1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析1.1 1.1 矢量表示法和代数运算矢量表示法和代数运算 1.2 1.2 通量与散度通量与散度,散度定理散度定理1.3 1.3 环量与旋度环量与旋度,斯托克斯定理斯托克斯定理1.4 1.4 方向导数与梯度方向导数与梯度,格林定理格林定理1.5 1.5 曲面坐标系曲面坐标系1.6 1.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理第一章第一章 矢矢 量量 分分 析析 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析1.1 1.1 矢量表示法和代数运算矢量表示法和代数运算 一、矢量表示法及其和差一、矢量表示法及其和差矢量矢量A的的表示表示：zy
2、xAzAyAxAA矢量的矢量的模模：222xyzAAAAA矢量的矢量的单位矢量单位矢量：coscoscosyxzAAAAAxyzAAAAxayz两个矢量的对应分量相加或相减：两个矢量的对应分量相加或相减：)()()(zzyyxxBAzBAyBAxBA电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析二、标量积和矢量积二、标量积和矢量积1、标量积标量积(点乘点乘)ABaBABAcos10zzyyxxxzzyyx意义：一个矢量的模与另一个矢量在该矢量上的投影的乘积。意义：一个矢量的模与另一个矢量在该矢量上的投影的乘积。注意：注意：2、矢量积矢量积(叉乘叉乘)ABaBAnBAsin2222
3、xxyyzzxyzA BA BA BA BA AAAAA 直角坐标系中的直角坐标系中的计算公式计算公式：n 其中：其中：方向与方向与A,BA,B成右手螺旋关系成右手螺旋关系电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析意义：意义：A和和B矢量所围成的平行四边形面积。矢量所围成的平行四边形面积。yxzxzyzyxzzyyxx,0注意：注意：直角坐标系中的直角坐标系中的计算公式计算公式：()()()()()xyzxyzyzzyzxxzxyyxABxAyAzAxByBzBx A BA By A BA Bz A BA BzyxzyxBBBAAAzyxBA记为：记为：电磁场与电磁波电磁场与
4、电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析三、三重积三、三重积 1、标量三重积)()()(BACACBCBA意义：平行六面体的体积。意义：平行六面体的体积。2、矢量三重积为)()()(BACCABCBA电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析1.2 通量与散度通量与散度,散度定理散度定理一、通量一、通量面元面元:dsnsdn 是面元的法线方向单位矢量是面元的法线方向单位矢量其中：其中：n 的取向问题的取向问题:对开曲面上的面元对开曲面上的面元,设设这个开曲面是由封闭曲线这个开曲面是由封闭曲线l所围成的所围成的,则当选定绕行则当选定绕行l的的方向方向后后,沿绕行方向按沿绕行方向按
5、右手螺旋右手螺旋的姆指方的姆指方向就是向就是 的方向的方向对对封闭曲面上的面元封闭曲面上的面元,取为取为封闭面的外法线封闭面的外法线方向。方向。n n 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析通量通量定义定义：矢量矢量 A A 沿有向曲面沿有向曲面S S 的面积分，称的面积分，称为矢量为矢量 A 沿有向曲面沿有向曲面S 的的通量通量ssdsnAsdA如果如果S S是一个是一个封闭面封闭面,则则通量通量为：为：SsdAn 若若0,0,表示有净通量流出表示有净通量流出,这说明这说明S S内必定有矢量场内必定有矢量场的源的源;n 若若0,0,表示有净通量流入表示有净通量流入,说明
6、说明S S内有洞内有洞(负的源负的源)。通过封闭面的电通量通过封闭面的电通量e e等于该封闭面所包围的自由电荷等于该封闭面所包围的自由电荷Q Q。n 若若Q Q为正电荷为正电荷,e e为正为正,有电通量流出有电通量流出;反之反之,若若Q Q为为负电荷负电荷,则则e e为负为负,有电通量流入。有电通量流入。电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析二、散度二、散度1 1、散度、散度(divergence)定义：定义：如果包围点如果包围点P P的闭合面的闭合面 S S所所围区域围区域 V V以任意方式缩小以任意方式缩小为点为点P P时时,通量与体积之比的通量与体积之比的极限存在，
7、定义该极限为矢量场极限存在，定义该极限为矢量场A A在在P P点的散度。点的散度。0limSVA dsdivAVD DD D=2 2、散度的物理意义散度的物理意义 矢量的散度是一个矢量的散度是一个标量标量散度代表矢量场的通量源的分布特性散度代表矢量场的通量源的分布特性矢量的散度代表的是其通量的体密度矢量的散度代表的是其通量的体密度电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析 A A=0 0(无源无源）A A=0 0(负负源源)A A=0 0 (正源正源)哈密顿哈密顿(W.R.Hamilton)引入倒三角算符表示下述矢量形式的微分算子算子散度计算公式散度计算公式：zzyyxxAd
