1、期权定价期权定价北京物资学院证券期货教研室北京物资学院证券期货教研室 刘宏刘宏刘宏 主要内容 风险中性理论风险中性理论 二叉树定价模型二叉树定价模型 Black-Scholes模型模型 三叉树模型三叉树模型一、风险中性定价原理一、风险中性定价原理例例1.某股票当前的市场价格为某股票当前的市场价格为100元，根据该股票的风险特征，元，根据该股票的风险特征，其必要收益率为其必要收益率为10%，如果市场上的无风险利率为，如果市场上的无风险利率为5%，则，则1年后年后的股票价格应该是的股票价格应该是110元还是元还是105元？元？如果如果1年后股票的价格为年后股票的价格为110元，交易中元，交易中以无
2、风险利率借入资金以无风险利率借入资金100元，买入该股票，与远期买入方约定按元，买入该股票，与远期买入方约定按110元在元在1年后卖出。年后卖出。1年后，无论股票价格涨跌，该交易者均可将持有的股票按年后，无论股票价格涨跌，该交易者均可将持有的股票按110元卖给远期买入者，然后将元卖给远期买入者，然后将105远归还资金贷出方，此策略可使远归还资金贷出方，此策略可使交易者获得交易者获得5元的无风险套利收益。元的无风险套利收益。所以，任何资产的远期价格应该等于该资产的现值按无风险收益所以，任何资产的远期价格应该等于该资产的现值按无风险收益进行投资的终值，或任何资产的现值等于该资产的远期价格按无进行投
3、资的终值，或任何资产的现值等于该资产的远期价格按无风险利率贴现的现值。风险利率贴现的现值。所以，用远期价格对资产进行定价时，贴现率为无风险利率，即所以，用远期价格对资产进行定价时，贴现率为无风险利率，即定价中使用的贴现率与资产的风险无关定价中使用的贴现率与资产的风险无关风险中性定价原理。风险中性定价原理。风险中性风险中性定价原理：定价原理：风险中性定价原理是指在对资产进行定价时，资产的风险中性定价原理是指在对资产进行定价时，资产的风险与其价格无关，或定价过程中不考虑资产的风险。风险与其价格无关，或定价过程中不考虑资产的风险。二、（一）二叉树模型的基本方法（二、（一）二叉树模型的基本方法（1 1
4、）-标的资产不支标的资产不支付红利的欧式看涨期权的定价（付红利的欧式看涨期权的定价（C=cC=c）)()()()()1(*)1()1(*)1(*)1()1(*tTtTtTdtTurdSruSrSrSS已知标的资产的现价为已知标的资产的现价为S和和t时间后上升和下跌的价格时间后上升和下跌的价格Su和和Sd，如图如图1所示，期权价格关系如图所示，期权价格关系如图2所示。无风险利率为所示。无风险利率为r，求，求t时期时期到期、行权价格为到期、行权价格为K的该标的的资产看涨期权的价格以及上涨概的该标的的资产看涨期权的价格以及上涨概率率。SuSdSP1-P图1cucdcP1-P图2SSdSSudu,上涨
5、和下跌因子上涨和下跌因子u和和d，或称，或称上升系数和下跌系数为：上升系数和下跌系数为：cu=maxSu-k,0cd=maxSd-k,0（T-t）年后的远期价格应该等于每一种远期价格可能性的加）年后的远期价格应该等于每一种远期价格可能性的加权平均，即期价格等于远期价格按无风险利率进行贴现的现值：权平均，即期价格等于远期价格按无风险利率进行贴现的现值：durtT*)1(*)1()(标的资产和期权价格上涨的概率标的资产和期权价格上涨的概率P P和看涨期权的价格：和看涨期权的价格：dudrtT)()1(durutT)()1(1dtutcrcrc*)1(1*)1(SuSdS1-图1pupdp1-图2一
6、、（二）二叉树模型的基本方法（一、（二）二叉树模型的基本方法（1）-标的资产不支付红标的资产不支付红利的欧式看跌期权的价格：利的欧式看跌期权的价格：pu=maxk-Su,0pd=maxk-Sd,0U、d、Su、sd、等指标的计算与看涨期权相同。看跌期权等指标的计算与看涨期权相同。看跌期权的价格计算如下：的价格计算如下：dtTutTprprp*)1(1*)1()()(durtT*)1(*)1()(二、（三）二叉树模型的基本方法（二、（三）二叉树模型的基本方法（1 1）-标的标的资产支付红利的欧式看涨期权的定价（资产支付红利的欧式看涨期权的定价（C Cc c）当标的资产支付连续收益率为当标的资产支
