1、,1011Ix的闭区间，记为含点三等分，取其中一个不，将,221IxI的闭区间，记为含点三等分，取其中一个不再将nIII21 1,0闭区间套：这样继续下去得到一个),2,1(,31|nIxInnnn 0 1/3 2/3 1,21nxxx,000 xxnn使得根据假设，应存在,1,010nnIx一点由区间套定理，存在唯相矛盾。而这与因此有000,1nnnnnIxIx.1,0不是可数集所以 0 1/3 2/3 1l十进制小数 相应于 对0,1十等分l二进制小数 相应于 对0,1二等分l三进制小数 相应于 对0,1三等分说明：对应0,1十等分的端点有两种表示，如0.20000000.1999999
2、（十进制小数）第一次十等分确定第一位小数第二次十等分确定第二位小数,21nxxx11 11 21 31 40.xaaaa22 12 22 32 40.xaaaa33 13 23 33 40.xaaaa44 14 24 34 40.xaaaa,令x=0.a1a2a3a4其中1211nnnnaana则得到矛盾，所以(0,1)是不可数集。定义：与0,1区间对等的集合称为连续势集，其势记为 ，显然：0n例：1）R(0,1)0,1 0,1)R+(ab).,00ABABA则若2）无理数集为连续势集（无理数要比有理数多得多，同理超越数要比代数数多得多）AxxxxAin则定理：设),1,0(:),(21),(
3、)(,10:xxxA），（首先考虑映射证明32121.0),(iiiiinxxxxxxxxxA：表示成十进制无穷小数把每个中的任意元素另一方面，对于（1）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集:01(0,1)(0,1),AAA容易验证（，）是单射，所以因此2213122111.0)(),1,0(:xxxxxxA作映射BernsteinA 再由定理可知(0,1)()(0,1),AAAA 容易验证：是单射，所以因此123,01 2990iiixxx其中是，中的一个数，不全为且不以 为循环节。1312111.0 xxxx 2322212.0 xxxx3332313.0 xxxx的势为空间维nREu
4、clidn1874年Cantor考虑 R 与Rn的对应关系，并企图证明这两个集合不可能构成一一对应，过了三年，他证明了一一对应关系是存在的，从而说明 Rn具有连续基数 ，他当初写信给Dedekind说：“我看到了它，但我简直不能相信它”.平面与直线有“相同多”的点l连续势集的（有限个，可数个，连续势个）并仍为连续势集),0(,1(11nnAnnn(0 1 2 n-1 n(0 1 2 n-1 n11(1,(0,nniiiAiin2|),(RRxyxARyyRyy.2:AACantorA，则是一个任意的非空集合设定理2,:2.AAAAaaA证明：首先 与的一个子集对等是显然的只要考虑即可AAAAA
5、A2:2,2上的一一映射到则存在假设从而说明无限也是分很多层次，且不存在最大的集合.*)(,AaAa使得因此存在的关系与现在考虑*Aa*)(,1AaaAAa的定义，应有则由若*2(),aAaAaA若则由的定义，应有.2AA这是矛盾的，所以AAAA2*的子集，即是由于)(,:*aaAaaA令:2AA此证为对角线方法，与(0,1)是不可数集的证明比较。得到了矛盾。这样就因此中，所以的任意元素已在的定义知，另一方面，由定理，根据记为集合，在一起，也能组成一个认为把所有的集合汇总,2,22;2.MMMMMCantorMCantorMMMM1()0 1,();3:0 10,10 1NnnNNnff 对任
6、意的，令易知，是单射，所以，)2(1020即：，或定理RRNN证明：由于N的子集全体与特征函数全体存在一一对应关系，故2N 与0,1N对等；下证：N10，说明：相当于把 对应到一个三进制小数)3()2()1(.0思考：为什么不用二进制。N上的特征函数全体1123(0,1),0,112(0)nnnnaxxaxa a a 另一方面，对设（有无穷多）即：将 写成二进制小数0.，且要求不以 为循环节123123:(0,1)0,10,1,(),1,2,3,(,)NNngxnana a aaaa作其中即将小数0.对应到序列（(0,1)0,12NNg易证：是单射，因此NBernstein2定理知：由Hilb
7、ert在1900年第二届国际数学家大会上将它列为二十三个难题的第一个问题。注记：从前面我们已经看到：020nCantor认为在 之间不存在别的基数，即不存在这样的集合A,使得但Cantor证明不了,这就是著名的Cantor连续统假设。与0A0参见：数学与哲学张景中，数理逻辑概貌莫绍揆21212122112121)1,AAAAAAAA记而且使得取集合设有基数212122112121)2,AAAAAA记使得取集合设有基数;,:|)3BBAABffA记设,AABA使得取集合设有基数|),(,3,2,1:21,321RxxxxRnRnfRinn的卡氏积个可看成，201AA与，间存在一一对应（一个子集对
8、应到其相应特征函数）的映射全体，到表示，的子集全体，表示10102AAAA|),(,3,2,1:21RxxxRRRRfRiN的卡氏积可看成可数个如的卡氏积）个的映射全体（到表示BABABA思考：如何推广不可数个集合的卡氏积？第一章 集合数学三大母结构（Bourbaki学派观点）：拓扑结构（邻近关系），代数结构（运算关系），序结构（顺序关系）（测度（长度、面积、体积）例：对实数集R有远近关系，四则运算，大小顺序，区间有长度aa baabba则若,cacbba则若,自反性:反对称性:传递性:则称A按 成一半序集（偏序集）。设A是一集合，为A中的某些元素的关系且满足:是一半序集.是一半序集.),(R
9、),2(R),(AZorn引理：设 是一偏序集，A中的每个全序子集有上界，则A必有极大元。AAB,选择公理：设 为一簇两两不交的 非空集簇，则存在一集B使得 是单元素集。l利用选择公理，Banach在1924年证明了分球定理，即一个闭球U可分解成两个互不相交的集合A，B且U与A可 由相同多的有限多个互相合同的子集并成，U与B可由相同多的有限多个互相合同的子集并成；粗略来说即可把一个球U分解成两个与U具有同样体积的球A和B。（见：王世强数理逻辑与范畴论应用）l通俗讲，假如有无限双鞋子，则我们有一规则，从每双鞋子中取出左脚穿的鞋子，其总体构成一集合；但若是无限双袜子，由于袜子不分左右，所以就有多种选择，要承认这种成员不确定的集合存在，就要引用选择公理。数学中许多重要定理的证明都需要用到选择公理，如Lebesgue不可测集的存在，拓扑空间紧性 的Tychonoff定理等。注：关于选择公理的一些等价命题，可参见一般拓扑学（J.L.Kelly p34）
