1、线线 性性 代代 数数线性代数课程简介线性代数课程简介1111221nn12112222nn2m11m22mnnma xa xa xba xa xa xb axaxaxb 初等代数课程中，介绍了二阶、三阶方程组的求解初等代数课程中，介绍了二阶、三阶方程组的求解线性代数中，主要讨论一般方程组的求解问题线性代数中，主要讨论一般方程组的求解问题为此，引入了行列式、矩阵、向量等概念为此，引入了行列式、矩阵、向量等概念这些概念非常重要，成为了其他学科的基本工具这些概念非常重要，成为了其他学科的基本工具线性代数这门课程有两大作用线性代数这门课程有两大作用1、掌握几种重要的数学概念、方法、掌握几种重要的数学
2、概念、方法2、培养抽象思维能力、逻辑思维能力、培养抽象思维能力、逻辑思维能力参考资料参考资料胡建华胡建华：线性代数解题指导线性代数解题指导考研复习资料考研复习资料(华中科技大、清华等）华中科技大、清华等）同济大学同济大学线性代数线性代数及配套辅导书）及配套辅导书）为表示它是一个为表示它是一个整体，总是加一个括号，并用大写字母记之。整体，总是加一个括号，并用大写字母记之。排成排成，；，个数个数由由),21,21(njmianmij mnmmnnaaaaaaaaa212222111211矩矩阵阵。简简称称列列矩矩阵阵行行称称为为nmnm,。或或或或可简记为可简记为矩阵矩阵nmijnmijAaAaA
3、A )()(列的数表列的数表行行的的nm A元素。元素。简称简称列的元素列的元素行第行第的第的第称为矩阵称为矩阵),(,jijiAaij实矩阵实矩阵:元素是实数元素是实数复矩阵：复矩阵：元素是复数元素是复数例如：例如：34695301是一个是一个 实矩阵实矩阵,42 2222222613i是一个是一个 复矩阵复矩阵,33(1)11的矩阵就是一个数。的矩阵就是一个数。(2)行数与列数都等于行数与列数都等于 n 的矩阵的矩阵 A，称为，称为 n 阶方阶方阵或阵或 n 阶矩阵。阶矩阵。(3)只有一行的矩阵只有一行的矩阵 naaaA,21 称为行矩阵或称为行矩阵或 n 维行向量。维行向量。ai 称为称
4、为A的第的第 i 个分量。个分量。称为列矩阵或称为列矩阵或 m 维列向量。维列向量。ai 称为称为A的第的第 i 个分量。个分量。(4)只有一列的矩阵只有一列的矩阵 maaaA21(5)元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O。(6)矩阵矩阵 111E(约定未写出元素全为零约定未写出元素全为零)称为单位矩阵。称为单位矩阵。(7)矩阵矩阵 nD 21称为对角矩阵。记作称为对角矩阵。记作),diag(21nD 设设 ，如果，如果qpijnmijbBaA )(,)(qnpm ,(此时称此时称A与与B是是)且且),1;,1(njmibaijij 则称则称，记作，记作 A=B。
5、0000 000000问问：与与 相等吗？相等吗？称矩阵的下面三种变换为称矩阵的下面三种变换为(1)交换矩阵的某两行，记为交换矩阵的某两行，记为jirr(2)以不等于的数乘矩阵的某一行，记为以不等于的数乘矩阵的某一行，记为irk (3)把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，记为记为jirkr 类似定义三种类似定义三种jiijikcckkccc )3()0()2()1(以上六种变换统称为矩阵的以上六种变换统称为矩阵的 矩阵的初等变换举例矩阵的初等变换举例 1 1 5 5-1 1 -1 1 1 1 -2 2 1 1 3 3 1 1 -9 9 3 3 7 7 3
6、 3 8 8-1 1 1 1 1 1 -2 2 1 1 3 3 1 1 -9 9 3 3 7 7r r2 2r r4 4 1 1 5 5-1 1 -1 1 3 3 8 8-1 1 1 1 1 1 3 1 1 5 1 1 1 2 1 3 1 9 3 7 3 8 1 1c1c3 5 2 9 8 1 3 7 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 2 1 3 1 9 3 7 3 8 1 14r2 1 1 5 1 1 3 9 7 3 1 8 1 4 4 812 第第i行的行的k倍加到第倍加到第j行记为行记为rj kri。1 1 5 5-1 1-1 1 1 1 -2 2 1 1 3 3 1 1 -9 9
7、 3 3 7 7 3 3 8 8-1 1 1 1r r3 3-3r3r1 1 1 1 5 5 -1 1 -1 1 1 1-2 2 1 1 3 3 1 1-9 9 3 3 7 7 0 0-7 7 2 2 4 4 1 1 5 5-1 1-1 1 1 1 -2 2 1 1 3 3 1 1 -9 9 3 3 7 7 3 3 8 8-1 1 1 1 0 0 2 2 4 4 2 2 1 1 5 5 -1 1 1 1-2 2 3 3 1 1 -9 9 7 7 3 3 8 8 1 1c c3 3+c c1 1三种初等变换都是可逆的。三种初等变换都是可逆的。注：矩阵间的初等变换不能用等号注：矩阵间的初等变换不能
