1、 哈尔滨工程大学 微积分微积分教学内容和基本要求教学内容和基本要求 理解多元函数的极限与连续概念理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域上以及有界闭区域上 连续函数的性质。连续函数的性质。理解偏导数和全微分的概念理解偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的必了解全微分存在的必要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。会求隐函数的偏导数和全导数。求法。会求隐函数的偏导数和全导数。了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的了解曲线的切线和法平面及曲面的切平
2、面和法线的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会解一些简单应用题。解一些简单应用题。重点与难点重点与难点重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概 念，多元复合函数的求导法则，用拉格念，多元复合函数的求导法则，用拉格 朗日条件极值求最大值应用问题，方向朗日条件极值求最大值应用问题，方向 导数与梯度。导数与梯度。难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。哈尔滨工程大学 微积分微
3、积分L设空间设空间L曲线的参数方程为曲线的参数方程为)1()()()(tzztyytxxozyxMM 一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面8.6 微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用1、曲线由参数方程给出的情形、曲线由参数方程给出的情形假定假定(1)式中的三个函数均可导。式中的三个函数均可导。且导数在且导数在M点不同时为零点不同时为零.哈尔滨工程大学 微积分微积分LozyxMM TL.00ttttt 和和对对应应于于),(),(000000zzyyxxMzyxM 设设是曲线是曲线L上的两点上的两点,且分别且分别zzzyyyxxx 000 割线割线 的方程为的方程为MM 考察
4、割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程,哈尔滨工程大学 微积分微积分考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程t t t 上式分母同除以上式分母同除以,t ozyxMM,000zzzyyyxxx T,0 ,时时即即当当 tMM 曲线在曲线在M处的处的切线方程切线方程.)()()(000000tzzztyyytxxx 哈尔滨工程大学 微积分微积分切向量：切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切线的方向向量称为曲线的切向量,如下向量为其中之一如下向量为其中之一,)(),(),(000tztytxT 法平面：法平面：过过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直
5、的平面,即即0)()()(000000 zztzyytyxxtx 过点过点 与切线垂直的平面称为曲线与切线垂直的平面称为曲线L在点在点M处处的的法平面法平面M 哈尔滨工程大学 微积分微积分解解当当 0 t 时时，,2 ,1 ,0 zyx,cosetxt ,sincos2tty ;e33tz ,1)0(x,2)0(y.3)0(z切线方程切线方程:,322110 zyx法平面方程法平面方程:,0)2(3)1(2 zyx.0832 zyx 哈尔滨工程大学 微积分微积分空间曲线方程为空间曲线方程为,)()(xzzxyy),(000zyxM在在 法平面方程为法平面方程为切线方程为切线方程为特殊情况：特殊
6、情况：此时可把此时可把 x 看作参数，即参数方程为看作参数，即参数方程为 )()(tzztyytx)()(100000tzzztyyyxx 0)()()(00000 zztzyytyxx即即 t=t0 处，处，哈尔滨工程大学 微积分微积分2.曲线由一般方程给出的情形曲线由一般方程给出的情形 0),(0),(zyxGzyxF设空间曲线方程为设空间曲线方程为L:M(x0,y0,z0)为为曲线上的一点曲线上的一点,此函数方程组可确定此函数方程组可确定 是是x 的隐的隐函数函数,即曲线可用即曲线可用(隐式隐式)方程方程:zy,)()(xzzxyy来表示来表示由由1中特殊情况知中特殊情况知,只需求只需求
7、dxdzdxdy,下由例题给出求解方法下由例题给出求解方法 哈尔滨工程大学 微积分微积分;00222 )1(dzdydxzdzydyxdx:1 ,2 ,1 )2(代代入入上上式式将将 zyx 1 12002 )3(dxdzdxdydxdzdxdydzdydxdzdydx 哈尔滨工程大学 微积分微积分;1 ,0 ,1 ,dxdzdxdydxdxT求切线方程为求切线方程为;110211 zyx法平面方程为法平面方程为,0)1()2(0)1(zyx.0 zx,0 dxdy,1 dxdz dx=1,dy=0,dz=1为非零解为非零解 哈尔滨工程大学 微积分微积分求曲线求曲线练习练习1方方程程。处处的的
8、切切线线方方程程和和法法平平面面在在2)1,(0,2312 2 xzxy,y2 切切线线方方程程,xz6 T)0(),0(,1(zy),0,2,1(,zyx022110 法法平平面面方方程程。即即 022 yx,0)1(2 yx 哈尔滨工程大学 微积分微积分（椭球面）（椭球面）（球面）（球面）求曲线求曲线 ,417)1(3,49222222zyxzyx上对应于上对应于 x=1 处的切线方程和法平面方程。处的切线方程和法平面方程。解解将将 x=1 代入方程组，代入方程组，,417)1(3,4912222zyzy解方程组得解方程组得，,1,21 ,1,21zyzy练习练习2x=1 处的点为处的点为
