1、矩阵矩阵的初的初等变等变换与换与线性线性方程方程组组 1.1.初等行初等行(列列)变换变换 ;1jijiccrr ;2kckrii .3jijikcckrr 2.2.A初等变换初等变换B.BA3.3.行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，标准形矩阵行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，标准形矩阵4.4.若若A A可逆，则可逆，则A A与单位阵与单位阵E E等价等价1.1.单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵.一次初等变换一次初等变换2.初等矩阵的结论初等矩阵的结论:(,)E i j()E i k(,()E i j k变换变换列列等行等行变成初等矩阵的同一初变成初等矩阵的同一初施行使单位矩阵施行使单位矩阵，等于对，等
2、于对矩阵矩阵右乘右乘用初等矩阵左乘用初等矩阵左乘性质性质)()(1EAA在在有有限限个个初初等等矩矩阵阵可可逆逆的的充充要要条条件件是是：存存定定理理：方方阵阵ANPPPA21 使使得得推论推论QPmBAnm及及可可逆逆矩矩阵阵阶阶可可逆逆矩矩阵阵存存在在等等价价的的充充分分必必要要条条件件是是与与矩矩阵阵 BPAQ使使得得：),(EA),(1 AE一一系系列列初初等等行行变变换换（3）求）求XA=B),(BA(,)E X一系列初等行变换一系列初等行变换（1）求）求A-1（2）求）求AX=B(,)TTAB(,)TE X一系列初等行变换一系列初等行变换1.矩阵秩的概念矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方
3、法求矩阵秩的方法(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).最高阶非零子式最高阶非零子式定理定理);()(,BRARBA 则则若若行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数满秩矩阵满秩矩阵降秩矩阵降秩矩阵则则阶可逆矩阵阶可逆矩阵为为若若,nA.)4(;)3(;)()2(;)1(EAEAnARAA的的标标准准形形为为单单位位矩矩阵阵的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为(5)A是满秩矩阵是满秩矩阵)1(22112222212111212111 nnnmmmnnnn
4、bxaxaxabxaxaxabxaxaxa不不全全为为零零，如如果果右右端端常常数数项项nbbb,21)2(000221122221211212111 nnmmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxabAx 0 Ax用用矩矩阵阵分分别别表表示示：、)2()1(nxxx1 nbbb1 000则则称称为为齐齐次次方方程程组组解向量解向量组组则则称称为为非非齐齐次次线线性性方方程程全全为为零零，如如果果右右端端常常数数项项nbbb,21线性方程组线性方程组A称为系数矩阵，称为系数矩阵，B=（A,b）称为增广矩阵）称为增广矩阵若若线线性性方方程程组组bAx ）增增广广矩矩阵阵为为（bA则则有有下
5、下列列结结论论：有有唯唯一一解解bAxnARBR)()(有有无无穷穷多多个个解解bAxnARBR )()(定定理理：B记记为为无无解解bAxARBR )()(u w v B：推推论论1则则：对对于于齐齐次次线线性性方方程程组组0 Ax有有非非零零解解0)(AxnAR只只有有零零解解0)(AxnARu v)(bA 求解线性方程组的步骤：求解线性方程组的步骤：u 写出增广矩阵写出增广矩阵，对于齐次线性方程组写出系数矩阵，对于齐次线性方程组写出系数矩阵 v 用初等用初等行行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵变换化增广矩阵为阶梯形矩阵w 根据增广矩阵与系数矩阵秩的关系判断是否有解根据增广矩阵与系数矩阵秩的关系
6、判断是否有解x 如果有解，进一步化为行最简形矩阵如果有解，进一步化为行最简形矩阵y 行最简形矩阵首非零元素行最简形矩阵首非零元素1对应的未知量为非自由未知量，对应的未知量为非自由未知量，其余未知量为自由未知量其余未知量为自由未知量z 令自由未知量为令自由未知量为c,从而得到方程组的通解（一般解）从而得到方程组的通解（一般解）主要内容主要内容向量组及其线性组合向量组及其线性组合向量组的线性相关性向量组的线性相关性 向量组的秩向量组的秩第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构向量空间向量空间vn维向量、向量组的概念维向量、向量组的概念v向量、向量组
7、与矩阵、方程组之间的联系向量、向量组与矩阵、方程组之间的联系v向量组的线性组合向量组的线性组合第一节第一节 向量组及其线性组合向量组及其线性组合主要内容主要内容定义定义1 1.,21个个分分量量称称为为第第个个数数第第个个分分量量，个个数数称称为为该该向向量量的的维维向向量量，这这组组称称为为所所组组成成的的数数个个有有次次序序的的数数iainnnaaanin分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量.分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量，一、一、维向量的概念维向量的概念n例如例如),3,2,1(n)1(,32,21(innii n维实向量维实向量n维复向量维
