1、现代控制理论Modern Control Theory第第4 4章章 稳定性与李雅普诺夫方法稳定性与李雅普诺夫方法12求解微分方求解微分方程程3454.1 Lyapunov稳定性的定义稳定性的定义稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的，线性定常系统由于只有唯一的一个平衡状态，所以才笼统地讲所谓的系统稳定性问题，对于其他系统则由于可能存在多个平衡状态，不同的平衡状态可能表现不同的稳定性，因此必须逐个分别加以讨论。6789定义：对自治系统 的平衡状态xe=0，若对任意给定的 ，存在一个 ，使得只要状态轨线的初始状态满足 ，由该初始状态出发的状态 轨线满足 。那么，系统的平衡状态xe=0称为是李雅普
2、诺夫意义下稳定的。李雅普诺夫意义下稳定李雅普诺夫意义下稳定(,)xf x t000 x00()(;,)x tt x t00(;,)t x t10定义：对自治系统 的平衡状态xe=0，若该平衡状态xe=0是李雅普诺夫意义下稳定的，且当t时，始于原点小邻域的轨线满足x(t)0，则平衡状态xe=0称为是李雅普诺夫意义下渐近稳定的。李雅普诺夫意义下渐近稳定李雅普诺夫意义下渐近稳定(,)xf x t渐近稳定性是局部性质。需要确定渐近稳定域，吸引域。定义 若对任意 ，都有 ，则称平衡状态 是大范围渐近稳定。0 xetxtx)(limex大范围渐近稳定大范围渐近稳定11定义 若对任意给定实数0，不论怎么小，
3、至少有一个 ，当 ，则有 ，则称平衡状态 不稳定。0 xexx0extx)(ex不稳定不稳定 稳定稳定 渐近稳定渐近稳定 不稳定不稳定1213定理定理 线性定常系统 平衡状态 渐近稳定的充要条件是A的特征值均有负实部。4.2 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法(间接法间接法)李雅普诺夫间接法是根据A的特征值来判断系统的稳定性。线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性cxybuAxx.0ex状态稳定性，或称内部稳定性。如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有界的，则称系统为输出稳定。输出稳定的充要条件是传递函数的极点全部位于s平面的左半平面。李雅普诺夫第一法（间接法）李雅普诺夫第一法（间接法）是利
4、用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法，它适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。144.2.2非线性系统的稳定性eexxnnnnxxxfxfxfxfxfA1111)()(2xoxR)(xfx 设设)()()(xRxxAxfxe将将f(x)在平衡点在平衡点xe邻域内展开为泰勒级数，得邻域内展开为泰勒级数，得xe为平衡点。为平衡点。雅可比矩阵15若令Dx=xxe，并取一次近似式，可得系统的线性化方程为xAxDDxAxDD近似线性化：近似线性化：exRe()0iA如果如果 ,则则 渐近稳定，渐近稳定，exRe()0A如果存在如果存在 ，则，则 不稳定；不稳定；exRe()0A如如 ，则，
5、则 的稳定性由高阶导数项的稳定性由高阶导数项 R(x)来决定。来决定。16试分析其平衡状态的稳定性。试分析其平衡状态的稳定性。21222111xxxxxxxx例例 已知非线性系统状态方程已知非线性系统状态方程解：解：求平衡状态：由求平衡状态：由00212211xxxxxx知系统有两个平衡点知系统有两个平衡点xe1=0,0T;xe2=1,1T17在xe1处将其线性化有2211xxxx雅可比矩阵为其特征值为：11，21，可判原非线性系统在xe1不稳定10011100121200221221112121xxxxxxxxxfxfxfxfA18在xe2处将其线性化有1221xxxx雅可比矩阵为01101
6、111121211221221112121xxxxxxxxxfxfxfxfA其特征值为：1j，2j，实部为零，不能应用线性化方法判断原非线性系统在xe2的稳定性。19其中其中 常数，试分析其平衡状态的稳定性。常数，试分析其平衡状态的稳定性。uU,sin02110221ubxaxaxxx0010aa例例 已知非线性系统已知非线性系统201111ennnnx xffxxAffxx 110cos10axae计算计算,2,1,0k,02exkUabxe2arcsin001知系统有平衡点知系统有平衡点2011200sin0 xaxa xbU解解:求平衡状态：由求平衡状态：由0k 下面仅对下面仅对 情况进
7、行研究，其它情况类似情况进行研究，其它情况类似21ex1cos0ex 当当 时，系统在时，系统在 渐近稳定；渐近稳定；2111011111(4cos)()022eaaaxaa1cos0ex时，ex系统在系统在 不稳定不稳定;0cos1ex如果如果 ,其稳定性靠一次近似不能判断。其稳定性靠一次近似不能判断。2cos410211exaaa0cos1012exaaIA由特征方程由特征方程 ，得，得010,0,aa设设 则则224.3 李雅普诺夫第二法基本思路：基本思路：从能量观点进行稳定性分析：从能量观点进行稳定性分析：1)如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的如果一个系统被激励后，其储存的能量
