1、第第2章章 线性时不变系统线性时不变系统Linear Time-Invariant Systems LTI系统的框图结构表示。系统的框图结构表示。本章主要内容：本章主要内容：信号的时域分解信号的时域分解用用 表示离散时间信号；表示离散时间信号；用用 表示连续时间信号。表示连续时间信号。LTI系统的时域分析系统的时域分析卷积积分与卷积和。卷积积分与卷积和。LTI系统的微分方程及差分方程表示。系统的微分方程及差分方程表示。奇异函数。奇异函数。()t()n2.0 引言引言 (Introduction)基本思想：基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号如果能把任意输入信号分解成基本信号的线性组合，
2、那么只要得到了的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号系统对基本信号的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响应的线性组合。应的线性组合。由于由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具系统满足齐次性和可加性，并且具有时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析有时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的理论与方法奠定了基础。的理论与方法奠定了基础。问题的实质：问题的实质：1.研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任意信号
3、的基本信号单元，如何用基本信号单元的任意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线性组合来构成任意信号；线性组合来构成任意信号；2.如何得到如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。系统对基本单元信号的响应。作为基本单元的信号应满足以下要求：作为基本单元的信号应满足以下要求：1.本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示（构成）尽可能广泛的其它信号；（构成）尽可能广泛的其它信号；2.LTI系统对这种信号的响应易于求得。系统对这种信号的响应易于求得。如果解决了信号分解的问题，即：若有如果解决了信号分解的问题，即：若有()()iiix ta x t()()i
4、ix ty t则则()()iiiy ta y t 将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变换域进行，相应地就产生了对换域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析系统的时域分析法、频域分析法和变换域分析法。法、频域分析法和变换域分析法。分析方法分析方法：离散时间信号中离散时间信号中,最简单的是最简单的是 ,可以由它的线可以由它的线性组合构成性组合构成 ，即：，即：2.1 离散时间离散时间LTI系统：卷积和系统：卷积和()n()u n0()()()nkku nknk一一.用单位脉冲表示离散时间信号用单位脉冲表示离散时间信号 对任何离散时间信号对任何离散
5、时间信号 ,如果每次从其中取出如果每次从其中取出一个点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点一个点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点都可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。都可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。()x n（Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum）二二.卷积和卷积和（Convolution sum）于是有于是有：()()()kx nx knk表明：表明：任何信号任何信号 都可以被分解成移位加权的都可以被分解成移位加权的单位脉冲信号的线性组合。单位脉冲信号的线性组合。()x n 如果一个线性系统对如果一个线性系统对 的响
