1、1矢量代数的基本知识矢量代数的基本知识2例如：位移、速度、加速度、角速度、电场强度等。例如：位移、速度、加速度、角速度、电场强度等。标量标量只有只有大小大小，例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。矢量矢量既有既有大小大小又有又有方向方向，并有，并有一定的运算规则一定的运算规则，坐标分量表示法坐标分量表示法 矢量的几种表示方式：矢量的几种表示方式：几何表示几何表示直角坐标系直角坐标系 kAjAiAAzyx矢量的模矢量的模|AA222zyxAAAkji,表示沿表示沿x x，y y，z z轴的单位矢量。轴的单位矢量。AxyzoxAyAzA有指向的线段
2、。有指向的线段。3AxyzoxAyAzA矢量方向：矢量方向：可由矢量与三个坐标轴的夹角的余弦表示。可由矢量与三个坐标轴的夹角的余弦表示。设矢量与设矢量与x x，y y，z z三轴的夹角为三轴的夹角为、。,cosAAx,cosAAyAAzcos此三个角满足关系：此三个角满足关系：1coscoscos2221.1.矢量的加法运算矢量的加法运算 矢量的加法运算实际上是矢量矢量的加法运算实际上是矢量的叠加，用的是平行四边形法则或的叠加，用的是平行四边形法则或三角形法则。三角形法则。ABCBACBAC4(1)(1)矢量的点乘（标量积）矢量的点乘（标量积）矢量的减法运算是加法运算的逆运算。矢量的减法运算是
3、加法运算的逆运算。2.2.矢量的减法运算矢量的减法运算3.3.矢量的乘法运算矢量的乘法运算cos|BABA 是是 的夹角。的夹角。BA与直角坐标系：直角坐标系：,kAjAiAAzyxkBjBiBBzyx)()(kBjBiBkAjAiABAzyxzyxzzyyxxBABABA特殊：特殊：BABA0abCbac5 的方向：垂直于由的方向：垂直于由 、所构成的平面，并且跟所构成的平面，并且跟矢量矢量 、形成右手螺旋关系：形成右手螺旋关系：AteBAB伸出右手，使手平面垂直伸出右手，使手平面垂直 、所构成的平所构成的平面，然后四指沿着矢量面，然后四指沿着矢量 的方向，经过小的方向，经过小于于18018
4、0 的角转到矢量的角转到矢量 的方向，此时姆指的方向，此时姆指指示的方向，就是矢量指示的方向，就是矢量 的方向。的方向。teABABAB(2)(2)矢量的叉乘（矢量积）矢量的叉乘（矢量积）teBABAsin|是是 的夹角。的夹角。BA与te是一个单位矢量。是一个单位矢量。te)()(kbjbibkajaiabazyxzyxkbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()()()(abba直角坐标系：直角坐标系：注意：注意：6力学力学是研究物体机械运动的规律及其应用的科学。是研究物体机械运动的规律及其应用的科学。机械运动机械运动-物体相对位置或自身各部份的相对位置发物体相对位置或
5、自身各部份的相对位置发生变化的运动。生变化的运动。运动学：运动学：动力学：动力学：以牛顿运动定律为基础，研究物体运动状态发以牛顿运动定律为基础，研究物体运动状态发生变化时所遵循规律的学科。生变化时所遵循规律的学科。研究物体在空间的位置随时间的变化规律以及研究物体在空间的位置随时间的变化规律以及运动的轨道问题，而并不涉及物体发生机械运动的运动的轨道问题，而并不涉及物体发生机械运动的变化原因。变化原因。7（龚炎芳编）（龚炎芳编）8 为了简化问题的研究，我们就要突出研究对象的主为了简化问题的研究，我们就要突出研究对象的主要因素而忽略次要因素，建立起相应的理想模型。要因素而忽略次要因素，建立起相应的理
6、想模型。质点质点:只有质量而没有没有大小和只有质量而没有没有大小和形状的理想物体。形状的理想物体。1.1.质点质点刚体：刚体：有质量、有大小和形状但不会有质量、有大小和形状但不会发生形变的理想物体，发生形变的理想物体，2.2.刚体刚体强调：强调：质点和刚体都是理想的模型，它们都是实际物质点和刚体都是理想的模型，它们都是实际物体在一定条件下的抽象。体在一定条件下的抽象。9 参照系可以根据对象的不同或问题的需要来选择。参照系可以根据对象的不同或问题的需要来选择。注意：注意：参照系不一定是静止的。参照系不一定是静止的。描述物质运动具有相对性描述物质运动具有相对性用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统
