1、新人教版九年级数学下册第二十七章第二十七章 相似相似27.1 图形的相似图形的相似27.2.1 相似三角形的判定相似三角形的判定27.2.2 相似三角形的性质相似三角形的性质27.2.3 相似三角形应用相似三角形应用27.3 位似位似 感知相似图形在现实中的应用。感知相似图形在现实中的应用。认识形状相同的图形。认识形状相同的图形。了解相似图形的基本内涵。了解相似图形的基本内涵。知识与能力知识与能力 认识形状相同的图形。认识形状相同的图形。对相似图形概念的理解。对相似图形概念的理解。抓住形状相同的图形的特征，认抓住形状相同的图形的特征，认 识其内涵。识其内涵。C AB全等图形全等图形 形状、形状
2、、大小完全相大小完全相同的图形是同的图形是全等图形。全等图形。A C B 多啦多啦A梦的梦的2寸照片和寸照片和4寸照片，他的形状改变寸照片，他的形状改变了吗？大小呢？了吗？大小呢？符合国家标准的两面共青团团旗的形状符合国家标准的两面共青团团旗的形状相同吗？大小呢？相同吗？大小呢？四阶魔方和三阶魔方形状相同吗？大小呢？四阶魔方和三阶魔方形状相同吗？大小呢？EBDCADCEBABDCAABCDABCBCA你从上述几组图片发现了什么？你从上述几组图片发现了什么？它们的大小不一定相等它们的大小不一定相等，形状相同形状相同.两个图形的两个图形的形状形状 _，但图形，但图形的的大小大小位置位置 _，这样的
3、图形叫，这样的图形叫做做相似图形相似图形。完全相同完全相同不一定相同不一定相同知识要点知识要点图形的放大图形的放大图形的放大图形的放大图形的缩小图形的缩小两个图形相似两个图形相似相似图形的关系相似图形的关系两个图形相似，其中一个图形可以看做是由另一个图形_或_得到的，实际的建筑物和它的模型是_的，用复印机把一个图形放大或缩小后所得的图形，也是与原来的图_的.相似相似相似相似放大放大缩小缩小1、如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？答：相似答：相似下图是人们从平面镜及哈哈镜里看懂的不同镜像，它们相似吗？总结：总结：第一个图的两个图形_,第二个图与第三个图的镜子中的图像已变形，所以_.
4、相似相似不相似不相似在下列图形中，找出相似图形。在下列图形中，找出相似图形。你认为下列属性选项中哪个才是相似图形的本质属性？A、大小不同 B、大小相同 C、形状相同 D、形状不同 答案：（C）1、下列说法正确的是（）A小明上幼儿园时的照片和初中毕业 时的照片相似.B商店新买来的一副三角板是相似的.C所有的课本都是相似的.D国旗的五角星都是相似的.D相似的图形具有传递性传递性；图形图形 A图形图形 B图形图形 C如果图形与图形相似，图形与图形相似，那么图形与图形相似。多边形多边形 由在同一平面且不在同一直线上由在同一平面且不在同一直线上的多条线段首尾顺次连结且不相交所的多条线段首尾顺次连结且不相
5、交所组成的图形叫做多边形。组成的图形叫做多边形。相似多边形相似多边形这两个图案中，这两个图案中，有没有相似的有没有相似的图形？图形？这个零这个零件中，有没有件中，有没有相似的图形？相似的图形？根据相似多边形的特征，给根据相似多边形的特征，给相似多边形下定义。相似多边形下定义。ABCA1B1C1正三角形正三角形缩小缩小对应角有什么关系？对应边有什么关系？对应角有什么关系？对应边有什么关系？A=A1，B=B1，C=C1AB:A1B1=BC:B1C1=CD:C1D1AB=BC=AC，A1B1=B1C1=A1C16060 对应角相等对应角相等 对应边成比例对应边成比例正六边形正六边形放大放大对应角有什
6、么关系？对应角有什么关系？150150A=A1，B=B1，C=C1 对应角相等对应角相等ABCA1B1C1FEDF1E1D1D=D1，E=E1，F=F1正六边形正六边形放大放大对应边有什么关系？对应边有什么关系？ABCA1B1C1FEDF1E1D1AB=BC=CD=DE=EF=FA，A1B1=B1C1=C1D1=D1E1=E1F1=F1A1 对应边成比例对应边成比例A1B1ABB1C1BC=C1D1CDD1E1DE=E1F1EFF1A1FA=ABCDA1B1C1D1 请分别量出请分别量出这两个不规则四这两个不规则四边形各内角的度边形各内角的度数，求出对应边数，求出对应边的长度。的长度。对对应应