6、应是的响应是 ，由线性特性就有系统对任何输入由线性特性就有系统对任何输入 的响应为：的响应为：()n k()kh n()x n()()()kky nx k h n若系统具有时不变性，即若系统具有时不变性，即：()()nh n若若 ，则则()()nkh nk因此，只要得到了因此，只要得到了LTI系统对系统对 的响应的响应()n()h n单位脉冲响应单位脉冲响应(impulse response)，就可以得到就可以得到LTI系统对任何输入信号系统对任何输入信号 的响应：的响应：()x n()()()()()ky nx k h nkx nh n 这表明：这表明：一个一个LTI系统可以完全由它的单位脉
7、冲系统可以完全由它的单位脉冲响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷卷积和（积和（The convolution sum）。三三.卷积和的计算卷积和的计算计算方法计算方法：有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。运算过程运算过程：将一个信号将一个信号 不动不动，另一个信号经反转后成另一个信号经反转后成为为 ,再随参变量再随参变量 移位。在每个移位。在每个 值的情况值的情况下，将下，将 与与 对应点相乘，再把乘积的对应点相乘，再把乘积的各点值累加各点值累加，即即得到得到 时刻的时刻的 。()x k()hkn
8、n()x k()h nkn()y n例例1：()()nx nu n01()()h nu n10()()()()()()()1()1kkknnkky nx nh nx k h nku nk u ku n01k()()kx ku k.01nk()()h nku nk例例2：104()0nx notherwise1,06()0nnh notherwise0n6n 014()x kkk()n kh nk 时时，0n()0y n 时时，04n00(1)11()1111nnn knkkknnny n 时时，46n5410411()11n knknny n 时时，610n4746()1nn kk ny n
9、时，时，10n()0y n 通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是很有用的。很有用的。例例3.列表法列表法分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：与与 的的所有各点都要遍乘一次；所有各点都要遍乘一次；()x n()h n 在遍乘后，各点相加时，根据在遍乘后，各点相加时，根据 ，()()kx k h nk参与相加的各点都具有参与相加的各点都具有 与与 的宗量之的宗量之和为和为 的特点。的特点。()x k()h nkn102110
10、21204200003063102112031()h n()x n(0)x(1)x(2)x(3)x(1)h(0)h(1)h(2)h(3)h(1)y(0)y(1)y(2)y(3)y(4)y(5)y(6)y优点：优点：缺点缺点：计算非常简单。计算非常简单。只适用于两个有限长序列的卷积和；只适用于两个有限长序列的卷积和；一般情况下，无法写出一般情况下，无法写出 的封闭表达式。的封闭表达式。()y n卷积和：对位相乘法卷积和：对位相乘法卷和计算有解析法、图解法和变换法解析法、图解法和变换法 对位乘加法：当两个序列都是有限长序列时都是有限长序列时，可使用“对位乘加法”计算卷和。此方法实际上是用对位排列运
11、算巧妙地取代翻转平移运算。该方法首先把两序列的样本值右端对齐地排两序列的样本值右端对齐地排列，然后把逐个样本值对应相乘但不要进位把逐个样本值对应相乘但不要进位，最后把同同一列上的乘积值对位求和一列上的乘积值对位求和，就得到所需卷和。卷积和：对位相乘法卷积和：对位相乘法计算 ，其中 nxnx21 12214233152x nnnnnxnnnn 521122356:nxnx312361412520510513:nx1412:nx2121 1265123212321455x nxnnnnnnn对位相乘法需注意的问题v 卷积后的序列起止点起止点需注意v上题中两个序列的起始点不同，卷积后起点为1，不是0
12、。121212x nnnnxnnn 1212:111:111111100001:12210 x nxnx nxn对位相乘法需注意的问题v参与卷积运算的序列中间有若干信号值为中间有若干信号值为零零，需补零处理 121312x nnnnxnnnn 1212:111:11111111111100:12220011x nxnx nxn对位相乘法需注意的问题v此外，对有限长序列的卷积运算v可通过z变换求解v或者将序列表示为两个有限个样值序列移位加权和形式，直接用卷积的性质求解直接利用有限长序列求解卷积v 卷积后的序列起止点起止点需注意 121212x nnnnxnnn 12121212233412223