8、复向量第第1个分量个分量第第n个分量个分量第第2个分量个分量),(21nTaaaa naaaa21 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，也就是行矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如：TTTTba,n 维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列，也就是列矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如：,ban注意注意行向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是两个不同的两个不同的向量向量；行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行运算；进行运算；当没有明确说明是行向量还是列向量时，当没有明确说明是行向量还
9、是列向量时，都当作都当作列向量列向量.本书中本书中,常用黑体小写字母常用黑体小写字母ba、等表等表示列向量示列向量,用用、TTTTba 等来表示行等来表示行向量向量,所讨论的向量在没有特别指明的情况所讨论的向量在没有特别指明的情况下都当作列向量下都当作列向量.注注:3 n时时,n维向量维向量 具有直观的几何具有直观的几何图像图像.例如例如,3 n时时,三维向量三维向量:空间向量空间向量;2 n时时,二维向量二维向量:平面向量平面向量;3 n时时,nR没有直观的几何图像没有直观的几何图像.由空间解析几何知由空间解析几何知,空间通常作为点的集合空间通常作为点的集合,空间空间,一一对应一一对应,故又
10、把三维向量的全体所组成的集合故又把三维向量的全体所组成的集合而空间点而空间点与三维向量与三维向量),(zyxPTzyxr),(称为点称为点,),(3RzyxzyxrRT 称为称为三维向量空间三维向量空间.成的集合成的集合,),(2121RxxxxxxxRnTnn 称为称为维向量空间维向量空间.n类似地类似地,维向量的全体所组维向量的全体所组n向量的线性运算向量的线性运算注注:向量的加、减及数乘运算统称为向量的线性运算向量的加、减及数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算与行向量的线性运算与行(列列)矩阵的运算规律相同矩阵的运算规律相同.即有即有;);()(;0 ;1 ;)()(kllk;)
11、(kkk .)(lklk 其中其中,nR .,Rlk;0)(例例设设,)1,1,4,2(1T ,)2/5,2,1,3(2T 如果向量满足如果向量满足,0)(2321 求求.解解 由题设条件由题设条件,有有022321 )32(2112 1223 TT)1,1,4,2(23)2/5,2,1,3(.)1,2/1,5,6(T 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组例如例如维维列列向向量量个个有有矩矩阵阵mnaijAnm)(aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1.,的的列列向向
12、量量组组称称为为矩矩阵阵向向量量组组Aa1a2ana2ajana1a2ajan向量组与矩阵向量组与矩阵维行向量维行向量个个又有又有矩阵矩阵类似地类似地nmijaAnm)(,aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量组向量组 ,，称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 T1 T2 Tm 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵.矩阵矩阵构成一个构成一个的向量组的向量组维行向量所组成维行向量所组成个个nmnmTmTT,21 TmTTB 21 12(,)nA n
13、个个m维列向量所组成的向量组维列向量所组成的向量组n ,21构成一个构成一个mn矩阵矩阵1122 nnxxx .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应线性方程组的向量形式线性方程组的向量形式 nnnnnnnnbxaxaxabxaxaxa221111212111 nnnnaaaa1111 nxx1 nbb1 nnnnaaaaA1111 nxxX1 nbbb1 nA 1 1 n 1 nxx1b nnxx 11b n bAX )1()2()3(J方程组的三种形
14、式方程组的三种形式 线性方程组的向量形式线性方程组的向量形式设线性方程组设线性方程组 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111)1(于是于是,就相当于是否存在就相当于是否存在线性方程组线性方程组是否有解是否有解,)1(一组数一组数使得下列线性关系式成立使得下列线性关系式成立:nkkk,21 nnkkk2211此时此时,又称向量又称向量可由向量组可由向量组n ,21 线性线性表示表示.向量组的线性组合向量组的线性组合定义定义 1 对给定向量组对给定向量组n ,21若存在一组若存在一组数数,21nkkk nnkkk2211向量向量称为所
15、给向量组的一个线性组合称为所给向量组的一个线性组合,nkkk,21称为该线性组合的系数称为该线性组合的系数.定义定义 2,对给定向量组对给定向量组n ,21与与若存若存在一组数在一组数nkkk,21使使,2211nnkkk 则称向量则称向量 是向量组是向量组n ,21的的线性组合线性组合,又称向量又称向量 能被向量组能被向量组n ,21线性表示线性表示.例：例：5632 00011 12 23 36 45 线线性性表表示示，组组维维向向量量可可以以由由单单位位向向量量一一个个nn 21 00102 01003 10004 ），（00100 i i），（mi,21 m ,21单位向量：单位向量：
