应的综合问题为极点配置问题。系统运动的形态，即动态性能（如超调量、过渡过程）主要由极点的位置所决定。(3)以使系统的输出 y 无静差地跟踪一个外部信号y0(t)作为性能指标，相应的综合问题为跟踪问题。(4)以使一个多输入-多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作为性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。常常阵阵。正正定定对对称称或或半半正正定定对对称称正正定定对对称称常常阵阵；QRdt
4、RuuQuJTT)()(0 xxl 优化型性能指标常表现为函数形式，如一个与状态向量 x 和控制作用 u 有关的二次型积分函数：控制作用u常可通过系统的实际响应(输出或状态)的反馈形式来构造，具有形式：u=K x+v 状态反馈控制状态反馈控制 （2）或：u=H y+v 输出反馈控制输出反馈控制 （3）其中：v为系统的参考输入向量，u为作用于受控系统的控制输入，两种维数相同(r维)。此外，K 为 rn常阵，称为状态反馈矩阵。H为 rm常阵，称为输出反馈矩阵。2、关于控制作用、关于控制作用u的设计的设计l 采用状态反馈控制方式构成的控制系统，称为状态反馈控制系统；采用输出反馈控制方式构成的控制系统
5、，称为输出反馈控制系统。l 两者均可实现一定的控制目标，并各有其优缺点。二、研究综合问题的方法二、研究综合问题的方法 1.建立可综合的条件。相对于给定的受控系统和给定的期望性能指标，建立使相应的控制存在并可实现综合目标所应满足的条件。2.建立起相应的用于综合控制规律的算法。利用这些算法，对满足可综合条件的问题，确定出满足要求的控制规律。对于采用状态反馈控制或输出反馈控制的系统，其目标就是确定相应的状态反馈矩阵或输出反馈矩阵。三、工程实现中的一些实际问题三、工程实现中的一些实际问题 1.状态反馈的物理构成问题：(1)状态可直接测量：直接实现 (2)状态不可直接测量：间接实现，可通过可测量的输入和
6、输出变量来估计系统状态“状态观测器”2.系统模型不准确和系统参数摄动问题（鲁棒控制理论研究范畴）。鲁棒控制：系统有一定的稳定性裕度(增益裕度、相位裕度等)，允许系统参数误差或摄动出现在模型参数的一个邻域内，系统仍保持稳定。3.对外部扰动影响的抑制问题 外部扰动不仅会使系统的工作点发生漂移，还会使系统的动态和稳态性能变差。本章主要学习和掌握内容：本章主要学习和掌握内容：1、反馈控制系统的两种基本形式、反馈控制系统的两种基本形式及其特点及其特点;2、极点配置问题及综合方法。、极点配置问题及综合方法。3、系统镇定问题及综合方法、系统镇定问题及综合方法5.1 5.1 线性反馈控制系统的基本形式及其特性
7、线性反馈控制系统的基本形式及其特性主要学习和掌握内容：主要学习和掌握内容：1、学习和理解系统状态反馈和输出反馈的概念；、学习和理解系统状态反馈和输出反馈的概念；2、学习和了解反馈控制系统的基本结构；、学习和了解反馈控制系统的基本结构；3、学习和掌握状态反馈和输出反馈对系统能控性、学习和掌握状态反馈和输出反馈对系统能控性和能观性的影响。和能观性的影响。1 状态反馈控制系统 (1)基本结构形式 (2)结构特点：采用对状态向量的线性反馈规律来构成闭环系统。(3)优点：不引入新的状态变量，维数不变。一、反馈控制系统的基本结构形式(理论形式)DuCyBuADCBAxxx:),(0为为受受控控系系统统即即
8、开开环环系系统统)(:维维向向量量：参参考考输输入入状状态态反反馈馈阵阵；：反反馈馈控控制制规规律律为为rvnrKvKux 闭环反馈系统的状态空间表达式？闭环反馈系统的状态空间表达式？B BK K)(A A闭闭环环系系统统特特征征值值为为，B BB BK K)(A AC C s sW W(s s)，C C，B B，B BK K)(A A1 1k kID D，D DK K)(C C，B B，B BK K)(A A:闭闭环环系系统统k kD Du uC Cx xy yB Bu uA Ax xx xDvDvDK)xDK)x(C(Cy yBvBvBK)xBK)x(A(Ax xD D)C C,B B,(