13、4x nxnnnnnnnnnnnnnnnn 利用z变换求解v 121212x nnnnxnnn 121212122334121122234Xz Xzzzzzzzzzzzx nxnnnnn 与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间信号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信信号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号的线性组合。至少单位阶跃与单位冲激之间有这号的线性组合。至少单位阶跃与单位冲激之间有这种关系：种关系：对一般信号对一般信号 ，可以将其分成很多，可以将其分成很多 宽度的区宽度的区段，用一个阶梯信号段，用一个阶梯信号 近似表示近似表示 。当。当
14、 时时，有有（Continuous-Time LTI Systems:The convolution integral）0()()()tu tdtd()x t一一.用冲激信号表示连续时间信号用冲激信号表示连续时间信号()x t0()()xtx t()x t2.2 连续时间连续时间LTI系统：卷积积分系统：卷积积分引用引用 ，即：，即：()t1/0()0ttotherwise 则有则有：10()0ttotherwise ()x t0k(1)k t()x k()xt当当 时，时，第第 个矩形可表示为：个矩形可表示为：这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号 ，即：即：k()
15、()x ktk ()xt()()()kxtx ktk 0 k()()tkt d()()()x txtd 表明：表明：任何连续时间信号任何连续时间信号 都可以被分解成移位都可以被分解成移位加权的单位冲激信号的线性组合。加权的单位冲激信号的线性组合。()x t于是：于是：()()x tx t二二.卷积积分卷积积分（The convolution integral）与离散时间系统的分析类似，如果一个线性系统与离散时间系统的分析类似，如果一个线性系统对对 的响应为的响应为 ，则该系统对，则该系统对 的响应可的响应可表示为：表示为：()t()h t()x t()()()y txh t d 表明表明:LT
16、I系统可以完全由它的系统可以完全由它的单位冲激响应单位冲激响应 来表征。这种求得系统响应的运算关系称为来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积积卷积积分分（The convolution integral）。()h t()()th t()()th t()x t()()()()()y txh tdx th t 若系统是时不变的，即：若若系统是时不变的，即：若 ，则有，则有:于是系统对任意输入于是系统对任意输入 的响应的响应可表示为：可表示为：三三.卷积积分的计算卷积积分的计算 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、解析法和数值解法。解析法和数值解法
17、。运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中，运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中，一个不动，另一个反转后随参变量一个不动，另一个反转后随参变量 移动。对每一移动。对每一个个 的值，将的值，将 和和 对应相乘，再计算相对应相乘，再计算相乘后曲线所包围的面积。乘后曲线所包围的面积。通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有用的。用的。tt()x()h t0()()()()()()()1(1)()ataaty tx th txh teuu tdedeu tat01()u t01()x例例1:()(),0atx teu ta()()h tu t例例2:10
18、()0tTx totherwise 02()0ttTh totherwise()()()()()()()y tx th txh tdx thd02T2T()h()x t01tTt 当当 时，时，0t()0y t 当当 时，时，0tT 201()2ty tdt 当当 时，时，2TtT 21()2tt Ty tdTtT 当当 时，时，23T tT 2221()2()2Tt Ty tdTtT 当当 时，时，3tT()0y t 212T232TT3T2T0t()y t例题：信号与系统 1200101010 1ttttf tu te u tu tftfdu te deu t信号与系统例：例：计算解：tu
