1、第2121讲矩形、菱形、正方形考点一考点二考点三考点四考点一考点一矩形矩形(高频)考点一考点二考点三考点四考点一考点二考点三考点四考点二考点二菱形菱形(高频)考点一考点二考点三考点四考点一考点二考点三考点四考点三考点三正方形正方形(高频)考点一考点二考点三考点四考点四考点四平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系命题点1命题点2命题点3命题点1矩形的性质1.(2017安徽,10,4分)如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=3.动点P满足SPAB=S矩形ABCD.则点P到A,B两点距离之和PA+PB 的最小值为(D)命题点1命题点2命题点3解析:设ABP中
2、AB边上的高是h.动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上,如图,作A关于直线l的对称点E,连接AE,连接BE,则BE的长就是所求的最短距离.在RtABE中,AB=5,AE=2+2=4,命题点1命题点2命题点3命题点2矩形、菱形性质的综合应用2.(2015安徽,9,4分)如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点E在AB上,点F在CD上,点G,H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形,则AE的长是(C )命题点1命题点2命题点3解析 如图,连接EF交AC于点O,根据菱形性质有FEAC,OG=OH,易证OA=OC.由四边形ABCD是矩形,得B=90,根据勾股定理得命题点1命题点2命题点3
3、命题点3正方形的性质与判定3.(2014安徽,10,4分)如图,正方形ABCD的对角线BD长为2 ,若直线l满足:点D到直线l的距离为 ;A,C两点到直线l的距离相等.则符合题意的直线l的条数为(B )A.1B.2C.3D.4解析 如图,连接AC与BD相交于O,同理,在点D的另一侧还有一条直线满足条件,故共有2条符合题意的直线l.故选B.考法1考法2考法3考法考法1矩形的相关证明与计算矩形的相关证明与计算例1(2017山东潍坊)如图,将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折,使点B落在AD上,记为B,折痕为CE;再将CD边斜向下对折,使点D落在BC上,记为D,折痕为CG,BD=2,BE=
4、BC.则矩形纸片ABCD的面积为.考法1考法2考法3答案:15解析:由折叠可知BC=BC,CD=CD,又BD=2,故设BC=x,整理,得x2-7x+10=0,解得x1=5,x2=2(不合题意,舍去),矩形纸片ABCD的面积为BCCD=53=15.考法1考法2考法3方法总结1.矩形判定的一般思路:首先判定是否为平行四边形,再找直角或者对角线的关系.若角度容易求,则证明其一角为90,便可判定是矩形;若对角线容易求,则证明其对角线相等即可判定其为矩形.2.应用矩形性质计算的一般思路:(1)根据矩形的四个角都是直角,一条对角线将矩形分成两个直角三角形,用勾股定理或三角函数求线段的长.(2)矩形对角线相
5、等且互相平分,矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形,在利用矩形性质进行相关的计算时,可利用面积法,建立等量关系.考法1考法2考法3对应训练1.(2017江苏淮安)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=3,点E在边BC上,将ABE沿直线AE折叠,点B恰好落在对角线AC上的点F处,若EAC=ECA,则AC的长是(B)A.3 B.6C.4D.5考法1考法2考法3解析:因为四边形ABCD是矩形,所以B=90.于是BAC+BCA=90,即BAE+EAC+ECA=90.由折叠得BAE=EAC,又因为EAC=ECA,所以3ECA=90,ECA=30.在RtABC中,AC=2AB=23=6.考法1考法2考法3
6、2.(2017陕西)在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,若点E为边CD的中点,连接AE,过点B作BFAE于点F,则BF长为(B)解析:由题意得ADEBFA,由题意可知AD=3,DE=1,设AF=x,则BF=3x,由勾股定理得:AF2+BF2=AB2,即x2+(3x)2=22,解得考法1考法2考法33.(2017江苏徐州)如图,在平行四边形ABCD中,点O是边BC的中点,连接DO并延长,交AB延长线于点E连接EC.(1)求证:四边形BECD是平行四边形;(2)若A=50,则当BOD=时,四边形BECD是矩形.(1)证明:平行四边形ABCD,AEDC.EBO=DCO,BEO=CDO.点O是边BC
7、的中点,BO=CO.EBO DCO(AAS),EO=DE.四边形BECD是平行四边形.(2)100考法1考法2考法3考法考法2菱形的相关证明及计算菱形的相关证明及计算例2(2017江苏扬州)如图,将ABC沿着射线BC方向平移至ABC,使点A落在ACB的外角平分线CD上,连接AA.(1)判断四边形ACCA的形状,并说明理由;(2)在ABC中,B=90,AB=24,cosBAC=,求CB的长.考法1考法2考法3解:(1)四边形ACCA为菱形.理由如下:ABC是由ABC平移得到的,AACC,且AA=CC.四边形ACCA是平行四边形,AAC=ACC.CD平分ACC,ACA=ACC.AAC=ACA,AC