7、。用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。物质的运动具有绝对性物质的运动具有绝对性为描述物体的运动而选取的参考物体。为描述物体的运动而选取的参考物体。坐标系：坐标系：参考系：参考系：坐标系是固定在参照系上的，物体相对于坐标系坐标系是固定在参照系上的，物体相对于坐标系的运动就是相对于参照系的运动。坐标系实际上是参的运动就是相对于参照系的运动。坐标系实际上是参照系的数学抽象。照系的数学抽象。10运动学运动学（龚炎芳编）（龚炎芳编）11 描写质点空间位置的物理量。描写质点空间位置的物理量。1.1.位置矢量位置矢量),(zyxPrxyzo 在直角坐标系中，可以从原点在直角坐标系中，可以从原点O O向质
8、点向质点P P所在位置画所在位置画一矢量一矢量 来表示质点位置。来表示质点位置。rkzj yi xrr 称为称为位置矢量位置矢量，简称，简称位矢位矢。位矢可表示为：位矢可表示为：kji,表示沿表示沿x x，y y，z z轴的单位矢量。轴的单位矢量。xyz位矢大小（位矢的模）：位矢大小（位矢的模）：位矢方向：位矢方向：222|zyxrr由位矢与三个坐标轴的夹角的余弦表示。由位矢与三个坐标轴的夹角的余弦表示。12),(zyxPrxyzo 质点的运动实际上就是它的位置在随时间的变化。质点的运动实际上就是它的位置在随时间的变化。)(r tr称为称为运动方程（运动函数）运动方程（运动函数）在直角坐标系：
9、在直角坐标系：ktzjtyitxtr)()()()()(txx)(tyy)(tzz 分量式：分量式：质点运动时在空间所经历的实际路径叫做质点运动时在空间所经历的实际路径叫做轨道或轨轨道或轨迹迹，相应的曲线方程称为，相应的曲线方程称为轨迹方程轨迹方程。在运动方程中，消去在运动方程中，消去t t即得轨迹方程：即得轨迹方程：f(x,yf(x,y，z)=0z)=0。（2）轨迹方程与运动方程的区别与联系）轨迹方程与运动方程的区别与联系 注意：注意：（1）运动方程与位置矢量的区别；）运动方程与位置矢量的区别；132.2.位移位移描写质点位置变化的物理量。描写质点位置变化的物理量。A AB B位移：位移：(
10、t)rt)(trr大小为大小为PQPQ的距离的距离,方向从方向从P P指向指向Q Q。在直角坐标系中：在直角坐标系中：),t(x)tt(xxkzjyixrxyzo)t(r)tt(rr)z,y,x(PQ)t(y)tt(yy)t(z)tt(zz位移的大小：位移的大小：222)()()(|zyxr强调：强调：位移的大小只能写成：位移的大小只能写成：，不能写成，不能写成 或或 。|rr|r|14强调：强调：位移的大小只能写成：位移的大小只能写成：，不能写成，不能写成 或或 。|rr|r|12rrr1212|rrrrrr表示位矢大小的增量表示位矢大小的增量表示质点位矢的增量大小（位移的长度）表示质点位矢
11、的增量大小（位移的长度）注意位移与路程的区别注意位移与路程的区别sr路程路程S S：为物体为物体t t内走过的内走过的轨道的长度轨道的长度，为标量；，为标量；ABr位移：位移：从起点指向终点的有向线段，为矢量，而从起点指向终点的有向线段，为矢量，而位移大小是质点实际移动的直线距离。位移大小是质点实际移动的直线距离。一般情况下，一般情况下，|rs|limlim00rstt在在 t t趋近于零的极限情况下，趋近于零的极限情况下，153.3.速度速度 描写物体运动变化快慢的物理量。描写物体运动变化快慢的物理量。平均速度平均速度：trvtrlimvlimv0t0t瞬时速度瞬时速度xyzo)t(r)tt
12、(rr)z,y,x(PQkvjvivzyx,txlimv0tx,lim0tyvty,lim0tzvtz222)()()(zyxvvvv速度大小（速率）：速度大小（速率）：tstrvvtt00lim|lim|注：注：221vvv问：问：对吗？对吗？16描写质点速度变化快慢的物理量。描写质点速度变化快慢的物理量。平均加速度：平均加速度：tva4.4.加速度加速度)t(v)tt(vABvtvlimalima0t0t加速度：加速度：kajaiazyx,tvlimax0tx,lim0tvayty,lim0tvaztz222)()()(zyxaaaa 方向：方向：t t0 0时速度增量的极限方时速度增量的
13、极限方向，在曲线运动中，总是指向曲线向，在曲线运动中，总是指向曲线的凹侧。的凹侧。a17描述质点运动的四个基本物理量：描述质点运动的四个基本物理量：（2 2）时间性。注意瞬时量和过程量的区别。）时间性。注意瞬时量和过程量的区别。a ,v ,r ,r（1 1）矢量性。注意矢量和标量的区别。）矢量性。注意矢量和标量的区别。（3 3）相对性。对不同参照系有不同的描述。）相对性。对不同参照系有不同的描述。描述质点在某一时刻所处的状态，称为质点描述质点在某一时刻所处的状态，称为质点运动的状态参量。运动的状态参量。v ,r 表示表示 t t时间内质点位置的变化，时间内质点位置的变化，为速度的瞬为速度的瞬时