7、付连续收益率为q q的红利时，在风险的红利时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为中性条件下，证券价格的增长率应该为r-q.r-q.CdepCuepCtTqrtTqr*1*)()(duetTqr*)1(*)(dudetTqr)(dueutTqr)(1三、（一）二叉树模型的基本方法（三、（一）二叉树模型的基本方法（2）-标的资产不标的资产不支付红利的欧式看涨和看跌期权的定价支付红利的欧式看涨和看跌期权的定价 策略策略A A：购买一张价格等于：购买一张价格等于c c的看涨期权，初始持仓头寸的看涨期权，初始持仓头寸C C；策略策略B B：借入无风险资产：借入无风险资产L L，购买股价格等于，购买
8、股价格等于S S的股票，初始的股票，初始持仓头寸为持仓头寸为L+L+S S；到期时，无论价格涨跌，两种策略的持仓；到期时，无论价格涨跌，两种策略的持仓应该等价，否则存在套利机会。应该等价，否则存在套利机会。(T-t)(T-t)年后期权到期时，股票价格上涨至年后期权到期时，股票价格上涨至SuSu或下跌至或下跌至SdSd，交易者，交易者的持仓头寸分别为：的持仓头寸分别为：L L（1+r1+r）（T-t)T-t)+S Su u=C=Cu u （1 1）L L（1+r1+r）(T-t)(T-t)+S Sd d=C=Cd d （2 2）或者或者是构建一个由一单位看涨期权空头和是构建一个由一单位看涨期权空
9、头和单位标的股票多头单位标的股票多头以及以及金额为金额为L的无风险负债的组合。该组合的初始投资为的无风险负债的组合。该组合的初始投资为0，有：有：L+S-c=0。同样的，如果不存在套利机会的话，期末时。同样的，如果不存在套利机会的话，期末时该组合应满足（该组合应满足（1）和（）和（2）式。）式。解（解（1）、（）、（2）式可得：）式可得：S Su u-S Sd d=C=Cu u-C-Cd d L=(CL=(Cu u-S Su u)/(1+r)/(1+r）（T-t)T-t)或或 L=(CL=(Cd d-S Sd d)/(1+r)/(1+r）(T-t)(T-t)将将和和L L值带入值带入看公式看公
10、式C=L+C=L+S S中，即可得到看涨期权的价格。中，即可得到看涨期权的价格。dSdSSccCdudu看跌期权的分析和计算于此相同。看跌期权的分析和计算于此相同。三、（二）使用二叉树基本方法（三、（二）使用二叉树基本方法（2 2）对支付连续红利率资产的看涨期权定价对支付连续红利率资产的看涨期权定价 当标的资产支付连续收益率为当标的资产支付连续收益率为q q的红利，的红利，t时期后期时期后期权到期时，股票价格上涨至权到期时，股票价格上涨至Su或下跌至或下跌至Sd，交易，交易者的持仓头寸分别为：者的持仓头寸分别为：Le(r-q)(T-t)+Su=Cu （1）Le(r-q)(T-t)+Sd=Cd
11、（2）解（解（1）、（）、（2）式可得：）式可得：Su-Sd=Cu-Cd L=(Cu-Su)/e(r-q)（T-t)或或L=(Cd-Sd)/e(r-q)(T-t)看涨期权的价格看涨期权的价格C=L+SdSdSSccCdudu假设一年期无风险利率为假设一年期无风险利率为r=3%，某公司股票的当前价格是每股，某公司股票的当前价格是每股S=80元，一年后其价格有且仅有两种可能的走势：或者上涨至元，一年后其价格有且仅有两种可能的走势：或者上涨至Su=120元，或者是下跌至元，或者是下跌至Sd=80元，现有以此股票为标的元，现有以此股票为标的的欧式看涨期权，执行价格的欧式看涨期权，执行价格K为为75元，
12、一年后到期。请计算一年元，一年后到期。请计算一年以后该股票价格上涨至以后该股票价格上涨至120元和下跌至元和下跌至80元的概率以及该欧式看元的概率以及该欧式看涨期权的价格。涨期权的价格。例例2.使用使用二叉树模型对看涨期权进行定价二叉树模型对看涨期权进行定价首先，首先，1年后年后Cu=120-75=45元；元；Cd=80-75=5元。元。112080100-图图1.股票即期与远期价格股票即期与远期价格455C1图图2.期权即期与远期价格期权即期与远期价格使用方法（使用方法（1）575.08.02.18.0%)31()1(dudr425.0575.0111845.275*%31425.045*%
