1、专题一数学思想方法题型一题型一 分类讨论思想分类讨论思想分类讨论思想常见的五种类型分类讨论思想常见的五种类型1.1.方程方程:若含有字母系数的方程有实数根时若含有字母系数的方程有实数根时,要考虑二要考虑二次项系数是否等于次项系数是否等于0,0,进行分类讨论进行分类讨论.2.2.等腰三角形等腰三角形:如果等腰三角形给出两条边求第三条边如果等腰三角形给出两条边求第三条边或给出一角求另外两角时或给出一角求另外两角时,要考虑所给的边是腰还是底要考虑所给的边是腰还是底边边,所给出的角是顶角还是底角分类解决所给出的角是顶角还是底角分类解决.3.3.直角三角形直角三角形:在直角三角形中给出两边的长度在直角三
2、角形中给出两边的长度,确定确定第三边时第三边时,若没有指明直角边和斜边若没有指明直角边和斜边,要注意分情况进要注意分情况进行讨论行讨论(分类讨论分类讨论),),然后利用勾股定理即可求解然后利用勾股定理即可求解.4.4.相似三角形相似三角形:如果题目中出现两个三角形相似如果题目中出现两个三角形相似,需要需要讨论各边的对应关系讨论各边的对应关系;若出现位似若出现位似,则要分两个图形在则要分两个图形在位似中心的同旁或两旁两种情况讨论位似中心的同旁或两旁两种情况讨论.5.5.圆圆:圆的一条弦圆的一条弦(直径除外直径除外)对两条弧对两条弧,常分优弧和劣常分优弧和劣弧两种情况讨论弧两种情况讨论;求圆中两条
3、平行弦的距离求圆中两条平行弦的距离,常分两弦常分两弦在圆心的同旁和两旁两种情况讨论在圆心的同旁和两旁两种情况讨论.【典例【典例1 1】(2016(2016宁波中考宁波中考)从三角形从三角形(不是等腰三角不是等腰三角形形)一个顶点引出一条射线与对边相交一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角另一个与原三角形相似形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1)(1
4、)如图如图1,1,在在ABCABC中中,CD,CD为角平分为角平分线线,A=40,A=40,B=60,B=60,求证求证:CD:CD为为ABCABC的完美分割线的完美分割线.(2)(2)在在ABCABC中中,A=48,A=48,CD,CD是是ABCABC的完美分割线的完美分割线,且且ACDACD为等腰三角形为等腰三角形,求求ACBACB的度数的度数.(3)(3)如图如图2,2,ABCABC中中,AC=2,BC=,CD,AC=2,BC=,CD是是ABCABC的完美分的完美分割线割线,且且ACDACD是以是以CDCD为底边的等腰三角形为底边的等腰三角形,求完美分割求完美分割线线CDCD的长的长.2
5、【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)根据完美分割线的定义只要证明根据完美分割线的定义只要证明ABCABC不是等腰三角形不是等腰三角形,ACDACD是等腰三角形是等腰三角形,BDCBDCBCABCA即可即可.(2)(2)分三种情形讨论即可分三种情形讨论即可:当当AD=CDAD=CD时时;当当AD=ACAD=AC时时;当当AC=CDAC=CD时时,分别求出分别求出ACBACB即可即可.(3)(3)设设BD=x,BD=x,利用利用BCDBCDBAC,BAC,得得 列出方程即列出方程即可解决问题可解决问题.BCBDBABC，【标准解答】【标准解答】(1)(1)如答图如答图1 1中中,A=40,A=40
6、,B=60,B=60,ACB=80ACB=80,ABCABC不是等腰三角形不是等腰三角形,CDCD平分平分ACB,ACB,ACD=BCD=ACB=40ACD=BCD=ACB=40,ACD=A=40ACD=A=40,ACDACD为等腰三角形为等腰三角形,DCB=A=40DCB=A=40,CBD=ABC,CBD=ABC,BCDBCDBAC,CDBAC,CD是是ABCABC的完美分割线的完美分割线.12(2)(2)当当AD=CDAD=CD时时,如答图如答图2,ACD=A=482,ACD=A=48,BDCBDCBCA,BCD=A=48BCA,BCD=A=48,ACB=ACD+BCD=96ACB=ACD