9、A A,:开开环环系系统统o o)为为输输入入v v(v vK Kx xu u:系系统统闭闭环环k k系统维数不变，但特征值可能改变(可通过选择合适的K实现极点配置)；C Cx xy yB Bv vB BK K)x x(A Ax x，0 0当当D D2.输出反馈控制系统 1）基本结构形式 2）结构特点：采用输出反馈。3）数学模型：.:)0(输输出出反反馈馈阵阵为为反反馈馈控控制制规规律律：设设受受控控系系统统为为mrHvHCvHyuCyBuADxxxx BBHCAsICsGCyBvBHCAC1)()()(：闭闭环环系系统统传传递递函函数数矩矩阵阵态态空空间间描描述述：输输出出反反馈馈闭闭环环系
10、系统统的的状状xxx)()()()()()()(111sGHsGIsHGIsGsGBAsICsGOOOOCO则则闭闭环环传传递递函函数数为为：知知识识，根根据据子子系系统统反反馈馈连连接接受受控控系系统统传传递递函函数数：闭环系统特征值为(A+BHC)二、反馈控制系统的通用结构形式(适用于工程实际)1.带有观测器的状态反馈（克服状态向量 x 不能测量到的缺点，借助状态观测器实现状态重构）。1）结构图 2）状态观测器子系统 x*是受控系统的状态 x 的重构 状态，x*是可直接量测的。x*与 x 虽不等，但渐近相等。l观测器系统的阶次低于受控系统的阶次。3）闭环系统阶次等于受控系统阶次与观测器系统
11、阶次之和。图图 利用观测器实现状态反馈利用观测器实现状态反馈（扩展状态反馈系统）（扩展状态反馈系统）2.带动态补偿器的输出反馈 克服基本结构形式不能随心所欲地任意配置闭环系统的极点的缺点，借助动态补偿器来实现闭环极点的任意配置。1）结构图 2）补偿器系统 补偿器系统的阶次低于受控系统的阶次。3）闭环系统阶次等于受控系统阶次与补偿器系统阶次之和。图图 带动态补偿器的输出反馈（扩展输出反馈系统）带动态补偿器的输出反馈（扩展输出反馈系统）三、状态反馈和输出反馈对系统能控性和能观测性的影响 结论结论1 1：状态反馈的引入，不改变系统的能控性，但可能状态反馈的引入，不改变系统的能控性，但可能改变系统的能
12、观测性改变系统的能观测性。B B B BK K)(A AB BK K)B B(A A B BQ Q:的的能能控控性性判判阵阵反反馈馈系系统统B B A AA AB B B BQ Q：的的能能控控性性判判阵阵受受控控系系统统控控性性。的的引引入入不不改改变变系系统统的的能能证证明明：先先证证明明状状态态反反馈馈1 1n nc ck kc ck k1 1n nc c0 0。向向量量的的线线性性组组合合来来表表示示B B 的的列列A AB BA AA AB B,B B的的列列向向量量可可由由 B B,B BK K)(A A，以以此此类类推推 合合表表示示。B B 的的列列向向量量的的线线性性组组A
13、AA AB B,B B的的列列向向量量可可由由 B B,B BK K)(A A故故，K KB BK KB B)B B(K KA AB BA AB B(K KB B)B BA AB BK KB BK KB BB BK KA AB BA AB BK KB BB BA AB BK KB B)B BK K)(A AB B(A AB BK K)B BB BK K)(A A(A AB BB BK K)(A A中中，Q Q第第三三分分块块：在在 的的线线性性组组合合来来表表示示。向向量量列列各各的的中中A AB B 可可由由 B B,向向量量列列各各的的中中B BK K)B B故故(A A，B B(K KB
