1、 20202020 届高考数学周末练习题及解析届高考数学周末练习题及解析 一、单选题：本大题共一、单选题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1.已知实数集 ,集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求函数的定义域求得集合 ，根据交集的概念和运算求得的值. 【详解】由题意得，故. 故选 C. 【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2.复数 (i是虚数单位)的共轭复数表示的点
2、在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数除法、复数乘方运算化简 ，进而求得 ，由此确定正确选项. 【详解】由于，所以 ， 所以，对应的点为在第四象限. 故选：D 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的乘方，考查共轭复数，考查复数对应点所在象限的 判断，属于基础题. 3.给出如下四个命题： 若“p 且 ”为假命题， 则 p、 q 均为假命题； 命题“若 ab， 则”的否命题为“若 ab，则”；“xR， 的否定是“”；在ABC中，“AB”是 “”的充要条件；其中正确的命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3
3、 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据含有逻辑联结词命题真假性的知识，判断的正确性.根据否命题的知识，判断的正确性.根据特称 命题的否定的知识，判断的正确性.根据充要条件的知识，判断的正确性. 【详解】对于，由于“ 且 ”为假命题，所以 ， 中至少有一个假命题，故错误. 对于，否命题否定条件和结论，故正确. 对于，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知，正确. 对于，由正弦定理得，所以“”是“”的 充要条件，故正确. 综上所述，正确的命题个数是 个. 故选：C 【点睛】本小题主要考查含有逻辑联结词命题真假性，考查否命题，考查特称命题与全称命题，考查充要 条件的判断，属于基础题. 4.
4、如图所示，在单位正方体 ABCD-A1B1C1D1的面对角线 A1B上存在一点 P使得 AP+D1P 取得最小值，则此 最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析：将翻折到与四边形同一平面内，的最小值为，在中 ，由余弦定理可得 考点：1.翻折问题；2.空间距离 5.已知函数的值域是全体实数 R，则实数 m 的取值范围是（ ） A. (-4，+) B. - 4，+) C. (-，-4) D. (-，-4 【答案】D 【解析】 【分析】 根据的值域是全体实数，以及，求得实数 的取值范围. 【详解】由于.要使函数的值域是全体实数 R，则需 ，解得. 故选：D 【点睛】
5、本小题主要考查根据对数型复合函数的值域求参数的取值范围，考查基本不等式求最值，属于基 础题. 6.函数 的部分图象如图所示，如果， 且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由周期求出,由五点法作图求出的值,可得函数的解析式,再根据正弦函数图象的对称性,求得 ,从而可得的值. 【详解】由函数的部分图象, 可得, 再根据五点法作图可得， ， 因为上，且， 所以, ，故选 A. 【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利 用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求参数是确定 函数解析式的
6、关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点. 7.已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到 次结束为 止某考生一次发球成功的概率为，发球次数为 ，若 的数学期望，则 的取值 范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，分别求出再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可 详解】由题可知，则 解得，由可得， 答案选 A 【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三 次成功 8.已知 O是三角形 ABC 所在平面内一定点， 动点 P满足R.则 P 点的 轨迹一定