7、角角有有什什么么关关系？系？对应边有什么关系？对应边有什么关系？不规则四边形不规则四边形缩小缩小 相似多边形相似多边形知识要点知识要点（对应边的比相等）（对应边的比相等）相似比相似比相似多边形对应边的比。相似多边形对应边的比。（k 0）若相似比若相似比k=1，相，相似图形有什么关系？似图形有什么关系？对应角相等，对应边成比例。对应角相等，对应边成比例。全等是一种特殊的相似。全等是一种特殊的相似。当相似比当相似比k=1时，时，相似图形即是全等图形。相似图形即是全等图形。ABCFEDA1B1C1F1E1D1 六边形六边形ABCDEF与六边形与六边形A1B1C1D1E1F1的的相似比为相似比为 k1
8、=2:1，对应边对应边 AB：A1B1=2:1。A1B1C1F1E1D1ABCFED 六边形六边形ABCDEF与六边形与六边形A1B1C1D1E1F1的的相似比为相似比为 k2=1:2，对应边对应边 AB：A1B1=1:2。相似比与叙述的顺序有关。相似比与叙述的顺序有关。相似多边形相似多边形 各对应角相等、各对应边成比例的各对应角相等、各对应边成比例的多边形叫做相似多边形多边形叫做相似多边形.ABCDEFA1B1C1D1E1F1 对应角相等。对应角相等。对应边成比例。对应边成比例。两个多边形相似的条件两个多边形相似的条件相似六边形相似六边形相似多边形的对应高相似多边形的对应高相似多边形的对应角
9、平分线相似多边形的对应角平分线相似多边形的对应中线相似多边形的对应中线相似多边形的对应对角线相似多边形的对应对角线ABCA1B1C1相似多边形的对应三角形相似多边形的对应三角形相似多边形的性质相似多边形的性质 相似多边形相似多边形对应高对应高的比、的比、对应角平分线对应角平分线的比、的比、对应中线对应中线的比、的比、对应周长对应周长的比都等于相似比。的比都等于相似比。相似多边形相似多边形对应对角线对应对角线的比等于相似比。的比等于相似比。相似多边形相似多边形对应三角形对应三角形相似，且相似比等于相相似，且相似比等于相似多边形的相似比。似多边形的相似比。相似多边形相似多边形面积面积的比等于相似比
10、的平方。的比等于相似比的平方。相似多边形相似多边形对应三角形面积对应三角形面积的比等于相似多边的比等于相似多边形的相似比的平方。形的相似比的平方。题型题型1 判断两个多边形是否相似判断两个多边形是否相似3正方形正方形344菱形菱形解解:正方形，菱形的四条边都相等正方形，菱形的四条边都相等.它们的对应边成比例，它们的对应边成比例，k=3:4.正方形的四个内角均为直角，而菱形的内角有钝角有锐角正方形的四个内角均为直角，而菱形的内角有钝角有锐角.它们的它们的对应角不相等对应角不相等.这一组图形不相似这一组图形不相似.例题3正方形正方形368长方形长方形解：解：正方形和矩形的四个内角都是直角正方形和矩
11、形的四个内角都是直角.它们的对应角相等它们的对应角相等.对应边对应边 3:6 3:8.它们的它们的对应边不成比例对应边不成比例.这一组图形不相似这一组图形不相似.例题ABCDEFGH解解:矩形的每个内角都等于矩形的每个内角都等于90o.A=E=90，B=F =90 C=G=90，D=H=90 它们的对应角相等它们的对应角相等.EH:AD=300:(300+27.5)=20/21.EF:AB=150:(150+27.5)=10/11.EH:ADEF:AB.它们的它们的对应边不成比例对应边不成比例.矩形矩形ABCD和矩形和矩形EFGH不相似不相似.一块长一块长 3m，宽，宽1.5m的矩形黑板，镶其
12、外的矩形黑板，镶其外围的木质边宽围的木质边宽7.5cm。边框内外边缘所组成的。边框内外边缘所组成的矩形相似吗矩形相似吗?为什么为什么?例题题型题型2 求相似多边形的对应角或对应边求相似多边形的对应角或对应边 五边形五边形ABCDE相似于五边形相似于五边形FGHIJ，且，且AB=2cm，CD=3cm，DE=2.2cm，GH=6cm，HI=5cm，FJ=4cm，A=120，H=90 求求：（：（1）相似比等于多少）相似比等于多少?（2）FG，IJ，BC，AE，F，CABCDEFGHIJ5例题解解:（1）相似比）相似比=CD:HI=3:5 （2）五边形五边形ABCDE相似于五边形相似于五边形FGHI
13、J F=A=120o,C=H=90o,AB:FG=BC:GH=CD:HI=DE:IJ=EA:JF 即即 2:FG=BC:6=3/5=2.2:IJ=AE:4 解得解得FG=10/3 cm,BC=18/5cm,IJ=11/3cm,AE=12/5cmABCDEFGHIJ232.2654120你能找出其中的相似多边形吗？你能找出其中的相似多边形吗？相似正五边形相似正五边形相似正六边形相似正六边形相似正八边形相似正八边形相似正十二边形相似正十二边形下列图形中是下列图形中是_与与_相似的相似的.(1)(2)(3)(4)选一选选一选(1)(4)解解:相似相似 不相似不相似 不相似不相似 相似相似 不相似不相