14、 B)A AB BB BK KB BA AB BB BK K)B B(A A中中，Q Q第第二二分分块块：在在 ：第第一一分分块块相相同同；Q Q和和Q Q比比较较1 1n n2 21 1n n2 22 22 22 22 2c ck kc ck kc ck kc c证证毕毕。的的能能控控性性等等价价的的能能控控性性与与。从从而而，r ra an nk kQ Qr ra an nk kQ Q因因此此有有阵阵秩秩，因因初初等等变变换换不不改改变变矩矩经经过过列列初初等等变变换换得得到到的的Q Q可可看看作作是是由由因因此此Q Q c cc ck kc ck kc cc cc ck k再证状态反馈系
15、统不一定能保持能观测性。通过举例说明：能能观观测测。故故n n2 2r ra an nk kQ Q，5 51 11 11 1C CA AC CQ Q:能能观观测测性性判判别别阵阵x x1 11 1y yu u1 10 0 x x3 30 02 21 1x x：o oo oo oo o。不不完完全全能能观观测测因因此此，2 2n n1 1r ra an nk kQ Q，1 11 11 11 1B BK K)C C(A AC CQ Q：能能观观测测性性判判别别阵阵x x1 11 1y yv v1 10 0 x x1 10 02 21 1B Bv vB BK K)x x(A Ax x：则则反反馈馈系
16、系统统4 4 0 0K K状状态态反反馈馈阵阵为为：且且取取，引引入入状状态态反反馈馈k kc ck kc ck kk k。完完全全能能观观测测，易易知知反反馈馈系系统统2 2r ra an nk kQ Q因因，0 01 11 11 1B BK K)C C(A AC CQ Q5 5-0 0K K状状态态反反馈馈阵阵为为：若若取取k kc ck kc ck k结论2：输出反馈的引入能同时不改变系统的能控性和能观测性，即闭环输出反馈系统F的能控性及能观测性与开环受控系统o的能控性及能观测性一致。（证明略）。上例说明状态反馈可能改变系统的能观测性。上例说明状态反馈可能改变系统的能观测性。这是因为这是
17、因为状态反馈会改变系统的极点状态反馈会改变系统的极点(但不会改变零点但不会改变零点)，这就有可能，这就有可能使传递函数出现使传递函数出现(或消除或消除)零极点对消，从而改变系统的能观零极点对消，从而改变系统的能观测性测性。四、状态反馈和输出反馈的比较1.状态反馈为系统结构信息的完全反馈，输出反馈则是系统结构信息不完全反馈。2.状态反馈系统的系统矩阵为(A+BK)，其中K为rn维状态反馈阵。输出反馈系统的系统矩阵为(A+BHC)，其中H为rm维输出反馈阵，这里HC相当于状态反馈阵中的K阵，但K选择的自由度大，而由于mn，H选择的自由度小，因而输出反馈只能相当于部分状态反馈，其对系统的影响效果要比
18、状态反馈小得多，所以输出反馈对改善闭环系统的控制特性要比状态反馈差一些。3.输出反馈是在物理上可实现的，状态反馈是在物理上通常是不能实现的。从这一角度而言，输出反馈优于状态反馈。4.状态反馈能保持受控系统的能控性，但不一定能保持受控系统的能观测性。输出反馈能同时保持受控系统的能控性和能观测性。5.状态反馈和输出反馈的基本结构形式(理论结构)均不太适用于工程实际问题。状态反馈和输出反馈的通用结构形式较适用于工程实际问题。带状态观测器的状态反馈系统，可解决系统状态不能测量时的状态重构问题；带动态补偿器的输出反馈系统，可解决输出反馈基本结构形式不能任意配置极点的问题。6.扩展状态反馈(即带状态观测器
19、的状态反馈系统)和扩展输出反馈(即带动态补偿器的输出反馈系统)在作用上是等价的。5.2 5.2 极点配置问题极点配置问题:单输入系统单输入系统主要学习和掌握内容：主要学习和掌握内容：1、学习、理解和掌握状态反馈配置极点的学习、理解和掌握状态反馈配置极点的条件、方法和特点。条件、方法和特点。2、学习、理解输出反馈配置极点的条件、学习、理解输出反馈配置极点的条件、方法和特点。方法和特点。一、状态反馈极点配置问题一、状态反馈极点配置问题 状态反馈的极点配置问题：就是对给定的 n 阶受控系统(A,B)，确定状态反馈律 u=Kx+v,v 为参考输入(r 维)，即确定一个 rn 的状态反馈增益矩阵K，使所