14、变化率，都是描述质点运动状态变化的参量。时变化率，都是描述质点运动状态变化的参量。ra 四个物理量的特点：四个物理量的特点：质点在三维空间运动时，位矢、位移、速度、加速度是三质点在三维空间运动时，位矢、位移、速度、加速度是三维矢量；在平面上运动时，是二维矢量；沿直线运动时，是一维矢量；在平面上运动时，是二维矢量；沿直线运动时，是一维矢量，此时可以取轨道直线为坐标轴，规定原点和坐标轴的维矢量，此时可以取轨道直线为坐标轴，规定原点和坐标轴的正方向后，可用正负号表示这些物理量的方向。正方向后，可用正负号表示这些物理量的方向。18Px 在转动平面内，过在转动平面内，过O O点作一极轴，点作一极轴，设极
15、轴的正方向是水平向右。设极轴的正方向是水平向右。1.1.角坐标角坐标 角称为角称为角坐标（或角位置）角坐标（或角位置）。连接连接OPOP，则，则OPOP与极轴之间的夹角为与极轴之间的夹角为。O规定：规定：从从oxox轴逆时针到达轴逆时针到达P P点的矢径，角坐标为正值。点的矢径，角坐标为正值。=（t t），叫做），叫做转动方程转动方程。2.2.角位移角位移描写质点位置变化的物理量。描写质点位置变化的物理量。12角位移角位移:193.3.角速度角速度描写质点转动快慢和方向的物理量。描写质点转动快慢和方向的物理量。1.平均角速度平均角速度ttt0lim.角速度角速度方向：方向：满足右手定则，满足右
16、手定则，描写角速度变化快慢和方向的物理量。描写角速度变化快慢和方向的物理量。1.平均角加速度平均角加速度t2.角加速度角加速度4.4.角加速度角加速度tt0lim方向：方向：角速度变化角速度变化的方向。的方向。线速度与角速度的关系：线速度与角速度的关系：rvvRzryOx20cos01vv sin02vv 例：水平直轨道上有一辆小车，轨道例：水平直轨道上有一辆小车，轨道O点正上方有一点正上方有一绞车，绞车转动，牵引绳缠绕在小车上，拉着小车在绞车，绞车转动，牵引绳缠绕在小车上，拉着小车在轨道上移动，问当牵引绳与水平方向夹角为轨道上移动，问当牵引绳与水平方向夹角为 时，小时，小车移动速度多大？设已
17、知绞车收绳速度为车移动速度多大？设已知绞车收绳速度为v v0 0。解法解法1：收绳速度：收绳速度v0在水平方向的在水平方向的投影投影v就是小车移动的速度，就是小车移动的速度，收绳速度除了水平投影收绳速度除了水平投影v之外，还有竖直投影，之外，还有竖直投影，这结果显然是错的。这结果显然是错的。0v2v1v210v1v0usincos00vucossin00vu cossinsin2001vuucos0v解法解法2：在绞车收绳时，牵引绳不仅：在绞车收绳时，牵引绳不仅缩短，而且其方向（即缩短，而且其方向（即角）也在不角）也在不断的改变。断的改变。小车还具有绕绞车转动的速度小车还具有绕绞车转动的速度u
18、0。u0在水平方向的投影为：在水平方向的投影为：小车的移动速度：小车的移动速度：竖直方向：竖直方向：cossincos20011vvuvv22解法解法3：小车在绳子方向的分速度必然等：小车在绳子方向的分速度必然等于绞车的收绳速度。于绞车的收绳速度。,cos0vv cos0vv 0v1v0u)(tr)(ttrrr解法解法4：以小车为研究对象：以小车为研究对象运动质点，选取绞车运动质点，选取绞车与绳接触点为坐标原点，如图所示。与绳接触点为坐标原点，如图所示。|)()(|trttrr,0tcos|lim0rrtcoscoslim|lim000vtrtrttcos0vv 小车的移动速度为小车的移动速度
19、为23,BvAvcos2BAvvcosABvvcosBAvv ABvBBBv ABvBBBvllhll例：如图所示装置，已知例：如图所示装置，已知。求物体。求物体A的速率的速率 。解法解法1：解法解法2：物体：物体B的速率即为悬挂物体的速率即为悬挂物体A沿绳子方向的速沿绳子方向的速率，有：率，有：分析：这显然是错误的，原因同上题解法分析：这显然是错误的，原因同上题解法1。,0tcoslimlim00lhttcoscoslimlim00Bttvtlthcoslim0BtAvthv解法解法3：微元法，以物体：微元法，以物体A为研究对象为研究对象运动质点，运动质点，选取滑轮与绳接触点为坐标原点，如图
