1、1 有界线性算子和连续线性泛函2 有界线性算子空间和共轭空间算子算子：从赋范线性空间从赋范线性空间X到另一个赋范线性空间到另一个赋范线性空间Y中的映中的映射。算子可以说是函数和函数之间的对应射。算子可以说是函数和函数之间的对应。泛函泛函：如果如果Y是数域，则称这种算子为泛函是数域，则称这种算子为泛函。本章主要研究线性算子和线性泛函，首先引入线性泛函和线性算子的概念，证明赋范线性空间中线性算子的连续性等价于有界性，并引出有界线性算子的一个基本的量，即算子的范数，证明有界线性算子全体按算子范数成为一个赋范线性空间。主要内容：设设X和和Y是两个同为实（或复）的线性空间，是两个同为实（或复）的线性空间
2、，D是是X的线性的线性子空间，子空间，T为为D到到Y中的映射，如果对于任何中的映射，如果对于任何 D，及数，及数 成立成立1、线性算子和线性泛函则称则称T为为D到到Y中的中的线性算子线性算子，其中，其中D称为称为T的的定义域定义域，记为记为D(T)(T)，TD称为称为T的的值域值域，记为记为R(T(T)，当，当T取值于实（或复）取值于实（或复）数域时，就称数域时，就称T为实（或复）为实（或复）线性泛函线性泛函。,x y()(1)()(2)T xyTxTyTxTx （1）设）设X是线性空间，是线性空间，是一给定的数，对任何是一给定的数，对任何 ，令，令2、线性算子和线性泛函的例子xXTxx显然，
3、显然，T是是X到到X中的线性算子，称为相似算子。中的线性算子，称为相似算子。当当 时，称为恒等算子；当时，称为恒等算子；当 时，称为零算子。时，称为零算子。10 （2）对每个）对每个 ，规定，规定由积分的线性性质，可知由积分的线性性质，可知T是是 到到 中的线性算子。中的线性算子。,xC a b()()()taTx txd,C a b,C a b若令若令()()baf xxd则则 是是 上线性泛函。上线性泛函。,C a bf()()()Tx ttx t若令若令T是线性算子，称为乘法算子。是线性算子，称为乘法算子。（3）对每个）对每个 ，规定，规定由导数运算的线性性质，可知由导数运算的线性性质，
4、可知T是是 到到 中的线性算中的线性算子，称为微分算子。子，称为微分算子。0,1xP()()()dTx tx tdt0,1P0,1P若令若令000,1,()()tf xx t ，则，则 是是 上线性泛函。上线性泛函。f0,1P（4）矩阵与线性算子的对应性：）矩阵与线性算子的对应性：设设 是是n维线性空间，在维线性空间，在 中取一组基中取一组基 ，则对任何，则对任何 可以唯一的表示成可以唯一的表示成 ，对每一个方阵，对每一个方阵 ，作，作 到到 中算子中算子T 如下：当如下：当 时，令时，令 其中其中 。显然这样定义的。显然这样定义的T是线性算子，称是线性算子，称为线性变换。算子由方阵为线性变换
5、。算子由方阵 唯一确定。唯一确定。nRnRnRnR12,.,ne eenxR1nvvvxe()vnt1nvvvxe1nyTxy e1,1,2,.,nvvvytn()vnt3、线性算子的有界性与连续性 （1 1）连续性定理连续性定理 设设X，Y都是赋范线性空间，都是赋范线性空间，T是是X到到Y的线性算子，如果的线性算子，如果T在某一点在某一点 D(T)上连续，则上连续，则T在在D(T)上处处连续。上处处连续。0 x 该定理说明，要验证线性算子该定理说明，要验证线性算子T的连续性，只需要验证的连续性，只需要验证T在某一点在某一点连续。又相当于下面要引进的有界性。连续。又相当于下面要引进的有界性。（
6、2 2）有界线性算子有界线性算子 设设X，Y都是赋范线性空间，都是赋范线性空间，T是是X的线性子空间的线性子空间D(T)到到Y的线性算子，如果存在常数的线性算子，如果存在常数 ，是对所有，是对所有 D(T)，有，有则称则称T是是D(T)到到Y中的有界线性算子。中的有界线性算子。xc|Txcx 换句话说，设换句话说，设X，Y是两个赋范线性空间，是两个赋范线性空间，T是是X到到Y的的线性算子，如果算子线性算子，如果算子T将其定义域中将其定义域中每个有界集每个有界集映射成映射成Y中中的的有界集有界集，就称就称T是是有界线性算子有界线性算子，简称为，简称为有界算子有界算子。不。不是有界的算子成为是有界
7、的算子成为无界算子无界算子。显然，赋范线性空间中的相似算子显然是有界算子。显然，赋范线性空间中的相似算子显然是有界算子。（3 3）连续性与有界性的关系连续性与有界性的关系 设设T是赋范线性空间是赋范线性空间X到赋范线性空间到赋范线性空间Y中的线性算子，则中的线性算子，则T为为有界算子有界算子的的充要条件充要条件为为T是是X上上连续算子连续算子。注意区别有界算子与有界函数。注意区别有界算子与有界函数。4 4、算子的范数、算子的范数 T为赋范线性空间为赋范线性空间X的子空间的子空间D(T)到赋范线性空间到赋范线性空间Y中的线中的线性算子，称性算子，称 为算子为算子T在在D(T)上的范数。上的范数。