7、+BCD=96.当当AD=ACAD=AC时时,如答图如答图3 3中中,ACD=ADC=66ACD=ADC=66,BDCBDCBCA,BCD=A=48BCA,BCD=A=48,ACB=ACD+BCD=114ACB=ACD+BCD=114.180482当当AC=CDAC=CD时时,如答图如答图4 4中中,ADC=A=48,ADC=A=48,BDCBDCBCA,BCD=A=48BCA,BCD=A=48,ADCBCD,ADCBCD,矛盾矛盾,舍弃舍弃.ACB=96ACB=96或或114114.(3)(3)由已知由已知AC=AD=2,AC=AD=2,BCDBCDBAC,BAC,设设BD=x,BD=x,(
8、)()2 2=x(x+2),=x(x+2),x0,x=-1,x0,x=-1,BCDBCDBAC,BAC,BCBDBABC23CDBD31ACBC231CD262.2，【题组过关】【题组过关】1.(20161.(2016贺州中考贺州中考)一个等腰三角形的两边长分别为一个等腰三角形的两边长分别为4,8,4,8,则它的周长为则它的周长为()A.12A.12 B.16 B.16 C.20 C.20 D.16 D.16或或2020【解析】【解析】选选C.C.当当4 4为腰时为腰时,4+4=8,4+4=8,故此种情况不存故此种情况不存在在;当当8 8为腰时为腰时,8-488+4,8-488+4,符合题意符
9、合题意.故此三角形的故此三角形的周长周长=8+8+4=20.=8+8+4=20.2.(20162.(2016东营中考东营中考)如图如图,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,已知已知点点A(-3,6),B(-9,-3),A(-3,6),B(-9,-3),以原点以原点O O为位似中心为位似中心,相似比为相似比为 ,把把ABOABO缩小缩小,则点则点A A的对应点的对应点AA的坐标是的坐标是()13A.(-1,2)A.(-1,2)B.(-9,18)B.(-9,18)C.(-9,18)C.(-9,18)或或(9,-18)(9,-18)D.(-1,2)D.(-1,2)或或(1,-2)(1,-2)【解析
10、】【解析】选选D.D.分情况讨论分情况讨论:若点若点A A与其对应点与其对应点AA在在O O的同侧的同侧,则点则点AA的坐标的坐标为为 则则A(-1,2);A(-1,2);若点若点A A与其对应点与其对应点AA在在O O的两侧的两侧,则点则点AA的坐标为的坐标为 即即A(1,-2).A(1,-2).11(3,6)33，11(3()6()33 ，3.(20153.(2015龙东中考龙东中考)如图如图,O O的半径是的半径是2,AB2,AB是是O O的弦的弦,点点P P是弦是弦ABAB上的动点上的动点,且且1OP2,1OP2,则弦则弦ABAB所对的圆周角所对的圆周角的度数是的度数是()A.60A.
11、60 B.120 B.120C.60C.60或或120120 D.30 D.30或或150150【解析】【解析】选选C.C.当点当点P P位于位于ABAB的中点时的中点时,如图如图,由垂径定理由垂径定理可得可得OPAB,OPAB,此时此时OPOP最短最短,1OP2,OP=1;1OP2,OP=1;当点当点P P位于点位于点A A或点或点B B时时,OP=OA=OB=2,OP=OA=OB=2,sinOAB=sinOBA=,sinOAB=sinOBA=,OAB=OBA=30OAB=OBA=30,AOB=120,AOB=120,AEB=AOB=60AEB=AOB=60,E+F=180,E+F=180,
12、F=120F=120,即弦即弦ABAB所对的圆周角的度数为所对的圆周角的度数为6060或或120120.12124.(20164.(2016龙东中考龙东中考)若点若点O O是等腰是等腰ABCABC的外心的外心,且且BOC=60BOC=60,底边底边BC=2,BC=2,则则ABCABC的面积为的面积为()2 3A.23B.3C.2323D.42 323或或【解析】【解析】选选C.C.由题意可得由题意可得,如图所示如图所示,存在两种情况存在两种情况,当当ABCABC为为A A1 1BCBC时时,连接连接OB,OC,OB,OC,点点O O是等腰是等腰ABCABC的外心的外心,且且BOC=60BOC=
13、60,底边底边BC=2,OB=OC,BC=2,OB=OC,OBCOBC为等边三角形为等边三角形,OB=OC=BC=2,OA,OB=OC=BC=2,OA1 1BCBC于点于点D,D,CD=1,OD=CD=1,OD=22213，11A BCBC A D2(23)S2322，当当ABCABC为为A A2 2BCBC时时,连接连接OB,OC,OB,OC,点点O O是等腰是等腰ABCABC的外心的外心,且且BOC=60BOC=60,底边底边BC=2,OB=OC,BC=2,OB=OC,OBCOBC为等边三角形为等边三角形,OB=OC=BC=2,OA,OB=OC=BC=2,OA1 1BCBC于点于点D,CD
14、=1,OD=D,CD=1,OD=由上可得，由上可得，ABCABC的面积为的面积为2-2-或或2+.2+.22213，22A BCBC DA2(23)S2322，335.(20165.(2016荆州中考荆州中考)若函数若函数y=(a-1)xy=(a-1)x2 2-4x+2a-4x+2a的图象与的图象与x x轴有且只有一个交点轴有且只有一个交点,则则a a的值为的值为_._.【解析】【解析】函数函数y=(a-1)xy=(a-1)x2 2-4x+2a-4x+2a的图象与的图象与x x轴有且只轴有且只有一个交点有一个交点,当函数为二次函数时当函数为二次函数时,b,b2 2-4ac=16-4(a-1)-
15、4ac=16-4(a-1)2a=0,2a=0,解得解得:a:a1 1=-1,a=-1,a2 2=2,=2,当函数为一次函数时当函数为一次函数时,a-1=0,a-1=0,解得解得a=1.a=1.答案答案:-1-1或或2 2或或1 16.(20156.(2015牡丹江中考牡丹江中考)矩形纸片矩形纸片ABCD,AB=9,BC=6,ABCD,AB=9,BC=6,在矩在矩形边上有一点形边上有一点P,P,且且DP=3.DP=3.将矩形纸片折叠将矩形纸片折叠,使点使点B B与点与点P P重合重合,折痕所在直线交矩形两边于点折痕所在直线交矩形两边于点E,F,E,F,则则EFEF长为长为_._.【解析】【解析】
16、矩形边上有一点矩形边上有一点P,P,且且DP=3,DP=3,有两种情况有两种情况:点点P P在在CDCD上上,如图如图1,1,此时此时EF=6 .EF=6 .2点点P P在在ADAD上上,如图如图2,2,连接连接BP,BF,BP,BF,过过F F作作FKBEFKBE于于K.AP=3,K.AP=3,设设AE=x,AE=x,则则PE=BE=9-x,PE=BE=9-x,在在RtRtAPEAPE中中,AP,AP2 2+AE+AE2 2=PE=PE2 2,3 32 2+x+x2 2=(9-x)=(9-x)2 2,解得解得:x=4,AE=4,BE=5,:x=4,AE=4,BE=5,在在RtRtAPBAPB
17、中中,EFGB=BEFK,EF =5EFGB=BEFK,EF =56,6,EF=.EF=.答案答案:223 10PB393 10GB.2，3 1022 106 22 10或题型二题型二 数形结合思想数形结合思想数形结合思想常见的四种类型数形结合思想常见的四种类型1.1.实数与数轴实数与数轴:实数与数轴上的点具有一一对应的关系实数与数轴上的点具有一一对应的关系,因此借助数轴观察数的特点因此借助数轴观察数的特点,直观明了直观明了.2.2.在解方程在解方程(组组)或不等式或不等式(组组)中的应用中的应用:利用函数图象利用函数图象解决方程解决方程(组组)问题时问题时,常把方程根的问题看作两个函数常把方
18、程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不利用数轴或函数图象解有关不等式等式(组组)的问题直观、形象的问题直观、形象,易于找出不等式易于找出不等式(组组)的解的解的公共部分或判断不等式组有无公共解的公共部分或判断不等式组有无公共解.3.3.在函数中的应用在函数中的应用:借助于图象研究函数的性质是一种借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法体现了数形结合的特征与方法.4.4.在几何中的应用在几何中的应用:对于几何问题对于几何问题,我们常通
19、过图形我们常通过图形,找找出边、角的数量关系出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系通过边、角的数量关系,得出图得出图形的性质等形的性质等.【典例【典例2 2】(2016(2016贵港中考贵港中考)如图如图,已知一次函数已知一次函数y=x+by=x+b的图象与反的图象与反比例函数比例函数y=(x0)y=(x0)的图象交于点的图象交于点A(-1,2)A(-1,2)和点和点B,B,点点C C在在y y轴上轴上.(1)(1)当当ABCABC的周长最小时的周长最小时,求点求点C C的坐标的坐标.(2)(2)当当 x+b x+b 时时,请直接写出请直接写出x x的取值范围的取值范围.12kxkx12【思
20、路点拨】【思路点拨】(1)(1)作点作点A A关于关于y y轴的对称点轴的对称点A,A,连接连接ABAB交交y y轴于点轴于点C,C,此时点此时点C C即是所求即是所求.利用待定系数法和反比利用待定系数法和反比例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式函数解析式,联立两函数解析式组成方程组联立两函数解析式组成方程组,解方程组解方程组即可求出点即可求出点B B的坐标的坐标,再根据点再根据点AA与点与点A A关于关于y y轴对称轴对称,求出点求出点AA的坐标的坐标,设出直线设出直线ABAB的解析式为的解析式为y=mx+n,y=mx+n,结
21、结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线合点的坐标利用待定系数法即可求出直线ABAB的解析的解析式式,令直线令直线ABAB解析式中解析式中x x为为0,0,求出求出y y的值的值,即可得出结即可得出结论论.(2)(2)根据两函数图象的上下关系结合点根据两函数图象的上下关系结合点A,BA,B的坐标的坐标,即可即可得出不等式的解集得出不等式的解集.【标准解答】【标准解答】(1)(1)作点作点A A关于关于y y轴的对称点轴的对称点A A,连接连接A AB B交交y y轴于点轴于点C,C,此时点此时点C C即是所求即是所求,如图所示如图所示:反比例函数反比例函数y=(x0)y=(x0)的图象过点的图象
22、过点A(-1,2),A(-1,2),k=-1k=-12=-2,2=-2,反比例函数解析式为反比例函数解析式为y=-(x0);y=-(x0);一次函数一次函数y=x+by=x+b的图象过点的图象过点A(-1,2),A(-1,2),2=-+b,2=-+b,解得解得b=,b=,一次函数解析式为一次函数解析式为y=x+.y=x+.kx2x1212525212联立一次函数解析式与反比例函数解析式组成方程组：联立一次函数解析式与反比例函数解析式组成方程组：15yx,222y,x x4,x1,(A)1y2,y2 解得或舍去，点坐标点点B B的坐标为的坐标为点点AA与点与点A A关于关于y y轴对称，轴对称，
23、点点AA的坐标为的坐标为(1(1，2)2)，设直线设直线ABAB的解析式为的解析式为y=mx+ny=mx+n，1(4)2，32mn,m,101174mn,n,210 则有解得直线直线ABAB的解析式为的解析式为y=y=令令y=y=中中x=0 x=0，得，得y=y=点点C C的坐标为的坐标为(2)(2)当当 时，时，x x的取值范围为的取值范围为x x-4-4或或-1-1x x0.0.317x1010317x10101710，17(0)10，152x22x【题组过关】【题组过关】1.(20161.(2016长沙中考长沙中考)不等式组不等式组 的解集在数轴的解集在数轴上表示为上表示为()2x15,
24、84x0【解析】【解析】选选C.C.解不等式解不等式2x-15,2x-15,得得:x3,:x3,解不等式解不等式8-4x0,8-4x2,:x2,故不等式组的解集为故不等式组的解集为:x3.:x3.2x15,84x0，2.(20162.(2016南宁中考南宁中考)二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)和正比例函数和正比例函数y=xy=x的图象如图所示的图象如图所示,则方程则方程axax2 2+c=0(a0)+c=0(a0)的两根之和的两根之和()A.A.大于大于0 0B.B.等于等于0 0C.C.小于小于0 0D.D.不能确定不能确定232(b)x3【解析】【