20、所示。选取滑轮与绳接触点为坐标原点，如图所示。物体物体A的移动速度为的移动速度为241匀加速运动匀加速运动)(常数a（注：不等于直线运动，如抛体运动）（注：不等于直线运动，如抛体运动）,0tavv20021tatvrr此时满足：此时满足：tavvtavvtavvzzzyyyxxx000200200200212121tatvzztatvyytatvxxzzyyxx直角坐标系：直角坐标系：特殊：特殊：匀加速直线运动匀加速直线运动 )(22102022000 xxavvattvxxatvv25savv2)(221svva2)(221例：火车以速率例：火车以速率v1向前行驶，司机忽然发现，在前方向前行
21、驶，司机忽然发现，在前方同一轨道上距车为同一轨道上距车为S处有另一辆火车，它正沿相同的处有另一辆火车，它正沿相同的方向以较小的速率方向以较小的速率v2作匀速运动。于是他立即使车作作匀速运动。于是他立即使车作匀减速运动，加速度大小为匀减速运动，加速度大小为a。要使两车不相撞，求。要使两车不相撞，求a应满足的关系式。应满足的关系式。即即解法解法1：以速率为：以速率为v2的火车作参照系，的火车作参照系，速率为速率为v1的火车相对于速率为的火车相对于速率为v2的火车作初速度为的火车作初速度为(v1-v2)、加速度为、加速度为a的匀减速直线运动，的匀减速直线运动，要使两火车不相撞，易得：要使两火车不相撞
22、，易得：26tvsavv222212svva2)(221sSBDCsavvvv)()(212121svva2)(221tv1v2vBDoCavvt21A解法解法2：以地面作为参照系，：以地面作为参照系，易得：易得：,21avvt解上述两式，得：解上述两式，得：解法解法3：作图法。：作图法。要使两车不相撞，速率为要使两车不相撞，速率为v1的火车赶上速率为的火车赶上速率为v2的火车时，其速率不能超过的火车时，其速率不能超过v2。两车要不相撞，两车要不相撞，有：有：即：即：27例例:甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持距离加速后能保
23、持9m/s的速度跑完全程；乙从起跑后到的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。为了确定乙起跑的时机，需接棒前的运动是匀加速的。为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。在某次练习中，甲在在接力区前适当的位置设置标记。在某次练习中，甲在接力区前接力区前S0=13.5m处作了标记，并以处作了标记，并以v=9m/s的速度跑到的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。乙在接力区的前端听到口此标记时向乙发出起跑口令。乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同被甲追上，完成令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同被甲追上，完成交接棒。已知接力区的长度为交接棒。已知接力区的长度为2
24、0m，求：（，求：（1）此次练）此次练习中乙在接棒前的加速度习中乙在接棒前的加速度a；（；（2）在完成交接棒时乙离）在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。接力区末端的距离。答案：答案：202/32smSvamavatS5.13221222mSL5.62完成交接棒时，乙在接力区末端的距离为：完成交接棒时，乙在接力区末端的距离为：这段时间内，乙在接力区的位移：这段时间内，乙在接力区的位移：28类似题目类似题目1：一水平的浅色长传送带上放置一煤块：一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为。初始时，传送带与煤块都是静止的
25、。现让传送带。初始时，传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度以恒定的加速度a0开始运动，当其速度达到开始运动，当其速度达到v0后便以后便以此速度做匀速运动。当煤块相对传送带静止时，煤块此速度做匀速运动。当煤块相对传送带静止时，煤块会在传送带上留下黑色痕迹。求煤块在传送带上留下会在传送带上留下黑色痕迹。求煤块在传送带上留下的黑色痕迹的长度。的黑色痕迹的长度。类似题目类似题目2：已知：已知O、A、B、C为同一直线上的四点，为同一直线上的四点，AB间的距离为间的距离为l1，BC间的距离为间的距离为l2。一物体自。一物体自O点由点由静止出发，沿此直线做匀加速运动，依次经过静止出发，沿此直线做