20、导出的状态反馈闭环系统 的极点 为一组期望极点 。BuBKAxx)(*n*2*1,解决上述极点配置问题，需要解决两个问题：1）建立极点可配置条件，即利用状态反馈而任意地配置其闭环极点所应遵循的条件。2）建立相应的算法，即用以确定满足极点配置要求的状态反馈增益矩阵K的算法。)BKA(1 10 00 0b bT Tb b;b bb bb bc cT Tc ca aa aa a0 0A AT TT TA A1 1c c1 11 1n n1 10 0c c1 11 1n n1 10 01 1n nc c1 11 1c c1 1I;u ub bx xA Ax xx xT Tx xc c1 1实实现现型型
21、能能控控标标准准，考考察察其其能能控控若若：)充充分分条条件件证证明明(o oI二、极点配置条件二、极点配置条件定理定理:采用状态反馈对系采用状态反馈对系统统o=(A,b,c)任意配置任意配置其所有极点的充要条件是其所有极点的充要条件是o=(A,b,c)完全能控完全能控。1 1n n1 10 0k kk kk kK K统统的的状状态态反反馈馈阵阵为为：型型系系设设该该能能控控标标准准Ix xc cy yv vb bx x)K Kb bA A(x x：状状态态反反馈馈系系统统为为则则闭闭环环系系统统即即*0 0*1 11 1n n*1 1n nn nn n1 1i i*i i*a aa aa a
22、)()f f()k k(a a)k k(a a)k k(a a0 0k kk kk k1 10 00 0a aa aa a0 0)K Kb bA A(1 1n n1 1n n1 11 10 00 01 1n n1 1n n1 10 01 1n n1 10 01 1n nII)k k(a a)k k(a a)k k(a a)k k(a a)K Kb bA A(f f0 00 01 11 12 2n n2 2n n2 2n n1 1n n1 1n n1 1n nn nI)(:I为为式式多多项项特特征征型型，则则其其标标准准易易知知闭闭环环系系统统仍仍为为能能控控，则则：为为特特征征值值的的特特征征
23、多多项项式式表表示示以以期期望望极极点点)f f(若若*n n*2 2*1 1*,.,:系系统统的的系系统统矩矩阵阵为为闭闭环环*0 00 00 0*1 11 11 1*2 2n n2 2n n2 2n n*1 1n n1 1n n1 1n na aa ak ka aa ak ka aa ak ka aa ak k:比比较较系系数数得得1 1c c1 11 1c c1 11 1c c1 1c c1 1T TK KK KK Kx xx xK Kx xT TK Kx xK Kx xK Kv vK Kx xv vu ux xT Tx xx xT Tx x)k k(a(a)k k(a(a)k k(a(
24、a)k k(a(aa aa aa aa a)()f f：即即f(f(),),)f(f(望极点相符，需满足：望极点相符，需满足：要使闭环系统极点与期要使闭环系统极点与期0 00 01 11 12 2n n2 2n n2 2n n1 1n n1 1n n1 1n nn n*0 0*1 12 2n n*2 2n n1 1n n*1 1n nn nn n1 1i i*i i*实实现现极极点点配配置置。证证毕毕。，可可得得反反馈馈阵阵可可求求出出若若系系统统能能控控，则则可可由由此此，即即：对对给给定定期期望望极极点点Kkii*?KxKx对对应应的的变变为为对对应应的的如如何何将将.馈馈阵阵即即为为原原
25、系系统统对对应应状状态态反反K*0 0*1 11 1n n*1 1n nn nn n1 1i i*i i*a aa aa a)()f f()k k(a a)k k(a a)k k(a a)k k(a af f0 00 01 11 12 2n n2 2n n2 2n n1 1n n1 1n n1 1n nn n)(期望极点所决定的特征多项式期望极点所决定的特征多项式闭环系统特征多项式闭环系统特征多项式型型系系统统的的反反馈馈阵阵！为为对对应应能能控控注注：IK0 00 01 10 0b bb bb bc c ,1 10 00 0b b,3 32 20 01 10 00 00 01 10 0a a