8、0|sup|xTxTx若若T为有界线性算子，则其范数是有限数，有为有界线性算子，则其范数是有限数，有|TxTx|1|1|sup|sup|xxTTxTx并非所有算子都有界。例如微分算子，并非所有算子都有界。例如微分算子，P0,1为为C0,1的子空间，令的子空间，令 ，则，则 ，但，但 ，所以所以 ，T是无界算子。是无界算子。1nx()nnx tt101max|nntTxntn nTTxn 1 1、有界线性、有界线性B(X(X Y)Y)算子全体所成空间算子全体所成空间 设设X，Y都是赋范线性空间，都是赋范线性空间，B(XY)是是X到到Y的有界线性的有界线性算子全体，当算子全体，当A，B B(XY)
9、,是任意一个数时，规定是任意一个数时，规定()()AB xAxBxA xAx 则则B(XY)按上述线性运算及算子范数成为赋范线性空间。按上述线性运算及算子范数成为赋范线性空间。定理定理1 1 设设X是赋范线性空间，是赋范线性空间，Y是巴拿赫空间时，是巴拿赫空间时，B(XY)也也是巴拿赫空间是巴拿赫空间。2 2、连续线性泛函全体所成空间、连续线性泛函全体所成空间 设设X是赋范线性空间，令是赋范线性空间，令 表示表示X上连续线性泛函全体所成上连续线性泛函全体所成的空间，称为的空间，称为共轭空间共轭空间。定理定理2 2 任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间。任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间。
10、X 例如：例如：的共轭空间为的共轭空间为 。1ll 的共轭空间为的共轭空间为 ，其中，其中 plql111pq 定义定义：设设X和和Y是两个赋范线性空间，是两个赋范线性空间，T 是是X到到Y中的线性中的线性算子，并且对所有算子，并且对所有 ，有，有则称则称T 是是X到到Y中的保距算子，如果中的保距算子，如果T 又是映射到又是映射到Y上的，则称上的，则称T 是同构映射，此时称是同构映射，此时称X与与Y同构。（了解作用）同构。（了解作用）xXTxx 1、内积定义1212(,.,),(,.,),nnab 则则 与与 内积定义为内积定义为ab其中其中 表示表示 的复共轭，并且内积与向量的复共轭，并且内
11、积与向量 的长度有以下的长度有以下关系关系：aii,aa a1 122,.nna b 引言：有限维空间中向量的范数相当于向量的模，但是在有限维欧几里的空间中还有一个重要的概念-两个向量的夹角，特别是两个向量的正交，所以在赋范线性空间当中，引入向量的内积来描述模与夹角，建立内积空间。2 其中 为任意实（或复）数；内积性质：（有限维复欧式空间）1 且 等价于3 ,0a a,0a a 0a,ab ca cb c,na bb aa bE,na b cE,则称则称 为为 的内积，的内积，称为称为内积空间内积空间。2、内积、内积空间：设 是复线性空间，如果对 中任何两个向量 ，有一复数 与之对应，并且满足
12、下列条件1 且且 等价于等价于 （正定性）（正定性）2 其中其中 为任意实为任意实（或复）数（或复）数(对第一变元的线性）；对第一变元的线性）；3 ,0 x x,0 x x 0 x,xy zx zy z,x yy xx yX,x y zX,XX,x y,x y,x y,x yX (对第二变元的共轭线性）；对第二变元的共轭线性）；,xyzx yx z 3、Schwarz不等式：设 按内积 成为内积空间，则对于 中任意向量 ，成立不等式当且仅当 与 线性相关时，不等式中等号才成立。XX,x y,x y,x yxyxy 4、定理：设 是内积空间，令则 是 上的范数，称为由内积导出的范数。X,xx x
13、xX 结论：内积空间按内积导出的范数成为赋范线性空间。5、定义：完备的内积空间称为Hilbert空间。例如：例如：不成为内积空间。不成为内积空间。例如：例如：.设设定义定义 ，则，则 按此内积也成为按此内积也成为Hilbert 空间。空间。2l12(,.,.),nx 12(,.,.),ny 1,iiix y 2l 内积空间的特征性质（平行四边形公式）：内积空间的特征性质（平行四边形公式）：.(2)plp 22222()xyxyxy 注意：赋范线性空间成为内积空间的条件是范数满足平行四边形公式。并非每个赋范线性空间都是内积空间。例如：LPa,b 1.点到集合的距离 设X是度量空间，M是X的非空子集，x是X中一点，称 为点x到M的距离。),(inf),(yxdMxdMy 2.凸集 设X是线性空间，x，y是X中两点，称集合 为X中联结x和y的线段。如果M是X的子集，对M中任何两点x，y，必有 ，则称M为X中的凸集。Myx,(1)|01zxy 设X是内积空间，M是X中非空凸集，并且按X中由内积导出的距离完备，那么对于每个xX，存在唯一的yM，使得 ),(|Mxdyx 推论1 设X是内积空间，M是X完备子空间，则对每个xX，存在唯一的yM，使得 ),(|Mxdyx
