1、6.7 波动方程6.7.1 非齐次波动方程：非齐次波动方程：在均匀、线性、各向同性媒质中，由麦氏方程导出：在均匀、线性、各向同性媒质中，由麦氏方程导出：),(1),(),(),(222trttrJttrEtrE222(,)(,)(,)H r tH r tJ r tt其中,一般情况下,有三个分量,且每个分量都可以是三维坐标变量 及时间 t 的函数.即HE.r),(),(),(tzyxEatzyxEatzyxEaEzzyyxx6.7.2、齐次波动方程：、齐次波动方程：若考虑无源理想介质若考虑无源理想介质,则则0 0 J0故非齐次波动方程变为齐次波动方程故非齐次波动方程变为齐次波动方程 0),(),
2、(222ttrEtrE0),(),(222ttrHtrH),(),(),(tzyxEatzyxEatzyxEaEzzyyxx其中:6.7.3、齐次亥姆霍兹方程、齐次亥姆霍兹方程若时变电磁场为时谐(变)电磁场：则tjtjmtjjmemerE2Re erE eerE trEtrEe)()(Re)(Re)cos()(),(则齐次波动方程的场量以复数形式代入时为:0)()(22rEkrE0)()(22rHkrH其中:2222vk时间变量已消去.0)()()(22rEjrE0)()()(22rHjrH时谐场齐次波动方程 由麦克斯韦的电磁场由麦克斯韦的电磁场理论理论，变化的电场产生，变化的电场产生变化的磁
3、场，而变化的磁场又产生变化的电场，变化的磁场，而变化的磁场又产生变化的电场，这样，变化电场和变化磁场之间相互依赖，相互这样，变化电场和变化磁场之间相互依赖，相互激发，交替产生，并以一定速度由近及远地在空激发，交替产生，并以一定速度由近及远地在空间传播出去。这样就产生了间传播出去。这样就产生了电磁波。电磁波。赫兹实验在人类历史上赫兹实验在人类历史上首次首次发射和接收了电发射和接收了电磁波，且通过多次实验证明了电磁波与光波一样磁波，且通过多次实验证明了电磁波与光波一样能够发生反射、折射、干涉、衍射和偏振，验证能够发生反射、折射、干涉、衍射和偏振，验证了麦克斯韦预言，揭示了光的电磁本质，从而了麦克斯
4、韦预言，揭示了光的电磁本质，从而将将光学与电磁学统一起来。光学与电磁学统一起来。第七章 平面电磁波*赫赫兹兹实实验验 电电磁磁波波 宇宇宙宙射射线线 射射线线 X X射射线线 紫紫外外线线 可可见见光光红红外外线线微波微波毫毫米米波波厘厘米米波波分分米米波波超超短短波波短短波波中中波波长长波波无无 线线 电电 波波12101010410210210410610)c(m400nm 可见光可见光 均匀平面波的极化均匀平面波的极化 导电媒质中的均匀平面波导电媒质中的均匀平面波 理想介质中的均匀平面波理想介质中的均匀平面波 分界面上的均匀平面波分界面上的均匀平面波本章主要内容 均匀平面波的概念均匀平面
5、波的概念 波阵面波阵面：空间相位相同的点构成的面：空间相位相同的点构成的面 平面波平面波：波阵面（等相位面）为平面的波：波阵面（等相位面）为平面的波 均匀平面波均匀平面波：等相位面上电磁场的大小和方向处处等相位面上电磁场的大小和方向处处相等的平面波相等的平面波均匀平面波是电磁波的一种理想情况，其分均匀平面波是电磁波的一种理想情况，其分析方法简单，其他形式的波均是均匀平面波的析方法简单，其他形式的波均是均匀平面波的叠加形式。叠加形式。观看波形图观看波形图EHz波传播方向波传播方向 均匀平面波均匀平面波波阵面波阵面xyo齐次亥姆霍兹方程齐次亥姆霍兹方程0)()(22rEkrE()()xxza Ez
6、 E7.1.3 一维波动方程的均匀平面波解一维波动方程的均匀平面波解设电场平行于设电场平行于x轴，且只是轴，且只是z的函数，即的函数，即将其代入上式可得将其代入上式可得222()()0 xxd Ezk Ezdz令222k 实数0)()(222zEdzzEdxx其中:为传播常数传播常数;j为相位常数相位常数.mrad在此其与波数k相同方程的解：00()zzxxxzeeEEE0000jzjzxxxjkzjkzxxxxEEeEeEeEeEE其中，第一项表示沿其中，第一项表示沿+z 方向传播的波；方向传播的波；第一项表示沿第一项表示沿-z 方向传播的波。方向传播的波。jkzAe1电场量的瞬时值：00(
7、,)Re 22cos()(,)ejjkzj txxxxxexxE z taE e ee aEtkza E z t 沿正沿正z方向传播的波形图方向传播的波形图电场和磁场的关系电场和磁场的关系 j EHj00 xyzxyzxyzxHHHxyz aaaEaaaE得得00001j1()jxyjkzjkzxxjkzjkzxxEHzEeEezkkEeEe 0000jkzjkzyxxjkzjkzyyyykkHEeEeHeHeHH00 xxyyEE kHH00()jkzjkzxxxxxEzEeEeEE00 xxyyEE HH又因为又因为 在理想介质中在理想介质中，均匀平面波的电场强度与磁场强度相均匀平面波的电