8、ivAzAyAxAAzAyAxzzyyxxAzyxzyx)(电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析三、散度定理三、散度定理n1=-n2n1n2VsdAdvA散度定理散度定理：矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体：矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量，也称为积的封闭面的总通量，也称为高斯定理高斯定理电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析例例1.11.1 点电荷q在离其r处产生的电通量密度为 222 1/23,()4qDrrxxyyzzrxyxrp=+=+求任意点处电通量密度的散度D，并求穿出r为半径的球面的电通量 解解 zyx
9、DzDyDxzyxz zyyxxqD)(42/32225222/522222/32222/322234)(3)(14)(4rxrqzyxxzyxqzyxxxqxDx电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析52252234,34rzrqzDryrqyDzy0)(33452222rzyxrqzDyDxDDzyx结论：结论：除点电荷所在源点（除点电荷所在源点（r=0r=0）外，空间各点的电通量）外，空间各点的电通量密度散度均为零密度散度均为零qrrqdsrqdsrrrqsdDssse22234444 证明在此球面上所穿过的电通量证明在此球面上所穿过的电通量 的源正是点电荷的源正是
10、点电荷q q。e电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析1.3 1.3 环量与旋度环量与旋度,斯托克斯定理斯托克斯定理一、环量一、环量矢量矢量A A沿某封闭曲线的线积分沿某封闭曲线的线积分,定义为定义为A A沿该曲线的环量沿该曲线的环量(或或旋涡量旋涡量),),记为记为 ll dA二、旋度二、旋度1.1.环量密度环量密度把封闭曲线收小把封闭曲线收小,使它包围的面积使它包围的面积S S趋近于零趋近于零,取极限取极限0limlSA dlSD DD D意义：意义：环量的面密度环量的面密度注意：注意：该极限值与该极限值与 S S的形状无关，但与的形状无关，但与 S S的方向的方向n
11、 n有关有关电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析2.2.旋度旋度矢量A的旋度是一个矢量矢量,其大小大小是矢量A在给定点处的最大最大环量面密度环量面密度,其方向方向就是当面元的取向使环量面密度最大时当面元的取向使环量面密度最大时,该面元矢量的方向面元矢量的方向Sl dAnACurllSmax0limAAcurlyAxAzxAzAyzAyAxAzAyAxzzyyxxAxyzxyzzyx)(zyxAAAzyxzyxA电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析三、斯托克斯定理三、斯托克斯定理矢量场在闭曲线矢量场在闭曲线l l上的环量就等于上的环量就等于l l所
12、包围的曲面所包围的曲面S S上的旋度上的旋度之总和之总和clsl dAsdA)(此式称为斯托克斯此式称为斯托克斯(Stokes(Stokes)定理或斯托克斯公式定理或斯托克斯公式电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析例例1.31.3 自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为2/3222030)(44zyxz zyyxxqrrqE求任意点处(r0)电场强度的旋度E。解解 03333333330 44x y zqExyzxyzrrrqzyxzyxxyzy rz rz rx rx ry rpepe抖汛=抖禳轾轾轾镲骣骣骣骣骣骣抖抖抖镲鼢鼢鼢珑珑珑犏犏犏=-+-+-鼢鼢鼢睚珑珑珑鼢
13、鼢鼢珑珑珑犏犏犏镲桫桫桫桫桫桫抖抖抖臌臌臌镲铪电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析因535333ryzryzryzrzy可见,向分量为零;同样,向和 向分量也都为零。x y z 0E结论：结论：点电荷产生的电场是无旋场电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析1.4 1.4 方向导数与梯度方向导数与梯度,格林定理格林定理一、方向导数与梯度一、方向导数与梯度标量场(x,y,z)在某点沿l方向的变化率称为沿该方向的方向导数方向导数l /l注意：注意：方向导数大小与方向方向导数大小与方向 有有关关PNleMne1 1、方向导数、方向导数2 2、梯度、梯度大小