13、31575.0CC=S*+L=100-72.8155=27.1845使用方法（使用方法（2）180120545L=(5-80)/(1+3%)=-72.8155假设目前的无风险利率为假设目前的无风险利率为2%，股票的价格是，股票的价格是30元，一个时期元，一个时期（假设是（假设是1年）后年）后(股票不支付红利股票不支付红利)，股票要么上升到，股票要么上升到45元，要元，要么下跌到么下跌到20元。概率分别是元。概率分别是p和（和（1-p）。如果标的股票的欧式）。如果标的股票的欧式看涨期权的执行价格是看涨期权的执行价格是40元，计算该期权的价格。元，计算该期权的价格。例例3.使用使用二叉树模型对看涨
14、期权进行定价二叉树模型对看涨期权进行定价4520301-图图150C1-图图2U=45/30=1.5,d=20/30=2/30784.202.1/5*%4.42*11*1CdrCurC424.03/25.13/2%)21()1(dudr576.0424.0111年后年后Cu=45-40=5元；元；Cd为为20-40或或0中的最大值，所以中的最大值，所以Cd=0使用方法（使用方法（1）C=S*+L=30/5-3.9216=2.0784使用方法（使用方法（2）51204505L=(5-45/5)/(1+2%)=-3.9216一年期无风险利率为一年期无风险利率为r=3%，股票的当前价格是每股，股票的
15、当前价格是每股S=90元，一元，一年后其价格有且仅有两种可能的走势：或者上涨至年后其价格有且仅有两种可能的走势：或者上涨至120元，或者元，或者下跌至下跌至80元，请计算元，请计算1年后到期的执行价格为年后到期的执行价格为100元的该股票欧元的该股票欧式看涨和看跌期权的价格。式看涨和看跌期权的价格。例例4.使用使用二叉树模型对看涨和看跌期权进行定价二叉树模型对看涨和看跌期权进行定价11208090-图图1.标的股票价格标的股票价格200c1-图图2.看涨期权价格看涨期权价格615.620*%)31(3175.01c3175.08889.03333.18889.0%)31()1(dudrf682
16、5.03175.011020p1-图图3.看跌期权价格看跌期权价格2524.1320*%)31(6825.01pU=120/90=1.3333,d=80/90=0.8889使用方法（使用方法（1）使用使用方法（方法（2）对例）对例4中看涨和看跌期权的价格中看涨和看跌期权的价格11208090-图图1.标的股票价格标的股票价格200c1-图图2.看涨期权价格看涨期权价格5.08012020duduSSccc835.3803.1/)120*5.020()1/()*(1rSccluuc020p1-图图3.看跌期权价格看跌期权价格5.08012020duduSSppp2524.5803.1/)120*
17、5.00()1/()*(1rSpludupC=S*c+Lc=90*0.5-38.835=6.615p=S*p+Lp)=-90*0.5+58.2524=13.2524四、证券价格的树型结构四、证券价格的树型结构例例5，已知树的各节点数值，无风险利率为，已知树的各节点数值，无风险利率为5%，求各支点的概率。，求各支点的概率。P3211590140102751601308570100P11（1-P11）P21P31（1-P22）（1-P33）（1-P21）（1-P32）（1-P31）P22P33%609.015.19.005.111P由公式：由公式：dudrp)1(%34.49887.0217.18
18、87.005.121p%67.56929.0143.1929.005.131P%22.72833.0133.1833.005.122p%11.49833.0275.1833.005.132P%33.58933.0133.1933.005.133p例5中各节点概率如下：U31=1.143d31=0.929U32=1.275d32=0.833U33=1.133d33=0.933u22=1.133d21=0.887U21=1.217d22=0.833P31=56.67%P32=49.11%P33=58.33%P22=72.22%P21=49.34%P1=60%100P1（1-P）1115901401