16、单位向量组：单位向量组：例例设设由于由于因此因此),1,2,0,1(),1,4,0,3().3,0,0,1(1 2 ,221 是是的线性组合的线性组合.21,例例都是都是的线性组合的线性组合.维向量组维向量组n任何一个任何一个n维向量维向量Tnaaa),(21 ,)0,0,1(1T ,)0,0,1,0(2T Tn)1,0,0,0(因为因为.2211nnaaa 例例零向量是任何一组向量的线性组合零向量是任何一组向量的线性组合.因为因为o.00021s 例例都是此向量组的线性组合都是此向量组的线性组合.向量组向量组中的任一向量中的任一向量s ,21)1(sjj 因为因为j.0101sj )()(,
17、2121BRARnnmm 线线性性表表示示的的充充要要条条件件是是可可由由向向量量组组则则维维列列向向量量及及维维列列向向量量组组定定理理：设设有有 ),(21mA 其其中中),(21 mB)(A)()(BRAR Ax有有解解 Ax有有唯唯一一解解)()(BRAR m 线线性性表表示示可可由由向向量量组组 A mBRARA )()(线线性性表表示示且且唯唯一一可可由由向向量量组组)()(BRAR mBRARA )()(线线性性表表示示但但不不唯唯一一可可由由向向量量组组 Ax有有无无穷穷多多个个解解)()(BRAR m,21 维维行行向向量量及及行行向向量量组组：nm)()(,21BRARm
18、线线性性表表示示的的充充要要条条件件是是可可由由向向量量组组 ),(21TmTTA 其其中中),(21TTmTTB 线线性性表表示示可可由由向向量量组组m ,21 mmxxx2211有有解解:证证明明例：例：321 0111 1212 1013 已知已知线性表示线性表示，可否由可否由问：问：321 解解：332211 kkk 假设假设1k 011 2k 121 3k 101 3211321 kkk2221 kk332 kk 011121101321 12rr 31101110111123rr 220011101111 B)(213r 11001110111131rr 1100201000113
19、2rr 21rr 11002010200121 k22 k13 k32122 1 2 3 B 例：例：)321()111(1 已知已知线性表示线性表示，可否由可否由问：问：321 解解：332211 kkk 假设假设1k 2k 121 kk2321 kkk331 kk 111011110321 12rr 21101100101123rr 110021101011 B32rr 11001010101121rr 11001010200121 k12 k13 k321 )011(2 )110(3 写写出出表表达达式式如如果果可可以以线线性性表表示示，并并)111()011(3k)110()321(1
20、3rr 21rr 110010102001T1 T2 T3 T B 定义定义 .,:,:2121这两个这两个能相互线性表示，则称能相互线性表示，则称量组量组与向与向若向量组若向量组称称线性表示，则线性表示，则向量组向量组组中的每个向量都能由组中的每个向量都能由若若及及设有两个向量组设有两个向量组BAABBAsm 向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示向量组等价向量组等价BA使使在数在数存存量量线性表示，即对每个向线性表示，即对每个向能由能由（和和（若记若记,),2,1().,),212121mjjjjsmkkksjbABbbbBA mmjjjjkkkb 2211,),2121 m
21、jjjmkkk （),21sbbb（从而从而 msmmssmkkkkkkkkk21222211121121),（.)(数数矩矩阵阵称称为为这这一一线线性性表表示示的的系系矩矩阵阵ijsmkK 矩矩阵阵：为为这这一一表表示示的的系系数数的的列列向向量量组组线线性性表表示示，矩矩阵阵的的列列向向量量组组能能由由，则则矩矩阵阵若若BACBACnssmnm snssnnsnkkbbbbbbbccc2122221112112121),),（TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa 2121222211121121：为为这这一一表表示示的的系系数数矩矩阵阵的的行行向向量量组组线线性性表表示示的的行行
22、向向量量组组能能由由同同时时，ABC,.的的行行向向量量组组等等价价的的行行向向量量组组与与于于是是的的行行向向量量组组线线性性表表示示，的的行行向向量量组组能能由由可可知知，由由初初等等变变换换可可逆逆性性的的行行向向量量组组线线性性表表示示组组能能由由的的行行向向量量，即即的的行行向向量量组组的的线线性性组组合合向向量量都都是是的的每每个个行行，则则经经初初等等行行变变换换变变成成设设矩矩阵阵BABAABABBA.的列向量组等价的列向量组等价列向量组与列向量组与的的，则，则经初等列变换变成经初等列变换变成类似，若矩阵类似，若矩阵BABA .价的方程组一定同解价的方程组一定同解这两个方程组等
23、价，等这两个方程组等价，等能相互线性表示，就称能相互线性表示，就称与方程组与方程组的解；若方程组的解；若方程组的解一定是方程组的解一定是方程组线性表示，这时方程组线性表示，这时方程组能由方程组能由方程组称方程组称方程组的线性组合，就的线性组合，就的每个方程都是方程组的每个方程都是方程组程组程组的一个线性组合；若方的一个线性组合；若方一个方程就称为方程组一个方程就称为方程组所得到的所得到的的各个方程做线性运算的各个方程做线性运算对方程组对方程组BABAABABAA第十周实验第十周实验第一次实验内容：第一次实验内容：Matlab使用简介使用简介 使用使用Matlab进行矩阵的计算进行矩阵的计算 使用使用Matlab进行向量的计算进行向量的计算请提前预习实验内容请提前预习实验内容请带实验指导书及实验报告纸请带实验指导书及实验报告纸请遵守实验指导老师的要求进行实验操作请遵守实验指导老师的要求进行实验操作第十周实验第十周实验实验安排：实验安排：一班一班 旧机房旧机房 8：30开始开始 二班二班 新机房新机房 8：30开始开始 三班三班 新机房新机房 9：40开始开始第十周实验第十周实验实验安排：实验安排：一班一班 旧机房旧机房 14：00开始开始 二班二班 新机房新机房 14：00开始开始