14、似 不相似不相似 请把下列各组图形是否相似的结请把下列各组图形是否相似的结论写在下面的括号里论写在下面的括号里 1.相似图形：相似图形：形状相同的图形。形状相同的图形。2.相似多边形：相似多边形：对应角相等，对应边成比例。对应角相等，对应边成比例。相似多边形对应边的比。相似多边形对应边的比。3.相似比：相似比：1.判断：判断：（1）任意两个矩形都是相似图形（）任意两个矩形都是相似图形（）（2）任意两个圆形是相似图形（）任意两个圆形是相似图形（）（3）对应角相等的两个四边形是相似多边形（）对应角相等的两个四边形是相似多边形（）（4）两个正五边形是相似多边形（）两个正五边形是相似多边形（）（5）两
15、个全等三角形是相似多边形（）两个全等三角形是相似多边形（）（6）两菱形是相似多边形（）两菱形是相似多边形（）（7）两个相似多边形，对应边成比例（）两个相似多边形，对应边成比例（）2.五边形五边形ABCDE相似于五边形相似于五边形ABCDE，它们的相似比为它们的相似比为1:3，（1）若）若D135，则，则D=_。（2）若）若AB=15cm，则，则AB=_。1355 3.一个多边形的边长分别是一个多边形的边长分别是2、3、4、5、6，另一个和它相似的多边形的最短边长为，另一个和它相似的多边形的最短边长为6，则这个多边形的最长边为，则这个多边形的最长边为_。18AB:AB=1:3-AB:15=1:3
16、3AB=15-AB=52:6=1:3 6:x=1:3 x=18 4.如图所示的两个矩形相似吗？为什么？如图所示的两个矩形相似吗？为什么？如果相似，相似比是多少？如果相似，相似比是多少？GFEH1.51ADCB32解；矩形解；矩形ABCD相似于矩形相似于矩形EFGH因为它们的对应角相等，对应边成比例。因为它们的对应角相等，对应边成比例。相似比为相似比为:21ABEF5、下列说法中，错误的是（）（A）两个全等三角形一定是相似形 （B）两个等腰三角形一定相似（C）两个等边三角形一定相似 （D）两个等腰直角三角形一定相似B6、下列各组图形：两个平行四边形；两个圆；两个矩形；两个等腰三角形；两个正五边形
17、；顶角是100的两个等腰三角形其中一定是相似图形的是_（填序号）,不相似，因为没有指明相等的角或成比例的边；相似，两个圆的形状相同；不相似，因为没有指明边的情况，虽然其四个角均相等，不符合相似的条件；不相似，因为只有一对角相等，不符合相似三角形的判定；相似，因为两正五边形有相等的角或成比例的边 相似，因为可以得到相等的角或成比例的边；7、在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离是7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少？解：设福州与上海之间的的实际距离是Xcm，依题意得：答：福州与上海之间的的实际距离 是60千米60000005.780000001xx8
18、、AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？解：依题意可知，2500m=250000cm 故这张平面地图的比例尺是答：这张平面地图的比例尺是 .500001250000550000127.2.1 相似三角形的判定相似三角形的判定 理解相似三角形的判定方法理解相似三角形的判定方法知识与能力知识与能力 以问题的形式，创设一个有利于学生动手以问题的形式，创设一个有利于学生动手和探究的情境，达到学会本节课所学的相似和探究的情境，达到学会本节课所学的相似三角形的判定方法三角形的判定方法过程与方法过程与方法 培养学生积极的思考、动手、观察的能力，培养学生
19、积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值使学生感悟几何知识在生活中的价值 情感态度与价值观情感态度与价值观 会应用相似三角形的判定方法。会应用相似三角形的判定方法。怎样选择合格的判定方法来判定两个怎样选择合格的判定方法来判定两个三角形相似。三角形相似。抓住判定方法的条件，通过已知条件抓住判定方法的条件，通过已知条件的分析，把握图形的结构特点。的分析，把握图形的结构特点。ABCA1B1C1A=A1，B=B1，C=C1，AB:A1B1=BC:B1C1=CA:C1A1=k当当时，时，则则ABC 与与A1B1C1 相似，相似，记作记作ABC A1B1C1。要把表示对应角顶点的要把
