1、精品课件第八章 立体几何初步新人教版 空间直线、平面的垂直空间直线、平面的垂直特级教师优秀课件精选教学目标教学目标异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的定义；直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定定理，异面直线所成角、直线和平面所成的角、二面角及其求法；异面直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理的综合应用教学重点教学重点教学难点教学难点异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的求解；异面直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定找异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角；异面直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理的应用引入引入空间中两条直线的位置关
2、系 1.空间两条直线的位置关系有三种:_、_、_.异面直线平行直线相交直线2.分类(1)从有无公共点的角度来看，可分为两类平行直线无公共点(2)从是否共面的角度来看，可分为两类相交直线共面直线直线平行直线不共面直线:异面直线有且仅有一个公共点:相交直线直线异面直线直线与直线垂直直线与直线垂直异面直线a与b所成的角1.如图，己知两条异面直线a,b经过空间任一点O分别作直线aa,bb,我们把直线a与b所成的角叫做_(或夹角).0a902.范围:_.3.当=_时，a与b互相垂直，记作_.异面直线所成角的范围是090，所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直.4.当两条直线a,b相互平行时，我们规定它们
3、所成的角为_.所以空间两条直线所成角的取值范围是_.090ab900教材解难 求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线.(2)求转化为一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角.(3)结论设由(2)所求得的角的大小为.若090，则为所求；若90180，则180-为所求.例1如图8.6-3,已知正方体ABCD-ABCD.(1)哪些棱所在的直线与直线 AA垂直？(2)求直线BA与CC所成的角的大小.(3)求直线BA与AC所成的角的大小.解:(
4、1)棱AB,BC,CD,DA,AB,BC,CD,DA所在直线分别与直线AA垂直.(2)因为ABCD-ABCD是正方体，所以BBCC,因此ABB为直线BA与 CC所成的角.又因为ABB=45,所以直线BA与CC所成的角等于45.(3)如图8.6-4,连接AC,因为ABCD-ABCD是正方体，所以AACC.从 而四边形AACC是平行四边形，所以AC/AC.于是BAC为异面直线 BA与AC所成的角，连接BC,易知ABC是等边三角形，所以BAC=60.从而异面直线BA 与AC所成的角等于60.例 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是A1B1,B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成的
5、角的大小.拓展练习拓展练习解 方法一 如图所示，连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O，取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G,则OG/B1D，EF/A1C1,GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)GA1=GC1,O为A1C1的中点，GOA1C1.异面直线DB1与EF所成的角为90.方法二 如图所示，连接A1D,取A1D的中点H,连接HE，则HEHEF为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角).方法三:如图，连接A1C1,分别取AA1,CC1的中点M,N,连接MN.E,F分别是A1B1,B1C1的中点，EF/A1C1,又MN/A1C1,MN/EF.连接DM,B1N,MB1,
6、DN,则B1N/DM,四边形DMB1N为平行四边形，MN与DB1必相交，设交点为P，则DPM 为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角).方法四:如图，在原正方体的右侧补上一个与其大小相等的正方体，连接B1Q，易得B1Q/EF,DB1Q就是异面直线DB1与EF所成的角(或其补角).方法归纳 求异面直线所成角的步骤 一作:选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角;二证:证明作出的角就是要求的角；三计算:将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊三角形求解.例2如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心，求证AO1BD.证明 如图，连接B1D1ABCD-A1B
7、1C1D1是正方体,BB1DD1.四边形BB1D1D是平行四边形,B1D1/BD.直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角.连接AB1,AD1,易证AB1=AD1.又O1为底面A1B1C1D1的中心，O1为B1D1的中点AO1B1D1,AO1BD.方法归纳 证明直线与直线垂直的方法等腰三角形中线即是高线.勾股定理.异面直线所成的角为直角.证明:如图，取AC的中点F,连接DF,EF,在PAC中，D是PC的中点，F是AC的中点，DF/PA,同理可得EF/BC,DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角).在DEF中，DE=3,1.判所下列命题是否正确,正确的在括号内画.错误的画“