14、：最大方向性导数方向：最大方向性导数所在的方向标量场标量场 (x,y,z)在在P P点的梯度是一个点的梯度是一个矢量矢量电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析定义标量场(x,y,z)在点P(x,y,z)处的梯度(gradient)为 nngrad由方向性导数的定义可知：沿等值面法线 的方向性导数最大。n lgradlzzyyxxgrad在直角坐标系中梯度的计算公式在直角坐标系中梯度的计算公式电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析例例1.61.6 在点电荷q的静电场中,P(x,y,z)点的电位为2220,4),(zyxrrqzyx求P点的电位梯度。解：
15、解：3001(,)44qqx y zrrr E31RRR 已知：电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析1.5 1.5 曲曲 面面 坐坐 标标 系系 一、圆柱坐标系一、圆柱坐标系三者总保持正交关系,并遵循右手螺旋法则:z 矢量A在柱坐标系柱坐标系中可用三个分量表示表示为 zAzAAA对任意的增量d,d,dz,P点位置沿 ,方向的长度增量(长度元)分别为 z 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析dzdlddlddlz,与三个单位矢量相垂直的三个面积元和体积元分别是 dddldldsdzddldldsdzddldldszzzdzdddldldldvz电磁
16、场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析二、球面坐标系二、球面坐标系r矢量A在球坐标系中可表示为AAArAr,sinrdldr dlrddlrdqfqq f=对任意的增量dr,d,d,P点位置沿 ,方向的长度增量(长度元)分别为 r 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析球坐标中三个面积元和体积元分别为 rdrddldldsdrdrdldldsddrdldldsrrrsinsin2dddrrdldldldvrsin2三、三种坐标的变换及场论表示式三、三种坐标的变换及场论表示式电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析zz1sin11rrr
17、例例 1.71.7 在一对相距为l的点电荷+q和-q(电偶极子)的静电场中,距离rl处的电位为 cos4),(20rqlr求其电场强度E(r,)。解解sin4cos42sin11),(3030rqlrqlrrrrrrE电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析1.6 1.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理一一 、散度和旋度的比较、散度和旋度的比较(1)矢量场的散度散度是一个标量函数标量函数,而矢量场的旋度旋度是一个矢量函数矢量函数。(2)散度散度表示场中某点的通量密度,它是场中任一点通量源场中任一点通量源强度强度的量度;旋度旋度表示场中某点的最大环量强度,它是场中场中任一点处旋涡源
18、强度任一点处旋涡源强度的量度。(3)散度由各场分量沿各自方向上的变化率来决定；旋度由各场分量在与之正交方向上的变化率来决定yAxAzxAzAyzAyAxAzAyAxzzyyxxAxyzxyzzyx)(zAyAxAAzyx电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析二、亥姆霍兹定理二、亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理的简化表述如下:若矢量场若矢量场F F在无限空间中在无限空间中处处单值处处单值,且其导数连续有界且其导数连续有界,而源分布在有限区域中,则矢量场由其散度和旋度唯一地确定。并且,它可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和,即AF在有限区域内，矢量场由它的在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度散度、旋度及及边界条件边界条件唯一唯一地确定。地确定。已知已知矢量矢量A A的通量源密度的通量源密度矢量矢量A A的旋度源密度的旋度源密度场域边界条件场域边界条件在电磁场中在电磁场中电荷密度电荷密度 电流密度电流密度J J场域边界条件场域边界条件（矢量矢量A A唯一地确定唯一地确定）亥姆霍兹定理的意义：是研究电磁场的一条主线。亥姆霍兹定理的意义：是研究电磁场的一条主线。电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章 矢量分析矢量分析