20、表示对应角顶点的字母写在对应的位置上。字母写在对应的位置上。注意注意相似三角形相似三角形 对应角相等、对应边成比例的三角形对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。叫做相似三角形。ABCEDF相似的表示方法相似的表示方法符号：符号：读作：相似于读作：相似于 相似比相似比AB:A1B1=BC:B1C1=CA:C1A1=k 时，时，ABCA1B1C1则则ABC 与与A1B1C1 的相似比为的相似比为 k .或或A1B1C1 与与ABC 的相似比为的相似比为 .1k这两个风筝图形相似，观察并思考：这两个风筝图形相似，观察并思考：BAA1B1C1大胆猜想，大胆猜想，那么，那么，若已知若已知ABA
21、1B1，能否得出能否得出ABC1 A1B1C1ABA1B1 除了根据相似三角形的除了根据相似三角形的定义定义来判断是否来判断是否相似，还有相似，还有其它的方法其它的方法吗？吗？已知：已知：DE/BC，且，且D是边是边AB的中点的中点，DE交交AC于于E.猜想：猜想：ADE与与ABC有什么关系有什么关系?并证明。并证明。ABCDE相似。相似。1 2三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似，相似比三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似，相似比 。四边形四边形DBFE是平行四边形是平行四边形 DE=BF,DB=EF ADE ABCABCDEF过过E作作EF/AB交交BC于于F 又又 DE/BC又又
22、 AD=DB AD=EF A=3，2=C ADE EFC DE=FC=BF，ADE与与ABC的对应边成比例的对应边成比例23AE=EC12AEAC12DEBC12ADAEDEABACBC12注：写相似时，要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上。注：写相似时，要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上。证明证明:平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。相交，所构成的三角形与原三角形相似。知识要点知识要点平行于三角形一边的定理平行于三角形一边的定理ABCDE即：即：在在ABC中，中，如果如果DEBC，那么那么ADEABCA型型 你还能画出
23、其你还能画出其他图形吗？他图形吗？延伸延伸X型（型（8字型）字型）平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边（或两（或两边的延长线）边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相相交，所构成的三角形与三角形相似。似。DEACB即：即：如果如果DEBC，那么那么ADEABC你能证明吗？你能证明吗？EAD=CABADE=ABCAED=ACBEF/DBCAEACBFBBADACAEAED/BCFBDE为平行四边形为平行四边形ED=FBABADCAEACBEDAECBDF作作EF/DB交交CB延长线于延长线于FADEABC对于上图的情形，同样可以证明对于上图的情形，同样可以证明ADE
24、ABC，这是判定两个三角形相似的定理，即是预备定理。这是判定两个三角形相似的定理，即是预备定理。平行于三角形一边的直线截其它两边，平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的所得的对应线段成比例对应线段成比例。推论推论ABCDE即：即：在在ABC中，中，如果如果DEBC，那么那么,ADAEDEABACBC,ADAEDBEC,DBECADAE,ABACBCADAEDE（上比全，（上比全，全比上）全比上）（上比下，下比上）（上比下，下比上）（下比全，全比下）（下比全，全比下）DBECABAC，,ABACDBECCBADE已知:如图ABC中,点D、E分别在AB、AC上，且ACAEABAD求证：DE/BC
25、E证明:作 DE/BC,交AC于EADAEABAC则ACAEABADACAEACAEAE=AE因此因此E与点与点E 重合即重合即DE 与与DE重合重合,所以所以 DE/BC采用了“同一法”的间接证明引理引理 如果一条直线截三角形的两边如果一条直线截三角形的两边(或两边的延或两边的延长线长线)所得的对应线段成比例所得的对应线段成比例,那么这条直线平行那么这条直线平行于三角形的第三边于三角形的第三边.当一个命题的条件和结论所指的概念唯一存在时，若直接证明有困难，就不妨改为去证它的逆否命题，然后根据唯一性的原理断言命题为真，这种解题方法叫做同一法 用同一法解题一般有三个步骤先作出一个符合结论的图形，