8、.(1)如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直.()(2)垂直于同一条直线的两条直线平行 ()2.如图,在长方体ABCD-ABCD的各条棱所在直线中.(1)与直线AB垂直的直线有_条;(2)与直线AB异面且垂直的直线有_条;(3)与直线AB和AD都垂直的直线有_条;(4)与直线AB和AD都垂直且相交的直线是_.8441(1)直线BC和AC所成的角的大小:(2)直线AA和BC所成的角的大小.(1)因为BCBC，所以BCA是异面直线AC与BC所成的角 4.如图.在正三棱柱ABC-ABC中.D为棱AC的中点.AB=BB=2.求证BDAC.引入引入定义画法直线与平面垂直如果
9、直线l与平面内的_直线都_，就说直线l与平面互相垂直，记作.直线_.直线l叫作平面的_，平面叫作直线l的_，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫作_.任意一条垂直la垂线垂面垂足通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图PO为垂线段，其长度为点P到面的距离垂线段过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条文字语言:如果一条直线与一个平面内的_，则该直线与此平面垂直.直线与平面垂直的判定定理两条相交直线垂直图形语言:如图所示.1.直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形.2.注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”.3.判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词
10、语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直.证明:如图8.6-13,在平面内取两条相交直线m,n,直线a,am,an.b/a,bm,bn.又m,n,m,n是两条相交直线,b.例3 求证:如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.已知:如图8.6-12，a/b,a,求证b.例 如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1底面ABC,AC=BC,N是AB的中点.求证:CN平面ABB1A1.AA1底面ABCCN底面ABCAA1CNAC=BCN是AB的中点ABCN,又AA1平面ABB1A1,AB平面ABB1A1,AA1AB=A，所以CN平面AB
11、B1A1.证明方法归纳 线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件.直线与平面所成的角直线与平面所成的角直线和平面所成的角当直线与平面垂直时，它们所成的角是90.当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是_.定义范围画法平面的一条斜线和它在平面上的_所成的_，叫作这条直线和这个平面所成的角.射影角0如图，_就是斜线AP与平面所成的角090PAO把握定义应注意两点:斜线上不同于斜足的点P 的选取是任意的;斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.例4 如图，在正方体ABCD-A1B1C1
12、D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角.解 连接BC1,BC1与B1C相交于点O,连接A1O.设正方体的棱长为a.A1B1B1C1,A1B1B1B,B1C1B1B=B1,A1B1平面BCC1B1.A1B1BC1.又BC1B1C,BC1平面A1DCB1.方法归纳 求直线与平面所成的角的步骤(1)作:在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键;(2)证:证明所找到的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义;(3)求:一般来说是借助三角形的相关知识求角.1.如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗?两条直线与一个平面所成的角相等
13、，则这两条直线相交、平行或异面，例如圆锥的两条母线，与底面所成角相等，但是母线是相交直线.2.如图.四梭锥S-ABCD的底面是正方形.SD平面ABCD.求证:AC平面SDB.解答 四棱柱A1B1C1D1-ABCD是直棱柱，B1D1A1A,若A1CB1D1 则B1D1平面A1AC1C B1D1AC,又由B1DBD，则有BDAC，反之，由BDAC亦可得到A1CB1D1 故答案为:BDAC.3.如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，ACBD？.4.过ABC所在平面外一点P.作PO,垂足为O.连接PA,PB,PC.(1)若PA=PB=PC,则点O是ABC的_心.(2
14、)若PA=PB=PC,C=90,则点O是AB边的_点(3)若PAPB,PBPC,PCPA,垂足都为P.则点O是ABC的_心.外中垂直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质线面垂直线线平行；作平行线文字语言垂直于同一个平面的两条直线_平行符号语言图形语言作用a/bab_1.直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法.2.定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据.例5 如图8.6-19，直线l平行于平面,求证:直线l上各点到平面的距离相等.证明:过直线l上任意两点A,B分别作平面的垂线AA1,BB1,垂足分别为A1,B.AA1,BB.
