1、第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 2.1 线性微分方程的建立及求解线性微分方程的建立及求解 2.2 传递函数传递函数 定义、性质、典型元件及典型环节传函定义、性质、典型元件及典型环节传函 2.3 控制系统的结构图及信号流图控制系统的结构图及信号流图 组成、绘制、梅逊公式组成、绘制、梅逊公式 2.4 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 开环、闭环传函开环、闭环传函引言引言 要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计，首先要要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计，首先要建立系统的数学模型。建立系统的数学模型。数学模型数学模型：描述系统内部各物理量之间关系的：描述系统内部
2、各物理量之间关系的数学表达式数学表达式。数学表达式：代数方程、微分方程数学表达式：代数方程、微分方程 静态数学模型静态数学模型：系统变量之间与：系统变量之间与时间无关时间无关的静态关系的静态关系 动态数学模型：系统变量对时间的变化率，反映系统的动态特性动态数学模型：系统变量对时间的变化率，反映系统的动态特性控制系统数学模型的类型控制系统数学模型的类型时域（时域（t）模型）模型微分方程微分方程z域（域（z）模型）模型脉冲传函脉冲传函频域（频域（）模型）模型频率特性频率特性复域（复域（s）模型）模型传递函数传递函数2.1.1 建模方法建模方法：分析法、实验法：分析法、实验法2.1 控制系统的微分方
3、程控制系统的微分方程黑匣子黑匣子输入（充分激励）输入（充分激励）输出（测量结果）输出（测量结果）具体方法：最小二乘具体方法：最小二乘(曲线拟合曲线拟合)法、神经元网络法、模糊法、神经元网络法、模糊模型法等。模型法等。模型验证：将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型验证：将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。u 实验法实验法（黑箱法、辨识法、逼近法）：人为施加某种测试信（黑箱法、辨识法、逼近法）：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应号，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出辨识出数学
4、模型。数学模型。u 分析法分析法根据系统运动规律（定律、经验公式）和结构参根据系统运动规律（定律、经验公式）和结构参数，推导系统输入输出之间数学关系。数，推导系统输入输出之间数学关系。建建模（微分方程）模（微分方程）步骤步骤：第二步：联立各环节的数学表达式，消去中间变量，得到描第二步：联立各环节的数学表达式，消去中间变量，得到描 述述系统输出、输入关系的微分方程。系统输出、输入关系的微分方程。第三步：标准化。第三步：标准化。左左“出出”=右右“入入”，且各微分项均按降幂排列。，且各微分项均按降幂排列。见见P19公式公式（2-8）所示。所示。第一步：明确系统输入、输出量，列写各组成环节输出与第一
5、步：明确系统输入、输出量，列写各组成环节输出与输入的数学表达式。输入的数学表达式。根据系统遵循的物理定律根据系统遵循的物理定律如牛顿定律、基尔霍如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等。夫电流和电压定律、能量守恒定律等。例例2.1 如如图图2.1所示，写出所示，写出RC滤波电路滤波电路的微分方程。的微分方程。解：明确输入量解：明确输入量 ，输出量输出量 第一步：环节数学表达式第一步：环节数学表达式 第二步：消去中间变量第二步：消去中间变量rcuRiucduicdtccrduRcuudtrucuiurucRC图图2.1 RC滤波电路滤波电路该电路为一该电路为一阶系统阶系统【例例2.2】
6、如如图图2.2所示，写出所示，写出RLC振荡器电路振荡器电路的微分方程。的微分方程。解：解：urucRC图图2.2 RLC振荡器电路振荡器电路LiRR1LooiLouRidiuLdtduuidtiCCdtuuuu解方程组得解方程组得RLC振荡器电路的微分方程为：振荡器电路的微分方程为：22ooord uduLCRCuudtdt该电路为该电路为二阶系统二阶系统2.1.1 线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解 一般求解线性定常系统微分方程有以下两种常用方法，一般求解线性定常系统微分方程有以下两种常用方法，如下图所示。如下图所示。数学工具数学工具拉普拉斯变换与反变换拉普拉斯变换与反变换 定义
7、定义 初始条件为零时初始条件为零时，连续函数，连续函数f(t)的的拉氏变换拉氏变换F(s)为：为：0sF sL f tf t edt()()()拉氏变换函数拉氏变换函数（象函数）（象函数）原函数原函数衰减因子，其中：衰减因子，其中：-时间常数时间常数s=-+j为拉氏变换算子，其为拉氏变换算子，其中：中：-衰减系数衰减系数 -振荡频率（振荡频率（rad/s）)()(1sFLtfF(s)的原函数，即的原函数，即拉氏反变换拉氏反变换为：为：（2）方法方法 初始条件为零时，可令连续函数中：初始条件为零时，可令连续函数中：nnnnsdtdtd1变量字母：小写变量字母：小写大写大写自变量：自变量：ts遵循
8、线性定理：加、减符号，系数不变。遵循线性定理：加、减符号，系数不变。()()atL ef tF sa)()(sFetfLs 位移定理位移定理 延迟定理延迟定理 终值定理终值定理 0()lim()lim()tsff tsF s 将将F(s)化成下列因式分解形式：化成下列因式分解形式：1212()()()()()()()()()mnk szszszB sF sA sspspsp 拉氏拉氏反变换反变换定义表达式：定义表达式：f（t）=L-1 F(s)方法方法：简单函数：简单函数-直接查表；直接查表；复杂函数复杂函数-部分分式展开，再查表部分分式展开，再查表（P284）。1212()nnaaaF ss
9、pspsp()()()kkkspB saspA s待定系数待定系数工程上常用的典型函数及其拉氏变换工程上常用的典型函数及其拉氏变换 原函数：原函数：f(t)脉冲脉冲 （t）单位阶跃单位阶跃 1（t）速度速度 加速度加速度 指数指数 正（余）弦正（余）弦 象函数象函数F（s）11s21s31s1sa22s 212tatesin(cos)ttt)(22ss2.2 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 微小偏差法（略）微小偏差法（略）2.3.1 传递函数的传递函数的定义定义和主要性质和主要性质 定义定义：零初始条件零初始条件下，系统（元件、环节）输出量的拉氏变下，系统（元件、环节）输出量的拉
10、氏变换与输入量的拉氏变换之比。换与输入量的拉氏变换之比。设设n阶线性定常系统由下述阶线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：阶线性常微分方程描述：()()()C sG sR s 定义表达式为：定义表达式为：C(s)=G(s)R(s)2.3 传递函数传递函数111110111()()()()()()()()()nnnnnnmmmmmmdddc tac tac ta c tdtdtdtdddbr tbr tbr tb r tnmdtdtdt 式中：式中：c(t)是系统输出量，是系统输出量，r(t)是系统输入量；是系统输入量；各系数均是常数。各系数均是常数。设设r(t)和和c(t)及其各阶系数在及
11、其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，是的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，可得到：则对上式中各项分别求拉氏变换，可得到：1011111()()()()mmmmnnnnb sb sbsbC sG snmR ssa sasa 基本性质基本性质：性质性质1 传递函数的概念传递函数的概念只适于线性定常系统只适于线性定常系统。性质性质2 传递函数是一种传递函数是一种动态数学模型动态数学模型，取决于系统或元件的取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关，也不反映，也不反映系统内部的任何信息系统内部的任何信息。性质
12、性质3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提 供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数，这就是相同的传递函数，这就是系统的相似性系统的相似性。传递函数是在零初始条件下定义的，因此传递函数是在零初始条件下定义的，因此不能反映系统在非不能反映系统在非零初始条件下的运动规律。零初始条件下的运动规律。传递函数是传递函数是复变量的有理真分式，即复变量的有理真分式，即n m，具有复变函数的具有复变函数的所有性质所有性质。对于实际系统来说，且。对于实际系统来说，且所有系数均为
13、实数所有系数均为实数。这是因。这是因为在物理上可实现的系统中，总是有惯性且能源有限的缘故。为在物理上可实现的系统中，总是有惯性且能源有限的缘故。若若r(t)=(t)，则：，则：R（s）=1 c(t)=L-1C(s)=L-1G(s)R(s)=L-1G(s)=g(t)性质性质7 传递函数传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应的拉氏反变换是脉冲响应g(t)脉冲响应脉冲响应g(t)是系统在单位脉冲输入时的输出响应。是系统在单位脉冲输入时的输出响应。性质性质8 传递函数传递函数G(s)的的零点零点zi 和和极点极点pl11()()()()()miinllKszC sG sR ssp 为传递函数为传递函数