26、然后推证出所先作出一个符合结论的图形，然后推证出所作的图形符合已知条件；作的图形符合已知条件；根据唯一性，证明所作出的图形与已知的图根据唯一性，证明所作出的图形与已知的图形是全等的或重合的；形是全等的或重合的；从而说明已知图形符合结论从而说明已知图形符合结论 ABCDE相似具有传递性相似具有传递性ADEABCMN 如果再作如果再作 MNDE，共有多少对相似三角形？，共有多少对相似三角形？AMNADEAMNABC共有三对相似三角形。共有三对相似三角形。定义定义判定方法判定方法全等全等三角三角形形相似相似三角三角形形回顾并思考回顾并思考三角、三边对三角、三边对应相等的两个应相等的两个三角形全等三角
27、形全等三角对应相等三角对应相等,三三边对应成比例的两边对应成比例的两个三角形相似个三角形相似 角边角角边角ASA角角边角角边AAS边边边边边边SSS边角边边角边SAS斜边与直角边斜边与直角边HL 判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？边边边边边边SSS已知：已知：ABCA1B1C1.A1B1C1ABC111111.ABBCACABBCAC求证：求证：有效利用判定定理一去求证。有效利用判定定理一去求证。探究探究1 证明：在线段证明：在线段 （或它的延长线）上截（或它的延长线）上截取取 ，过点，过点D作作 ，交，交 于点于点E根据前面的定理可得根据前面
28、的定理可得 .11AB1ADAB11DEBC11AC1111ADEABCA1B1C1ABCDE11111111ADAEDEABBCAC1111111,ABBCACADABABBCAC1AEAC,DEBC111ABCABC1ADEABC又又A1B1C1ABCDE111111111,AEDEBCACBCBCACAC（SSS）1111ADEABC 如果两个三角形的三组对应边的比如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。相等，那么这两个三角形相似。知识要点知识要点判定三角形相似的定理之一判定三角形相似的定理之一ABCA1B1C1.111111,ABBCACABBCAC即：即：如果如果那
29、么那么A1B1C1ABC 三边对应成比例，两三角形相似。三边对应成比例，两三角形相似。边边边边边边SSSABCCBA例1：已知:如图,在ABC和ABC中CAACBCCBABBA求证:ABCABC证明:在ABC的边AB(或延长线)上截取AD=AB,过点D作DE/BC,交AC于点E.DECAEABCDEABADADEABC AD=ABABBAABADCAACBCCBABBACAACCAEABCCBBCDE,ACEACBDE,ADE ABCABCABC例2：如图,已知D、E、F分别是ABC三边BC、CA、AB的中点.求证：DEFABCFDEBAC证明:线段EF、FD、DE都是ABC的中位线ABDEC
30、AFDBCEF21,21,2121ABDECAFDBCEFDEFABCABBCACADDEAE，求证：求证：BAD=CAE。ADCEBABCADEBAC=DAEBACDAC=DAEDAC即即BAD=CAE已知：已知：解：解：ABBCACADDEAE，边角边边角边SAS探究探究2已知：已知：ABCA1B1C1.A1B1C1ABC1111,ABBCkABBC求证：求证：B=B1.你能证明吗？你能证明吗？如图如图,在在ABC和和A/B/C/中中,CAACBAAB求证求证:ABCA/B/C/A/B/C/ABC证明证明:在线段在线段A/B/(或它的延长或它的延长线线)上截取上截取A/D=AB,过点过点D
31、作作DE/B/C/,交交A/C/于点于点E,DE则则A/DEA/B/C/CAEACBDEBADAABDACAACBAAB,CAACCAEAACEA A=A/,A/DE ABCABCA/B/C/,A=A/,如果两个三角形的两组对应边的比相如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。角形相似。知识要点知识要点判定三角形相似的定理之二判定三角形相似的定理之二两边对应成比例，且夹角相等，两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。两三角形相似。边角边边角边SASA1B1C1ABCABCA1B1C1.即：即：如果如果1111,ABBCk