26、a aa a1 10 00 00 01 10 0A A:实实现现型型直直接接写写出出能能控控标标准准可可解解：针针对对给给传传递递函函数数，2 21 10 02 21 10 0I)k k(0 0)k k(2 2)k k(3 3)k k(a a)k k(a a)k k(a a)K Kb bA A(f f()0 01 12 22 23 30 00 01 11 12 22 22 23 3Ij1 12 2,使使闭闭环环极极点点为为设设计计状状态态反反馈馈控控制制器器，2 2s s3 3s ss s1 10 02 2)1 1)(s ss s(s s1 10 0W W(s s)：2 25 5例例2 23
27、32 21 10 0k kk kk kK K设设4 46 64 4 j j)1 1j j)(1 12 2)()f f(2 23 3*1 14 44 4K K1 1k k4 4k k ，4 4k k4 4k k0 06 6k k2 24 4k k3 32 21 10 00 01 12 2)()(*ff第二步：计算由期望极点 所决定的多项式f(*)，。，即即：一一组组期期望望的的闭闭环环极极点点，阵阵的的特特征征值值为为，使使维维的的状状态态反反馈馈增增益益矩矩阵阵确确定定一一个个，和和一一组组期期望望的的闭闭环环极极点点给给定定能能控控系系统统的的矩矩阵阵对对),2,1()()(1,),(*2*
28、1nibKAbKAKnbAiin第四步：计算变换阵0111)det()(aaaAIfnnn*2*1,n*0*11*1*1*)()()(aaafnnnn,*11*11*00nnaaaaaaK111,11111nnncaaabAbbAT0 011cTKK第五步：所求状态反馈阵为能控标准能控标准I型变换阵型变换阵三、单输入系统极点配置问题的通用算法三、单输入系统极点配置问题的通用算法(仅对能控系统仅对能控系统)此为能控此为能控I型下的反馈阵！型下的反馈阵！第一步：计算受控系统的系统矩阵A的特征多项式f()，即第三步：计算反馈阵若原受控系统已是能控若原受控系统已是能控I型，型，可省略第四、五步。可省略
29、第四、五步。j j1 1，j j1 1，2 2期期望望极极点点：给给定定的的一一组组，使使闭闭环环系系统统极极点点为为，确确定定状状态态反反馈馈增增益益阵阵u u0 00 01 1x x1 12 21 10 00 06 61 10 00 00 0 x x常常系系统统例例：给给定定单单输输入入线线性性定定补补充充*3 3*2 2*1 1464)1)(1)(2()()()(2331*iijjff：决决定定的的特特征征多多项项式式再再计计算算给给定定期期望望极极点点所所7 72 21 18 81 12 21 10 00 06 61 10 00 0A A)(：)(特特征征多多项项式式计计算算A A的的
30、，可可任任意意配配置置极极点点完完全全能能控控，系系统统3 31 10 00 06 61 10 00 00 01 1r ra an nk kM M r ra an nk k能能控控性性判判断断解解：系系统统2 23 3Iff122018614144181121010014664144181121010000101121187211872011800100101610010100114664464)1)(1)(2()()(1111212211*22*11*002331*cccciiTKKKTbAbbATTIaaaaaaKKjjf为为反反馈馈增增益益阵阵因因此此，所所要要确确定定的的状状态态，因因
31、此此：型型的的变变换换阵阵为为能能控控标标准准计计算算将将原原受受控控系系统统变变换换：可可求求出出反反馈馈增增益益阵阵多多项项式式及及期期望望闭闭环环系系统统特特征征7 72 21 18 8)(由由受受控控系系统统特特征征多多项项式式2 23 3f第三步：比较第三步：比较f()和和f(*)的同类项，解方程组可求得反馈阵的同类项，解方程组可求得反馈阵K。易知易知解该方程组可求得各待定系数解该方程组可求得各待定系数k1，k2，kn，从而可得，从而可得K。第一步：计算闭环系统的系统矩阵第一步：计算闭环系统的系统矩阵A+bK的特征多项式，即的特征多项式，即0111)(det)(aaabKAIfnnn
