1、一、罗尔一、罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理三、柯西三、柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理中值定理第一节第一节 微分中值定理微分中值定理四、泰勒四、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理1 费马（Fermat)引理一、罗尔(Rolle)定理几何解释:.0率为显然有水平切线，其斜曲线在最高点和最低点xyo)(xfy 1 2 ba0 000 )x(fx)x(fx)b,a()x(f可可微微，则则在在点点且且取取得得最最值值，内内一一点点在在若若函函数数证明证明:达达到到最最大大值值证证明明
2、。在在只只就就0)(xxf),()(,),()(0000 xfxxfbaxxxxf 就有就有内内在在达到最大值，所以只要达到最大值，所以只要在在由于由于,0)()(00 xfxxf即即;0,0)()(00时时当当从从而而 xxxfxxf;0,0)()(00时时当当 xxxfxxf0)()(lim0)(000 x0 xxfxxfxf这这样样.0)()(lim0)(000 x0 xxfxxfxf0)(0 xf所以所以几何解释几何解释:.,的的在在该该点点处处的的切切线线是是水水平平上上至至少少有有一一点点在在曲曲线线弧弧CAB2 2 罗尔罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理罗尔罗尔（R Rol
3、leolle）定理）定理 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间 ,ba上连续上连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,且在区间端点的函数且在区间端点的函数值相等，即值相等，即)()(bfaf,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ,使得函数使得函数)(xf在该点的导数等于零，在该点的导数等于零，即即0)(fCab1 2 xyo)(xfy 证证,)(连连续续在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)1(mM 若若.)(Mxf 则则.0)(xf由此得由此得),(ba .0)(f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf.取取得得最最值值不不可可能能同
4、同时时在在端端点点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使内至少存在一点内至少存在一点则在则在由费马引理可知，.)(f0注注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,;1,1,xxy注注2:若罗尔定理的条件仅若罗尔定理的条件仅是充分条件，不是必要的是充分条件，不是必要的.例如例如,1 011-)(2xxxxf0)0(fXY-110例例1 1.015有且仅有一个正实根有且仅有一个正实根证明方程证明方程 xx2）唯一性）唯一性,),1,0(011xxx 设另有设另有.0)(1 xf使使,)(10条件条件之间满足罗尔定理
5、的之间满足罗尔定理的在在xxxf使使得得之之间间在在至至少少存存在在一一个个),(10 xx.0)(f015)(4 xxf但但)1,0(x矛盾矛盾,.为为唯唯一一实实根根,1)(5 xxxf设设,1,0)(连连续续在在则则xf.1)1(,1)0(ff且且由零点定理由零点定理.0)(),1,0(00 xfx使使即为方程的正实根即为方程的正实根.证：证：1）存在性）存在性拉拉格格朗朗日日（L La ag gr ra an ng ge e）中中值值定定理理 如如果果函函数数 f(x)在在 闭闭区区间间,ba上上连连续续,在在开开区区间间),(ba内内可可导导,那那末末在在 ),(ba内内至至少少有有
6、一一点点)(ba ，使使等等式式 )()()(abfafbf 成成立立.).()()(fabafbf结结论论亦亦可可写写成成二、拉格朗日(Lagrange)中值定理得到得到将罗尔定理条件中去掉将罗尔定理条件中去掉),b(f)a(f 几何解释几何解释:.AB,CAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM证证分析分析:).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差弦弦AB方程为方程为).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf减减去去弦弦曲曲线线.,两两端端点点的的函函数数值值相相等
7、等所所得得曲曲线线ba化归证明法化归证明法作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件xF.0)(,),(Fba使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在0)()()(abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.).10()()()(000 xxxfxfxxf).10()(0 xxxfy也也可可写写成成拉格朗
8、日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.推论推论1.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数IxfIxf拉格朗日中值公式另外的表达方式：拉格朗日中值公式另外的表达方式：),(,2121xxxxI 上任取两点上任取两点证明：在证明：在)()()()(211212xxxxfxfxf 则则0)()(,0)(12 xfxff)()(12xfxf 即即.)(,21上是常数上是常数在在的任意性，所以的任意性，所以由于由于Ixfxx例例2 2.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证),1ln()(xxf 设
9、设,0)(上上满满足足拉拉氏氏定定理理的的条条件件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(,0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln(xxx 0又又x 111,11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即柯西（柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf及及)(xF 在闭区间在闭区间,ba上连续上连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,且且)(xF 在在),(ba内每一点处均不为零，那末在内每一点处均不为零，那末在),(ba内至少内至少 有一点有一点)(ba ,使等式使等式 )()()()()()(FfbFaFbfa
10、f成立成立.三、柯西三、柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理中值定理几何解释几何解释:)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 证证作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x.0)(,),(使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba,0)()()()()()(FaFbFafbff即即.)()()()()()(FfaFbFafbf.)