15、AA1/AB1 设直线AA1,BB1确定的平面为.=A1B1l/l/A1B1四边形AA1B1B是矩形，AA1=BB1.由A,B是直线l上任取的两点.可知直线l上各点到平面的距离相等.一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.由例5我们还可以进一步得出,如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等.我们把它叫做这两个平行平面间的距离.例6 推导棱台的体积公式 其中S，S分别是棱台的上、下底面面积，h是高.解:如图8.6-20.延长棱台各侧棱交于点P.得到截得棱台的棱锥.过点P作棱台的下底面的垂线，分别与梭台的上、下底面交
16、于点O,则PO垂直于棱台的上底面(想一想，为什么？).从而OO=h.设藏得棱台的棱锥的体积为V,去掉的棱锥的体积为V、高为h,则PO=h.于是 由棱台的上、下底面平行.可以证明棱台的上、下底面相似,所以例在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别在A1D,AC上，EFA1D,EFAC,求证:EF/BD1.证明如图所示，连接A1C1,C1D,B1D1,BD.AC/A1C1,EFAC,EFA1C1.又EFA1D,A1DAC1=A1,EF平面A1C1D1 BB1平面A1B1C1D1,A1C1平面A1B1C1D1,BB1A1C1四边形A1B1C1D1为正方形，A1C1B1D1,又B1D1BB1
17、=B1,A1C1平面BB1D1D,而BD1平面BB1D1D,A1C1BD1.同理DC1BD1.又DC1A1C1=C1,BD1平面A1C1D.由可知EF/BD1.方法归纳线面垂直的性质定理是证明两直线平行的重要依据，证明两直线平行的常用方法:(1)a/b,b/ca/c.(2)a/,a,=ba/b.(3)/,=a,=ba/b.(4)a,ba/b.1.已知直线a,b和平面,且ab,a,则b与a的位置关系是_.a/b2.已知A,B两点在平面的同侧，且它们与的距离相等，求证:直线AB/.证明:作出点A、B到的垂线段AA、BB.AA平行且等于BBAABB是平行四边形 AB/AB,AB，ABAB/.3.如图
18、，EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=2DC,F是EB的中点，求证:DF/平面ABC.FGCD，FG=CD，FG平面ABC，四边形CDFG是矩形，DFCG，CG平面ABC，DF不包含于平面ABC,DF平面ABC.4.求证:垂直于同一条直线的两个平面互相平行.(提示:过这条直线作平面与这两个平面相交，则它们的交线平行.)证明：设直线为l，平面为，.而l，l.则过l作平面m，且l平面m,则假设m=l1,m=l2.由提示 l1l2，又l1,l2，则l2.同理过l作平面n，使n=l3,n=l4.则同理l4平面.又l3，l4，则.二面角二面角图示平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为_.从
19、这一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的_,这两个半平面叫做二面角的_.概念半平面两个半平面棱面平面角OA，OB,=l,Ol,OAl,OBlAOB是二面角的平面角.文字图示符号范围规定在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于_的射线，则这两条射线构成的_叫做这个二面角的平面角棱角二面角的大小可以用它的_来度量,二面角的平面角是多_0AOB180 少度,就说这个二面角是多少度,平面角是_ 的二面角叫做直二面角直角平面角棱为l，面分别为,的二面角记为_.如图所示，也可在,内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角_.记法a-1-P-
20、l-Q无关如图，根据等角定理可知，AOB=AOB,即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关.1.二面角与平面几何中的角有什么区别?平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形;二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.2.二面角的平面角的大小，与角的顶点在棱上的位置有关吗?例 下列命题中:两个相交平面组成的图形叫做二面角;异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直，则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补;二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角;二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是 （）A.B.C.D
21、.拓展练习拓展练习解析 由二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,所以不对，实质上它共有四个二面角;由a，b分别垂直于两个面，则a,b都垂直于二面角的棱，故正确;中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故不对;由定义知正确.故选B.答案B规律方法 1.要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致.2.要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面内的角的联系与区别.3.可利用实物模型，作图帮助判断.1.定义:两个平面相交，如果它们所成的二面角是_,就说这两个平面互相垂直.平面与平面垂直，记作_.2.画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的_垂直.
22、如图所示.平面与平面垂直平面与平面垂直直二面角横边平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理l,_ 文字语言图形语言符号语言一个平面过另一个平面的_，则这两个平面垂直垂线l例7如图 8.6-27所示，在正方体ABCD-ABCD中，求证:平面ABD平面ACCA.证明:ABCD-ABCD是正方体，AA平面ABCD.AA BD.又BDAC.BD平面ACCA.平而ABD平面ACCA.例8如图8.6-28.AB是O的直径,PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点.求证:平面PAC平面PBC.证明:PA平面ABC,BC平面ABC.PABC.点C是圆周上不同于A,B的任意一点,AB是O
23、的直径，BCA=90,即BCAC.又PAAC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,BC平面PAC,又BC平面PBC,平面PAC平面PBC.拓展练习拓展练习如图所示，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA=AC,求二面角P-BC-A的大小解 PA平面ABC,BC平面AB,PA.AB是O的直径，且点C在圆周上，ACBC.又AC=,BC平面PAC.而PC平面PAC,PCBC.又BC是二面角P-BC-A的棱,PCA是二面角P-BC-A的平面角.由PA=AC知，PAC是等腰直角三角形,PCA=45，即二面角P-BC-A的大小是45.规律方法 确定二面角的平面角的方法:(1)定义
24、法:在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.(2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.(3)线面垂直法:该法就是利用线面垂直来寻找二面角的平面角，是最常用的也是最好用的一种方法.由一个半平面内异于棱上的点A向另一半平面作垂线，垂足为点B,由B点向二面角的棱作垂线，垂足为点O,连接AO,则AOB为二面角的平面角(或其补角).空间中的垂直关空间中的垂直关系系1.如图。检查工作的相邻两个(平)面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边和这个面是否密合就可以了
25、,这是为什么?解答 检查工件的相邻的两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动一下，若曲尺的另一边和工件的另一面密合,就说明工件的另一个面经过工件的一个面的垂线,由面面垂直的判定定理得工件的这两个互相垂直。如果不转运，无法判断曲尺的另一边和工件的另一面是否密合,也就无法判断工件的相邻的两个面是否垂直.2.已知直线a,b与平面,.能使的充分条件是().(A)，(B)=a,ba,b (C)a/,a/(D)a/,aD3.如下页图.AB平面BCD，BCCD.你能发现哪些平面互相垂直，为什么？解答 平面ABC平面BCD,平面ABD平面BCD,平面ACD平面ABC
26、4.如图，在正三棱柱ABC-ABC中，D为棱AC的中点.求证:平面BDC平面ACCA.证明：AA平面ABC BD平面ABC AABD ABC是正三角形,D为棱AC的中点BDAC BDAA，BDAC，AA平面ACCA，AC平面ACCA，AAAC=ABD平面ACCA又BD平面BDCBDC平面ACCA平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面_ 垂直文字语言符号语言aa=laala图形语言作用证明直线与平面垂直例9如图8.6-32.已知平面平面.直线a,a.判断a与的位置关系.解:在内作垂直于与交线的直线b,.b.又a.a/b.又a.a/.