32、多多项项式式，即即所所决决定定的的特特征征期期望望极极点点第第二二步步：计计算算由由给给定定的的,*2*1n说明：系统阶数较低时，可以简化极点配置算法，直接计说明：系统阶数较低时，可以简化极点配置算法，直接计算状态反馈矩阵算状态反馈矩阵K K。简化算法步骤如下：。简化算法步骤如下：1,.,1,0,*niaaii*0*11*1*1*)()()(aaafnnnn的的式式子子。中中各各个个元元素素包包含含了了反反馈馈阵阵是是，其其中中，状状态态反反馈馈矩矩阵阵nnnkkkKaaakkkK,.,.,),.,(2111021该算法对能控或不能控系统的极点配置问题均适用！该算法对能控或不能控系统的极点配置
33、问题均适用！若若K K无解，则无解，则?2 2k kk kk k1 11 10 00 01 10 0k kk kk k1 10 00 02 20 00 01 11 10 00 01 10 0b bK KA A2 21 10 02 21 10 0如如下下：采采用用串串联联法法实实现现起起见见，为为实实现现易易，状状态态信信息息较较难难检检测测需需但但所所，)免免去去了了状状态态的的线线性性变变换换型型直直接接求求K K(2 2一一开开始始采采用用能能控控标标准准-例例5 5I2 2s s1 11 1s s1 1s s1 10 0w w(s s)阵阵为为，则则闭闭环环系系统统的的系系统统矩矩k k
34、k kk kK K设设状状态态反反馈馈阵阵为为求求解解：利利用用极极点点配配置置简简化化算算法法2 21 10 0j1 1，2 2期望闭环极点为期望闭环极点为x x0 00 01 10 0y yu u1 10 00 0 x xx xx x2 20 00 01 11 10 00 01 10 0 x xx xx x3 32 21 13 32 21 14 46 64 4j)j)1 1j)(j)(1 12)(2)()f(f(，则，则1 1，2 2期望闭环极点为期望闭环极点为2 23 3*j2 21 10 03 32 21 13 32 21 1k kk kk kK K设设状状态态反反馈馈阵阵u u1 1
35、0 00 0 x xx xx x2 20 00 01 11 10 00 01 10 0 x xx xx x受受控控系系统统为为：0 01 12 22 22 23 32 21 10 02 21 10 0k k)k kk k(2 2)k k(3 32 2k kk kk k1 11 10 00 01 1b bK K)(A Af f()则则;2 2k kk kk k1 11 10 00 01 10 0b bK KA A统统矩矩阵阵为为：闭闭环环反反馈馈控控制制系系统统的的系系I，4 4k k6 6k kk k2 24 4k k3 3得得：)f f(f f()由由0 01 12 22 2*1 13 34
36、 4-K K则则：-1 1,k k-3 3,k k-4 4,k k解解得得2 21 10 0100431xxu 补充例：对于线性定常系统：补充例：对于线性定常系统：(1)试判断该系统是否满足极点可任意配置条件。试判断该系统是否满足极点可任意配置条件。(2)分析是否存在状态反馈控制器可将系统的极点配置到分析是否存在状态反馈控制器可将系统的极点配置到-1，-2处。如果处。如果不能，请说明理由；如果可以，请计算状态反馈矩阵不能，请说明理由；如果可以，请计算状态反馈矩阵K。3100AbbM10103401103401kkkkbKA)3()2()()(112ksksbKAsIf23)2()1()(2*s