19、etuett21*2121211212121*tutetueetuetuethththttttt ttttttdeetudeetutuetue001212121*信号与系统例：例：计算解：v因果信号与一个有限长信号卷积，可利因果信号与一个有限长信号卷积，可利用解析法直接计算用解析法直接计算11*costtt MiiiMiiittfwttwtf11*1cos1cos11*costtttt信号与系统例题：例题：计算 11*tututuet1010111*1*11*tttttdetudetututuetutuetututue1111111tteu teu t 注意此处的处理方式信号与系统简化方法v利
20、用卷积性质：(1)(1)1*1()*11111(1)1(1)ttttte u tu teu te u tu tu teu teu tbatgfbtg*atf举例v已知某线性时不变系统的单位冲激响应和激励信号分别为：，则系统的零状态响应为？信号与系统 2teu t12u tu t 2212212111222zstttytf th teu tu tu teeu tu t信号与系统卷积计算的图解法卷积计算的图解法卷积计算的运算步骤卷积计算的运算步骤：v变量更换：把信号的时间变量 更换成 ，得 和 ；v翻转：把信号 翻转成 ；v平移：把翻转后的信号 右移 成 ；v加权积分：把信号 用 加权后，对时间变
21、量 进行积分，得 。t e h hhhh th t e *e th tt2.3 线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质（Properties of Linear Time-Invariant Systems）()()()()()()()()()kky nx nh nx k h nkx nk h kh nx n一一.卷积积分与卷积和的性质卷积积分与卷积和的性质1.交换律：交换律：()()()()()()()()()y tx th txh tdx thdh tx t结论：结论：一个单位冲激响应是一个单位冲激响应是h(t)的的LTI系统对输入信系统对输入信号号x(t)所产生的响应，与一个单位冲激响
22、应是所产生的响应，与一个单位冲激响应是x(t)的的LTI系统对输入信号系统对输入信号h(t)所产生的响应相同。所产生的响应相同。()x t()y t()h t()x n()y n()h n()h t()y t()x t()h n()x n()y n()x n12()()h nh n12()()()()y nx nh nh n()x t12()()h th t12()()()()y tx th th t()x n1()h n2()h n1()()x nh n2()()x nh n()y n()x t1()h t2()h t()y t2.分配律：分配律：12121212()()()()()()()
23、()()()()()()()x nh nh nx nh nx nh nx th th tx th tx th t结论：结论：两个两个LTI系统并联，其总的单位脉冲系统并联，其总的单位脉冲(冲激冲激)响响应等于各子系统单位脉冲应等于各子系统单位脉冲(冲激冲激)响应之和。响应之和。3.结合律结合律:12121212()()()()()()()()()()()()x nh nh nx nh nh nx th th tx th th t()x t1()h t2()h t1()()x th t12()()()()y tx th th t()x n1()h n2()h n12()()()()y nx nh
24、 nh n12()()h th t()x t()x n12()()()()y tx th th t12()()()()y nx nh nh n12()()h nh n 两个两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激系统级联时，系统总的单位冲激(脉冲脉冲)响响应等于各子系统单位冲激应等于各子系统单位冲激(脉冲脉冲)响应的卷积。响应的卷积。由于卷积运算满足交换律，因此，系统级联的先后由于卷积运算满足交换律，因此，系统级联的先后次序可以调换。次序可以调换。结论：结论：12211221()()()()()()()()()()()()x nh nh nx nh nh nx th th tx th th t(