19、02751601308570U11=1.15d11=0.9证券价格的树型结构Su1Sd1SP1（1-P）1Su1u21Su1d21Sd1u22Sd1d22Su1u2u31Su1u2d31Su1d2u32Sd1u2d32Sd1d2u33Sd1d2d33 得到每个结点的资产价格之后，求出各时期上涨得到每个结点的资产价格之后，求出各时期上涨和下跌的概率，就可以在二叉树模型中采用倒推和下跌的概率，就可以在二叉树模型中采用倒推法，从树型结构图的末端法，从树型结构图的末端T T时刻开始往回倒推，便时刻开始往回倒推，便可据此为期权定价。可据此为期权定价。如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，如果是美
20、式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有到下一个比较在本时刻提前执行期权和继续再持有到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。权价值。五、证券的收益率五、证券的收益率E(r）和方差）和方差2(Er)E(r)=spu+(1-p)d-s/s=p(u-d)+(d-1)2 2E(r)=PuP(u-d)-(d-1)2 2+(1-P)d P(u-d)-(d-1)2 2=P(1-p)(u-d)+12 2+(1-P)1-P(u-d)2 2=p(1-P)(u d)2 2 如果按年计算的方差为如果按年计算的方差为2 2
21、，(T-t)(T-t)时间段的方差为时间段的方差为2 2(T-t)(T-t)，标准差为标准差为（T-tT-t）0.50.5 。u=1+u=1+*(T-t)(T-t)0.50.5 d=1-d=1-*(T-t)(T-t)0.50.5 连续复利表达式如下：连续复利表达式如下：tTeutTed证券价格未来有两种可能的情况下，收益率和方差的表达式如下：证券价格未来有两种可能的情况下，收益率和方差的表达式如下：例例6，某股票当前价格为，某股票当前价格为100美元，该股票历史年波动率经测美元，该股票历史年波动率经测算为算为20%，年无风险利率是，年无风险利率是5%，该股票无股息，六个月以后，该股票无股息，六
22、个月以后到期，执行价格为到期，执行价格为102美元的该股票的欧式看跌期权，请用二美元的该股票的欧式看跌期权，请用二叉树模型对该期权进行定价（以复利计算）。叉树模型对该期权进行定价（以复利计算）。1519.112/6%20eeutT8681.012/6%20eedtT S Su u=100=100*1.1519=115.191.1519=115.19 S Sd d=100=100*0.8681=86.810.8681=86.81 p pu u=0=0 p pd d=102-86.81=15.19=102-86.81=15.1961.619.15*0253.14461.0*1)*(drtTpep5
23、539.08681.01519.18681.012/6%*5*edudert4461.05539.011使用方法（使用方法（1）C=S+L=-100*0.5352+60.1257=6.61使用方法（使用方法（2）5352.081.8619.11519.150duduSSppL=(pu u-Su u)/et*rf=(0+0.5352*115.19)/1.0253=60.1257 例例7 7，将例将例6按两步二叉树模型对期权进行定价（以按两步二叉树模型对期权进行定价（以复利计算）。复利计算）。1052.112/3%20)(eeutT9048.012/3%20)(eedtT S Su1u1=100=
24、100*1.1052=110.521.1052=110.52 S Sd1d1=100=100*0.9048=90.480.9048=90.48两步二叉树涵盖六个月的时间，因此每个步进是涵盖三个月时两步二叉树涵盖六个月的时间，因此每个步进是涵盖三个月时间。首先计算股票每个步进（三个月）上升系数和下降系数：间。首先计算股票每个步进（三个月）上升系数和下降系数：S Su1u2u1u2=110.52=110.52*1.1052=122.151.1052=122.15 S Su1d2u1d2=110.53=110.53*0.9048=1000.9048=100 S Sd1d2d1d2=90.48=90.
