1、第三节 非线性规划模型 在数学规划问题中，当目标函数或约束函数中至少有一个是非线性函数时称这类问题为非线性规划。一、非线性规划的一般（标准）形式 设 均为 上的实值函数,1,1,ijf g imhjlnR min.0,1,0,1,ijf xNLPstgximhxjl 某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆一般来说随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算，见表1。为了尽快收回资金并获得较多的赢利，装饰材料公司打算做广告投入一定的广告费后，销售量将有一个增长，可由销售增长因子来表示。根据经验，广告费与销售增长因子关系见表2。现在的问题是装饰材料公司采取怎样的营销战略预期的利润最
2、大？表1 表2 符号说明及问题的分析 设x表示售价（单位：元），y表示预期销售量（单位：桶），z表示广告费（单位：元），k表示销售增长因子。投入广告费后，实际销售量记为s获得的利润记为P（单位：元）。由表1易见预期销售量 y 随着售价x 的加而单调下降，而销售增长因子k在开始时随着广告费z的增加而增加，在广告费z等于50000元时达到最大值，然后在广告费增加时反而有所回落，为此可用Mathematica画出散点图.图1 图2 从图1和图2易见，售价x与预期销售量y近似于一条直线，广告费 z 与销售增长因子k近似于一条二次曲线。为此可令：y=a+bx k=c+dz+ez2 系数a，b，c，d，e
3、是特定参数。n模型的建立 投入广告费后，实际销售量s等于预期销售量y乘以销售增长因子k，即s=ky。所获得的利润。zxbxaezdzczxkyzkykxyzssxP)2)()()2(222广告费成本销售收入支出收入 我们期望利润P达到最大，即 0,0.)2)()(max2.zxt szxbxaezdzcPzx 由于目标函数不是线性函数，因此这一问题的数学模型为有约束条件的非线性规划模型。在日常生活中非线性规划问题要比线性规划问题普遍。n模型求解 首先利用Mathematica计算（1）（2）中的参数a，b，c，d，e，并画出散点图和拟合曲线。图-3 图-4 即：其次用MATLAB求解优化模型，
4、因MATLAB中仅能求极小值，为此将优化模型转化为且x=5.9113，z=33113，函数P达到最大值16670。1051025595.4,1009226.4,01875.133.5133,2.50422edcba0,0.)2)()()min(2zxtsxbxaezdzczPn第三节 多目标规划模型n在工程技术、生产管理以及国防建设等部门中，所遇到的问题往往需要同时考虑多个目标在某种意义下的最优问题 n一、引例n例2.9 投资问题。假设在一段时间内，有数量为B亿元的资金可用于投资，并有 个项目可供选择。如果对第 个项目投资的话，需用资金 亿元，并可获得收益 亿元，试确定最佳投资方案。n解解 所
5、谓最佳投资方案系指：投资最少；收益最大。若令目标函数为求：投资最少：收益最大.miiaicn若令n目标函数为求；n投资最少：n收益最大：n约束函数为：n二、多目标规划模型n多目标规划模型的一般形式为 11,2,0iximii，对A 投资，对A 不投资11minmiiifa x21minmi iifcx1,1,2,.,miiia xBim我们称它为多目标规划问题的数学模型。当时所有目标函数都求最大值，只须注意，求一个函数的最大值可以转化为求这个函数的负函数的最小值，便知这时的数学模型可以转化为 12min,0,1,2,.,.0,1,2,.,Tpijfxfxfxgxims thxjl 12min,
6、Tpx Rf xfxfx 投资的收益和风险 这是1998年全国大学生数学建模竞赛的A题，问题如下：市场上有n种资产（股票、债券、）Si（i=1，n）供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时间的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si有平均收益率为ri，并预测出购买Si的风险损失率为qi。考虑到投资越分散总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的一个风险来度量。购买Si要付交易费，费率为pi，并且当购买额不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是r0，且
7、既无交易费又无风险（r0=5%）。（1）已知n=4时的相关数据如下：Si ri（%）qi（%）pi（%）ui（元）S1 28 2.5 1 103 S2 21 1.5 2 198 S3 23 5.5 4.5 52 S4 25 2.6 6.5 40 试给该公司设计一种投资组合方案即用给定的资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。（2）试就一般情况对以上问题进行讨论，利用以下数据进行计算。Siri（%）qi（%）pi（%）ui（元）S1 9.6 42 2.1 181S2 18.5 54 3.2 407S3 49.4 60 6.0 428S4 23.9 42