37、sssf解：（解：（1）能控性判别矩阵）能控性判别矩阵易知易知M不满秩，系统不完全能控，因此该系统不满足极点可任意配置条件。不满秩，系统不完全能控，因此该系统不满足极点可任意配置条件。（2）假设系统可以通过引入状态反馈进行极点配置，并设状态反馈矩阵为）假设系统可以通过引入状态反馈进行极点配置，并设状态反馈矩阵为K=k0,k1，则引入状态反馈阵后的闭环系统的系统矩阵为：，则引入状态反馈阵后的闭环系统的系统矩阵为：因此引入状态反馈后的闭环系统的特征多项式为：因此引入状态反馈后的闭环系统的特征多项式为：由期望闭环极点为由期望闭环极点为-1，-2可知期望的闭环系统特征多项式为：可知期望的闭环系统特征多
38、项式为：由由f()=f(*)，比较系数可解得，比较系数可解得k1=-5，而，而k0的选取不影响闭环极点，故的选取不影响闭环极点，故可取可取k0=0，因此状态反馈阵，因此状态反馈阵K=0 -5。关于状态反馈极点配置的说明一、选择期望极点时需要注意：1、对n维系统，必须指定n个期望极点：可为实数极点或复数极点或两者组合(复数极点需以共轭复数极点形式成对给出)；2、极点位置的确定，应考虑其对系统性能的主导影响及其与系统零点分布状况的关系。如：极点的配置有可能产生零极点对消，导致系统不能观测。二、即使系统不完全能控，也有可能用状态反馈实现部分极点配置，只是不能进行任意极点配置(开环系统中不能控部分的极
39、点无法改变)。此类系统可采用前述简化算法直接计算状态反馈矩阵K，如K可求出，说明给出的期望极点是可配置的。三、前述极点配置算法也适用于多输入系统，但设计存在一些实际困难，如：将综合指标化为期望极点需工程处理、化能控标准型较麻烦、反馈阵K解非唯一、可能改变系统零点形态等.四、输出反馈极点配置问题四、输出反馈极点配置问题对连续时间线性定常受控系统：xxxCyBuA控制作用u取为：vHyu H为rm反馈矩阵，v为参考输入(r维)。输出反馈极点配置就是：对任意给定极点组确定一个反馈矩阵H，使导出的输出反馈闭环系统,*2*1n),2,1()(*niBHCAiixxCyBvBHCAx)(的所有特征值实现期
40、望的配置，即有采用输出反馈：，只能使闭环系统极点配置到根轨迹上的点，而不能配置到根轨迹以外位置上。输出反馈极点配置条件：输出反馈极点配置条件：对于完全能控的n维单输入单输出连续时间线性定常受控系统：1.输出反馈局限性：一般地说，利用输出反馈 (v 为参考输入)，不能任意地配置系统的全部极点。vHyuxxxcybuAhcxvhyvu)(/)()()()()()(100ssbAsIcswswss：受控系统的传递函数为，则母多项式和分子多项式的分受控系统传递函数分别为和证明：设根轨迹上。，闭环极点只能配置在选的根。因此，无论如何和点、零点分别为为增益系数，故开环极；因终点零点为，以开环零点、无穷远起
41、点极点为决定，且根轨迹以开环由方程反馈闭环系统的根轨迹由根轨迹知识，该输出hsshshw0)(0)(0)(10变。变化时，闭环极点也改影响，当易知，闭环极点受。闭环极点满足闭环系统特征方程为数为：，则闭环系统的传递函标量维对单输入单输出系统为输出反馈阵为根据输出反馈结构，若hhshwshsshssshwswswhc0)(10)()()()()()(1)()()11(000wo(s)2.引入动态补偿器实现极点任意配置 如果在引入输出反馈的同时，附加引入动态补偿器，那么通过适当选取和综合补偿器的结构和特性，将可对所导出的输出反馈系统的全部极点进行任意地配置(极点可任意配置的条件是受控系统能观且动态
42、补偿器的阶数为n-1)。5.3 5.3 系统镇定问题系统镇定问题(自学自学)主要学习和掌握内容：主要学习和掌握内容：1、学习和理解系统镇定的概念；、学习和理解系统镇定的概念；2、学习、理解和掌握利用状态反馈实现系统、学习、理解和掌握利用状态反馈实现系统镇定的条件、方法和特点。镇定的条件、方法和特点。对线性定常系统 ，如果存在状态反馈控制规律：使所导出的状态反馈闭环系统 为渐近稳定，即闭环系统的特征值均具有负实部，则称此系统是状态反馈能镇定的。),(0CBA 为参考输入为参考输入为反馈增益矩阵，为反馈增益矩阵，vKvKxu,BvxBKAx)(一一.状态反馈能镇定性定义：状态反馈能镇定性定义：二二