25、)x n()y n1()h n2()hn()x t()y t1()h t2()h t()x n()y n2()h n1()h n()x t()y t1()h t2()h t产生以上结论的前提条件：产生以上结论的前提条件：系统必须是系统必须是LTI系统；系统；所有涉及到的卷积运算必须收敛。所有涉及到的卷积运算必须收敛。如如：()x t平方平方乘乘22()2()y tx t()x t乘乘2平方平方2()4()y tx t若交换级联次序，即成为：若交换级联次序，即成为：又如：若又如：若 ，虽然系统虽然系统都是都是LTI系统。当系统。当 时，如果交换时，如果交换级联次序，则由于级联次序，则由于 不收敛
26、，因而也是不不收敛，因而也是不允许的。允许的。12()()(1),()()h nnnh nu n()1x n()()x nu n()1x n 1()h n2()hn0()0y n 显然与原来是不等价的。因为系统不是显然与原来是不等价的。因为系统不是LTI系统。系统。4.卷积运算还有如下性质：卷积运算还有如下性质：若若 ，则，则()()()x th ty t000()()()()()x tth tx th tty tt卷积积分满足微分、积分及时移特性：卷积积分满足微分、积分及时移特性：()()()x th ty t()()()()()()()()()()tttx th tx th ty txdh
27、 tx thdyd若若 ，则，则 若若 ，则，则()()()x nh ny n000()()()()()x nnh nx nh nny nn卷积和满足差分、求和及时移特性：卷积和满足差分、求和及时移特性：()()()x nh ny n()(1)()()(1)()()()()()nnnkkkx nx nh ny ny nx kh nx nh ky k 若若 ，则，则恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：将将 微分一次有微分一次有:()x t()()()x tttT()x ttT0(1)(1)()()()()()()()()y tx th th tttTh
28、 th tT例如：例如：2.2 中的例中的例2根据微分特性有根据微分特性有:02T2Tt()h tT2TT2T()y t3T2TT0t212T232TT3T2T0t()y t()()ty tyd利用积分特性即可得利用积分特性即可得:信号与系统卷积计算的图解法例题卷积计算的图解法例题例：例：用图解法计算 ，其中 解：卷积结果如图 tftf21*1121f tr tr tr t 112ttttfMatlab求解举例：信号与系统 1231242x tu tu txtu tu txtx txt思考：有哪些方法？Matlab求解举例：信号与系统00.511.522.533.5400.51tx2(t)ex
29、maple for convolution of continuous time signals00.511.522.533.5400.51tx1(t)012345678024tx1(t)*x2(t)信号与系统例题：例题：v如图所示系统由四个子系统组成，各子系统冲激响应分别为积分器 ，单位延迟器 和倒相器 ，求系统冲激响应。tuth1 12tth tth3信号与系统例题：例题：解：根据卷积运算的性质有：1213*1*1h th thth th tu ttu ttu tu t信号与系统卷积的性质汇总卷积的性质汇总微积分性质：微积分性质：1)1)微分性质：微分性质：卷积运算与微分运算可交换；2)2
30、)积分性质：积分性质：卷积运算与积分运算可交换；3)3)N N阶导数性质：阶导数性质：特殊地 dttdftftfdttdftftfdtd212121*tttdftftfdfdff212121*tftftftfmnmn21)(21*tdftftftf2121*举例v已知两信号v求 信号与系统 2122222ttttttt Tt Tttftfteu te u tu tu tTeu te u tu tu tTeu te u tttTeeu teeu tT 卷积的微分性质 2ftu tu tT 21ttfteu te u t 12ftft卷积微积分性质使用注意v卷积微积分性质中，被微分的信号需要满足条
31、件v即该信号中不能包含有直流分量，此时不能直接应用该性质求解卷积，需将直流分量的卷积分离出来单独计算。信号与系统 11tftfd举例v计算卷积：信号与系统 21*tu teu t 222222220211*1*1211121111122211=222tttttttu teu teu teu teudeu tedeu teu tuteu t 零时刻之后的全响应系统初始条件 21*tu teu t 系统单位冲激响应系统激励（全激励）举例v一般的直流信号卷积指数衰减信号为：信号与系统 0*tAeu tA eudAAed 直流激励冲激响应信号与系统例题：例题：计算（1）；tuttuet*12 2222