27、即直线a与平面平行.例 如图8.6-33，已知PA平面ABC，平面PAB平面PBC.求证:BC平面PAB.证明:如图8.6-34，过点A作AEPB,垂足为E.平面PAB平面PBC，平面PAB平面PBC=PB,AE平面PBC,BC平面PBC,AEBC.PA平面ABC,BC平面ABC,PABC.又PAAE=,BC平面PAB.拓展练习拓展练习如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是DAB=60的菱形，侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点，求证:BG平面PAD.拓展练习拓展练习证明:连接PG,BD,四边形ABCD是菱形且DAB=60,ABD是正三
28、角形,G是AD的中点，BGAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD,BG平面PAD.规律总结规律总结1.若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的定理将其转化为线面垂直、线线垂直.在应用面面垂直的性质定理时，注意三点:两个平面垂直，是前提条件;直线必须在其中一个平面内;直线必须垂直于它们的交线.2.先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题.1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“”.(1)如果平面平
29、面,那么平面内所有直线都垂直于平面.（）(2)如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面.（）(3)如果平面不垂直于平面，那么平面a内一定不存在直线垂直于平面.（）2.若平面平面，且a=l,则下列命题中正确的个数是()(1)平面内的直线必垂直于平面内的任意一条直线.(2)平面内的已知直线必垂直于平面内的无数条直线.(3)平面内的任一条直线必垂直于平面.(4)过平面内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面.(A)3 (B)2 (C)1 (D)0B3.已知，是两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的().(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充
30、分也不必要条件B解答 设过直线 a与平面内的一点的平面与的交线为a.a,aa.aAB,aAB.a，,a.a,即a与的位置关系是a.4.已知平面，.直线a,且，=AB.a/,aAB.判断直线a与平面的位置关系.并说明理由.1.选择题(1)若空间中四条不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1l2,l2l3,l3l4.则下面结论正确的是().(A)l1l4 (B)l1/l4 (C)l1,l4既不垂直也不平行 (D)l1,l4的位置关系不确定(2)设l,m,n均为直线.其中m,n在平面内.则l”是lm且“ln”的().(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
31、(3)直线l1,l2互相平行的一个充分条件是()(A)l1,l2都平行于同一个平面 (B)l1,l2与同一个平面所成的角相等(C)l1,l2都垂直于同一个平面 (D)l1平行于l2所在的平面DAD2.判断下列命题是个正确，正确的在括号内画,错误的画X.(1)过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直.（）(2)过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行.（）(3)过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直.（）(4)过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行.（）(5)过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.（）3.判断下列命题是否正确.正确的说明理由,错误的举例说明.(1)一条
32、直线行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直；(2)如果平面/平面1，平面/平面1，那么平面与平面所成的二面角和平面1与与平面1所成的二面角相等或互补；(3)如果平面平面，平面平面，那么平而平面.解:(1)正确,设直线a/平面,直线b平面,则存在直线c,且a/c,bc,ba.(2)正确,两个平面平行,则其法向量也平行,两个二面角的两个半平面的法向量所成角相等或互补;(3)错误,如长方体中两底面都与同一侧面垂直,但两底面不垂直.4.如图,在直二棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,P为AB的中点,Q为棱C1C的中点.求证:(1)PQAB;(2)PQC1C;(3)PQA1B.
