1、7-3 7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）虚功原理（微分形式的变分原理）受有受有理想约束理想约束、定常约束定常约束的力学系统的力学系统,保持保持静静平平衡的必要衡的必要充分充分条件是作用于该系统的全部条件是作用于该系统的全部主动力主动力的虚功之和的虚功之和为零为零.01iniirF在直角坐标系中在直角坐标系中,上式写成上式写成 0)(1iiziiyiniixzFyFxF7-3 7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）虚功原理（微分形式的变分原理）当力学系统相对惯性系处于当力学系统相对惯性系处于 静静 平衡时平衡时,0RiiFFni,.,2,10)(iRiirFFni,.2,1011iniRi
2、iniirFrF必要条件的证明：必要条件的证明：对理想约束对理想约束0001iniirF7-3 7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）虚功原理（微分形式的变分原理）若系统的主动力虚功之和为零若系统的主动力虚功之和为零,充分条件的证明：充分条件的证明：01iniirF对于受有理想约束的系统对于受有理想约束的系统 011iniRiiniirFrF力学系统的约束是定常的力学系统的约束是定常的,各质点的无限小实位移各质点的无限小实位移必与其中一组虚位移重合必与其中一组虚位移重合,故系统的主动力和约束故系统的主动力和约束力的实功之和也满足上式力的实功之和也满足上式 0dd11iniRiiniirFrF根
3、据质点系的动能定理根据质点系的动能定理 0ddd11iniRiiniirFrFT常常量量T说明系统开始时静止说明系统开始时静止,以后就会始终保持静止以后就会始终保持静止 7-3 7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）虚功原理（微分形式的变分原理）几点说明：几点说明：(1)普适性普适性.(2)在变动中寻找平衡的条件在变动中寻找平衡的条件.例如单摆例如单摆 gmrgmr,0时时0 rgm,0时时0 rgm置置的的位位置置为为单单摆摆的的平平衡衡位位0(3)与牛顿力学不同与牛顿力学不同,分析力学的方法不是将注意力分析力学的方法不是将注意力放在区分内力和外力上放在区分内力和外力上,而是放在区分而是放在
4、区分主动力主动力和和约约束力束力上上.7-3 7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）虚功原理（微分形式的变分原理）如图所示提升重物的装置如图所示提升重物的装置 ,以把手端点的弧坐标以把手端点的弧坐标s为广义坐标为广义坐标,设重物距地面高度为设重物距地面高度为h,根据虚功原理根据虚功原理 0hWsFshWF如果知道如果知道h和和s的函数关系的函数关系,通过上式通过上式,就可求出就可求出 F(4)虚功原理中所说的主动力所做虚功之和为零虚功原理中所说的主动力所做虚功之和为零,是是对对任意的任意的虚位移而言的虚位移而言的,而不是针对特殊的虚位移而不是针对特殊的虚位移.由于虚功原理的方程中不出现约束力由
5、于虚功原理的方程中不出现约束力,因此不能由因此不能由虚功原理求出约束力虚功原理求出约束力,但是但是,通过通过释放约束释放约束或用或用不不定乘子法定乘子法,可以求出约束力可以求出约束力 7-3 7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）虚功原理（微分形式的变分原理）01iniirF0)(,1iiziiyiniixzFyFxF或或据虚功原理据虚功原理,有有为了得到广义平衡方程为了得到广义平衡方程,需要将虚功原理化为以需要将虚功原理化为以广义坐标表述的形式广义坐标表述的形式.01qQs展开后写成展开后写成 02211 ssqQqQqQ01q若若相相互互独独立立q0,.,2sqq011qQ01Q在在完整系
6、完整系中中,7-3 7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）虚功原理（微分形式的变分原理）0,1q若若同同理理相相互互独独立立q0,.,31sqqq022qQ02Q推出推出,0Qs,2,1 广义平衡方程广义平衡方程 虚功原理又可叙述为虚功原理又可叙述为:对于受对于受完整的完整的、定常的定常的、理想约束的理想约束的力学系统力学系统,保持保持静平衡静平衡的必要充分条的必要充分条件是件是所有的所有的广义力都为零广义力都为零.对于主动力均为有势力的有势系对于主动力均为有势力的有势系,有有qVQ所以所以,广义平衡方程成为广义平衡方程成为 0qVs,2,1 01qqVs代入虚功原理中代入虚功原理中,有有0,
7、V即即7-3 7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）虚功原理（微分形式的变分原理）例题例题3 如图所示如图所示,匀质杆匀质杆OA,质量为质量为m1,长为长为l1,能在能在竖直平面内绕固定的光滑铰链竖直平面内绕固定的光滑铰链 O转动转动,此杆的此杆的 A端端用光滑铰链与另一根质量为用光滑铰链与另一根质量为m2,长为长为l2的匀质杆的匀质杆 AB相连相连.在在 B端有一水平作用力端有一水平作用力 .求处于静平衡时求处于静平衡时,两两杆与铅垂线的夹角杆与铅垂线的夹角1和和 2.FAl1Bl2FOxy121、判断约束类型、判断约束类型是否完整约束是否完整约束?是否理想约束是否理想约束?2、判断自由度、