32、22222221*1*1*11*1*()2()(1)()*()2()*()12(1)()(1)()2ttttttttttteu ttu teu ttu teu tteu teu ttu teu ttu te u tetu te u tu teu teu t 方法一：方法二：两种不同处理方法，但是第一种简便很多。信号与系统例题：计算 2*ttdteu tetdt 22222222*2()1 2ttttttttttddteu tetteu tetdtdtddteu ttteu tdtdteu tteu ttett eu t信号与系统卷积的性质汇总卷积的性质汇总1)1)信号与延迟冲激信号的卷积等于延
33、迟信号信号与延迟冲激信号的卷积等于延迟信号2)2)信号与阶跃信号的卷积等于信号积分信号与阶跃信号的卷积等于信号积分 00*ttftttf 0110010*ttftttftttfttutf信号与系统卷积的性质汇总卷积的性质汇总3)3)信号与冲激偶的卷积等于信号微分信号与冲激偶的卷积等于信号微分4)4)信号与冲激的信号与冲激的m m阶导数的卷积等于信号的阶导数的卷积等于信号的m m阶导数阶导数 000*ttftttftttf 00*ttftttfmm信号与系统例题例题v计算矩形脉冲 的自卷积。v解：f tGt 1*22222f tf tftftttr tr tr tr tr tr tr tr tr
34、 t 信号与系统例题：例题：v计算矩形脉冲 与指数信号 的卷积。tuetft222 111tututf 11111*11*1212212121tuetuetuetttftftftfttt信号与系统卷积的应用举例卷积的应用举例信号与系统卷积的应用举例卷积的应用举例信号与系统卷积的应用举例卷积的应用举例信号与系统卷积的应用举例卷积的应用举例信号与系统卷积的应用举例卷积的应用举例信号与系统卷积的应用举例卷积的应用举例信号与系统卷积的应用举例卷积的应用举例信号与系统卷积的应用举例卷积的应用举例信号与系统卷积的应用举例卷积的应用举例v加入椒盐噪声的图像空间域去噪，可利用卷积实现信号与系统卷积的应用举例卷
35、积的应用举例二二.LTI系统的性质系统的性质1.记忆性：记忆性：LTI 系统可以由它的单位冲激系统可以由它的单位冲激/脉冲响应来表征，脉冲响应来表征，因而其特性（记忆性、可逆性、因果性、稳定性）因而其特性（记忆性、可逆性、因果性、稳定性）都应在其单位冲激都应在其单位冲激/脉冲响应中有所体现。脉冲响应中有所体现。()()()ky nx k h nk则在任何时刻则在任何时刻 ，都只能和都只能和 时刻的输入有关，时刻的输入有关，和式中只能有和式中只能有 时的一项为非零，因此必须有：时的一项为非零，因此必须有：根据根据 ，如果系统是无记忆的，如果系统是无记忆的，n()y nnkn()0,h nkkn即
36、：即：()0,0h nn所以，无记忆系统的单位脉冲所以，无记忆系统的单位脉冲/冲激响应为：冲激响应为：()()()()h nknh tkt()()()()()()x nh nkx nx th tkx t当当 时系统是时系统是恒等系统恒等系统。1k 如果如果LTI系统的单位冲激系统的单位冲激/脉冲响应不满足上述要脉冲响应不满足上述要求，则系统是求，则系统是记忆的记忆的。2.可逆性：可逆性：如果如果LTI系统是可逆的，一定存在一个逆系统，且系统是可逆的，一定存在一个逆系统，且逆系统也是逆系统也是LTI系统，它们级联起来构成一个恒等系系统，它们级联起来构成一个恒等系统。统。此时，此时，()x t()
37、x t()h t()g t因此有：因此有：()()()()()()h tg tth ng nn例如：例如：延时器是可逆的延时器是可逆的LTI系统，系统，其逆系统是其逆系统是 ，显然有：，显然有：0()()h ttt0()()g ttt00()()()()()h tg tttttt 累加器是可逆的累加器是可逆的LTI系统，其系统，其 ，其逆，其逆系统是系统是 ，显然也有：，显然也有：()()h nu n()()(1)g nnn()()()()(1)()(1)()h ng nu nnnu nu nn3.因果性：因果性：由由 ，当，当LTI系统是因果系统系统是因果系统时，在任何时刻时，在任何时刻 ，