8、1.5 549S5 8.1 1.2 7.6 270S6 14 39 3.4 397 S7 40.7 68 5.6 178S8 31.2 33.43 3.1 220S9 33.6 53.3 2.7 475S1036.8402.9248S1111.8315.1195S1295.55.7320S1335462.7267S149.45.34.5328S1515237.6131模型的假设l在一个时期内所给出的ri，qi，pi保持不变。l在一个时间内所购买的各种资产（如股票、证券等）不进行买卖交易，即在买入后不再卖出。l每种投资是否收益是相互独立的。l在投资过程中，无论盈利与否必须先付交易费。M（元）：公
9、司现有投资总额 Si（i=0n）：欲购买的第i种资产种类（其中i=0表 示存入银行）；xi（i=0n）：公司购买Si金额；ri（i=0n）：公司购买Si的平均收益率；qi（i=0n）：公司购买Si的平均损失率；p（i=0n）：公司购买Si超过ui时所付交易费率。符号的说明6.4.3 问题的分析 设购买Si的金额为xi，所付的交易费为ci（xi）;c0(x0)=0 （1）因为投资额M相当大，所以总可以假定对每个Si的投资 xi ui，这时（1）式可简化为 iiiiiiiiiiiuxxpniuxupxxc)1(000)(（2）对Si投资的净收益 （3）对Si投资的风险 （4）对Si投资所需资金（投
10、资金额xi与所需的手续费ci（xi）之和）即 （5）)0()(nixpxciiiiiiiiiiiiixprxcxrxR)()()(iiiixqxQ)(iiiiiiixpxcxxf)1()()(当购买Si的金额为xi（i=0n），投资组合x=（x0，x1，xn）的净收益总额 （6）整体风险：（7）资金约束：（8）niiixRxR0)()()(max)(1iinixQxQniiiMxfxF0)()(多目标规划数学模型n我们的想法是净收益总额R（x）尽可能大，而整体风险Q（x）又尽可能小，则该问题的数学模型可归为多目标规划模型，即 （9）0)(.)(min)(maxxMxFtsxQxR 模型（9）属
11、于多目标规划模型为了对其求解，可把多目标规划转化为单目标规划。l假定投资的平均风险水平 ，则投资M的风险 ，若要求整体风险Q（x）限制在风险k以内，即Q（x）k，则模型（9）可转化为1.（10）qMqk0)()(.)(maxxMxFkxQtsxRl假定投资的平均收益率为 ，则投资M的收益 ，若要求总的收益R（x）大于等于h，即R（x）h，则模型（9）可转化为l （11）rMrh 0)()(.)(minxMxFhxRtsxQ l假定投资者对风险收益的相对偏好参数为，则模型（9）可转化为 （12）l将总收益R（x）与整体风险Q（x）相比，则模型（9）可化为：（13）0)(.)()1()(minxM
12、xFtsxRxQ0)(.)()(maxxMxFtsxQxR n模型求解 由于模型（10）中的约束条件Q（x）k，即所以此约束条件可转化为：这时模型（10）转化为如下的线性规划 （14）kxQiini)(max1)1()(nikxQii0)1()1(.)(max00 xnikxqMxptsxpriiniiiniiii 给定k，可方便地求解模型（14）。具体计算时，为了方便起见，可令 M=1，于是（1+pi）可视作投资Si的比例。下面针对n=4，M=1的情形按原问题给定的数据，模型（14）可变为：（15）)40(0026.0055.0015.0025.01065.1045.102.101.1.18
13、5.0185.019.027.005.0max43214321043210ixkxkxkxkxxxxxxt sxxxxxiMathematica求解利用Mathematica解模型（15）当k=0.05时，计算得x0=0,x1=0.99,x2=0,x3=0,x4=0。当k=0.01时，计算得x0=0,x1=0.4,x2=0.584,x3=0,x4=0。n求模型（11）（13）的最优解困难在于Q（x）是非光滑函数，难于直接用通常的优化算法和现成的软件求解。为此，我们要想办法把它们转化为可求解的形式。下面以模型（12）为例（模型（11）,（13）类似）。因 为所以可令 max)(max)(11ii
14、niiinixqxQxQ,2,1max1nkxqxqiinikkn即 记 ，则模型（5-12）可转化为如下的线性规划问题 （16）)1(nixqxqkkii0)1()1(.)()1(min1001xnixxqMxptsxprxniiniiiniiiinkknxqx1n下针对n=4，M=1的情形，按原问题给定的数据，模型（16）可变为：（17）)50(0026.0055.0015.0025.01065.1045.102.101.1.)1(185.0)1(185.0)1(19.0)1(27.0)1(05.0min5453525143210543210ixxxxxxxxxxxxxxtsxxxxxxix0 x1x2x3x4R(x)Q(x)0.7 00.99 0 0 00.26730.0250.8 00.369 0.615 0 00.21650.009 0.9 00.237 0.400 0.1080.2280.20220.006用Mathematica求解模型（17）注意：若目标函数的表达式f太长，需要换行时，换行处末尾应有运算符号，以便计算机自动去读下一行按模型（17）得到的一组结果如下（n=4，M=1）：Mathematica求解
