1、1金融风险理论与模型金融风险理论与模型第第2章章 债券与股票的敏感度分析债券与股票的敏感度分析22.1 债券模型与敏感性债券模型与敏感性 市场利率的升降对债券投资的总报酬具有市场利率的升降对债券投资的总报酬具有影响：债券本身的溢价或损失（资本利影响：债券本身的溢价或损失（资本利得），利息收入和再投资收益。得），利息收入和再投资收益。债券风险管理的重要策略之一就是，如何债券风险管理的重要策略之一就是，如何消除利率变动带来的风险，即利率风险免消除利率变动带来的风险，即利率风险免疫（疫（Interest rate immunization），即使），即使得债券组合对利率变化不敏感。得债券组合对利率变
2、化不敏感。32.1.1 久期久期(Duration)11111111*,(1)1(1)1(1)/1(/)(1)1(1)(1)1TtttTTttttttTTTtttttttttCPPytCtCdPdyyyytCtCCdP PdyyyyyDDy 设债券的价格 满足则有 D为为Macaulay久期，久期，D*为修正久期，当为修正久期，当y很小时，很小时，二者近似相等。二者近似相等。利率或到利率或到期收益率期收益率4例子例子 例如，某债券当前的市场价格为例如，某债券当前的市场价格为950.25美美元，收益率为元，收益率为10%，息票率为，息票率为8%，面值，面值1000美元，三年后到期，一次性偿还本金
3、。美元，三年后到期，一次性偿还本金。72.73 166.122811.40 3950.252.78(D 年）5111/(1)(1)tTTTtttttttttCCDtt wyyw其中，为 时期的权重*/1dP PDDdyy n久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利率变化引起的债券价格变化越大率变化引起的债券价格变化越大n久期是到期时间的加权平均，权重是久期是到期时间的加权平均，权重是t时刻现金流的现值时刻现金流的现值占总现值的比例占总现值的比例62.1.2 久期的性质久期的性质 1、久期有效地计量了债券的风险，久期与、久期有效地计量了
4、债券的风险，久期与债券风险的关系如下：债券风险的关系如下：*/dP PDdy 由修正久期的定义得到*dPDdyP 7*2var()var()dPDdyP*()()dPDdyP则债券回报率的方差为则债券回报率的方差为则债券回报率的标准差为则债券回报率的标准差为意义：意义：在收益率微小变动下，在收益率微小变动下，债券价格的债券价格的回报率的标准差（风险）为收益率的回报率的标准差（风险）为收益率的D倍。倍。82.1.2 久期的性质久期的性质 久期是关于息票率、收益率、到期时间久期是关于息票率、收益率、到期时间的函数，故久期性质就是讨论上述的变的函数，故久期性质就是讨论上述的变量关系。量关系。久期与债
5、券息票率之间的关系久期与债券息票率之间的关系定理定理139久期与债券息票率之间的关系久期与债券息票率之间的关系112/(1)(1)1 02 0./(1)(1)(1)(1)TTttttttTTTtCCDtyyTCCyyyyT 定理定理1：无息债券的：无息债券的Macaulay久期等于它久期等于它们的到期时间。们的到期时间。10 定理定理2：附息债券的：附息债券的Macaulay久期小于它久期小于它们的到期时间。们的到期时间。1112211221/(1)(1)12,.,/(1)(1)(1)(1)./(1)(1)(1)(1)TTttttttTtTTttTtTTttCCDtyyCCCTCyyyyCT
6、CTCTCTyyyy 所以，所以，DTMacaulay久期与债券息票率之间的关系久期与债券息票率之间的关系11 定理定理3：在到期时间相同的条件下，息票率：在到期时间相同的条件下，息票率越高，久期越短。越高，久期越短。111111111()()()()NkNNNkccpyyyyy1lnlnln 1(1)(1)NNypycyy 证明：不妨将面值单位化为证明：不妨将面值单位化为1，息票率为，息票率为c，则，则两边取对数得到两边取对数得到Macaulay久期与债券息票率之间的关系久期与债券息票率之间的关系121(1)pDypy 1()(1)1(1)1NN ycyycyy 所以，息票率所以，息票率c越
7、大，则越大，则Macaulay久期久期D越小。越小。ln1ppypy111(1)(1)(1)1(1)(1)NNNNNcNyyN yyycyyy 13Macaulay久期与到期日的关系久期与到期日的关系 定理定理4：在息票率不变的条件下，到期时期越长，：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久期越大。久期越大。对于零息债券，麦考莱久期与到期日相同，则久期随对于零息债券，麦考莱久期与到期日相同，则久期随到期日增加而增加到期日增加而增加对于付息债券，麦考莱久期的最大极限为对于付息债券，麦考莱久期的最大极限为11/y。这。这个极限独立于息票率。（个极限独立于息票率。（Grandaville，2001）定