7、通过三角形 ABC的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 【答案】C 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简已知条件，由此判断出 的轨迹经过重心. 【详解】设三角形外接圆的半径为 ，由正弦定理得， 所以， 根据向量加法的几何意义可知：表示以为邻边的平行四边形的对角线， 此对角线与三角形中线重合，所以 在三角形的中线上，也即 点的轨迹一定通过三角形的重心. 故选：C 【点睛】本小题主要考查正弦定理的运用，考查向量加法的几何意义，属于中档题. 9.执行如图的程序框图，则输出的 值为（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 由图知本程序的功能是执行 此处注意程序结
8、束时，由余弦函数和诱导公式易得： ，周期为 ， . 10.如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个 3 2 3的长方体框架，一个建筑工人欲从 A 处沿脚手架 攀登至 B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路 线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】从方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从 到 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两 次，向上三次，共 次.所以从 到 的最近的行走线
9、路，总的方法数有种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有： . 所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为. 故选：B 【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 11.已知函数 f(x)满足： f(x)=-f(-x)，且当 x(-，0时，成立，若 则 a，b，c 的大小关系是（ ） A. a b c B. cab C. bac D. cba 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知条件判断出函数的奇偶性，利用构造函数法，结合已知条件，判断出的单调 性，结合的奇偶性比较出的大小关系. 【详解】由于
10、，所以为奇函数.构造函数，依题意，当时， ，所以在区间上递减.由于 ， 所 以为 偶 函 数 ， 故在上 递 增 . .，. 由 于 ，所以. 故选：B 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查构造函数法判断函数的单调性，考查比较大小的方 法，属于中档题. 12.已知双曲线的左右顶点分别为 ， 是双曲线上异于的任意一点，直线 和分别与 轴交于两点， 为坐标原点，若依次成等比数列，则双曲线的离心率的 取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设，因为，所以，直线方程为，令得，即 ，同理得，由于成等比数列，则，即 ，是 双 曲 线 上 的 点 ， 则， 所 以， 即，
11、 所 以 ，而，从而，所以，故选 A 点睛：解析几何中如果涉及到直线与圆的问题可以用几何方法外，在直线与圆锥曲线问题中，一般都是用 代数方法，即设出特殊点的坐标，设出或写出直线方程，联立方程组本题是求得交点坐标（许多时候是用 韦达定理） ，求出线段长，这样可把已知条件“成等比数列”代数化，即 ，结合点 是双曲线上的点，可化简此式得，而要求离心率的取值范围，就要得到关 于的一个不等关系，观察已知有，从而，结论易得 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题小题，每小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在题中的横线上把答案填在题中的横线上. 13.已知随机变量服从正态分布，则
12、_. 【答案】8 【解析】 【分析】 由已知求得，再由得答案 【详解】随机变量服从正态分布， 则 故答案为 8 【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查方差的求法，是基础题 14.已知实数 a，b，c，d 成等比数列，且曲线的极大值点为 b，极小值点为 c，则 ad=_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据等比数列的性质得到，利用导数求得的极大值点和极小值点，也即求得，从而 求得的值. 【详解】根据等比数列的性质可知.由，所以曲线 在区间上递减，在区间上递增.所以极大值点为，极小值点为 ，所以. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查等比数列性质，考查利用导数求曲线的极值点，属