26、匀加速运动，依次经过A、B、C三点。已知物体通过三点。已知物体通过AB段与段与BC段所用的时间相等。段所用的时间相等。求求O与与A的距离。的距离。答案：答案：)(8)3(12221lllll29这类题目通常都是通过列方程求解。这类题目通常都是通过列方程求解。抛体运动的加速度大小为抛体运动的加速度大小为g，方向竖直向下。，方向竖直向下。2抛体运动抛体运动0vAoxy 如图所示，有一斜坡，它与水平面的仰角为如图所示，有一斜坡，它与水平面的仰角为，一，一物体从斜坡底端射出，初速大小为物体从斜坡底端射出，初速大小为v0，方向与斜坡的方向与斜坡的夹角为夹角为。建立坐标系如图所示。建立坐标系如图所示。tg
27、vvxsincos0（1）tgvvycossin0（2）20sin21costgtvx（3）说明：说明：若往斜坡若往斜坡下射出，则下射出，则 取取负值。负值。20cos21sintgtvy（4）（1）求射程）求射程 30cossin20gvt gvgvL2sincos)cos(sin2202200vAoxy令令y=0，代入，代入(4)式，得：式，得：再代入再代入(3)式得：式得：220cos)cos(sin2gvL（5）若若=0，)3(sin21cos20tgtvx)4(cos21sin20tgtvy说明：说明：也可以建立如图所示坐标系，也可以建立如图所示坐标系，此时直线方程为：此时直线方程为
28、：xtgy ,)cos(0tvx2021)sin(gttvycos0 xL),(00yxA解以上三个方程可以求出抛物线与直线的交点解以上三个方程可以求出抛物线与直线的交点射程射程:220cos)cos(sin2gv0vAoxy射程射程:310vAoxy0,0yvx（3）当物体打到）当物体打到A点时，设物体与斜坡发生完全弹性点时，设物体与斜坡发生完全弹性碰撞并沿原路返回，求碰撞并沿原路返回，求 角与角与 角的关系。角的关系。代入代入(1)、(4)式得：式得：在在A点满足点满足)1(sincos0tgvvx)4(cos21sin20tgtvy2ctgctg)6(sin)2sin(21)cos(si
29、n,22（2）求）求v0一定时的最大射程一定时的最大射程即：即：0ddL若用微积分，易得：若用微积分，易得：由由(5)式知，式知，)5(cos)cos(sin2220gvL)cos(sin当当 最大时，射程最大。最大时，射程最大。)2(21射程最大。射程最大。22202220maxcos)2(21sin2cos)2(21cos2gvgvLgvL20max若若=0,32例：从离地面高度为例：从离地面高度为h的固定点的固定点A，将甲球以速度，将甲球以速度v0抛抛出，抛射角为出，抛射角为（0 /2）。若在）。若在A点前方适当的地点前方适当的地方放一质量非常大的平板方放一质量非常大的平板OG，让甲球与
30、平板做完全弹，让甲球与平板做完全弹性碰撞，并使碰撞点与性碰撞，并使碰撞点与A点等高，如图所示。则当平点等高，如图所示。则当平板的倾角板的倾角 为恰当值时（为恰当值时（0 /2）甲球恰好能回到）甲球恰好能回到A点。另有一小球乙，在甲球自点。另有一小球乙，在甲球自A点抛出的同时，从点抛出的同时，从A点点自由落下，与地面做完全弹性碰撞。试讨论自由落下，与地面做完全弹性碰撞。试讨论v0、应满足那些条件，才能使乙球与地面碰撞一次后与甲应满足那些条件，才能使乙球与地面碰撞一次后与甲球同时回到球同时回到A点。点。解：由于甲球与板的碰撞是弹性的，板的解：由于甲球与板的碰撞是弹性的，板的质量又很大，所以甲球与板
31、碰撞前的速度质量又很大，所以甲球与板碰撞前的速度与碰撞后的速度都等于与碰撞后的速度都等于v0。设碰撞后甲球从板弹回时的抛射角为设碰撞后甲球从板弹回时的抛射角为设设A点与碰撞点之间的距离为点与碰撞点之间的距离为L（即射程），（即射程），33,)cos(0tvx2021)sin(gttvygvgvL2sin2sin20202sin2sin由由解得：解得：即：即：所以所以2或或22 表示甲球射到平板时速度的方向与它从平板反表示甲球射到平板时速度的方向与它从平板反射出时速度的方向相反。射出时速度的方向相反。因此有因此有 此时甲球必沿板的法线方向射向平板。反弹后，甲此时甲球必沿板的法线方向射向平板。反弹