11、(,)b,a(0 使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在,)(xxF 当当,1)(,)()(xFabaFbF)()()()()()(FfaFbFafbf).()()(fabafbf).0()1(2)(),1,0(:,)1,0(,1,0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 设设,1,0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内至少存在一点内至少存在一点在在,)1,0(2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即例
12、例3 3证证分析分析:结论可变形为结论可变形为1 1 问题的提出问题的提出2 2.设设)(xf在在0 x处处可可导导,则则有有 1 1.设设)(xf在在0 x处处连连续续,则则有有 )()(0 xfxf )()()(000 xxxfxfxf )()(0 xfxf关关系系，有有根根据据极极限限与与无无穷穷小小量量的的)()()()(0000 xxxfxxfxfxfdyy 四、泰勒四、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理)xx(O)xx)(x(f)x(f)x(f0000 不不足足问问题题寻找函数寻找函数)(xP,使得使得)()(xPxf 误误差差 )()()(xPxfxR 可可估估
13、计计1、精确度不高；、精确度不高；2、误差不能估计。、误差不能估计。设设函函数数)(xf在在含含有有0 x的的开开区区间间),(ba内内具具有有直直到到 )1(n阶阶导导数数,)(xP为为多多项项式式函函数数 误误差差 )()()(xPxfxRnn xxxexxxx )1ln(,1,sin,0nnnxxoxxaxxaaxf)()()()(00010 )(xPn)(xRn2 2 nP和和nR的的确确定定 0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxPn)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越好近似
14、程度越来越好1.若在若在 点相交点相交0 x假设假设 nkxfxPkkn,2,1)()(0)(0)(代代入入)(xPn中中得得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)()()()(00)(200000 得得 ),2,1,0()(!10)(nkxfkakk ),(00 xfa ),(101xfa )(!202xfa ,)(!0)(xfannn 3 3 泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理 如果函数如果函数)(xf在含有在含有 0 x的某个开区间的某个开区间),(ba内具有直到内具有直到)1(n阶的导数
15、阶的导数,则当则当x在在),(ba内时内时,)(xf可以表示为可以表示为)(0 xx 的的一个一个 n次多项式与一个余项次多项式与一个余项)(xRn之和之和:)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其其中中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR(在0 x与与x之之间间).证明证明:由由假假设设,)(xRn在在),(ba内内具具有有直直到到)1(n阶阶导导数数,且且两两函函数数)(xRn及及10)(nxx在在以以0 x及及x为为端端点点的的区区间间上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的条条件件,得得 )()(1()(0
16、011之之间间与与在在xxxnRnn 0)()()()()(10010 nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn如如此此下下去去,经经过过)1(n次次后后,得得 两两函函数数)(xRn 及及nxxn)(1(0 在在以以0 x及及1 为为端端点点的的区区间间上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的条条件件,得得 0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxRRxnR !1)()()()1(10 nRxxxRnnnn (之之间间与与在在nx 0,也也在在 0 x与与 x之之间间)()(1()(1021022之之间间与与在在 xxnn
17、Rnn nkkknxxkxfxP000)()(!)()(称称为为)(xf按按)(0 xx 的的幂幂展展开开的的 n n 次次近近似似多多项项式式 nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(称称为为)(xf按按)(0 xx 的的幂幂展展开开的的 n n 阶阶泰泰勒勒公公式式 )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 则由上式得则由上式得,0)()1(xPnn)()()1()1(xfxRnnn 定理定理1 （带（带lagrange余项的泰勒定理）余项的泰勒定理）如果f(x)在 点邻域内有n+1 阶导数，则 x0)()(!)()(!2)()()()(00)
18、(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其其中中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR(在 0 x与与 x之之间间).拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余项 1010)1()(!1)(!1)()(nnnnxxnMxxnfxR 皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 即即定理定理2 （带（带peano余项的泰勒定理）余项的泰勒定理）如果f(x)在 点邻域内有n+1 阶导数，则 x0)()(!)()(!2)()()()(000)(200000nnnxxoxxnxfxxxfxxxfxfxf 1 1.当当0 n
19、时时,泰泰勒勒公公式式变变成成拉拉氏氏中中值值公公式式 )()()()(000之间之间与与在在xxxxfxfxf 2.2.取取00 x,在在0与与x之间之间,令令)10(x 则余项则余项 1)1()!1()()(nnnxnxfxR 几点说明：几点说明：nnxnfxfxffxf!)0(!2)0()0()0()()(2 1)1()!1()(nnxnf)1,0(（3）00 x（麦克劳林公式）（麦克劳林公式）4 常用常用n阶泰勒公式及其简单应用阶泰勒公式及其简单应用例例 4 4 求求xexf)(的的 n阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式.解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()
20、(nffffxnexf )()1(注注意意到到).10()!1(!2112 nxnxxnenxxxe).10()!1()!1()(1 nxxnxnenexR!212nxxxenx !1!2111,1nex 取取.)!1(3 n)!1(neRn)2sin()()(nxxfn 解解：)2sin()0(1)0(,0)0(,1)0(,0)0()(nfffffn Rmmmxxxxxx212753)!12(!7!5!3sin 122)!12(2)12(sin mmxmmxR10例例5 5 求求 的的n n 阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式.xxfsin)(xxm sin,13!31sin,2xxxm 53!5
21、1!31sin,3xxxxm 0123400.51tra c e 1sin()xxxy sinxy xxy3!31 xxxy53!51!31 例例 6 6 计算计算 403cos2lim2xxexx .)(!2114422xoxxex )(!4!21cos542xoxxx )()!412!21(3cos2442xoxxex 127)(127lim4440 xxoxx原原式式解解 其它函数的麦克劳林公式其它函数的麦克劳林公式)()!12()1(!5!3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx
