1、水管的表面、车灯的罩子面等水管的表面、车灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的实例：曲面的实例：第四章第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 本章主要内容本章主要内容 1、柱面、柱面 2、锥面、锥面 3、旋转曲面、旋转曲面 4、椭球面、椭球面 5、双曲面、双曲面 6、抛物面、抛物面 7、单叶双曲面与双叶双曲面的直、单叶双曲面与双叶双曲面的直 母线母线图形图形 方程方程 1.常见曲面方程方程 图形图形 抛物面双曲面椭球面2.二次曲面旋转曲面锥面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过
2、程成过程:定义定义4.1.14.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为的直线所形成的曲面称为柱面柱面.这条定曲线叫这条定曲线叫柱面的柱面的准线准线，动直线叫柱面动直线叫柱面的的母线母线.4.1 4.1 柱面柱面母线母线准准线线1.1.柱面柱面.0),(,0),(21zyxFzyxF设柱面的准线方程：(1)(1)的母线方程为则过点一点为准线上任若母线的方向数11111,),(,MzyxMZYX.111ZzzYyyXxx(2)(2).0),(,0),(11121111zyxFzyxF且有(3)(3)三元方程得一个中的四个等式消去参数和从111,)3()2
3、(zyx，0),(zyxF,)1(为准线即是以.,的柱面方程母线的方向数为ZYX.11222的方程坐标轴成等角的圆柱面且其母线与三求切于单位球面例zyx.,面有四个故所求圆柱轴成等角圆柱面的母线与三坐标解 准线可取为则圆柱面的方向数为假设此圆柱面的母线的,1:1:1的母线则过是准线圆上的点再设11111,),(MzyxM.0,1222zyxzyx则圆柱面的准线可取为(4)(4)(5)(5)方程为,111tzzyyxx(6)(6).0,1111212121zyxzyx且有(7)(7)(8)(8)得代入将)8()6(),(31zyxt(9)(9)得代入再将)7()6(,1)()()(222tzty
4、tx,13)(22222tzyxtzyx一：得所求的圆柱面方程之代入上式并整理将,)9(；0)()1(32222zyxzyx面方程为为母线的方向数的圆柱以同理可得：1:1:1；0)()1(32222zyxzyx面方程为为母线的方向数的圆柱以1:1:1 程分别为数方程与坐标式参数方试证柱面的向量式参线的方向平行于母已知柱面的准线为例,)(),(),()(2ZYXsuzuyuxur.)()(,)(ZvuzzYvuyyXvuxx，与,)(svurr；0)()1(32222zyxzyx面方程为为母线的方向数的圆柱以1:1:1.0)()1(32222zyxzyx.,为参数vuxyzo点在准线上任取一证即
5、),(1111zyxM1M),(),(),(1111uzuyuxM的母线上的任则过1M有意点MMr,)(111svurMMOMr)(而定的实数为随点Mv 写成坐标式参数方程为.)()(,)(111ZvuzzYvuyyXvuxx，柱面方程为从而取遍准线上的一切点取遍所有值时当,11Mu,)(svurr),(.)()(,)(为参数，或vuZvuzzYvuyyXvuxx 注注 若柱面准线由参数方程给出，则柱面方程很容若柱面准线由参数方程给出，则柱面方程很容易得到。易得到。)1,2,1(,212113点已知圆柱面的轴为例zyx.,求这圆柱面的方程在此圆柱面上.,1,2,2,1,1问题也就解决的解法用例
6、则运圆若能求出圆柱面的准线的方向数为所以母线于其轴因为圆柱面的母线平行解法)1,1,0(成是以轴上的点可将圆柱面的准线圆看为的距离到已知点点为中心14)1,2,1()1,1,0(,d且垂直于轴的平面的半径的球面与过已知点)1,2,1(即准线圆的方程为交线,.0322,14)1()1(222zyxzyx(10)(10)则有上的点是准线圆再设,)10(),(1111zyxM.0322,14)1()1(111212121zyxzyx的母线为且过),(111zyx,221111zzyyxx即得所求为以上四式消去参数111,zyx.0991818844558222zyyzxzxyzyx.,),(2距离即
7、为圆柱面的半径这轴线等距离点的轨迹将圆柱面看成是动点到往往有特殊解法特殊柱面解法轴上的定点为因为轴的方向向量,2,2,1v所以，而圆柱面上的点为)1,2,1(),1,1,0(10MM，2,3,110MM到轴的距离为点1MvvMMd10vvMMd1022222)2()2(1213112122223,13则为圆柱面上任意点再设,),(zyxM，130vvMM，即13)2()2(1211121221122222yxxzzy的方程为化简整理得所求圆柱面.0991818844558222zyyzxzxyzyx判别判别柱面的方法柱面的方法定理定理4.1.1 4.1.1 在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中
8、,只含两个元的只含两个元的三元方程表示一个母线平行于所缺元的同名坐标轴三元方程表示一个母线平行于所缺元的同名坐标轴的柱面的柱面.(.(此定理在空间仿射坐标系中也成立此定理在空间仿射坐标系中也成立)以下证明方程证0),(yxF(11)(11).轴的柱面表示一个母线平行于z面的交线与取曲面xy)11(.00),(zyxF，(12)(12).1:0:0,为母线的方向轴的方向为准线 z线方程为的母则过上的任意点为准线设1111,)12()0,(MyxM,100011zyyxx.,11yyxx即(13)(13)故有上在准线又因为,)12()0,(111yxM，0),(11yxF(14)(14)得所求柱面
9、为消去参数代入,)14()13(11yx.0),(yxF.)11(轴的柱面就是一个母线平行于故方程zxzy0母线母线F(x,y)=0z=0准线准线(不含不含z)M(x,y,z)N(x,y,0)S曲面曲面S上每一点都满足方程；上每一点都满足方程；曲面曲面S外的每一点都不满足方程外的每一点都不满足方程点点N满足方程，故满足方程，故点点M满足方程满足方程1 1 .,0),(,0),(,轴的柱面行于分别表示母线平同理yxzxHzyG.:柱面线平行于对应坐标轴的方程表示母一个不包含某个坐标的简言之母线母线准线准线(不含不含x)F(y,z)=0 x=0 xzy02 2 从柱面方程看从柱面方程看柱面的特征柱
10、面的特征：12222 czby椭圆柱面，椭圆柱面，x12222 byax双曲柱面双曲柱面，zpzx22 抛物柱面，抛物柱面，y母线母线/轴轴母线母线/轴轴母线母线/轴轴12222 byaxabzxyo椭圆椭圆图形欣赏图形欣赏pxy22 zxyo抛物抛物zxy=0y12222 bzaxo双曲双曲画柱面图形：画柱面图形：xozyxozyyx22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面yx22 xy 抛物柱面抛物柱面方程：方程：平面方程：平面方程：1.椭圆柱面椭圆柱面12222bzaxzxyO2.双曲柱面双曲柱面12222 byaxxozy画柱面图形的方法：.,.,提下适当配置坐标轴需在右手规则前感地体现图
11、形特征和立体为更好面图形再由母线的特征绘出柱先画准线2.2.空间曲线的射影柱面空间曲线的射影柱面.0),(,0),(:zyxGzyxFL设空间曲线为：(15)(15)可得中依次消去一个元若从,)15(,0),(1yxF,0),(2zxF,0),(3zyF如任取其中两方程联立,.0),(,0),(21zxFyxF(16)(16)都通过已与从而曲面线相同表示的曲与即是等价的方程组与则0),(0),(.)15()16(.)15()16(21zxFyxF).15(0),();15(3线表示的曲面也通过曲同理知曲线zyF而曲线面射影的射影柱面对为空间曲线称曲面面其母线垂直于角坐标系下在直轴的柱面表示母线
12、平行于已知,)15(0),(,0),(11xyyxFxyzyxF.00),(1zyxF，.)15(面上的射影曲线在叫曲线xy.0),(0),(32有类似的结论与对zyFzxF 。射影影平平面面的的在在的的交交线线及及求求曲曲面面 2 2222xoyLyxzyxz 22222 yxzyxz1 11 22zyx解解yxzo得得交线交线L：由由z=021 11 22zyxyxzo解解122 yxL 影曲线为影曲线为所求所求射122 yx 01 22zyx.得得交线交线L：.射影柱面射影柱面 22222 yxzyxz由由。射影影平平面面的的在在的的交交线线及及求求曲曲面面 2 2222xoyLyxzy
13、xz zxzyzxzy1283442 2222将将其其换换成成L:xz y0()影影柱柱面面的的交交线线射 消去消去zy2=4x y2=4x zxzyzxzy1283442 2222将将其其换换成成L:xz y0()影影柱柱面面的的交交线线射 消去消去z(消去消去x)y2+(z 2)2=4y2+(z 2)2=4y2=4x y2=4x 1283442 2222xzyzxzy将将其其换换成成L：L:xz y0L()影影柱柱面面的的交交线线射.消去消去z(消去消去x)y2+(z 2)2=4y2=4x y2+(z 2)2=4y2=4x .,线的图形可较容易地作出空间曲也形状是有利的对我们认识空间曲线的
14、空间曲线面来表达利用空间曲线的射影柱从这里可看出面是柱面：证明以下方程表示的曲例4.)()(222aazyzx将方程改写为：证明.平行直线所生成只要证明曲面是由一族分析)2)()(2zyazyzx.2)(),(zyazxzyzx从而有(18)(18)(17)(17)(19)(19).,)19(,直线而且是一族平行总表示直线取何值不论显然的方向数为直线族事实上)19(,11:11)1(:11)1(1:1:1)1(:)1(:)1(222.)19()17(所生成是由平行线族以下证明曲面.)17()18()19(,上即曲面点都在中的任何一条直线上的平行线族容易知道从而有上的点是曲面设反过来,)17(),(,000zyx，)2)()(0000200zyazyzx则时当,000 zx(20)(20)此时均不为与,020000zyazy使得的值取,),(00zy 00zx便得由)20()(00zx，002zya.)19(),(000上在直线所以点zyx则时当,000 zx,020000至少有一个为与zyazy总有为何值此时不论,.2)(),(00000000zyazxzyzx练习题练习题).3(73;2;471P.4)2(8481）（P.)19(),()17(000上都在直线上任一点所以曲面zyx.)17(,)19()17(是柱面面因此曲所生成是由平行线族这就证明了曲面