25、48*0.9048=81.870.9048=81.87在以上数据的基础上，先计算最后一个步进期权的价格，然在以上数据的基础上，先计算最后一个步进期权的价格，然后逐级计算，最终计算出起点期权的价格，即期权的现价。后逐级计算，最终计算出起点期权的价格，即期权的现价。5378.09048.01052.19048.012/3%*5)*(edudertT4622.05378.011由于波动率和时间间隔不变，所由于波动率和时间间隔不变，所以各步进的以各步进的u u、d d、相同。相同。p pd1d2d1d2=102-81.87=20.13=102-81.87=20.13 图图1.1.股票价格股票价格100
26、110.5290.480.5378（0.4622）122.1510010081.871000.912910.250.5378（0.4622）02220.13 图图2.2.看跌期权价格看跌期权价格 各步进期权价格：各步进期权价格：p pu1d2u1d2=p=pd1u2d1u2=102-100=2=102-100=29129.02*4622.0*112/3%*521*1epepdutrfu25.1013.20*4622.02*5378.0*)1(*12/3%*512/3%*5)*(21211eeeppptTrdddud根据第一步根据第一步进的期权价进的期权价格和概率，格和概率，得：得：P=5.16
27、 p pu1u2u1u2=0=0 例例8，如果例，如果例6的期权为美式期权，请将按两步二叉树的期权为美式期权，请将按两步二叉树模型对该期权进行定价（以复利计算）。模型对该期权进行定价（以复利计算）。前面的计算相同，计算各节点期权价格后，比较行权还是继续前面的计算相同，计算各节点期权价格后，比较行权还是继续持有期权哪种策略更为有利，按有利的情形确定期权价格。持有期权哪种策略更为有利，按有利的情形确定期权价格。节点股节点股票价格票价格如在此节点上如在此节点上执行该看跌期执行该看跌期权获得利润权获得利润在此节点后执行该美式在此节点后执行该美式看跌期权获得的预期利看跌期权获得的预期利润贴现到此节点润贴
28、现到此节点在此节点上执行在此节点上执行该美式看跌期权该美式看跌期权是否是好的选择是否是好的选择122.14122.140 0 /1001002 2 /81.8781.8720.1320.13 /110.52110.520 0 不是不是90.4890.4811.5211.52 是是1001000 0 不是不是9129.0)1(2025.0repp2507.10)1(13.20225.0repp7433.5)1(52.119129.025.0repp 例例8 8，假设标的资产为不付红利股票，假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为其当前市场价为5050元元,波波动率为每年动率为每年40%40%，
29、无风险连续复利年利率为，无风险连续复利年利率为10%10%，该股票，该股票5 5个月个月期的美式看跌期权协议价格为期的美式看跌期权协议价格为5050元，求该期权的价值。元，求该期权的价值。2946.112/5%40)(eeutT7724.012/5%40)(eedtT S Su u=50=50*1.2946=64.731.2946=64.73 S Sd d=50=50*0.7724=38.620.7724=38.62 C Cu u=64.73-50=14.73=64.73-50=14.73 C Cd d=38.62-50,0=0=38.62-50,0=031.773.14*0425.15173
30、.0*)*(CuepCrtT5173.07724.02946.17724.012/5%*10)*(edudeprtT4827.05173.011 p使用方法（使用方法（1）C=Su u+L=50*0.5642-20.901=7.31使用方法（使用方法（2）5642.062.3873.64073.14SdSuCdCuL=(Cu u-Su u)/e(T-t)*r=(14.73-64.73*0.5642)/1.043=-20.901 例例8 8的另一种解法：的另一种解法：为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段一个月（等于段一个月（等于0.08330
31、.0833年）。可以算出：年）。可以算出：1224.112/1%40)(eeutT8909.012/1%40)(eedtT5074.08909.01224.18909.012/1%*10)(edudeptTr1-p=0.4924股票价格与看涨期权二叉树结构图股票价格与看涨期权二叉树结构图Su1=S*u=50*1.1224=56.12Sd1=S*d=50*0.8909=44.55Su1u2=Su1*u=56.12*1.1224=62.99Sd1d2=Sd1*d=44.55*0.8909=39.36Su1d2=Sd1u2=Su1*d=56.12*0.8909=44.55*1.1224=50Su1u
32、2u3=Su1u2*u=62.99*1.1224=70.7Su1u2d3=Su1d2u3=Su1u2*d=62.99*0.8909=56.12Su1d2d3=Su1d2*d=Sd1d2u3=39.69*0.1224=49.98*0.8909=44.55Sd1d2d3=Sd1d2*d=39.69*0.8909=35.36第四五层的计算以此类推。第四五层的计算以此类推。求出各节点股票价格，然后倒推出各节点期权价格，最后得出求出各节点股票价格，然后倒推出各节点期权价格，最后得出期权现价。期权现价。二叉树定价模型的适应情形二叉树定价模型的适应情形 基于风险中性定价原理，二叉树模型可以对标基于风险中性定价原理，二叉树模型可以对标的资产价格远期价格可以预期，且价格变动为的资产价格远期价格可以预期，且价格变动为离散型的欧式期权、美式期权进行定价。离散型的欧式期权、美式期权进行定价。六、三叉树结构图