8、判断自由度224s2211,qq个个变变量量两两点点的的位位置置，、4BA21,lABlOA7-3 7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）虚功原理（微分形式的变分原理）PR质量为质量为m的小环的小环P被限制在一个被限制在一个半径为半径为R的光滑大圆环上的光滑大圆环上,大圆大圆环绕过大环中心的铅垂轴以环绕过大环中心的铅垂轴以的角速度均匀转动的角速度均匀转动,以小环为系以小环为系统统,试确定其自由度试确定其自由度.质点在球坐标系中用质点在球坐标系中用r,描述描述Rr 0t非定常约束非定常约束1 s3、分析受力、分析受力(主动力主动力)ABFOxy12gm1111,yxCgm2222,yxCFgmg
9、m,217-3 7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）虚功原理（微分形式的变分原理）4、由虚功原理、由虚功原理032211rFrgmrgm5、建立坐标系、建立坐标系(必须是静止坐标系必须是静止坐标系)xx032211xFygmygm6、转化成广义坐标、转化成广义坐标111cos2ly 22112cos2coslly22113sinsinllx1111sin2ly2221112sin2sinlly2221113coscosllxy7-3 7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）虚功原理（微分形式的变分原理）1112111sinsin21coslgmgmF0sin21cos22222lgmF广义力广
10、义力广义力广义力互相独立互相独立和和由于由于210sin21cos0sinsin21cos2222111gmFgmgmF广义平衡方程广义平衡方程 7-3 7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）虚功原理（微分形式的变分原理）可求出系统处于静平衡时可求出系统处于静平衡时1，2所满足的方程所满足的方程:gmFgmmF221212tan22tan所以所以 gmFgmmF221212arctan22arctan7-3 7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）虚功原理（微分形式的变分原理）法二法二 先求出广义力先求出广义力,再写出平衡方程再写出平衡方程s=2,所以有所以有2个广义力个广义力 1iiiqrFQ
11、32,1FFgmFgmF32211,其其中中2211,qq1111rgmQgm212r13rF111ygm122ygm13xF11112111cossinsin21Flglmglm02211322112111sinsincos2coscos2llxllyly7-3 7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）虚功原理（微分形式的变分原理）2211322112111sinsincos2coscos2llxllyly232222112rFrgmrgmQ23222211xFygmygm22222cossin21Flglm0虚功原理主要用于求解：虚功原理主要用于求解：(1)(1)系统的静平衡位置；系统的静平
12、衡位置；(2)(2)维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间的关系的关系.7-3 7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）虚功原理（微分形式的变分原理）应用虚功原理解题的主要步骤是：应用虚功原理解题的主要步骤是：(1)明确系统的约束类型明确系统的约束类型,看是否满足虚功原理所要看是否满足虚功原理所要求的条件；求的条件；(2)正确判断系统的自由度正确判断系统的自由度,选择合适的广义坐标；选择合适的广义坐标；(3)分析并图示系统受到的主动力；分析并图示系统受到的主动力；(4)通过坐标变换方程通过坐标变换方程,将虚功原理化成将虚功原理化成 01SqQ的形式的形式,进
13、而得出广义平衡方程进而得出广义平衡方程 ,0Q.,2,1s对有势系对有势系,求出系统的势能求出系统的势能V 后，后，可通过可通过 0/qVs,2,1得广义平衡方程得广义平衡方程;(5)求解广义平衡方程求解广义平衡方程.7-3 7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）虚功原理（微分形式的变分原理）1 1、利用释放约束的方法求约束力、利用释放约束的方法求约束力 例题例题4 试求例题试求例题3中中O处的约束力处的约束力.4s241321,qqyqxqNFFgmgm,21主主动动力力为为代入虚功原理代入虚功原理,得得032211xFygmygmyFxFyxNNgmmFFFNyNx21可解出约束力可解出约
14、束力:7-3 7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）虚功原理（微分形式的变分原理）2、不定乘子法、不定乘子法.(拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法)先设先设系统由系统由1个质点组成个质点组成,受受1个完整约束个完整约束 0,zyxf用用3个直角坐标作为描述系统位置的变量个直角坐标作为描述系统位置的变量.于是当系统于是当系统平衡时平衡时,应满足虚功原理应满足虚功原理 0zFyFxFzyx得得出出的的它它们们满满足足由由约约束束方方程程不不是是相相互互独独立立的的但但式式中中,zyx0zzfyyfxxf乘待定常数乘待定常数(不定乘子不定乘子)，与前式相加与前式相加,得得 0)()()(zzfFyyfFx