14、的的零、极点零、极点（根轨迹）（根轨迹）表达式表达式K*-零、极点增益（根轨迹增益）零、极点增益（根轨迹增益）2.2.2 典型环节的传递函数典型环节的传递函数 任何一个复杂系统都是由有限个任何一个复杂系统都是由有限个典型环节典型环节组合而成的；而组合而成的；而环节则是由各种不同的环节则是由各种不同的元件元件组成。组成。常用的常用的电路元件电路元件如下：如下：-z2/z1运放运放A1/Cs电容电容CLs电感电感LR电阻电阻R传递函数传递函数微分方程微分方程常用元件常用元件uRi diuLdt 1uidtC 21oizuuz 为元件为元件对应的对应的复阻抗复阻抗 于是，可得出：由电路元件组成的电路
15、环节，于是，可得出：由电路元件组成的电路环节，其传函就是其传函就是该电路网络的复阻抗。该电路网络的复阻抗。如例如例2.1 RC滤波器电路，由微分方程求得滤波器电路，由微分方程求得传函传函为：为：1111()ccrduRcuuG sdtRCsTs其中：其中：T=RC为电路时间常数为电路时间常数由复阻抗可直接写出：由复阻抗可直接写出：111111/()/ciuCsG suRCsRCsTs由复阻抗可直接写出：由复阻抗可直接写出：21111/()/ciuCsG suRLsCsLCsRCs如例如例2.2：RLC振荡器振荡器电路，由微分方程求得电路，由微分方程求得传函传函为：为：22211()ooord
16、uduLCRCuuG sdtdtLCsRCs由常用的由常用的六种典型环节六种典型环节组成的系统传表达式函如下：组成的系统传表达式函如下：()()()C sG sR s 12211(1)(1)(21)mSiiqnqllllllKessT sTsT s 比例环节比例环节滞后环节滞后环节一阶微分环一阶微分环节（节（m个）个）积分环节积分环节（个）个）惯性环节惯性环节（q个）个）振荡环节振荡环节（n-v-q）个）个()G sK1.比例环节比例环节(P调节器调节器)特点：输出与输入量成比例，无失真和时间延迟。特点：输出与输入量成比例，无失真和时间延迟。实例：实例：线性电位器线性电位器、运算放大器运算放大
17、器、传动齿轮、线性传感器等。、传动齿轮、线性传感器等。式中式中:K-比例系数（增益）比例系数（增益）11()G sTs2.惯性环节惯性环节式中式中:T-时间常数时间常数特点特点：含一个储能元件，对突变的输入：含一个储能元件，对突变的输入,其输出不能立即复现，其输出不能立即复现，即有延迟。即有延迟。实例：实例：RC滤波电路网络滤波电路网络，一阶水槽，一阶水槽(流水流水)，直流伺服电动机，直流伺服电动机 的传递函数也包含这一环节。的传递函数也包含这一环节。1()G ss3.积分环节（积分环节（I调节器）调节器）特点特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具：输出量与输入量的积分成正比例
18、，当输入消失，输出具有有记忆功能记忆功能，一般用于，一般用于改善系统的稳态性能改善系统的稳态性能，提高控制精度。，提高控制精度。实例：一阶水槽，电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计实例：一阶水槽，电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等算机中的积分器等。4 微分环节微分环节()G ss1()G ss 理想微分（理想微分（D调节器）：调节器）：一阶微分（比例微分或一阶微分（比例微分或PD调节器）：调节器）：特点特点：输出量正比于输入量变化的速度，具有：输出量正比于输入量变化的速度，具有超前控制超前控制的的作用，一般用于作用，一般用于改善系统的动态性能改善系统的动态性能。22222
19、11212()()nnnnG sTT sTsss 特点特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其其输出出现振荡输出出现振荡。实例：实例：RLC电路电路的输出与输入电压间的传递函数。的输出与输入电压间的传递函数。可控硅直流闭环调速系统也是一个二阶振荡环节。可控硅直流闭环调速系统也是一个二阶振荡环节。5.振荡环节振荡环节式中式中 阻尼比；阻尼比；T时间常数时间常数 n无阻尼自然振荡角频率（无阻尼自然振荡角频率（rad/s）)()(trtcsesG)(6.延时（滞后）环节延时（滞后）环节特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔
20、。特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。实例：管道压力、流量、皮带运输等物理量的控制，其数学模型实例：管道压力、流量、皮带运输等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。就包含有延迟环节。式中：式中：延迟时间常数延迟时间常数说明：说明：实际的控制系统都含有滞后环节，只是一般延迟时间常数实际的控制系统都含有滞后环节，只是一般延迟时间常数较小，可忽略不计。较小，可忽略不计。实例实例1.P调节器调节器如：电位器、运算放大器、各种线性传感器、变速如：电位器、运算放大器、各种线性传感器、变速 器、器、测速发电机、杠杆、齿轮等。测速发电机、杠杆、齿轮等。2.PI调节器电路调节器电路-Ui
21、(s)Uo(s)R11/Cs(b)PI调节器调节器R222111211111()/();oiU sRCsRKU sRRRCsTsRKTRCR1()()();oiDDDU sK sU sRKR CR 3.PD调节器调节器4.PID调节器调节器oIDiIIIDDDDI()(1)(1)()1，UsssKU ssKRCR CR C 2.3 控制系统结构图及系统传函控制系统结构图及系统传函2.3.1 2.3.1 控制系统控制系统结构图的组成结构图的组成G(s)R(s)C(s)（2）比较点（汇合点、综合点、运算点）：）比较点（汇合点、综合点、运算点）：“”两个或两个以上的输入信号进行加减运算的元件。两个或
22、两个以上的输入信号进行加减运算的元件。“+”表示相加，表示相加，“-”表示相减。表示相减。“+”号可省略不写号可省略不写。（1）传函方框：表示输入到输出单向传输间）传函方框：表示输入到输出单向传输间 的函数关系。的函数关系。(3)引出点（分支点、测量点）：表示信号测量或引出的位置引出点（分支点、测量点）：表示信号测量或引出的位置 图图2.7 引出点示意图引出点示意图)X(s)X(s)R(s)C(s)(1sG)(2sG注意：同一位置引出的信号注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。大小和性质完全一样。X1X1+X2X2图图2.6 比较点示意图示意图比较点示意图示意图X1X1X2+X2-X3X
23、3-注意注意：进行相加减的量，必须具有相同的量纲。：进行相加减的量，必须具有相同的量纲。2.3.2 控制系统的控制系统的传递函数传递函数12()()()()()C sGs GsG sE s(1)前向通道传函前向通道传函-假设假设D(s)=0 前向通道：前向通道：E(s)C(s)G1(s)G2(s)H(s)C(s)图图2.8 典型的控制系统结构图典型的控制系统结构图控制控制对象对象控制器控制器C(s)R(s)B(s)E(s)D(s)典型控制系典型控制系统结构图统结构图()()()B sH sC s(2)反馈通道传函反馈通道传函-假设假设D(s)=0 反馈通道：反馈通道：C(s)B(s)传函：反馈
24、信号与输出信号之比，即：传函：反馈信号与输出信号之比，即：()时称为时称为单位反馈单位反馈。（3 3）开环传函开环传函-假设假设D(s)=0 开环通道：开环通道：E(s)B(s)传函：反馈信号与误差信号之比。传函：反馈信号与误差信号之比。即：即：1212()()()()()()()()()()kB sGsG s Gs H sG sE sG sG s Gs（4 4）闭环传函闭环传函 两种输入信号对输出响应的传函两种输入信号对输出响应的传函 G(s)H(s)Cr(s)R(s)B(s)E(s)典型控制系典型控制系统结构图可统结构图可简化为简化为其中：其中：G(s)=G1(s)G2(s)1()()()
25、()()()rCsG ssR sG s H s=前向通道传函前向通道传函+开环传函开环传函u 给定闭环传函给定闭环传函：假定假定D(s)=0，R(s)Cr(s)()()(1)()(sRsHsGsGsCr 典型控制系典型控制系统结构图可统结构图可等效为等效为G(s)H(s)Cd(s)(s)G1(s)21()()()()()()ddCsGssD sG s H s 其中：其中：G(s)=G1(s)G2(s)u 扰动闭环传函扰动闭环传函：假定假定(s)=0，D(s)Cd(s)()()(1)()(2sDsHsGsGsCd 系统总相应为：系统总相应为：C(s)=Cr(s)+Cd(s)2.3.3 控制系统结
26、构图的绘制控制系统结构图的绘制一般步骤一般步骤确定系统确定系统的输入、的输入、输出变量输出变量由输入到输由输入到输出绘制各组出绘制各组成环节（元成环节（元件）的微分件）的微分方程方程根据信号流向根据信号流向由输入到输出由输入到输出连接各环节连接各环节（元件）的传（元件）的传函方框图函方框图列写各环节列写各环节（元件）的（元件）的拉拉氏变换方程氏变换方程并并绘制对应的传绘制对应的传函方框图函方框图方程中的方程中的“加、加、减减”运算对应运算对应“比较环节比较环节”；乘法运算对应传乘法运算对应传函方框函方框例例1 绘制绘制双双RC滤波器电路滤波器电路的结构图。的结构图。Ui(s)Uo(s)R11/C2s图图2.11 RC滤波电路滤波电路R21/C1sAI1I2解：网络复阻抗方解：网络复阻抗方程如下：程如下：1112122221111()()()()()()()()()()()iAAAooI sU sUsRUsI sIsC sIsUsUsRUsIsC s据此绘制据此绘制双双RC滤波器电路的结构图滤波器电路的结构图如下：如下：Ui(s)UA(s)Uo(s)I1(s)UA(s)I2(s)图图2.12 双双RC滤波器电路结构图滤波器电路结构图I2(s)Uo(s)11R11C s21R21C s本节结束！本节结束！作业：作业：P35习题习题2-3