38、都只能取决于，都只能取决于 时刻及其时刻及其以前的输入，即和式中所有以前的输入，即和式中所有 的项都必须为零，的项都必须为零，即：即：()()()ky nx k h nkn()y nnkn()0,h nkkn()0,0h nn或或:对连续时间系统有对连续时间系统有:这是这是LTI系统具有因果性的充分必要条件系统具有因果性的充分必要条件。()0,0h tt但差分器是不可逆的。但差分器是不可逆的。根据稳定性的定义，由根据稳定性的定义，由 ，若若 有界，则有界，则 ;若系统稳定，则要若系统稳定，则要 求求 必有界，由必有界，由()()()ky nh k x nk()x n()x nkA()y n()
39、()()()()()kkky nh k x nkh kx nkAh k可知，必须有可知，必须有:()nh n 对连续时间系统，相应有对连续时间系统，相应有:()h t dt 这是这是LTI系统稳定的充分必要条件系统稳定的充分必要条件。4.稳定性：稳定性：5.LTI系统的单位阶跃响应：系统的单位阶跃响应：在工程实际中，也常用单位阶跃响应来描述在工程实际中，也常用单位阶跃响应来描述LTI系统。单位阶跃响应就是系统对系统。单位阶跃响应就是系统对 或或 所产生所产生的响应。因此有的响应。因此有:()u t()u n()()()()()()s tu th ts nu nh n()()()()tds th
40、dh ts tdtLTI系统的特性也可以用它的单位阶跃响应来描述。系统的特性也可以用它的单位阶跃响应来描述。()()()()(1)nks nh kh ns ns n2.4 用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果LTI系统系统00()(),kkNMkkkkkkd y td x tabdtdt 在工程实际中有相当普遍的一类系统，其数学模型在工程实际中有相当普遍的一类系统，其数学模型可以用线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来可以用线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来描述。分析这类描述。分析这类LTI系统，就是要求解线性常系数微系统，就是要求解线性常系数微分分方程方程或差分方程。
41、或差分方程。一一.线性常系数微分方程线性常系数微分方程（Linear Constant-Coefficient Differential Equation）,kkab均为常数均为常数(Causal LTI Systems Described by Differential and Difference Equations)求解该微分方程，通常是求出求解该微分方程，通常是求出通解通解 和和一个特一个特解解 ，则，则 。特解。特解 是与输是与输入入 同类型的函数，通解同类型的函数，通解 是齐次方程的解，是齐次方程的解，即即 的解。的解。欲求得齐次解，可根据齐欲求得齐次解，可根据齐次方程建立一个特征
42、方程：次方程建立一个特征方程：求出其特求出其特征根。在特征根均为单阶根时，可得出齐次解的形征根。在特征根均为单阶根时，可得出齐次解的形式为：式为：()pyt()hy t()()()phy tyty t()pyt()x t()hy t0()0kNkkkd y tadt00Nkkka1(),kNthkky tC e其中其中 是待定的常数。是待定的常数。kC 要确定系数要确定系数 ，需要有一组条件，称为，需要有一组条件，称为附加条附加条件件。仅仅从确定待定系数。仅仅从确定待定系数 的角度来看，这一组附的角度来看，这一组附加条件可以是任意的，包括附加条件的值以及给出加条件可以是任意的，包括附加条件的值
43、以及给出附加条件的时刻都可以是任意的。附加条件的时刻都可以是任意的。当微分方程描述的系统是线性系统时，必须满足当微分方程描述的系统是线性系统时，必须满足系统零输入系统零输入零输出的特性。也就是系统在没有输零输出的特性。也就是系统在没有输入，即入，即 时，时，。此时，微分方程就蜕。此时，微分方程就蜕变成齐次方程，因而描述线性系统的微分方程其齐变成齐次方程，因而描述线性系统的微分方程其齐次解必须为零，这就要求所有的次解必须为零，这就要求所有的 都为零。都为零。kCkC()0 x t kC()0y t 可以证明：当这组可以证明：当这组零附加条件在信号加入的时刻零附加条件在信号加入的时刻给出时，给出时