8、用等号jirr jirr ikrirk1jikrr jikrr 初等列变换也有类似的结果初等列变换也有类似的结果逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换及及(行最简行最简形就是所谓的最简单的形就是所谓的最简单的“代表代表”)书书P5 定义定义4 0000100021200211 00000000002100010230行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行最简阶梯形矩阵行最简阶梯形矩阵 0000100001100201 00000000002100010210（1）台阶左下方元素全为零；）台阶左下方元素全为零；（2）每个台阶上只有一行；）每个台阶上只有一行；（3）每个台阶上第一个元素不为零。）每个台阶上第一个
9、元素不为零。行阶梯形矩阵：行阶梯形矩阵：行最简阶梯形行最简阶梯形(1)(2)(3)+(4)台阶上的第一个元素为台阶上的第一个元素为1,且其所在列其它元素全为零。且其所在列其它元素全为零。书书P6 定理定理1.1.1 97963422644121121112 9796321132211124121121rr 321r 例例1 3433063550022204121132rr 143rr 132rr 31000620000111041211221r243rr 235rr 00000310000111041211 0000031000301104010143rr 342rr 21rr 32rr 31
10、000620000111041211(等价关系等价关系)如果矩阵如果矩阵A经过经过有限有限次次初等变换初等变换变成矩阵变成矩阵B，就称，就称矩阵矩阵A与与B等价，记作等价，记作 。BA 等价满足：等价满足：(1)自反性：自反性：(2)对称性：对称性：(3)传递性：传递性：AA ABBA CACBBA ,3 解线性方程组的消元法解线性方程组的消元法讨论有讨论有n个未知数个未知数m个方程的线性方程组个方程的线性方程组 是否有解？是否有解？若有解，解是否唯一？若有解，解是否唯一？如何求出所有的解？如何求出所有的解？mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121
11、11212111若若B=(b1,b2,bm)TO，则称则称(1)为为非齐次线性方程组非齐次线性方程组若若B=(b1,b2,，bm)TO，即：即：则称则称(2)为为(1)对应的对应的齐次线性方程组齐次线性方程组（或（或(1)的导出组的导出组）)1(22112222212111212111 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa)2(000221122221211212111 nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa)1(22112222212111212111 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa mnmmnnaaaaaaaaaA2
12、12222111211 mmnmmnnbaaabaaabaaaA21222221111211系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵解线性方程组解线性方程组 例例1 )3(244)2(12)1(422321321321xxxxxxxxx下列三种变换称为方程组的三种下列三种变换称为方程组的三种 同解变换：同解变换：（1 1）两个方程互换位置；）两个方程互换位置；（2 2）用一个非零数）用一个非零数 k k 乘某个方程；乘某个方程；（3 3）某个方程的常数倍加到另一个方程上去。）某个方程的常数倍加到另一个方程上去。解线性方程组解线性方程组解解互换互换(1)与与(2)的的位置得位置得 例例1 )3(244)
13、2(12)1(422321321321xxxxxxxxx )3(244)2(12)1(422321321321xxxxxxxxx 241412114212(2)-(1)2,(3)-(1)4(3)-(2)2414421-21211 2-4-3-022-3-0121121rr 131242rrrr 24442212321321321xxxxxxxxx1232323xx 2x1 3x2x2 3x4x2 (3)(-1/2)消元过程结束，消元过程结束，以下过程称为以下过程称为“”。123233xx2x1 3x2x2 2x4 4-2-0022-3-0121123rr 210022-3-01211 213r