32、ABBCB=B1.那么那么例例1.根据下列条件根据下列条件,判断判断ABC和和A/B/C/是否相似是否相似,并说明理由并说明理由:A=120,AB=7cm,AC=14cm,A/=120,A/B/=3cm,A/C/=6cm,例例2.如图在如图在ABC中，中，D在在AC上，已知上，已知AD=2 cm，AB=4cm，AC=8cm，求证：求证：ABDACB.ABDC7:3,ABACA BA CA=A=120相似相似证明：证明：AD=2cm,AB=4cm,AC=8cm AD:AB=2:4=1:2 AB:AC=4:8=1:2 AD:AB=AB:AC AD:AB=AB:AC,A=A ABDACB1 1、如图
33、，、如图，ABABA AC C=AD=ADA AE E，且，且1=21=2，求证：，求证：ABCABCAEDAED21EDCBA2 2、已知：如图，、已知：如图，E E为为ABCABC中线中线ADAD上的一点，且上的一点，且求证：求证：ADCADCCDCDE E2BDEDAD 大家一起画一个三角形大家一起画一个三角形，三个角分别为，三个角分别为60、45、75，大家画出的三角形相似吗，大家画出的三角形相似吗?通过测通过测量对应边的长度进行比较。量对应边的长度进行比较。探究探究3即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三
34、角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_。相似相似一定需要三一定需要三个角吗？个角吗？角边角角边角ASA角角边角角边AAS角角角角AAA1B1C1ABC已知：已知：ABCA1B1C1.求证：求证：A=A1，B=B1.你能证明吗？你能证明吗？分析分析:要证两个三角形相似，要证两个三角形相似，目前只有四个途径。一是目前只有四个途径。一是三角形相似的定义；二是三角形相似的定义；二是“平行平行”定理；三是定理；三是“三边三边”定理；定理；四是四是“两边夹角两边夹角”定理。定理。ABCA/C/B/已知：在已知：在ABC 和和A/B/C/中中,求证求证:ABC A/B/C/（把小的三角形移动到大的三角形上
35、）。（把小的三角形移动到大的三角形上）。怎样实现移动呢怎样实现移动呢?为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？证明：在证明：在ABC的边的边AB、AC上，分别截取上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，连结连结DE。ABCA/C/B/如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。两角对应相等，两三角形相似。D E A=A/A DE A/B/C/（SAS）
36、ADE=B/，又又 B/=B，ADE=B，DE/BC，ADEABC。A/B/C/ABC求证：求证：ABCABC A/B/C/已知：在已知：在ABC ABC 和和 A A/B B/C C/,中中,若若A=A/，B=B/，-“-“两角两角”定理定理 如果两个三角形的两个角与另一个如果两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。三角形相似。知识要点知识要点判定三角形相似的定理之三判定三角形相似的定理之三两角对应相等，两三角形相似。两角对应相等，两三角形相似。角角角角AAA1B1C1ABCABCA1B1C1.即：即：如果如果那么那么A=A1
37、，B=B1.如果两个三角形有一个内角对应相等，如果两个三角形有一个内角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗？那么这两个三角形一定相似吗？一角对应相等的两个三角形不一定相似。一角对应相等的两个三角形不一定相似。例1如图,在ABC,AB=AC,D是AC边上一点,BD=BC.求证:BC2=ACCD分析:要证明BC2=ACCD，即证明 ，只要证明AC、BC和BC、CD为相似三角形的两组对应边即可。证明:ABC是等腰三角形A=180-2CBCD是等腰三角形DBC=180-2CDBC=A又C为公共角ABCBDC ACBCBCCD即 BC2=ACCDBCDAACBCBCCD例2、如图,在ABC内任取一点D,
38、连接AD和BD.点E在ABC外,EBC=ABD,ECB=DAB.求证:DBEABC.BACDE分析:容易得出ABC=DBE只需要再证明 即证只要证明ABDCBE例题已知：已知：DEBC，EFAB.求证：求证：ADEEFC.AEFBCD解解:DEBC，EFAB（已知）（已知）ADEBEFC（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）AEDC（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）ADEEFC （两个角分别对应相等的两个三角形相似）（两个角分别对应相等的两个三角形相似）ACD CBD ABC找出图中所有的相似三角形。找出图中所有的相似三角形。“双垂直双垂直”三角形三角形BDAC