43、.镇定问题属性镇定问题属性 镇定问题实质上属于极点区域配置问题。为为不不能能控控部部分分。为为能能控控部部分分，其其中中分分解解变变换换阵阵为为结结构构，)0,(),(001121ccccccABATBBTBAAAATTA 证明：对不完全能控系统 ，对其按能控性进行分解，使之化为 ，系数矩阵如下：1.可镇定充要条件充要条件：设有线性定常系统 ，当且仅当其不能控部分为渐近稳定时，则该系统就是状态反馈能镇定的。),(0CBA ),(0CBA 的的状状态态方方程程分分别别为为：与与后后的的闭闭环环系系统统统统引引入入状状态态反反馈馈的的状状态态反反馈馈阵阵，则则两两系系与与分分别别为为与与设设cco
44、oKK),(0CBABvxBKAxc)(：。，且有：且有：21KKKTKvBxKBAxc)(：三三.系统可镇定的条件系统可镇定的条件毕毕。是是状状态态反反馈馈能能镇镇定定。证证近近稳稳定定，因因而而系系统统馈馈构构成成的的闭闭环环系系统统必必渐渐时时，引引入入状状态态反反)稳稳定定即即不不能能控控子子系系统统为为渐渐近近的的特特征征值值都都具具有有负负实实部部仅仅当当为为不不能能控控子子系系统统，当当且且)，(而而的的特特征征值值具具有有负负实实部部；)(使使可可或或适适的的状状态态反反馈馈阵阵极极点点配配置置定定理理，选选择择合合为为完完全全能能控控子子系系统统，据据)，(具具有有负负实实部
45、部。因因近近稳稳定定，需需所所有有特特征征值值分分析析：欲欲使使闭闭环环系系统统渐渐合合。不不能能控控部部分分的的特特征征值值集集值值即即原原系系统统能能控控部部分分和和可可见见，闭闭环环系系统统的的特特征征01(0ccccccAAKBAKKBAccccccccccAIKBAIAIKBAKBAIKKBAAAIKBAIBKAI0)(00121212112，因因此此：点点，即即特特征征多多项项式式相相同同具具有有相相同同的的期期望望闭闭环环极极与与cc。，21KKKTK0012cccBBAAAA，BvxBKAxc)(：vBxKBAxc)(：2.可镇定的充分条件充分条件 如果 状态完全能控，那么该系
46、统必然是状态反馈能镇定的。但逆命题不一定成立，即一个状态反馈能镇定的系统，却不一定是状态完全能控的。),(0CBA 给定A，b，且其满足可镇定条件，则镇定问题中综合状态反馈增益矩阵K的计算步骤如下：。，其其中中：，：和和不不能能控控子子系系统统其其能能控控子子系系统统，并并导导出出：构构造造变变换换阵阵按按能能控控性性进进行行结结构构分分解解对对步步。入入第第若若系系统统完完全全能能控控，则则转转全全能能控控，进进入入下下一一步步；的的能能控控性性，若若系系统统不不完完判判断断211121dimdim00)0,(),(),()2()5(),()1(nAnAbbTbAAAATTAAbATbAbA
47、cccccccc四.镇定问题算法(针对单输入系统)阵阵。算算法法结结束束。即即为为所所求求的的状状态态反反馈馈矩矩）此此时时，（。反反馈馈矩矩阵阵镇镇定定状状态态算算，按按极极点点配配置置算算法法，计计特特征征值值个个实实部部为为负负的的期期望望闭闭环环，任任意意指指定定对对步步。，并并转转到到第第状状态态反反馈馈矩矩阵阵维维镇镇定定，并并计计算算维维矩矩阵阵构构成成）利利用用（。维维极极点点配配置置状状态态反反馈馈矩矩阵阵算算，按按极极点点配配置置算算法法，计计闭闭环环特特征征值值个个实实部部为为负负的的期期望望，任任意意指指定定）对对能能控控子子系系统统（KKnnbATKKnKKnKnKnbAnncc61,),()5()6(1),(14)1(,),(3*2*1*111111*2*1*110注：单纯从镇定角度看，使系统镇定就是将受控系统位于右半复平面极点通过状态反馈调整到左半复平面。而镇定算法就是从极点配置的角度确定镇定状态反馈矩阵，因此镇定问题也可看作是极点配置问题的一个特例。第五章结束课程内容到此结束