32、后，甲球沿原来的路径返回球沿原来的路径返回A点，点，即：即：,22,242 表示甲球沿与平板的法线成某一角度的方向射表示甲球沿与平板的法线成某一角度的方向射向平板，沿位于法线另一侧与法线成相同角度的方向弹向平板，沿位于法线另一侧与法线成相同角度的方向弹出，然后甲球沿另一条路径回到出，然后甲球沿另一条路径回到A点。点。代入代入得得因因220cos)cos(sin2gvL射程：34下面按上述两种情况，讨论甲、乙两球同时回到下面按上述两种情况，讨论甲、乙两球同时回到A点点应满足的条件。应满足的条件。,2(1)即甲球沿原路径回到即甲球沿原路径回到A点的情况点的情况gvgvgvtsin4sin2sin2
33、0001ght222,22sin40ghgv21sin0ghv,1sin因20ghv 设甲球从设甲球从A点抛出与点抛出与OG板碰撞到沿原板碰撞到沿原路径回到路径回到A点共经历时间为点共经历时间为t1，设乙球从设乙球从A点自由落下，与地面发生一次碰撞再点自由落下，与地面发生一次碰撞再回到回到A点共经历时间为点共经历时间为t2，要求两时间相等要求两时间相等,得得即即35gvgvgvt)cos(sin2sin2sin20001,222ght 4,2(2)1t设甲球从设甲球从A点抛出与点抛出与OG板碰撞到沿原路板碰撞到沿原路径回到径回到A点共经历时间为点共经历时间为 。2t设乙球从设乙球从A点自由落下
34、，与地面发生一次碰撞再回到点自由落下，与地面发生一次碰撞再回到A点共经历时间为点共经历时间为 。甲球与甲球与OG板碰撞后，沿另一条路径返回到板碰撞后，沿另一条路径返回到A点。点。ghgv22)cos(sin20,)4sin(0vgh4arcsin0vgh,20因1)4sin(4sin0)4sin(vghghvgh20要求两时间相等，要求两时间相等，处理后为处理后为有有结合结合得得363圆周运动、曲线运动圆周运动、曲线运动vBoBvAsRBAv1v2vAvvAvBvAvABvvv,0时tAB tvat0lim21vvvtvtvtt2010limlimtAABttetvvtv|limlim020n
35、AAttetvtv010limlimntteRvetva20lim tv表示速率变化率，表示速率变化率，tAe表示沿表示沿A点速度方向的单位矢量点速度方向的单位矢量因为因为A点为任意点，可以略去下标，点为任意点，可以略去下标，由图知由图知tAtetv 0limnAAtetRsv0limnAAteRv20limnAe表示沿表示沿A点的法向单位矢量，方向由点的法向单位矢量，方向由A点指向圆心点指向圆心O37nnttntteaeaeRvetva20lim,nntteaeaa22ntaaa它用来改变速率的大小，但不改变速度的方向；它用来改变速率的大小，但不改变速度的方向；它用来改变速度的方向，但不改变
36、速度的大小它用来改变速度的方向，但不改变速度的大小说明：说明：对于曲线运动，上式仍然成立，但式中的对于曲线运动，上式仍然成立，但式中的R指指的是曲率半径。的是曲率半径。tvatt0lim称为切向加速度，称为切向加速度，Rvan2称为法向加速度，称为法向加速度，nataas38补充：自然坐标系补充：自然坐标系teneteneO质点质点P P沿已知的平面轨道运动。沿已知的平面轨道运动。将此轨道曲线作为一维坐标的轴线，在将此轨道曲线作为一维坐标的轴线，在其上任意选一点其上任意选一点O O作为坐标原点。作为坐标原点。质点在轨道上的位置可以用从原点质点在轨道上的位置可以用从原点O O算起的弧长度算起的弧
37、长度s s来表示，来表示，s s称为称为弧坐标弧坐标。在质点上建立两个坐标轴：在质点上建立两个坐标轴：切向坐标切向坐标和和法向坐标法向坐标。切向坐标切向坐标 沿运动轨迹的切线并指向质点运动的方向；沿运动轨迹的切线并指向质点运动的方向；te法向坐标法向坐标 沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。ne强调：强调：自然坐标系是建立在运动质点上的，它随质自然坐标系是建立在运动质点上的，它随质点一起运动在轨道曲线上。轨道上各点的自然坐标点一起运动在轨道曲线上。轨道上各点的自然坐标系的二个坐标轴的方位是不断变化的。系的二个坐标轴的方位是不断变化的。39例：一个抛射体，射出