39、有三对相似三角形：有三对相似三角形：ACD CBDCBD ABCACD ABC常用的成比例的线段：常用的成比例的线段：常用的相等的角：常用的相等的角：A=DCB；B=ACD2ACAD AB2BCBD AB2CDAD DBAC BCAB CDBDACAC:AB=CD:BCAC:AD=AB:ACBC:BD=AB:BCCD:AD=DB:CD 如图,圆内接ABC角平分线CD延长后交圆于一点E.:EBECDBCB求证分析:要证 ，应考虑EB、BD 和EC、CB所在的三角形相似，即是EBDECB练一练DEABC证明：由已知条件，可得证明：由已知条件，可得ACE=BCE。ACE与与ABE是同弧上的圆周角，是
40、同弧上的圆周角，ACE=ABE BCE=ABE。又又 BED=CEB。EBDECBCBDBECEBEBECDBCBEBECDBCB即：探究探究4已知：已知：ABCA1B1C1.1111,ABBCkABBC求证：求证：你能证明吗？你能证明吗？HLABCA1B1C1RtABC 和和 RtA1B1C1.已知：已知：RtRtABC ABC 和和 RtRtA A1 1B B1 1C C1.1.1111,ABBCkABBC求证：求证：ABCABCA A1 1B B1 1C C1.1.ABCA1B1C1思考：对于两个直角三角形，我们可以利用思考：对于两个直角三角形，我们可以利用“HL”HL”判定它们全等判定
41、它们全等.那么那么,满足斜边的比等满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似吗于一组直角边的比的两个直角三角形相似吗?证明证明:.CAACBAABk 设设.,CAkACBAkAB 则则由勾股定理，得由勾股定理，得.,2222CABACBACABBC .222222kCBCBkCBCAkBAkCBACABCBBC .CAACBAABCBBC Rt Rt ABCABCRt Rt ABC.ABC.如果一个直角三角形的如果一个直角三角形的斜边斜边和一条和一条直角直角边边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，对应成比例，那么这两个直角三角形相似。那么
42、这两个直角三角形相似。知识要点知识要点判定三角形相似的定理之四判定三角形相似的定理之四HLABCABCA1B1C1.即：即：如果如果那么那么A1B1C11111,ABBCkABBCRtABC 和和 RtA1B1C1.例如图，已知AD、BE分别是ABC中BC边和AC边上的高，H是AD、BE的交点求证：(1)ADBC=BEAC (2)AHHD=BHHE分析:(1)只要证明RtADCRtBEC (2)只要证明RtAHERtBHD,AHBHHEHD,ADBEACBC即求证：1.相似图形三角形的判定方法：相似图形三角形的判定方法：通过定义通过定义 平行于三角形一边的直线平行于三角形一边的直线 三边对应成
43、比例三边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等 两角对应相等两角对应相等 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（三边对应成比例，三角相等）（三边对应成比例，三角相等）（SSS）（AA）（SAS）（HL）（1）所有的等腰三角形都相似。）所有的等腰三角形都相似。（2）所有的等腰直角三角形都相似。）所有的等腰直角三角形都相似。（3）所有的等边三角形都相似。）所有的等边三角形都相似。（4）所有的直角三角形都相似。）所有的直角三角形都相似。（5）有一个角是）有一个角是100 的两个等腰三角形都相似。的两个等腰三角形都相似。（6）有一个角是
44、）有一个角是70 的两个等腰三角形都相似。的两个等腰三角形都相似。（7）若两个三角形相似比为）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。，则它们必全等。（8）相似的两个三角形一定大小不等。）相似的两个三角形一定大小不等。1.判断下列说法是否正确？并说明理由。判断下列说法是否正确？并说明理由。2.ADBC于点于点D，CEAB于点于点 E，且，且交交AD于于F，你能从中找出几对相似三角形？，你能从中找出几对相似三角形？BCAEDF503010030303.下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？ACBA1C1B1DEFABC60相似相似相似相似 4.过过