25、解析】选选A.A.设设axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的两根为的两根为x x1 1,x,x2 2,由二次函数的图象可知由二次函数的图象可知x x1 1+x+x2 20,a0,-0.0,a0,-0.设方程设方程axax2 2+c=0(a0)+c=0(a0)的两根为的两根为m,n,m,n,则则m+n=a0,0,m+n0.m+n=a0,0,m+n0.ba2(b)x32bb23,aa3a 23a3.(20163.(2016新疆中考新疆中考)暑假期间暑假期间,小刚一家乘车去离家小刚一家乘车去离家380380公里的某景区旅游公里的某景区旅游,他们离家的距离他们离家的距离y(km)
26、y(km)与汽车行与汽车行驶时间驶时间x(h)x(h)之间的函数图象如图所示之间的函数图象如图所示.(1)(1)从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间?(2)(2)求线段求线段ABAB对应的函数解析式对应的函数解析式.(3)(3)小刚一家出发小刚一家出发2.52.5小时时离目的地多远小时时离目的地多远?【解析】【解析】(1)(1)从小刚家到该景区乘车一共用了从小刚家到该景区乘车一共用了4h4h时间时间.(2)(2)设设ABAB段图象的函数表达式为段图象的函数表达式为y=kx+b.y=kx+b.A(1,80),B(3,320)A(1,80),B(3,320)在在
27、ABAB上上,解得解得 y=120 x-40(1x3).y=120 x-40(1x3).(3)(3)当当x=2.5x=2.5时时,y=120,y=1202.5-40=260,380-260=120(km).2.5-40=260,380-260=120(km).故小刚一家出发故小刚一家出发2.52.5小时时离目的地小时时离目的地120km120km远远.kb803kb320，k120b40.，题型三题型三 化归思想化归思想化归思想常见的五种类型化归思想常见的五种类型1.1.在解方程和方程组中的应用在解方程和方程组中的应用:通过消元将二元一次方通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程程组转化为一
28、元一次方程;通过降次把一元二次方程转通过降次把一元二次方程转化为一元一次方程化为一元一次方程;通过去分母把分式方程转化为整式通过去分母把分式方程转化为整式方程方程.2.2.多边形化为三角形多边形化为三角形:解决平行四边形、正多边形的问解决平行四边形、正多边形的问题通过添加辅助线转化为全等三角形、等腰三角形、题通过添加辅助线转化为全等三角形、等腰三角形、直角三角形去解决直角三角形去解决.3.3.立体图形转化为平面图形立体图形转化为平面图形:立体图形的展开与折叠、立体图形的展开与折叠、立体图形的三视图体现了立体图形与平面图形之间的立体图形的三视图体现了立体图形与平面图形之间的相互转化相互转化.4.
29、4.不规则图形转化为规则图形不规则图形转化为规则图形:计算不规则图形面积时计算不规则图形面积时通常转化为几个规则图形面积的和或差进行计算通常转化为几个规则图形面积的和或差进行计算.5.5.综合问题转化为基本问题综合问题转化为基本问题:把综合问题转化为几个基把综合问题转化为几个基本问题本问题,使复杂的问题转化为简单问题求解使复杂的问题转化为简单问题求解.【典例【典例3 3】(2016(2016玉林中考玉林中考)如图如图,把八个等圆按相邻把八个等圆按相邻两两外切摆放两两外切摆放,其圆心连线构成一个正八边形其圆心连线构成一个正八边形,设正八设正八边形内侧八个扇形边形内侧八个扇形(无阴影部分无阴影部分
30、)面积之和为面积之和为S S1 1,正八正八边形外侧八个扇形边形外侧八个扇形(阴影部分阴影部分)面积之和为面积之和为S S2 2,则则 ()12SS332A.B.C.D.1453【思路点拨】【思路点拨】先根据正多边形的内角和公式可求正八先根据正多边形的内角和公式可求正八边形的内角和边形的内角和,根据周角的定义可求正八边形外侧八个根据周角的定义可求正八边形外侧八个扇形扇形(阴影部分阴影部分)的内角和的内角和,再根据半径相等的扇形面积再根据半径相等的扇形面积与圆周角成正比即可求解与圆周角成正比即可求解.【标准解答】【标准解答】选选B.B.正八边形的内角和为正八边形的内角和为(8-2)(8-2)18