14、123233xx2x1 3x2x2 x2 (2)(-1/3)1223xx 3 x 2 x2 21002-0103-011 312r(1)-(3)2，(2)+(3)2 2100603-03-011322312rrrr 26333221xxxx所以，消元法所以，消元法增广矩阵的初等行变换增广矩阵的初等行变换消元过程就是增广矩阵化为行阶梯形矩阵，消元过程就是增广矩阵化为行阶梯形矩阵，回代过程就是继续化成行最简阶梯形的过程。回代过程就是继续化成行最简阶梯形的过程。(1)(2)原方程组的解为：原方程组的解为：221321xxx100-1010-2001221rr 221321xxx解线性方程组解线性方程
15、组 73526332132132xxxxxxx解：解：增广矩阵增广矩阵 703151216330A 例例2 7031633051-2121rr 5121 6330703113rr 5121 633021102331rr 5121 63300000312 r5121 21100000212rr 1301 21100000同解方程组同解方程组1331 xx 232 xx即即1331 xx232 xx，令令kx 3则原方程组的解为则原方程组的解为 kxkxkx321213有何特点？有何特点？154332232411213431432143214321xxxxxxxxxxxxxxx解：解：154013
16、322324111211311 200000012000651011311同解方程组最后一个方程同解方程组最后一个方程0=-2是矛盾方程，是矛盾方程，所以方程组无解。所以方程组无解。例例3特点特点 例例4求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组 0340222022432143214321xxxxxxxxxxxx 341122121221A 46304630122113122rrrr 对系数矩阵对系数矩阵A施行初等行变换化为最简阶梯形施行初等行变换化为最简阶梯形:00003/42101221 00003/42103/520123rr 212rr 000046301221231r 写出等价方程组并移
17、项写出等价方程组并移项:432431342352xxxxxx有何特点？有何特点？2413,cxcx 令令写出参数形式的通解写出参数形式的通解 2413212211342352cxcxccxccx通解通解其中其中21,cc为任意实数。为任意实数。我们已经初步掌握了线性方程组的求解过程，比较上我们已经初步掌握了线性方程组的求解过程，比较上述三个例题，可得线性方程组解的简要判别，述三个例题，可得线性方程组解的简要判别，书书P12-15，我们将在后面的章节中学习。，我们将在后面的章节中学习。线性方程组有解的理论总结线性方程组有解的理论总结1111221nn12112222nn2m11m22mnnma
18、xa xa xba xa xa xbaxaxaxb 线性方程组进行初等行变换线性方程组进行初等行变换同解方程组为：同解方程组为：1111221rr1nn12222rr2nn2rrrrnnrc xc xc xc xd c xc xcxd c xc xd r 1 0d 00 00 （1.31.3）其中其中0,iic 方程组中方程方程组中方程“0=0”0=0”表示恒等式。表示恒等式。由方程组（由方程组（1.31.3）可以看出：）可以看出：（1 1）当）当01rd时，方程组（时，方程组（1.31.3）无解，）无解，从而原方程组（从而原方程组（1.11.1）无解；）无解；（2 2）当）当01rd时，方程
19、组（时，方程组（1.31.3）有解，）有解，故方程组（故方程组（1.11.1）也有解，并且此时）也有解，并且此时1 1）当）当r=n r=n 时，方程组（时，方程组（1.31.3）为：）为：1111221122222 nnnnnnnnc xc xcxdcxcxdcxd 由于由于0iic，由，由“回代过程回代过程”知此方程组有唯一解，知此方程组有唯一解，故方程组（故方程组（1.11.1）有唯一解。）有唯一解。2 2）当）当 r r n n 时，方程组（时，方程组（1.11.1）有无穷多解，）有无穷多解，11 112 21r r1,r 1 r 11n n122 22r r2,r 1 r 12n n
20、2rr rr,r 1 r 1rn nrc xc xc xcxc xd c xc xcxc xd c xcxc xd (1.4)(1.4)称称12,rrnxxx 为自由未知量，为自由未知量，12,rrnxxx 一组值，一组值，给定自由未知量给定自由未知量代入（代入（1.41.4）可唯一得出）可唯一得出rxxx,21的一组值，这样得到的的一组值，这样得到的nrxxx,1的一组值就是方程组（的一组值就是方程组（1.11.1）的一个解。）的一个解。由于自由未知量由于自由未知量nrrxxx,21的取值是任意的，的取值是任意的，所以方程组（所以方程组（1.11.1）有无穷多解。）有无穷多解。作作 业业 p161、（、（1）（）（3）2、（、（2）