38、时的初速度大小为例：一个抛射体，射出时的初速度大小为v0，抛射角为，抛射角为60。（。（1）某时刻测得抛射体在轨道）某时刻测得抛射体在轨道A点处速度方向与点处速度方向与水平方向成水平方向成30，大小为，大小为v，求抛射体在，求抛射体在A点处的切向加点处的切向加速度和法向加速度；（速度和法向加速度；（2）分析抛射体从射出到落回地）分析抛射体从射出到落回地面的过程中切向加速度和法向加速度的大小变化情况。面的过程中切向加速度和法向加速度的大小变化情况。2gat2gatgan23（2 2）上升过程切向加速度数值变小，法向加速度数值）上升过程切向加速度数值变小，法向加速度数值变大；当抛射体在最高点时，法
39、向加速度最大，大小变大；当抛射体在最高点时，法向加速度最大，大小为为g g；下落过程切向加速度数值变大，法向加速度数值下落过程切向加速度数值变大，法向加速度数值变小。变小。解：（解：（1）利用矢量分解法。总加速度为）利用矢量分解法。总加速度为g。（上升过程，与速度方向相反）（上升过程，与速度方向相反）（下落过程，与速度方向相反）（下落过程，与速度方向相反）或或（方向沿法线方向）（方向沿法线方向）anaganag40DABFL2v1vECRR2v例：有一只狐狸以不变速率例：有一只狐狸以不变速率v v1 1沿着直线沿着直线ABAB逃跑，一猎犬逃跑，一猎犬以不变的速率以不变的速率v v2 2追击，其
40、运动方向始终对准狐狸，某时追击，其运动方向始终对准狐狸，某时刻狐狸在刻狐狸在F F处，猎犬在处，猎犬在D D处，处，FDFD ABAB，且，且FD=LFD=L（如图所（如图所示），试求此时猎犬加速度的大小。示），试求此时猎犬加速度的大小。解：设解：设 t时间以后，猎犬到达时间以后，猎犬到达C处，狐狸处，狐狸到达到达E。)1(22Rvaan)2(2Rtv)3(1LtvFELvvR12LvvRva2122由图可见猎犬转过的角度应为由图可见猎犬转过的角度应为 ，它的方向与速度方向垂直。它的方向与速度方向垂直。在在 t时间内狐狸逃过的距离为时间内狐狸逃过的距离为联立联立(2)(3)式得：式得：加速度加
41、速度 t时间间隔很小，可以将猎犬运动的轨迹时间间隔很小，可以将猎犬运动的轨迹看成一小段圆弧，设此圆弧的半径为看成一小段圆弧，设此圆弧的半径为R。有：有：41例例:A、B、C三个芭蕾舞演员同时从边长为三个芭蕾舞演员同时从边长为L的三角形的三角形顶点顶点A、B、C出发，以相同的速率出发，以相同的速率v运动，运动中始终运动，运动中始终保持保持A朝着朝着B，B朝着朝着C，C朝着朝着A。试问：经过多少时。试问：经过多少时间三人相遇？每个演员跑了多少路程？间三人相遇？每个演员跑了多少路程？解法解法1：任一时刻三人位置都在一个正三角形的三个：任一时刻三人位置都在一个正三角形的三个顶点上，且正三角形边长不断缩
42、小。顶点上，且正三角形边长不断缩小。根据小量近似相近，有：根据小量近似相近，有：tvtvLBBAALl2160cos111tvL23tvLtvll2322312tvnLln23类推：类推：把追上时间分成把追上时间分成n个微小时间个微小时间 t（t0），在每个），在每个 t内每个人近似作直线运动，可求出每经过内每个人近似作直线运动，可求出每经过 t后三角形的后三角形的边长，分别有边长，分别有l1,l2,ln。当。当ln0时三人相聚。时三人相聚。42tntvtL23vLt32Lvts32tvnLln23当当ln0时时三人相遇于原正三角形三人相遇于原正三角形ABC的中心，的中心，此时有：此时有：所以
43、三人相遇时所需的时间为所以三人相遇时所需的时间为每个演员跑过的路程为：每个演员跑过的路程为：即即解法解法2：如图所示，设：如图所示，设t时刻三角形边长为时刻三角形边长为x，经历一极，经历一极短时间短时间 t后，边长变为后，边长变为 。x022260cos)(2)()(tvxtvtvxtvx22233tvtxvx略去二阶小量后得到：略去二阶小量后得到：txvxx322txvxxxx3)(,2xxxtvxx23vlvlt32)23/(Lvts32即即且且三人相遇所需时间为三人相遇所需时间为每个演员跑过的路程为：每个演员跑过的路程为：若四人从正方形顶点出若四人从正方形顶点出发，情形又怎样？发，情形又
44、怎样？vlt 答案答案43例：图中所示为用三根刚性细杆例：图中所示为用三根刚性细杆AB、BC、CD连成的平连成的平面连杆结构图。面连杆结构图。AB杆和杆和CD杆可分别绕过杆可分别绕过A、D的垂直于的垂直于纸面的固定轴转动，纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水平线上。两点位于同一水平线上。BC杆的两端分别与杆的两端分别与AB杆和杆和CD杆相连，可绕连接处转动杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。当（类似铰链）。当AB杆绕杆绕A轴以恒定的角速度轴以恒定的角速度 转到图转到图中所示的位置时，中所示的位置时，AB杆处于竖直位置，杆处于竖直位置，BC杆与杆与CD杆都杆都与水平方向成与水平方向成45角。已