8、随时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达最小推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达最小值，则这个平衡状态是值，则这个平衡状态是渐近稳定渐近稳定的；的；2)反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，则这个平衡状态是来越大，则这个平衡状态是不稳定不稳定的；的；3)如果系统的储能既不增加，也不消耗，则这个平如果系统的储能既不增加，也不消耗，则这个平衡状态就是衡状态就是Lyapunov意义下的意义下的稳定稳定。23 由于实际系统的复杂性和多样性，往往不能直观地由于实际系统的复杂性和多样性，往往不能直观地找到一个能量函数来描述系统的能量关系找到一个
9、能量函数来描述系统的能量关系;于是于是Lyapunov定义了一个定义了一个正定正定的的标量标量函数，作为虚构函数，作为虚构的广义能量函数，用其一阶微分的符号特征来判断系统的广义能量函数，用其一阶微分的符号特征来判断系统的稳定性。的稳定性。244.3.1 预备知识1.标量函数的符号性质由由n n维向量维向量x x定义的标量函数定义的标量函数V(x)V(x)()V xx1 1）存在存在(0)0V2 2）0 x 3 3）当）当 时：时：若V(x)0(V(x)0)则称则称V(x)V(x)是正定的是正定的(半正定的半正定的)若V(x)0,则称二次型V为正定正定的，P称为正定矩阵，记为P0。x 0,若xT
10、Px 0,，则称二次型V为半正定半正定的，P称为半正定矩阵，记为P0。若xTPx 0(0),称V为负定的(半负定的)，P称为负定负定(半半负定负定)矩阵，记为 P 0(i=1,2,n)，则P为正定的。(2)若Di ，则P为负定的。0 i为偶数0 V(x)沿状态轨迹方向计算的时间导数V(x)=dV(x)/dt31分别满足下列条件 为半负定半负定的，则平衡状态xe为李雅普诺夫意义下稳定稳定稳定判据；为负定负定的；或者虽然 为半负定半负定，但对任意初始状态x(t0)0，除了x=0外，对x0，不恒为零，则平衡状态xe为李雅普诺夫意义下渐近稳定渐近稳定的，如果进一步还有|x|时，V(x)，那么平衡状态x
11、e为大范围渐近稳定大范围渐近稳定的渐近稳定判据；为正定正定的，则平衡状态xe为李雅普诺夫意义下不稳定不稳定不稳定判据。)(xV)(xV)(xV)(xV)(xV32例；设系统状态方程为例；设系统状态方程为)()(22212122221121xxxxxxxxxx试确定该系统平衡状态的稳定性。解：解：由平衡状态方程得 0)(0)(222121222112xxxxxxxx解得唯一的平衡状态为解得唯一的平衡状态为x1=0,x2=0,即即xe=0,为坐标原点。为坐标原点。332221)(xxxV)(2)(2211xxxxxV为一负定的标量函数，平衡状态（0,0）渐近稳定。并且|x|，有V(x)，系统的平衡
12、状态是大范围渐近稳定的。)(22221xx2221xxx选选取一正定的标量函数 34例；设系统状态方程为2221221)1(xxxxxxx1=0,x2=0为系统唯一的平衡状态，试确定该系统平衡状态的稳定性。2221)(xxxV)(2)(2211xxxxxV2222)1(2xx解：解：选选取一正定的标量函数 0 035且x，有V(x)系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。0)(xV设：x2 0，x1任意 x2 1，x1任意 由 x1 0 只有原点满足1101xx矛盾！矛盾！)(xV 0有两种可能：由 即假设不成立2221221)1(xxxxxx36说明说明：(1)该判据适用线性和非线性、时变和时不变
13、等各类动态系统；(2)Lyapunov函数V(x)不等同于能量，是一个正定标量函数，对x有连续的一阶偏导数；(3)系统渐近稳定性的判别，归结为V(x)的选取，一般选取V(x)为状态x的二次型函数，需要研究者的经验与技巧，V(x)的选取是非唯一的，不影响判定结论的一致性；(4)充分条件，且只表示平衡点邻域的局部稳定性；374.4.1线性定常系统的渐近稳定性线性定常系统的渐近稳定性对线性定常系统Axx 系统的稳定性和原点的稳定性是一致的，以下不再区分。系统渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的某个正定矩阵Q，存在正定矩阵P满足李雅普诺夫方程：QPAPATPxxxT)(V李雅普诺夫函数38PxxxT
14、)(V0PQxxxPAPAxxPxPxxxTTTTTV)()(若Q0，根据李雅普诺夫稳定性定理，系统是渐近稳定的。选则 QPAPAT39例例:某系统某系统xx 2131解解:选选Q=I,由由ATP+PA=-Q，pij=pji.1001213123112221121122211211pppppppp122:)11(1211pp，03:)21(221211ppp，03:)12(221211ppp，146:)2,2(2212pp其平衡状态在坐标原点，试判断该系统的稳定性。其平衡状态在坐标原点，试判断该系统的稳定性。40注：由于注：由于P的对称性，只有的对称性，只有 个未知数。个未知数。2)1(22
15、nnnnn101460113022221211ppp1014601130221221211ppp,2112731011329212321225 21127273P41用用Sylvester判据：判据：049664121127273,03 P 0 系统是渐近稳定的系统是渐近稳定的.原则上Q为任意正定对称阵，且系统渐近稳定性的判断结果与Q的不同选取无关。具体应用时，Q常常取为正定对正定对角阵或单位阵角阵或单位阵，以简化计算结果。424.4.3 线性定常离散系统线性定常离散系统的渐近稳定性的渐近稳定性对线性定常离散系统)()1(kkGxx平衡状态xe=0处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的正定矩阵Q，存在正定矩阵P满足下述李雅普诺夫方程：QPPGGT43