8、场强度与磁场强度相 互垂直，且同相位。互垂直，且同相位。媒质的本征波阻抗媒质的本征波阻抗对于自由空间对于自由空间000120377 xyxy EHEHyzyz EHaEHan EH a1n HaE研究均匀平面波有两种方式。研究均匀平面波有两种方式。时间观察时间观察方式是在固定的空间方式是在固定的空间位置观察变量随时间的变化。位置观察变量随时间的变化。空间观察空间观察方式是在固定的时刻方式是在固定的时刻观察变量随空间坐标的变化。观察变量随空间坐标的变化。采用时间观察方式，取采用时间观察方式，取0,0ez0(,)2cos()xxEz tEt T o xE t7.1.4 理想介质中均匀平面波的特性理
9、想介质中均匀平面波的特性（1）时间周期）时间周期1、均匀平面波的传播参数、均匀平面波的传播参数时间相位变化时间相位变化 2的时间间隔，的时间间隔，即即:2T2 ()Ts频率频率 ：1 (H)2fzT 采用空间观察方式，可令采用空间观察方式，可令 这时电场可表示为这时电场可表示为 00,02cos2cos()xxxEzEkzEkz0,0et2mk2 (rad/m)k波数波数:每每 长度内波长的数目长度内波长的数目 o xE kz2（2）波长和波数）波长和波数波长波长:空间相位变化空间相位变化2时时 的空间距离的空间距离:2k（3）相速度）相速度)sm(1ddktzv由由相速度只与媒质参数相速度只
10、与媒质参数有关，而与电磁波的有关，而与电磁波的频率无关频率无关dd0tk z相速相速vp：电磁波的等相位面在：电磁波的等相位面在空间移动的速度空间移动的速度.tkzCd1 (m s)dpzvtk 0dtkdz80013 10 m/svc 设yyxxHaH EaE则22221(,)(,)2111(,)(,)222xxyxz tEz tEz tHz tEemww故),(),(tztzmeww对均匀平面波来说对均匀平面波来说,电场能量密度与磁场能量密电场能量密度与磁场能量密度相等。度相等。以 z 轴方向传播的波为例电场能量密度与磁场能量密度电场能量密度与磁场能量密度。能流密度平均值能流密度平均值 ：
11、()aSzv00ejjkzjkzxxxxEa Eea Eee00ejjkzjkzyyyyHa Hea Hee设而00yxHE()R e()aSzEHvzxaaEzS20)()(v故在垂直传播方向的所有平面上，每单位面积穿过的功率相等。20()xzEEHaxyzEHo理想介质中均匀平面波的理想介质中均匀平面波的 和和EH(1)电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波（电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波（TEM 波）波）(2)存在两组互相垂直的电磁分量，每一组分量波可分为存在两组互相垂直的电磁分量，每一组分量波可分为正负方向传播的波。正负方向传播的波。(3)正负向传播的的相速为常数与
12、频率无正负向传播的的相速为常数与频率无关，无色散。关，无色散。(5)电场能量密度等于磁场能量密度电场能量密度等于磁场能量密度.根据前面的分析，可总结出理想介质中的均匀平面波的根据前面的分析，可总结出理想介质中的均匀平面波的传播特点为：传播特点为：(4)电磁场与传播方向满足右手螺旋关系，电磁场与传播方向满足右手螺旋关系，坡印廷矢量方向与传播方向一致。坡印廷矢量方向与传播方向一致。例：已知真空中的均匀平面波电场强度瞬时值为：(V/m)ztatzEx)106sin(220),(8求：（1）频率f、波长 、相速 及相位常数 ；（2）电场强度复数表达式，磁场强度复数及瞬时值表达式；（3）能流密度矢量瞬时
13、值及平均值。pv解：t)(z,Et),r(E 为均匀平面波，且沿正z 方向传播。且电场强度的瞬时值为复数的虚部，正弦变化。（1）：由瞬时值表达式知：srad/1068则：HZf81032fvp sm p/10318v先求故m p1fvmrad /2221 定义：单位长度相位常数上的相移（2）：(V/m)ztatzE x)106sin(220),(8220Im)(ztjxeat)(z,E 20Im220Im220Im)(tjzjxtjzjxztjxeea eea eat)(z,E 即复振幅复有效值2(V/m)eazE zjxx220)(xyz由于电场（x)、磁场、传播方向(z)符合右手螺旋定则：
14、故磁场为 方向。y00yxyxHEHE 17由于(V/m)eezEzH zjzjxy226112020)()(故：(V/m)eazH zjyy261)(磁场强度的复数表达式则612Im)(Im),(2tjzjytjyeea ezHtzH)2106sin(628(A/m ztay瞬时值表达式),(),(),(tzHtzEtzS(V/m)ztatzE x)2106sin(220),(8)2106sin(62),(8(A/m ztatzHy)2106(sin320),(82ztatzS z（3）：25能流密度瞬时值)()(ReRezHzESS av(V/m)eazE zjxx220)(V/m)eazH zjyy261)(而(V/m)eazH zjyy261)(即310310RezzavaaS 能流密度平均值
