1、空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算S FWWW=|=|=|F F F|s s s|coscoscos 根据功的计算根据功的计算根据功的计算根据功的计算根据功的计算根据功的计算,我们定义了平面两向量的我们定义了平面两向量的我们定义了平面两向量的我们定义了平面两向量的我们定义了平面两向量的我们定义了平面两向量的数量积运算数量积运算数量积运算数量积运算数量积运算数量积运算.一旦定义出来一旦定义出来一旦定义出来一旦定义出来一旦定义出来一旦定义出来,我们我们我们我们我们我们发现这种运发现这种运发现这种运发现这种运发现这
2、种运发现这种运算非常有用算非常有用算非常有用算非常有用算非常有用算非常有用,它能解决有关它能解决有关它能解决有关它能解决有关它能解决有关它能解决有关长度和角度长度和角度长度和角度长度和角度长度和角度长度和角度问题问题问题问题问题问题.回回回回回回 顾顾顾顾顾顾一一一一一一 复习引入复习引入复习引入复习引入复习引入复习引入 已知两个非零向量已知两个非零向量已知两个非零向量已知两个非零向量已知两个非零向量已知两个非零向量 ,作作作作作作 ,则则则则则则 叫做向量叫做向量叫做向量叫做向量叫做向量叫做向量 的夹角的夹角的夹角的夹角的夹角的夹角.OAa,a b OBb(0180)AOBab与与 已知两个
3、非零向量已知两个非零向量已知两个非零向量已知两个非零向量已知两个非零向量已知两个非零向量 ,它们的夹角它们的夹角它们的夹角它们的夹角它们的夹角它们的夹角为为为为为为 ,我们把我们把我们把我们把我们把我们把 叫做向量叫做向量叫做向量叫做向量叫做向量叫做向量 的数量积的数量积的数量积的数量积的数量积的数量积,记做记做记做记做记做记做 ,即即即即即即 =.=.=.,a b|a|b|cos a b a b|a|b|cos ,a b1 1 1 向量的夹角向量的夹角向量的夹角向量的夹角向量的夹角向量的夹角:abO O O O O OA A A A A AB B B B B Bab2 2 2 平面向量数量积
4、平面向量数量积平面向量数量积平面向量数量积平面向量数量积平面向量数量积:(1)a ee a|a|cos (2)aba b0 a b(4)cosab 3 3 3 平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质22(3)|a|a aa 4 4 4 平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律(1)a bb a （交换律）（交换律）（交换律）(2)(a)b(a b)a(b)(3)(ab)ca cb c （分配律）（分配律）（分配律）（数乘结
5、合律）（数乘结合律）（数乘结合律）二二二二二二 新课新课新课新课新课新课 因为向量可以自由平移，所以空间中任意两因为向量可以自由平移，所以空间中任意两因为向量可以自由平移，所以空间中任意两因为向量可以自由平移，所以空间中任意两因为向量可以自由平移，所以空间中任意两因为向量可以自由平移，所以空间中任意两个向量可以平移到同一平面内，即空间任意两个个向量可以平移到同一平面内，即空间任意两个个向量可以平移到同一平面内，即空间任意两个个向量可以平移到同一平面内，即空间任意两个个向量可以平移到同一平面内，即空间任意两个个向量可以平移到同一平面内，即空间任意两个向量共面向量共面向量共面向量共面向量共面向量共
6、面.因此，平面中两个向量的夹角及数量因此，平面中两个向量的夹角及数量因此，平面中两个向量的夹角及数量因此，平面中两个向量的夹角及数量因此，平面中两个向量的夹角及数量因此，平面中两个向量的夹角及数量积等相关概念、性质可以推广到空间积等相关概念、性质可以推广到空间积等相关概念、性质可以推广到空间积等相关概念、性质可以推广到空间积等相关概念、性质可以推广到空间积等相关概念、性质可以推广到空间.1)1)1)1)1)1)两个向量的夹角的定义两个向量的夹角的定义两个向量的夹角的定义两个向量的夹角的定义两个向量的夹角的定义两个向量的夹角的定义:O O O O O OA A A A A AB B B B B
7、Ba a b b 知知知知知知 新新新新新新类似地，可以定义空间向量的类似地，可以定义空间向量的类似地，可以定义空间向量的类似地，可以定义空间向量的类似地，可以定义空间向量的类似地，可以定义空间向量的数量积数量积数量积数量积数量积数量积两个向量的夹角是惟一确定的！两个向量的夹角是惟一确定的！两个向量的夹角是惟一确定的！两个向量的夹角是惟一确定的！两个向量的夹角是惟一确定的！两个向量的夹角是惟一确定的！角度角度表示表示a,ba,ba,ba,ba,ba,b=0 0 0 0 0 0a,ba,ba,ba,ba,ba,b是是是是是是锐角锐角锐角锐角锐角锐角a,ba,ba,ba,ba,ba,b是是是是是是
8、直角直角直角直角直角直角a,ba,ba,ba,ba,ba,b是钝角是钝角是钝角是钝角是钝角是钝角a,ba,ba,ba,ba,ba,b=思考：思考：思考：思考：思考：思考：下列式子表示什么意思？他们之间有什么关系？下列式子表示什么意思？他们之间有什么关系？下列式子表示什么意思？他们之间有什么关系？下列式子表示什么意思？他们之间有什么关系？下列式子表示什么意思？他们之间有什么关系？下列式子表示什么意思？他们之间有什么关系？ba,ab,ba,ba,=ba,ab,=ba,ba,=2 2 2 2 2 2）两个向量的数量积）两个向量的数量积）两个向量的数量积）两个向量的数量积）两个向量的数量积）两个向量的