13、于基础题. 15.若 则在的展开式中，含 x 项的系数为_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用定积分求得 的值，根据乘法分配律，结合组合数的计算，求得含 项的系数. 【 详 解 】 依 题 意， 解 得. 所 以即 .由于 ， 根据乘法分配律可知，含 项的系数由一个 和四个常数相乘而得，所以含 项为， 所以含 项的系数为. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查定积分的计算，考查多项式展开式指定项的系数，属于中档题. 16.数列满足 若不等式对任何正整数 n 恒成立，则实 数 的最小值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据递推关系式求得数列的通项公式，利用裂项求和法求得的值，进而求得实数的 最小
14、值. 【详解】，令，则，所以数列 是首项为，公差为的等差数列，所以，所以.所以 ，所以 . 依题意对任何正整数 恒成立，即，所以，所 以的最小值为 . 故答案为： 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查裂项求和法，考查有关数列不等式恒成 立问题的求解，属于中档题. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 第第 17-21 题为必做题，每个考生都必须作答题为必做题，每个考生都必须作答.第第 22/23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要
15、求作答. 17.近年来，南宁大力实施“二产补短板、三产强优势、一产显特色”策略，着力发展实体经济，工业取得突 飞猛进的发展.逐步形成了以电子信息、机械装备、食品制糖、铝深加工等为主的 4 大支柱产业.广西洋浦南 华糖业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的 价格进行试销，得到一组销售数据，如下表所示，已知 . （1）求出 q的值； （2）已知变量 x，y 具有线性相关关系，求产品销量 y(件)关于试销单价 x(元)的线性回归方程； （3）用表示用（2）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应 的残差的绝对值时，则将销售数
16、据称为一个“好数据”.现从 6个销售数据中任取 3个， 求“好数据”个数的数学期望 E. (参考公式：线性回归方程中的最小二乘估计分别为： 【答案】 （1）； （2）； （3） . 【解析】 【分析】 （1）利用 列方程，由此求得 的值. （2）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程. （3）求得，以及残差的绝对值，利用超几何分布分布列的计算公式，计算出的分布列，并求得 数学期望. 【详解】 （1）依题意，解得. （2）依题意， .所以 . （3）列表得： 4 5 6 7 8 9 90 84 83 80 75 68 90 86 82 78 74 70 0 2 1 2 1 2 所以，“好数
17、据”有三个.于是的可能取值为. ，.所 以数学期望为. 【点睛】本小题主要考查平均数有关计算，考查回归直线方程的计算，考查残差的计算，考查超几何分布， 考查数据处理能力，属于中档题. 18.如图，某旅游区拟建一主题游乐园，该游乐区为五边形区域 ABCDE，其中三角形区域 ABE为主题游乐 区，四边形区域为 BCDE为休闲游乐区，AB、BC，CD，DE，EA，BE 为游乐园的主要道路（不考虑宽 度） . （I）求道路 BE的长度； （）求道路 AB，AE 长度之和的最大值 【答案】 （）;（）. 【解析】 【详解】试题分析： （）连结,内，可根据余弦定理求,从而可以判断和的 形状，在内根据勾股定
18、理求;（）设,在 内， 根据正弦定理， 表示,利用三角函数的有界性， 得到长度和的最大值. 试题解析： （）如图，连接 BD，在BCD中，由余弦定理可得：BD2BD2+CD22BCCDcosBCD1+1 211（）3， BD， BCCD， CDBCBD30， 又CDE120， BDE90， 在 RtBDE中，BE2 （） ）设ABE，BAE60，AEB120， 在ABE中，由正弦定理，可得：， 4， AB4sin（120） ，AE4sin， AB+AE4sin（120）+4sin 4（）+4sin 2cos+6sin 4sin（+30） ， 0120， 30+30150， 当 +3090， 即
19、60时， AB+AE取得最大值 4km， 即道路 AB， AE长度之和的最大值为 4km 考点：1.正余弦定理；2.三角函数的性质. 19.如图,已知长方形中, 为的中点. 将沿折起,使得平面 平面. (1)求证: . (2)点 是线段上的一动点,当二面角大小为 时,试确定点 的位置. 【答案】 （1）见解析； （2）当 E 位于线段 DB 之间,且 【解析】 【分析】 （1） 取 AM 的中点 O,AB的中点 N,则两两垂直,以 O为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 写出 坐标，证明即可； （2）根据，设出点 E的坐标，利用平面法向量的数量积求解出，进而得出比值，得到结论 【详解】解：取