33、证明:(1)如图,取AB的中点D,连接CD、DP,PD/CQ,四边形CDPQ为平行四边形,CD/PQ.又CACB,D为AB的中点，CDAB，PQAB.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,CD平面ABC,AA1CD,由(1)知CD/PQ,PQAA1.又AA1/CC1，PQCC1.(3)由(1)(2)知,PQAB，PQAA1,而ABAA1=A.PQ平面AA1B1B.A1B平面AA1B1B,PQA1B.5.如图，在三棱锥P-ABC中，CDAB，垂足为D，PO底面ABC,垂足为O，且O在CD上,求证ABPC.证明:PO底面ABC,AB底面ABC,POAB.O在CD上，POCD=O
34、.又CDAB AB平面POC，PC平面POC,ABPC.6.如图，在正方体ABCD-ABCD中，平面ABCD与正方体的各个面所在的平面所成的二面角的大小分别是多少？解:在正方体ABCD-ABCD中，考虑平面ABCD与平面ABCD,AB平面BCCB,BC,BC平面BCCB,所以平面BBC就是平面ABCD与平面ABCD所成角,即平面ABCD与平面ABCD成角CBC=45.同理平面ABCD与平面ABCD,平面ABCD,平面ABBA,平面CCDD都成45角,又因为AB平面ADDA,平面ABCD与平面ADDA垂直,即所成的角为90,同理可得平面ABCD与平面ADDA,平面BCCB都垂直,即与它们所成的角
35、为90.所以平面ABCD与平面ABCD,平面ABCD,平面ABBA,平面CCDD都成45角,平面ABCD与平面ADDA,平面BCCB都垂直,即与它们所成的角为90.7.如图，在三棱锥V-ABC中，已知VAB=VAC=ABC=90,判断平面VAB与平面VBC的位置关系，并说明理由.解答 VAB=VAC=90,VAAB,VAAC,又ABAC=A,VA平面ABC，VABC.ABC=90,ABBC,VAVB=V，BC平面VBA，又C平面VBC,平面VBA平面VBC.8.求证:如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直.解答 已知:直线a，b，c共点且两两垂直，直线a和b确定的
36、平面为,直线a和c确定的平面为,直线b和c确定的平面为,求证:a，b，c，证明:直线a,b，c共点且两两垂直,直线b和c确定的平面为,由直线与平面垂直的判定定理可得a，同理可证b，c，原命题得证解答 证明:如图，平面平面,平面与平面相交,设交线为m,在平面内作直线am,平面平面，a,在平面内任取一点O,由直线a和点O确定平面M，设M于b,平面平面,由面面平行的判定定理,得ab,a/b，a,b 又b,平面平面.9.已知平面,，且,/,求证.10.已知平面,且,=l,求证l.解答 证明:如图，在平面内任取一点P,过点P作PAl1,PBl2，A，B为垂足.=l1，,PA,PA又l,PAI.同理:PB
37、l,l.11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P,Q分别为棱AD,CC1的中点,求证A1PBQ.证明:取DD1的中点R,连接QR，AR,如图:ARA1P=O Q是CC1的中点，QR平行且等于CD.而AB平行且等于CD，QR平行且等于AB,四边形ABQRR是平行四边形，BQ/AR 在正方形AA1D1D中，P,R分别是AD,DD1的中点,RtAA1PRtDAR,AA1P=DAR.DAR+A1AR=90,AA1P+A1AR=90 AOA1=90，即A1PAR,A1PBQ.12.如图，m,n是两条相交直线，l1,l2是与m,n都垂直的两条直线，且直线l与l1，l2都相交，求证1=2.解答
38、 证明:m,n是两条相交直线,l1,l2是与m,n都垂直的两条直线,两条直线分别垂直于m,n的平面，l1和l2平行，此时，若l与l1和l2相交，说明，三条直线在同一个平面内,且l与l1和l2相交,1，2为同位角，根据两直线平行同位角相等，可得:1=2,得证.证明:设两平行线为a,b,平面为.a,b都平行于或都在内，或一条与平行，另一条在内时，a,b和所成 的角都等于0,a，b与成等角；a，b都和垂直时，a,b和所成的角都等于90；a，b和斜交时，如图,设a=A，b=B,在a，b.上分别取点C，D,使C，D在的同侧，作CE于E，DF于F,则CEDF,连结AE，BF，则直线AE，BF分别是a，b在