45、知角。已知AB杆的长度为杆的长度为l，BC杆和杆和CD杆的长度由图给定。求此时杆的长度由图给定。求此时C点加速度的大小点加速度的大小aC和方向和方向（用与（用与CD杆之间的夹角表示）。杆之间的夹角表示）。解：解：B点绕点绕A轴做圆周运动，其速度轴做圆周运动，其速度的大小为：的大小为：lvB（1）B点的向心加速度的大小为点的向心加速度的大小为:laB2（2）aB也是也是B点的加速度，其方向沿点的加速度，其方向沿BA方向。方向。44 C点绕点绕D轴做圆周运动，其速度的大小用轴做圆周运动，其速度的大小用vC表示，表示，方向垂直于杆方向垂直于杆CD；在考查的时刻，由图可知其方向沿杆在考查的时刻，由图可
46、知其方向沿杆BC方向。因方向。因BC是刚性杆，所以是刚性杆，所以B点和点和C点沿点沿BC方向的速度必相等，方向的速度必相等，lvvBC224cos（3）CDvaCCn2（4）。）。杆杆CD绕绕D轴按顺时针方向转动，轴按顺时针方向转动，C点法向加速度为：点法向加速度为：,22lCD 由图可知由图可知解解(3)(4)式可得式可得:其方向沿其方向沿CD方向。方向。laCn282（5）下面来分析下面来分析C点沿垂直于杆点沿垂直于杆CD方向的加速度，即切方向的加速度，即切向加速度向加速度act。45 BC是刚性杆，所以是刚性杆，所以C点相对于点相对于B点的运动只能是绕点的运动只能是绕B的转动，的转动，C
47、点相对点相对B点的速度方向必垂直于杆点的速度方向必垂直于杆BC。令令vCB表示其速度的大小，根据速度合成公式，有：表示其速度的大小，根据速度合成公式，有：BCCBvvv由几何关系得：由几何关系得：lvvvvBCBCB222222（6）由于由于C点绕点绕B点做圆周运动，相对点做圆周运动，相对B点点的向心加速度为的向心加速度为:CBvaCBCn2（7）,2lCB 因为因为laCB242（8）其方向垂直杆其方向垂直杆CD由由(2)式及图可知，式及图可知，B点的加速度沿点的加速度沿BC杆的分量为杆的分量为:4cos)(BBCBaa（9）4654.806arctanarctanCnCtaa所以所以C点相
48、对点相对A点（或点（或D轴）的加速度沿垂直于杆轴）的加速度沿垂直于杆CD方向的分量方向的分量:说明：本题亦可通过微商求说明：本题亦可通过微商求C点加速度。点加速度。4cos)(BBCBaa（9）laaaBCBCBCt2423)(（10）C点的总加速度为点的总加速度为C点绕点绕D轴做圆周运动的法向加速度轴做圆周运动的法向加速度acn与切向加速度与切向加速度act的合加速度。的合加速度。laaaCtCnC222874（11）ac的方向与杆的方向与杆CD的夹角的夹角:此时以固定点此时以固定点A为原点作一直角坐标系为原点作一直角坐标系Axy，Ax轴与轴与AD重合，重合，Ay轴与轴与AD垂直。任意时刻垂
49、直。任意时刻t，各杆的位置可用杆与水平方向的夹角表示，写出，各杆的位置可用杆与水平方向的夹角表示，写出C点在点在Ax轴和轴和Ay轴的坐标，将坐标对时间求二次导数，再根据三根杆的几何关系和初轴的坐标，将坐标对时间求二次导数，再根据三根杆的几何关系和初始条件可求出始条件可求出C点加速度。点加速度。474运动的合成运动的合成研究内容：研究内容：对同一物体的运动，在不同的参照系下观对同一物体的运动，在不同的参照系下观察，它们的观察结果所满足的关系。察，它们的观察结果所满足的关系。BCABACMMM,BCABACvvvBCABACaaa公式：公式：Mavrr,（式中（式中 可为可为 ：)常用公式：常用公
50、式：成立条件：成立条件：长度的测量和时间的测量与时间无关，即只长度的测量和时间的测量与时间无关，即只适用于低速的情况。适用于低速的情况。对于运动合成方面的题目，通常有两种解法：对于运动合成方面的题目，通常有两种解法：(1)几何法几何法:可以把速度矢量、加速度矢量用闭合多边可以把速度矢量、加速度矢量用闭合多边形表示，即利用矢量的平行四边形法则或三角形法则形表示，即利用矢量的平行四边形法则或三角形法则来求解运动合成问题。来求解运动合成问题。(2)投影法投影法BCABACvvv如，将如，将 往直角坐标系投影往直角坐标系投影,)()()(xBCxABxACvvv,)()()(yBCyAByACvvvz