20、AM的中点 O,AB的中点 N,则两两垂直, 以 O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 如图,根据已知条件,得, (1)由于 则,故. (2)设存在满足条件的点 E,并设, 则 则点 E的坐标为.(其中) 易得平面 ADM的法向量可以取, 设平面 AME 的法向量为, 则, 则 解得，取 由于二面角大小为 , 则， 由于,故解得. 故当 E位于线段 DB之间,且时,二面角大小为 . 【点睛】本题考查了利用空间向量证明立体几何中异面直线的垂直问题、二面角的问题，解题的前提是要 能建立出空间坐标系，正确写出各个点的坐标，理清法向量的夹角与二面角的关系是解题的关键，还考查 了学生的计算能力 20
21、.已知 ， 是 轴正半轴上两点（ 在 的左侧） ，且，过 ， 作 轴的垂线，与抛物线 在第一象限分别交于 ， 两点. （）若，点 与抛物线的焦点重合，求直线的斜率； （）若 为坐标原点，记的面积为，梯形的面积为，求 的取值范围. 【答案】 （）； （）. 【解析】 【分析】 ()先由题意得出 点坐标，进而可得 ， ， 点坐标，再由斜率公式即可求出结果; ()先设直线的方程为：，再联立直线与抛物线方程吗，根据 根与系数关系和弦长公式表示出，由点到直线距离公式表示出点 到直线的距离 ，从而可表示出， ，进而可求出结果. 【详解】 （）由，则，则， 又，所以. （）设直线的方程为：，设， 由，得，
22、所以，得， 又，由，可知， 由， 点 到直线的距离为，所以. 又 ， 所以， 因为，所以. 【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，以及直线与抛物线位置关系，属于中档试题. 21.(本小题满分 12分) 已知函数（其中 a是实数） （1）求的单调区间； （2）若设，且有两个极值点 ，求取值范围 （其中 e 为自然对数的底数） 【答案】 （1）详见解析（2） ， 【解析】 【详解】试题分析：(1)求出的定义域，由此利用导数性质 和分类讨论思想能求出的单调区间. (2)推导出 ，令，则 恒成立，由此能求出的取值范围 试题解析： （1） (其中 是实数)， 的定义域， 令， =-16,对称轴， 当 =
23、-160，即-4 时， 函数的单调递增区间为，无单调递减区间， 当 =-16 0,即或 若，则恒成立， 的单调递增区间为，无单调递减区间 若4，令，得 =，=， 当(0,)(,+时，当（）时， 的单调递增区间为（0，），（） ，单调递减区间为（） 综上所述当时，的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，的单调递增区间为（0，）和（） ，单调递减区间为（） (2)由(1)知，若有两个极值点，则4，且 ，又 ， 又，解得， 令， 则恒成立 在单调递减， 即 故的取值范围为 点睛：在含有参量的导数求单调区间需要进行分类讨论，将所有的情况讨论完整在求范围时往往要把参 量消去，然后根据范围求出结果 22
24、.已知在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的 极坐标方程为 = 4cos，直线 l的参数方程为(t为参数). （1）求曲线的直角坐标方程及直线 l的普通方程； （2）若曲线的参数方程为( 为参数)，曲线上点 P的极角为Q为曲线上的动点，求 PQ 的中点 M到直线 l距离的最大值. 【答案】 （1），； （2） 【解析】 分析】 （1）利用极坐标和直角坐标的转换公式，求得的直角坐标方程；消去直线 参数方程中的参数，求得直线 的普通方程. （2）求得 点的直角坐标，由此求得 点坐标，利用点到直线距离公式列式，结合三角函数最值的求法，求 得
25、到直线 距离的最大值. 【详解】 （1）由得，即. 由消去 得. （2） 令， 则， 所以， 对应的直角坐标为， 即. 依题意，所以，点 到直线的距离为 ，从而最大值为. 【点睛】本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数方程化为普通方程，考查点到直线距离 的最值的求法，属于中档题. 23.已知函数， （1）当时，求不等式 的解集； （2）若不等式的解集包含1，1，求 的取值范围 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】 试题分析：（1） 分，三种情况解不等式； （2） 的解集包含，等价于当时，所以且，从而可得 试题解析： （1）当时，不等式等价于. 当时，式化为，无解； 当时，式化为，从而； 当时，式化为，从而. 所以解集为. （2）当时，. 所以的解集包含，等价于当时. 又在的最小值必为与之一，所以且，得. 所以 的取值范围为. 点睛:形如(或)型的不等式主要有两种解法： (1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为， (此处设 )三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并 集 (2)图像法：作出函数和的图像，结合图像求解