9、数量积注注注注注注:（1 1 1 1 1 1）两个向量的数量积是数量，而不是向量）两个向量的数量积是数量，而不是向量）两个向量的数量积是数量，而不是向量）两个向量的数量积是数量，而不是向量）两个向量的数量积是数量，而不是向量）两个向量的数量积是数量，而不是向量.（2 2 2 2 2 2）规定）规定）规定）规定）规定）规定:零向量与任意向量的数量积等于零向量与任意向量的数量积等于零向量与任意向量的数量积等于零向量与任意向量的数量积等于零向量与任意向量的数量积等于零向量与任意向量的数量积等于零零零零零零.（3 3 3 3 3 3）点乘符号）点乘符号）点乘符号）点乘符号）点乘符号）点乘符号“”“”“
10、”“”“”“”在向量运算中不是乘在向量运算中不是乘在向量运算中不是乘在向量运算中不是乘在向量运算中不是乘在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用号，既不能省略，也不能用号，既不能省略，也不能用号，既不能省略，也不能用号，既不能省略，也不能用号，既不能省略，也不能用“”代替代替代替代替代替代替.CCCCCCDDDDDDBBBBBBAAAAAAC C C C C CD D D D D DA A A A A AB B B B B BAA ADAAAA CCAA C BDBDB B练习练习练习练习练习练习 已知正方体已知正方体已知正方体已知正方体已知正方体已知正方体A A A A A ACCCCCC
11、边长边长边长边长边长边长为为为为为为1,1,1,1,1,1,求：求：求：求：求：求：数量积数量积数量积数量积数量积数量积 等于等于等于等于等于等于 的长度的长度的长度的长度的长度的长度 与与与与与与 在在在在在在 的方向上的投影的方向上的投影的方向上的投影的方向上的投影的方向上的投影的方向上的投影 的乘积。的乘积。的乘积。的乘积。的乘积。的乘积。a b a|aba|cosb B B B1 1 1B B BO O OA A Aabbababa,cos几何意义几何意义几何意义几何意义几何意义几何意义3)3)3)3)3)3)空间两个向量的数量积性质空间两个向量的数量积性质空间两个向量的数量积性质空间
12、两个向量的数量积性质空间两个向量的数量积性质空间两个向量的数量积性质注：注：注：注：注：注：性质是证明两向量垂直的依据；性质是证明两向量垂直的依据；性质是证明两向量垂直的依据；性质是证明两向量垂直的依据；性质是证明两向量垂直的依据；性质是证明两向量垂直的依据；性质性质性质性质性质性质是求向量的长度（模）的依据是求向量的长度（模）的依据是求向量的长度（模）的依据是求向量的长度（模）的依据是求向量的长度（模）的依据是求向量的长度（模）的依据.4)4)4)4)4)4)空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的
13、运算律空间向量的数量积满足的运算律注：注：注：注：注：注：向量的数量积运算类似于多项式运算向量的数量积运算类似于多项式运算向量的数量积运算类似于多项式运算向量的数量积运算类似于多项式运算向量的数量积运算类似于多项式运算向量的数量积运算类似于多项式运算,平方平方平方平方平方平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。如如如如如如果不能，请举出反例果不能，请举出反例果不能，请举出反例果不能，请举出反例
14、果不能，请举出反例果不能，请举出反例能能能能能能得到得到得到得到得到得到吗？吗？吗？吗？吗？吗？由由由由由由,对于三个均不为对于三个均不为对于三个均不为对于三个均不为对于三个均不为对于三个均不为0 0 0 0 0 0 的的的的的的数数数数数数a a a,b b b,c c c,若若若若若若ababab=acacac,则则则则则则b b b=c c c.对于向量对于向量对于向量对于向量对于向量对于向量,abcbacacb.不能，例如向量不能，例如向量不能，例如向量不能，例如向量不能，例如向量不能，例如向量 与向量与向量与向量与向量与向量与向量 都垂都垂都垂都垂都垂都垂直时，有直时，有直时，有直时
15、，有直时，有直时，有 而未必有而未必有而未必有而未必有而未必有而未必有acb,caba.cb对于三个均不为对于三个均不为对于三个均不为对于三个均不为对于三个均不为对于三个均不为0 0 0的数的数的数的数的数的数 若若若若若若 则则则则则则 对于向量对于向量对于向量对于向量对于向量对于向量 若若若若若若 能否能否能否能否能否能否写成写成写成写成写成写成 也就是说也就是说也就是说也就是说也就是说也就是说向量有除法吗？向量有除法吗？向量有除法吗？向量有除法吗？向量有除法吗？向量有除法吗？,cba,cab).(acbbca或,bakba?)(akbbka或对于三个均不为对于三个均不为对于三个均不为对于
16、三个均不为对于三个均不为对于三个均不为0 0 0的数的数的数的数的数的数 对于向量对于向量对于向量对于向量对于向量对于向量 成立吗？也就成立吗？也就成立吗？也就成立吗？也就成立吗？也就成立吗？也就是说，向量的数量积满足结是说，向量的数量积满足结是说，向量的数量积满足结是说，向量的数量积满足结是说，向量的数量积满足结是说，向量的数量积满足结合律吗？合律吗？合律吗？合律吗？合律吗？合律吗？,cba).()(bcacab若,cba)()(cbacba222222)()()()3)()()4)()a bcab cpqp qpqpqpq 135 A A AD D DF F FC C CB B BE E E1(2)(3)(4)图间边条边对线长点别点计（）3.如3.如：已已知知空空四四形形的的每每和和角角都都等等于于1，1，、分分是是、的的中中。算算：ABCDEFABADEF BAEF BDEF DCEF AC4.4.4.a b a b,a b