39、内的射影，CAE，DBF分别是a,b和所成的角。ab，CEDF，且ACE和BDF的方向相同，ACE=BDF,CAE=DBF，即斜线a,b与所成的角相等.综上所述，两条平行线和同一平面所成的角相等.13.求证:两条平行直线与同一个平面所成的角相等.14.如下页圏，在棱锥V-ABC中,VO平面ABC,OCD,VA=VB,AD=BD,你能判定CDAB,以及AC=BC吗?解答 VA=VB,AD=BDVDAB,VO平面ABC,AB平面ABC上 VOAB AB平面VCD,CD平面VCDABCD 即CDAB 又AD=BD,CD=CD,BDC=ADC=90 ADCBDAC=BC15.如图.在正方形SG1G2G
40、3中,E.F分别是G1G2,G2G3的中点.D是EF的中点，若沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3三点重合,重合后的点记为G.则在四面体S-EFC中，哪些棱与面互相垂直?解答 在折叠过程中，始终有SG1G1E，SG3G3F，即SGGE，SGGF，所以SG平面EFG.16.求证:垂直于两个平行平面中的一个平面的直线也垂直于另一个平面.已知:，a，求证:.证明:如图，过直线a作两平面，,使=b，=b，=c，=c，根据面面平行的性质,bb，c/ca,b,c，ab,ac.ab,ac.又b与c都在内且相交，.17.求证:三个两两亚直的平面的交线也两两垂直.解答 设三个互相垂直
41、的平面分别为、,且=a,=b,na=c,三个平面的公共点为O,如图所示：在平面内，除点O外,任意取一点M,过点M作MNc，MPb，M、P为垂足,则有平面和平面垂直的性质可得MN,MP,aMN，aMP，a平面.再由b、c在平面内,可得ab，ac.同理可证，cb，ca,从而证得a、b、c互相垂直.18.如图.在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VB=AC=BC=2,VC=1.作出二面角V-AB-C的平面角.并求出它的余弦值.解:如答图所示,取AB的中点M,连接VM,CM.VA=VB，AC=BC VMAB,CMAB VMC为二面角V-AB-C的平面角 19.如图.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB
42、C=90,AA1=AB.求证A1CAB1.证明:连接A1B.ABC-A1B1C1为直三棱柱 BB1平面ABC，BC平面ABC BB1BC 又ABC=90，ABBCBCBB1，BCAB,BB1平面ABB1A1,AB平面ABB1A1,BB1AB=BBC平面ABB1A1,AB1平面ABB1A1 BCAB1AA1=AB，在正方形ABB1A1中，对角线AB1A1BAB1A1B，AB1BC，A1B平面A1BC，BC平面A1BCA1BBC=B AB平面A1BC,A1平面A1BC，A1CAB1.20.如图，AB是O的直径，点C是O上的动点，过动点C的直线VC垂直于O所在平面，D，E分别是VA，VC的中点.判断
43、直线DE平面VC的位置关系.并说明理由.证明：ACBC,VCAC,AC面VBC,D、E分別VC、VA中点，DEAC,DE面VBC.21.如图.在四棱锥P-ABC中.底面ABCD为正方形.PA底面ABCD.PA=AB,E为线段PB的中点.F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC是否互相垂直?如果垂直，请证明:如果不垂直，请说明理由.平面AEF与平面PBC互相垂直 理由如下:因为PA底面ABCD，BC平面ABCD,所以PABC.因为ABCD为正方形，所以ABBC又PAAB=A，且PA,AB平面PAB,所以BC平面PAB.因为AE平面PAB，所以AEBC.因为PA=AB，E为线段PB的中点，所以AEPB,又PBBC=B，且PB，BC平面PBC，所以AE平面PBC,因为AE平面AEF，所以平面AEF平面PBC.1.求二面角大小的步骤 作作出平面角证证明所作的角满足定义，即为所求二面角的平面角求将作出的 角放在三角形中，计算出平面角的大小简称为“一作二证三求”.总结总结总结总结2.平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质:通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂 直面面垂直.(2)证题思路:处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一 步转化为处理线线垂直问题来解决.