8、理定理5：久期以递减的速度随到期时间的增加而：久期以递减的速度随到期时间的增加而增加。增加。220,0DDTT14 定理定理6：在其他条件不变的情况下，债券的到：在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越小，久期越大。期收益率越小，久期越大。证明：由久期的定义证明：由久期的定义11(1)TttttcDpy2121121122111(1)(1)(1)(1)1 (1)(/)()1(1)1 1TTttttttTtttTttttTttDpt cytcyyppytcyt cypypypypt cyDyp 1522211(1)(1)()0ttTTttttt cycyDtDpp22211(1)(1)()(2
9、)ttTTttttcycytDttDDpp221(1)101tTttt cyDDyyp=1下面证明下面证明2222111(1)(1)(1)22tttTTTttttttcycycytDDDDDppp 16久期：现金流现值翘翘板的支点久期：现金流现值翘翘板的支点时间时间现值现值久期：久期：以现金流占总现值的比例为权重，对每以现金流占总现值的比例为权重，对每次现金流发生时间加权平均的结果！次现金流发生时间加权平均的结果！172.1.3 久期的应用久期的应用例子：假设一个例子：假设一个10年期零息债券，年期零息债券，10年期年期即期利率为即期利率为8且具有且具有0.94%的波动，则该的波动，则该债券价
10、格的波动率为？债券价格的波动率为？10()0.948.7%10.08dPP183.5.4 久期的缺陷久期的缺陷 久期对利率的敏感性进行测量实际上只考久期对利率的敏感性进行测量实际上只考虑了价格变化与收益率之间的线性关系。虑了价格变化与收益率之间的线性关系。而实际上，市场的实际情况是非线性的。而实际上，市场的实际情况是非线性的。所有现金流都只采用了一个折现率，也即所有现金流都只采用了一个折现率，也即意味着利率期限结构是平坦的，不符合现意味着利率期限结构是平坦的，不符合现实。实。用用3个月的即期利率来折现个月的即期利率来折现30年的债券显然是年的债券显然是不合理的不合理的192.1.5 凸性及其性
11、质凸性及其性质 久期可以看作是债券价格对利率波动敏感久期可以看作是债券价格对利率波动敏感性的一阶估计。凸性则是二阶估计，它可性的一阶估计。凸性则是二阶估计，它可以对久期计量误差进行有效的校正。以对久期计量误差进行有效的校正。为什么需要凸性，能否从数学上给予解为什么需要凸性，能否从数学上给予解释？释？2221(1)111(1)(1)Ttttt tCd PcPdyPyy20 凸性是根据债券价格凸性是根据债券价格p对收益率对收益率y的二阶导数给出的二阶导数给出的，其金融学意义比较难以理解，其中一种解释的，其金融学意义比较难以理解，其中一种解释把把凸性看成久期对利率的敏感度凸性看成久期对利率的敏感度，
12、这是错误的。，这是错误的。22222(/)()()dpdpdDdydydyd pdppdydypDc 21凸性的金融学含义凸性的金融学含义1dpyDdyp 由定理由定理6可知可知22121(1)11(1)1 ()11tTtttTttt cydDDdyypcyStDypy 又由于又由于则则222(1)1dDpy pyppdypp 记记22,dpd pppdydy这样这样222(1)111 (1)()(1)11Spy pyppyppppyyppppDDcyyy 2322222 (1)111(1)()(1)SDDcyyyySDDcySDDcy 21(1),()tTttcyhere StDp注意：久期
13、是平均意义上的到期时间。注意：久期是平均意义上的到期时间。凸性的意义：在久期给定的情况下，凸性反映了债凸性的意义：在久期给定的情况下，凸性反映了债券带来的现金流的券带来的现金流的集中程度集中程度，现金流越集中凸性越，现金流越集中凸性越小，现金流越分散则凸性越大。小，现金流越分散则凸性越大。242222()11 11()()22p ydPd PdydyD dyc dypdy pp dy 根据泰勒公式在这里回报在这里回报r是关于利率变化是关于利率变化y的函数，这对的函数，这对于风险计量模型具有非常重要的意义于风险计量模型具有非常重要的意义/()rdp pf dy对于市场风险计量，只要知道了对于市场
14、风险计量，只要知道了dy的变动规律，的变动规律，则则r的变动规律可以通过定价方程得到。的变动规律可以通过定价方程得到。25例子例子到期收益率到期收益率 5债券价格债券价格100调整久期调整久期4.33年年凸性凸性26.3849给定以上数据，当到期收益率上升到给定以上数据，当到期收益率上升到7时，债券的时，债券的价格将如何变化？价格将如何变化？*24.33 100 2%8.661()0.481321008.660.481391.82DcpD p yppcy 262.1.6 债券组合的久期债券组合的久期 由于久期是债券价格对利率敏感性的线性计量，由于久期是债券价格对利率敏感性的线性计量，因此，一个