44、，LCCDE描述的系统不仅是线性的，也是因描述的系统不仅是线性的，也是因果的和时不果的和时不变的。变的。也就是要求确定待定系数所需的一组也就是要求确定待定系数所需的一组附加条件的附加条件的值必须全部为零值必须全部为零，即：，即：LCCDE具有一组零附加条具有一组零附加条件时，才能描述线性系统。件时，才能描述线性系统。在信号加入的时刻给出的零附加条件称为在信号加入的时刻给出的零附加条件称为零初始零初始条件条件。结论：结论：LCCDE具有一组全部为零的初始条件可以描述具有一组全部为零的初始条件可以描述一个一个LTI因果系统。这组条件是：因果系统。这组条件是：(1)(0)0,(0)0,(0)0Nyy
45、yL L如果一个因果的如果一个因果的LTI系统由系统由LCCDE描述，且方程描述，且方程具有零初始条件，就称该系统具有零初始条件，就称该系统初始是静止的初始是静止的或或最初最初是松弛的。是松弛的。如果如果LCCDE具有一组具有一组不全为零的初始条件不全为零的初始条件，则可，则可以证明它所描述的系统是以证明它所描述的系统是增量线性的增量线性的。信号与系统系统响应的一般表示系统响应的一般表示v系统响应的表示式：v系统的响应还可分解为暂态响应暂态响应和稳态响应稳态响应 零状态响应零输入响应强迫响应自由响应nktzsknktziknktktBeAeAtBeAtrkkk111)()()(信号与系统例题1
46、：v描述某LTI系统的微分方程为：122312562;02,01560,2,3ttthyty ty tf tf te u tyyytC eC e 2，求所示条件下的全解：；解：对应的齐次解为以下形式：齐次解为：信号与系统例题1：231223562,32,0ttptpttthptttyty ty tf tf te u tytPeytey tytytC eC eey teeet齐次解特解强迫响应自由响应微分方程：当输入为时，特解设为：则代入微分方程中有：P=1特解为:将初始值代入以上方程得到系数，写出全解为：信号与系统例题2：v描述某LTI系统的微分方程为：1,2212442;02,01440,2
47、tthyty ty tf tf te u tyyytCC t e 2，求所示条件下的全解：；解：对应的齐次解为以下形式：齐次解为：信号与系统例题2 2122442,222,0ttptptthttpyty ty tf tf te u tytPeyte u ty tytytCC t eey tette齐次特解强迫响应解自由响应微分方程：当输入为时，特解设为：则代入微分方程中有：P=2特解为:将初始值代入以上方程得到系数，写出全解为：信号与系统例题3：v描述某LTI系统的微分方程为：121112222;02,01220,1,1tj tj thyty ty tf tf te u tyyjjytC eC
48、 e 2，求所示条件下的全解：；解：对应的齐次解为以下形式：齐次解为：信号与系统例题3：1112112222,22()2,02ttptpj tj tthpj tj ttyty ty tf tf te u tytPeytey tytytC eC eey tejetje 特解强迫齐次解自由响应响应微分方程：当输入为时，特解设为：则代入微分方程中有：P=2特解为:将初始值代入以上方程得到系数，写出全解为：二二.线性常系数差分方程线性常系数差分方程:(Linear Constant-Coefficient Difference Equation)一般的线性常系数差分方程可表示为：一般的线性常系数差分方
49、程可表示为：与微分方程一样，它的解法也可以通过求出一个与微分方程一样，它的解法也可以通过求出一个特特解解 和通解，即齐次解和通解，即齐次解 来进行，其过程与解来进行，其过程与解微分方程类似。微分方程类似。00()()NMkkkka y nkb x nk()pyn()hy n 要确定齐次解中的待定常数，也需要有一组要确定齐次解中的待定常数，也需要有一组附加附加条件条件。同样地，。同样地，当当LCCDE具有一组全部为零的初始具有一组全部为零的初始条件时，所描述的系统是线性、因果、时不变的条件时，所描述的系统是线性、因果、时不变的。()x n(1),(2),()yyyNL L(0)y对于差分方程，可
50、以将其改写为：对于差分方程，可以将其改写为：0101()()()MNkkkky nb x nka y nka 可以看出：要求出可以看出：要求出 ，不仅要知道所有的，不仅要知道所有的 ，还要知道还要知道 ，这就是一组，这就是一组初始初始条件条件，由此可以得出，由此可以得出 。进一步，又可以通过。进一步，又可以通过 和和 ，求得，求得 ，依次类推，依次类推可求出所有可求出所有 时的解。时的解。(0)y(0)y(1),(2),(1)yyyNL L(1)y0n 若将差分方程改写为：若将差分方程改写为：则可由则可由 求得求得 ，进而由，进而由 可求得可求得 ，依次可推出，依次可推出 时的解。时的解。由于