45、ABC(CB)的边的边AB上一点上一点D 作一条直线与另一边作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角相交，截得的小三角形与形与ABC相似，这样的直线有几条？相似，这样的直线有几条？CD BCADEEBCAD ADE ABC AED ABCA=AAED=CA=AAED=B作作DE，使，使AED=C作作DE，使，使AED=B这样的直线有两条：这样的直线有两条：5.已知：如图，已知：如图，ABEF CD，图中共有，图中共有_对对相似三角形。相似三角形。CDABEFO3EOFCOD ABEFAOB FOE ABCDEFCDAOB DOC 6.如果两个三角形的相似比为如果两个三角形的相似比为1，那么这两
46、个，那么这两个三角形三角形_。7.若若ABC与与ABC相似，一组对应边的长相似，一组对应边的长为为AB=3 cm，AB=4 cm，那么，那么ABC与与ABC的相似比是的相似比是_。8.若若ABC的三条边长的比为的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个与其相似的另一个ABC的最小边长为的最小边长为12 cm，那么，那么ABC的最大边长是的最大边长是_。全等全等4324cm 9.如图，在如图，在ABC中，中，DGEHFIBC，（1）请找出图中所有的相似三角形；）请找出图中所有的相似三角形；（2）如果）如果AD=1，DB=3，那么，那么DG：BC=_。ABCDEFGHIADGAEHA
47、FIABC1:4ADBEC解解:（1）DE BC ADEABCAED=C=400在在ADE中，中，ADE=180-40-45=9510.已知：已知：DEBC，AE=50cm，EC=30cm，BC=70cm，BAC=45，ACB=40 求：（求：（1）AED和和ADE的大小。的大小。（2）求）求DE的长。的长。).(75.4330507050,.70305050,cmDEDEBCDEACAE所以即（2）ADEABCADBEC27.2.2 相似三角形的性质相似三角形的性质学习目标学习目标1 1、在理解相似三角形、在理解相似三角形特征特征的的 基础上，掌握相似三角形对应基础上，掌握相似三角形对应高、
48、对应中线、对应角平分线、高、对应中线、对应角平分线、周长、面积的比等性质周长、面积的比等性质.2 2、通过实践体会相似三角形、通过实践体会相似三角形的性质，会用性质解决相关的的性质，会用性质解决相关的问题问题.1 1、什么叫相似三角形？、什么叫相似三角形？什么是它们相似比什么是它们相似比?三角三角对应相等、对应相等、三边三边对应成比例对应成比例的两个三角形的两个三角形,叫做叫做相似三角形相似三角形.相似三角形相似三角形对应边的比对应边的比叫做叫做它们的相似比它们的相似比.1.相似三角形的判定方法：相似三角形的判定方法：对应角相等，对应角相等，对应边成比例对应边成比例 相似三角形还有哪些性质？相
49、似三角形还有哪些性质？2.相似三角形的性质：相似三角形的性质：ABCA A/B B/C/相似三角形的对应角相似三角形的对应角_ 相似三角形的对应边相似三角形的对应边_想一想想一想:它们还有哪些性质呢它们还有哪些性质呢?2 2、相似三角形有何特征？、相似三角形有何特征？成比例成比例相等相等一个三角形有三种重要线段：一个三角形有三种重要线段：如果如果两个三角形相似两个三角形相似，那么那么这些对应线段有什么关系呢？这些对应线段有什么关系呢？情境引入情境引入高、中线、角平分线高、中线、角平分线高高角平分线角平分线中线中线思思考考？ACBA B C DD21（1 1）ABCABC 12相似比为ADA D
50、 对应中线的比ACBA B C D21（2 2）D DABCABC 12相似比为ADAD 对应高的比，ACBA B C DD21（3 3）ABCABC 12相似比为ADA D 对应角平分线的比放大前放大前放大后放大后ABCABC与与ABCABC的相似比是多少？的相似比是多少？ABCABC与与ABCABC的周长比是多少的周长比是多少?面积比是多少？面积比是多少？4 44 4正方形网格正方形网格如图，如图，ABCABC与与ABCABC有什么关系？有什么关系？为什么？为什么？试问：试问：是不是任意相似三角形都有此关系呢？你能加以是不是任意相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？验证吗？你发现上面两个