9、).1,21,1(),1 ,21,1(21 MM 哈尔滨工程大学 微积分微积分将所给方程的两端对将所给方程的两端对 x 求导求导，,02)1(26,0222dxdzzdxdyyxdxdzzdxdyyx)(xyy )(xzz ,3)1(,xdxdzzdxdyyxdxdzzdxdyyzyzyD1 z 时时，0,23xzzxzxdxdy .231zxxyzxyxydxdz 方程组有唯一解。方程组有唯一解。,)1 ,0.5,1(1点点对对 M切向量切向量,111MxMxzyT ,2,2 ,1 哈尔滨工程大学 微积分微积分,)1 ,0.5,1(1点点对对 M切向量切向量,111MxMxzyT ,2,2
10、,1 切线方程切线方程.2125.011 zyx法平面方程法平面方程0)1(2)5.0(2)1(zyx.022 zyx,)1,0.5,1(2点点对对 M切向量切向量,122MxMxzyT ,2 ,2 ,1 切线方程切线方程.2125.011 zyx法平面方程法平面方程0)1(2)5.0(2)1(zyx.0422 zyx 哈尔滨工程大学 微积分微积分二二.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线若曲面若曲面 上过点上过点 的任意曲线的切线都位于的任意曲线的切线都位于同一平面同一平面.0M切平面切平面过过 且与切平面垂直的且与切平面垂直的直线直线0M法线法线1.设曲面方程为设曲面方程为0),(zyxF
11、,),(0000 zyxM),(zyxF在该点偏导数连续且不全为零在该点偏导数连续且不全为零.是曲面上过是曲面上过 的任一曲线的任一曲线:0M)(),(),(000tztytxT nTM )()()(:tzztyytxx 哈尔滨工程大学 微积分微积分0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx切平面方程切平面方程),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 法线方程法线方程0)(),()(),()(),(000000000000 tzzyxFtyzyxFtxzyxFzyx),(),(),(00000000
12、0zyxFzyxFzyxFNzyx 切平面的法向量切平面的法向量 0)(),(),(tztytxF为什为什么么将上式两端对将上式两端对 t 在在 点求导有点求导有0MTzyxFzyxFzyxFNzyx ),(),(),(000000000 哈尔滨工程大学 微积分微积分1,由于曲线是曲面上过由于曲线是曲面上过 点的任一条光滑曲点的任一条光滑曲线，它们在线，它们在 的切线都与同一定向量的切线都与同一定向量 垂垂直，故曲面上过直，故曲面上过 的一切曲线在该点的切线的一切曲线在该点的切线都在同一平面上都在同一平面上,即曲面在点即曲面在点 的切平面上的切平面上.N0M0M0M0M说明说明:得得:00 M
13、MN2,令令:则由则由0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx,0000zzyyxxMM 切平面方程向量表示切平面方程向量表示 哈尔滨工程大学 微积分微积分特殊情况：特殊情况：空间曲面方程形为空间曲面方程形为).,(yxfz 曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx 则则 ),(),(yxfzzyxF 令令;1)(),()(),()(0000 MFyxfMFyxfMFzyyx
14、x曲面在曲面在M 处的法向处的法向(指向上侧指向上侧)可取为可取为:;1 ),(),(0000yxfyxfyx 哈尔滨工程大学 微积分微积分,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx),(00yxffyy 哈尔滨工程大学 微积分微积分解解,1),(22 yxyxf)4,1,2()4,1,2(1,2,2 yxN,1,2,4 切平面方程为切平面方程为,0)4()1(2)2(4 zyx;0624 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx 哈尔滨工程大学 微积分微积分解解,32e),(xyzzyxFz,42)0,2,1()0,2,1
15、(yFx,22)0,2,1()0,2,1(xFy,0e1)0,2,1()0,2,1(zzF令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程,0)0(0)2(2)1(4 zyx;042 yx.001221 zyx 哈尔滨工程大学 微积分微积分解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得kzyx 664412000;,00210kzkykx 213241222 kkk ),(000在在曲曲面面上上点点zyx2 k 哈尔滨工程大学 微积分微积分所求切点为所求切点为),2,2,1();2,2,1(0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)哈尔滨工程大学 微积分微积分 哈尔滨工程大学 微积分微积分向量的方向角与方向余弦向量的方向角与方向余弦 abxyzO1a2a3a a 哈尔滨工程大学 微积分微积分23222111|cosaaaaaa 1coscoscos222 cos ,cos ,cos|10 aaa23222122|cosaaaaaa 23222133|cosaaaaaa xyzO1a2a3a a
