1、36直线与平面、平面与平面所成直线与平面、平面与平面所成的角的角3.6课堂互动讲练课堂互动讲练知能优化训练知能优化训练课前自主学案课前自主学案学习目标学习目标1.能用向量方法解决直线和平面所成角的计算问能用向量方法解决直线和平面所成角的计算问题题2理解二面角的概念理解二面角的概念 3能够利用向量方法解决平面与平面所成角能够利用向量方法解决平面与平面所成角的问题的问题课前自主学案课前自主学案射影射影思考感悟思考感悟1直线与平面所成的角与直线的方向向量和平面直线与平面所成的角与直线的方向向量和平面法向量所成角互余吗？法向量所成角互余吗？提示：提示：不一定不一定2二面角的相关概念二面角的相关概念(1
2、)半平面：在一个平面内作一条直线，则这条直半平面：在一个平面内作一条直线，则这条直线将平面分成两部分，其中线将平面分成两部分，其中_都称为半平都称为半平面面(2)二面角：从一条直线二面角：从一条直线l出发的两个半平面出发的两个半平面，组成的图形叫作二面角，记为组成的图形叫作二面角，记为_.这条直线这条直线l称为二面角的称为二面角的_，半平面，半平面，都称为这个二面都称为这个二面角的面角的面每部分每部分l棱棱(3)二面角的平面角：过二面角二面角的平面角：过二面角l的棱的棱l上上任意一点任意一点O作作_棱棱l的平面，分别与两个面的平面，分别与两个面，相交得到两条射线相交得到两条射线OA，OB，则，
3、则AOB称为二面称为二面角角l的平面角二面角的范围是的平面角二面角的范围是0180.(4)度量：二面角的大小用它的度量：二面角的大小用它的_度量度量垂直于垂直于平面角平面角思考感悟思考感悟2如何正确认识二面角？如何正确认识二面角？提示：提示：(1)二面角是一个空间图形，它是由两个二面角是一个空间图形，它是由两个半平面和一条直线构成的图形，可以类比平面内半平面和一条直线构成的图形，可以类比平面内的角的角(2)符号符号l表示以表示以l为棱，为棱，、为两个半平面为两个半平面的二面角的二面角(3)两个平面相交，可以构成四个二面角两个平面相交，可以构成四个二面角(4)在二面角在二面角l的棱的棱l上任取一
4、点上任取一点O，在两半，在两半平面内分别作射线平面内分别作射线OAl，OBl，则，则AOB叫作二面角叫作二面角l的平面角的平面角3二面角与平面法向量的关系二面角与平面法向量的关系课堂互动讲练课堂互动讲练 求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角【思路点拨思路点拨】利用正三棱柱的性质，建立适利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标求角当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，取时有两种思路：一是由定义找出线面角，取A1B1的中点的中点M，连接，连接C1M，证明，证明C1AM是是AC1与平面与平面A1ABB1所成的角；另一种是利用平面所成的角
5、；另一种是利用平面A1ABB1的法的法向量向量n(，x，y)求解求解【名师点评】【名师点评】在解答本题过程中，易出现所求在解答本题过程中，易出现所求角为角为150的错误，导致该种错误的原因是忽视的错误，导致该种错误的原因是忽视了直线与平面的法向量的夹角和直线与平面夹角了直线与平面的法向量的夹角和直线与平面夹角的区别的区别自我挑战自我挑战1如图，在体积为如图，在体积为1的直三棱柱的直三棱柱ABC-A1B1C1中，中，ACB90，ACBC1，求直线，求直线A1B与平面与平面BB1C1C所成角的正弦值所成角的正弦值求平面与平面所成的角求平面与平面所成的角利用向量法求二面角的步骤：利用向量法求二面角的
6、步骤：(1)建立适当的空间直角坐标系；建立适当的空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；向量；(3)求出两个法向量的夹角；求出两个法向量的夹角；(4)判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角；判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角；(5)确定出二面角的平面角的大小确定出二面角的平面角的大小 (2010年高考天津卷年高考天津卷)如图，在长方体如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E，F分别是棱分别是棱BC，CC1上的上的点，点，CFAB2CE，ABADAA1124.(1)求异面直线求异面直线EF与与A1D所成角的余弦值；所成
7、角的余弦值；(2)证明：证明：AF平面平面A1ED；(3)求二面角求二面角A1-ED-F的正弦值的正弦值【思路点拨思路点拨】解答本题首先建立空间坐标系，解答本题首先建立空间坐标系，写出一些点的坐标，再利用向量法求解写出一些点的坐标，再利用向量法求解【解】【解】如图所示，建立空间直角坐标系，点如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点设为坐标原点设AB1，依题意得，依题意得D(0,2,0)，【名师点评】【名师点评】自我挑战自我挑战2如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，中，AB1，ACAA1，ABC60.(1)证明：证明：ABA1C；(2)求二面角求二面角A-A1C-B的余弦
8、值的余弦值由正弦定理得由正弦定理得ACB30，BAC90，即，即ABAC.建立如图所示空间直角坐标系，建立如图所示空间直角坐标系，向量法求夹角的综合应用向量法求夹角的综合应用 如图所示，已知长方体如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1，AB2，AA11，直线，直线BD与平面与平面AA1B1B所成的角为所成的角为30，AE垂直垂直BD于于E，F为为A1B1的中点的中点(1)求异面直线求异面直线AE与与BF所成角的余所成角的余弦值；弦值；(2)求平面求平面BDF与平面与平面A1B所成二面所成二面角角(锐角锐角)的余弦值；的余弦值；(3)求直线求直线AB与平面与平面BDF夹角的正弦夹角的正弦值
9、值【思路点拨】【思路点拨】所给图形是长方体，所给图形是长方体，“垂直垂直”关系明显，可建立空间直角坐标系，利用向量法关系明显，可建立空间直角坐标系，利用向量法求解求解【解解】在长方体在长方体ABCDA1B1C1D1中，以中，以AB、AD、AA1所在直线为所在直线为x轴，轴，y轴，轴，z轴，建立空间直轴，建立空间直角坐标系如图角坐标系如图1利用空间向量求线线角、线面角的关键是转利用空间向量求线线角、线面角的关键是转化为直线的方向向量之间、直线的方向向量与平面化为直线的方向向量之间、直线的方向向量与平面的法向量之间的角，通过数量积求出，通常方法分的法向量之间的角，通过数量积求出，通常方法分为两种：坐标方法、基向量方法，解题时要灵活掌为两种：坐标方法、基向量方法，解题时要灵活掌握握2利用向量方法求二面角的方法分为二类：一利用向量方法求二面角的方法分为二类：一类是找到或作出二面角的平面角，然后利用向量去类是找到或作出二面角的平面角，然后利用向量去计算其大小；另一类是利用二面角的两个平面的法计算其大小；另一类是利用二面角的两个平面的法向量所成的角与二面角的平面角的关系去求后一向量所成的角与二面角的平面角的关系去求后一类需要依据图形特点建立适当的空间直角坐标系类需要依据图形特点建立适当的空间直角坐标系