15、债券组合的久期就是对该组合中个别因此，一个债券组合的久期就是对该组合中个别债券久期的加权平均。债券久期的加权平均。假设债券组合包括：假设债券组合包括：N1份债券份债券B1和和N2份债券份债券B2，其价格分别为其价格分别为p1和和p21122pN pN p若债券具有相同的市场利率若债券具有相同的市场利率y1212dpdpdpNNdydydy271212111222121122121122 111()()dpdpdpNNdydydyN pdpN pdpdpp dypp dyppdyN pN pDDDw Dw Dpp 1iNw对于 个包含 种债券、每种债券的投资比例为 的债券组合11,1NNiiii
16、iDwDw28债券组合免疫债券组合免疫 2004年初，经测算某养老金负债的久期为年初，经测算某养老金负债的久期为7年，年，该基金投资两种债券，其久期分别为该基金投资两种债券，其久期分别为3年和年和11年，年，那么该基金需要在这两种债券上分别投资多少才那么该基金需要在这两种债券上分别投资多少才能不受能不受2004年利率风险变化的影响？年利率风险变化的影响？3(1)1170.5www问题：如果下一年年初，利率没有变化，那么，问题：如果下一年年初，利率没有变化，那么，该公司要不要对投资权重进行调整？该公司要不要对投资权重进行调整？29 由于负债的到期日又接近了，因此，可能由于负债的到期日又接近了，因
17、此，可能导致债务和债权之间的久期不一致，就需导致债务和债权之间的久期不一致，就需要再平衡。要再平衡。问题：到期日每接近一天，久期就有可能问题：到期日每接近一天，久期就有可能不一致，是否意味着每天需要调整？不一致，是否意味着每天需要调整？债券免疫策略：资产管理者需要再不断再债券免疫策略：资产管理者需要再不断再平衡以获得良好的平衡以获得良好的免疫功能免疫功能和进出市场导和进出市场导致的致的交易成本交易成本之间寻求一个折衷的方案。之间寻求一个折衷的方案。302.2 股票模型与敏感性分析股票模型与敏感性分析 2.2.1 CAPM模型模型 若市场投资组合是有效的，则任一资产若市场投资组合是有效的，则任一
18、资产i的的期望收益满足期望收益满足2()()imifmffimfmrrrrrrr31数学补充：组合方差计算数学补充：组合方差计算 对于包含对于包含n个资产的组合个资产的组合p，其总收益的期望值和方，其总收益的期望值和方差分别为差分别为1npi iirwrTw r=n222Ti 11,1,1wwnnnpiiijijijijij i ji jwwwww11112121.=(,.,),=(,.,),nTTnnnnnw wwr rrwr其中，32 证明：考虑持有权重证明：考虑持有权重w资产资产i，和权重，和权重(1-w)的市场的市场组合组合m构成的一个新的资产组合，由组合计算公式构成的一个新的资产组合
19、，由组合计算公式有有2222(1)(1)2(1)wimwimimrwrw rwwwwn证券证券i与与m的组合构成的有效的组合构成的有效边界为边界为im；nim不可能穿越资本市场线；不可能穿越资本市场线；n当当w=0时，曲线时，曲线im的斜率等的斜率等于资本市场线的斜率。于资本市场线的斜率。mrfri市场组合3322200222(1)(1 2),/()/(),()()wwimimimwwwimmwwimmwwmfimmimifmfimmmmimimifimfdrdwwwrrdwdwdrdrdwrrdddwrrrrrrrrrrrr因此，该斜率与资本市场线相等则解得令，则34证券市场线（证券市场线（
20、Security market line）irimfr1mrMSML35股票的基本因子股票的基本因子 由由CAPM，股票的回报波动的因子是市场组合回，股票的回报波动的因子是市场组合回报率的波动，对于一个股票其贝塔相对固定报率的波动，对于一个股票其贝塔相对固定()ifimfirrrr若忽略i由此通过市场因子由此通过市场因子rm和无风险利率两个因素作用于股票和无风险利率两个因素作用于股票i，就偶成，就偶成了股票因子的风险来源了股票因子的风险来源()ifimfdrdrdrdr362.2.2 APT模型模型1122,.,ifiininrrbbb因子因子1的风险价格的风险价格因子因子1的载荷的载荷1122,.,ifiiinndrdrb db db d可见，从可见，从APT来看，对股票风险敏感性起决定作用的是因来看，对股票风险敏感性起决定作用的是因素模型中的各个因子，这些因子可能是市场指数、利率、素模型中的各个因子，这些因子可能是市场指数、利率、汇率等宏观经济变量。汇率等宏观经济变量。