15、xfFzyx7-3 7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）虚功原理（微分形式的变分原理）.,依依然然不不独独立立zyx0)()()(zzfFyyfFxxfFzyx.,独独立立则则不不独独立立假假定定zyx即即的的系系数数为为值值使使适适当当选选取取,0 x0zfFz0),(000,zyxfzfFyfFxfFzyx则则,),(,0),(,定定常常数数和和待待可可求求出出平平衡衡位位置置联联立立求求解解与与约约束束方方程程已已知知主主动动力力zyxzyxfF称为称为不定乘子不定乘子,又称又称拉格朗拉格朗日乘子日乘子.这种方法称为这种方法称为不定乘子法不定乘子法.不定乘子不定乘子是一个与约束力有关的
16、量是一个与约束力有关的量.7-3 7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）虚功原理（微分形式的变分原理）将约束都释放将约束都释放,并将约束力视为主动力并将约束力视为主动力,虚功原理成为虚功原理成为0)()()(zFFyFFxFFRzzRyyRxx.,相相互互独独立立zyx即即 000RzzRyyRxxFFFFFF可知可知xfFRxyfFRyzfFRz设想质点被约束在一个光滑曲面上设想质点被约束在一个光滑曲面上,其约束力为其约束力为 kFjFiFFRzRyRxRkzfjyfixf即即 fFR说明约束力沿曲面的法线方向，说明约束力沿曲面的法线方向，.的的比比例例系系数数与与是是约约束束力力fFR7-
17、3 7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）虚功原理（微分形式的变分原理）一般性讨论一般性讨论设一力学系统由设一力学系统由n个质点组成个质点组成,受到受到 k个完整约束的限制个完整约束的限制 0,iiizyxfk,2,1则则3n个坐标中有个坐标中有 k个是不独立的个是不独立的.系统平衡时系统平衡时,应满足应满足虚功原理虚功原理 01niiiziiyiixzFyFxF,3不不是是相相互互独独立立的的个个式式中中的的iiizyxn它们满足它们满足k个由完整约束给出的方程个由完整约束给出的方程:01niiiiiiizzfyyfxxfk,2,17-3 7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）虚功原理（微分
18、形式的变分原理）inikiixxxfF11ikiiyyyfF101ikiizzzfF000.,2,1ni与与k个约束方程联立求解个约束方程联立求解,k个个与平衡位置坐标便可与平衡位置坐标便可同时求出同时求出.称为称为不定乘子不定乘子,又称又称拉格朗日乘子拉格朗日乘子.这这种方法称为种方法称为不定乘子法不定乘子法.将将k个完整约束都释放个完整约束都释放,并将约束力都视为主动力并将约束力都视为主动力,虚功原理成为虚功原理成为 01iRiziziRiyiyiniRixixzFFyFFxFF7-3 7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）虚功原理（微分形式的变分原理）3n个坐标变分变成完全独立的了个坐标
19、变分变成完全独立的了,所以所以 000RizizRiyiyRixixFFFFFFni,2,1kiRizkiRiykiRixzfFyfFxfF111ni,2,1000111kiizkiiykiixzfFyfFxfF与与比较比较不定乘子不定乘子与约束力有密切关系与约束力有密切关系.7-3 7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）虚功原理（微分形式的变分原理）例题例题 5 一质量为一质量为m的质点的质点P被限制在光滑球面上运动被限制在光滑球面上运动.已知球面的半径为已知球面的半径为a,求质点的平衡位置和约束力求质点的平衡位置和约束力.解解 系统系统:质点质点建立原点在球心上的直建立原点在球心上的直角坐
20、标系角坐标系 Oxyz,质点的质点的约束方程为约束方程为0),(2222azyxzyxfs=2,但解题时仍以质点的但解题时仍以质点的3个坐标个坐标x,y,z作为确定质点作为确定质点位置的变量位置的变量.它们的变分不独立它们的变分不独立,满足以下关系满足以下关系:0222zzyyxx质点所受的主动力是重力质点所受的主动力是重力 gm根据虚功原理根据虚功原理,0 rgm即即 0 zmg7-3 7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）虚功原理（微分形式的变分原理）0222zzyyxx0222yyxxzzmg0 zmg不定乘子的待定性可使不定乘子的待定性可使x,y,z相互独立相互独立(系数均系数均为为0),于是于是,020202yxzmg0 可得到质点平衡位置的两组坐标可得到质点平衡位置的两组坐标:),0,0(a),0,0(azmg2,还还可可得得出出kzj yi xFR222kmgj yzmgi xzmg得得代代入入以以,0,0azyxkmgFR