8、=AA.四边形ACCA为菱形.考法1考法2考法3方法总结1.菱形判定的一般思路:首先判定是平行四边形,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形来判定,这是判定菱形的最常见思路.也可以考虑其他判定方法,例如若能证明对角线互相垂直平分,也能判定该四边形是菱形.2.应用菱形性质计算的一般思路:因菱形的四条边相等,菱形对角线互相垂直,故常借助对角线垂直和勾股定理来求线段长.也可以根据菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形,结合它的对称性得出的一些结论来计算.考法1考法2考法3对应训练4.(2017湖南益阳)下列性质中菱形不一定具有的性质是(C)A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.既是轴对称图
9、形又是中心对称图形考法1考法2考法35.(2016浙江杭州)在菱形ABCD中,A=30,在同一平面内,以对角线BD为底边作顶角为120的等腰三角形BDE,则EBC的度数为45或105.解析:四边形ABCD为菱形,BCAD,BD平分ABC,BAD=30,ABC=150,DBC=ABC=150=75.等腰三角形BDE的顶角是120,底角EBD=30.如图,点E有两个位置,E1BC=E1BD+DBC=30+75=105,E2BC=DBC-E2BD=75-30=45.综上所述,则EBC的度数为45或105.考法1考法2考法36.(2017北京)如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,ADBC,AD
10、=2BC,ABD=90,E为AD的中点,连接BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分BAD,BC=1,求AC的长.考法1考法2考法3(1)证明:E为AD中点,AD=2BC,BC=ED.ADBC,四边形BCDE是平行四边形.ABD=90,E为AD中点.BE=ED,四边形BCDE是菱形.(2)解:ADBC,AC平分BAD,BAC=DAC=BCA,BA=BC=1.AD=2BC=2,考法1考法2考法3考法考法3正方形的相关证明及计算正方形的相关证明及计算例3(2017广西柳州)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,CD边上的点,BE,AF交于点O,且AE=DF.(1)求
11、证:ABE DAF;(2)若BO=4,OE=2,求正方形ABCD的面积.考法1考法2考法3(1)证明:四边形ABCD是正方形,AB=AD,BAE=D=90.又AE=DF,ABE DAF.(2)解:ABE DAF,FAD=ABE.又FAD+BAO=90,ABO+BAO=90.AOB=90.ABOEBA.ABBE=BOAB,即AB6=4AB,AB2=24,正方形ABCD面积是24.考法1考法2考法3方法总结对于与正方形性质相关的计算问题,要合理应用其性质及由性质得到的一些结论:(1)四角相等均为90以及四边相等.(2)对角线垂直且相等.(3)对角线平分一组对角得到45角.(4)边长与对角线的长度比
12、为1 .考法1考法2考法3对应训练7.(2012安徽)为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域,设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为(A)A.2a2B.3a2C.4a2D.5a2解析:图案中间的阴影部分是正方形,面积是a2,由于原来地砖更换成正八边形,四周一个阴影部分是对角线为a的正方形的一半,它的面积用对角线积的一半来计算.考法1考法2考法38.(2017湖南怀化)如图,四边形ABCD是正方形,EBC是等边三角形.(1)求证:ABE DCE;(2)求AED的度数.(1)证明:四边形ABCD是正方形,ABC是等边
13、三角形,BA=BC=CD=BE=CE,ABC=BCD=90,EBC=ECB=60.ABE=ECD=30,ABE DCE(SAS).(2)解:BA=BE,ABE=30,BAE=(180-30)=75.BAD=90,EAD=90-75=15,同理可得ADE=15.AED=180-15-15=150.考法1考法2考法39.(2017上海)已知:如图,四边形ABCD中,ADBC,AD=CD,E是对角线BD上一点,且EA=EC.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)如果BE=BC,且CBEBCE=23,求证:四边形ABCD是正方形.考法1考法2考法3ADE CDE,ADE=CDE.ADBC,ADE=CBD.CDE=CBD,BC=CD.AD=CD,BC=AD.四边形ABCD为平行四边形,AD=CD,四边形ABCD是菱形.(2)BE=BC,BCE=BEC.CBEBCE=23,四边形ABCD是菱形,ABE=45.ABC=90,四边形ABCD是正方形.