31、0180=6=6180180=1080=1080,正八边形外侧八个扇形正八边形外侧八个扇形(阴影部分阴影部分)的内角和为的内角和为3603608-10808-1080=2880=2880-1080-1080=1800=1800,12S1 0803.S1 8005【题组过关】【题组过关】1.(20161.(2016资阳中考资阳中考)如图如图,两个两个三角形的面积分别是三角形的面积分别是9,6,9,6,对应对应阴影部分的面积分别是阴影部分的面积分别是m,n,m,n,则则m-nm-n等于等于()A.2A.2 B.3 B.3 C.4 C.4 D.D.无法确定无法确定【解析】【解析】选选B.B.设空白处
32、图形的面积为设空白处图形的面积为x,x,根据题意根据题意得得:m+x=9,n+x=6,:m+x=9,n+x=6,则则m-n=9-6=3.m-n=9-6=3.2.(20162.(2016绍兴中考绍兴中考)如图如图1,1,小敏利用课余时间制作了小敏利用课余时间制作了一个脸盆架一个脸盆架,图图2 2是它的截面图是它的截面图,垂直放置的脸盆与架子垂直放置的脸盆与架子的交点为的交点为A,B,AB=40cm,A,B,AB=40cm,脸盆的最低点脸盆的最低点C C到到ABAB的距离为的距离为10cm,10cm,则该脸盆的半径为则该脸盆的半径为_cm._cm.【解析】【解析】如图如图,设圆的圆心为设圆的圆心为
33、O,O,连接连接OA,OC,OCOA,OC,OC与与ABAB交于交于点点D,D,设设O O半径为半径为R,R,OCAB,AD=DB=AB=20,OCAB,AD=DB=AB=20,在在RtRtAODAOD中中,ADO=90,ADO=90,OAOA2 2=AD=AD2 2+OD+OD2 2,R,R2 2=20=202 2+(R-10)+(R-10)2 2,R=25.,R=25.答案答案:2525123.(20153.(2015东营中考东营中考)如图如图,一只蚂蚁沿着边长为一只蚂蚁沿着边长为2 2的正的正方体表面从点方体表面从点A A出发出发,经过经过3 3个面爬到点个面爬到点B,B,如果它运动的如
34、果它运动的路径是最短的路径是最短的,则则ACAC的长为的长为_._.【解析】【解析】将正方体展开将正方体展开,右边与后面的正方形与前面右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上正方形放在一个面上,展开图如图所示展开图如图所示,此时此时ABAB最最短短,BCMBCMACN,ACN,即即 =2,=2,即即MC=2NC,MC=2NC,CN=MN=,CN=MN=,MBMCANNC4MC2NC1323在在RtRtACNACN中中,根据勾股定理得根据勾股定理得:AC=:AC=答案答案:222 10ANCN.32 1034.(20164.(2016宜昌中考宜昌中考)杨阳同学沿一段笔直的人行道行杨阳同学沿一段
35、笔直的人行道行走走,在由在由A A步行到达步行到达B B处的过程中处的过程中,通过隔离带的空隙通过隔离带的空隙O,O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语观标语,其具体信息汇集如下其具体信息汇集如下:如图如图,ABOHCD,ABOHCD,相邻两平行线间的距离相等相邻两平行线间的距离相等,AC,BD,AC,BD相交于相交于O,ODCD.O,ODCD.垂足为垂足为D,D,已知已知AB=20AB=20米米,请根据上述信请根据上述信息求标语息求标语CDCD的长度的长度.【解析】【解析】ABCD,ABO=CDO,ABCD,ABO=CDO,OD
36、CD,CDO=90ODCD,CDO=90,ABO=90ABO=90,即即OBAB,OBAB,相邻两平行线间的距离相等相邻两平行线间的距离相等,OD=OB,OD=OB,在在ABOABO与与CDOCDO中中,ABOABOCDO(ASA),CDO(ASA),CD=AB=20(m).CD=AB=20(m).ABOCDOOBODAOBCOD ，题型四题型四 数学建模思想数学建模思想数学建模常见的四种类型数学建模常见的四种类型1.1.建立建立“方程方程(组组)”)”模型模型:现实生活中广泛存在着数量现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系之间的相等关系,“,“方程方程(组组)”)”模型是研究现实世界数模型是
37、研究现实世界数量关系的最基本的数学模型量关系的最基本的数学模型,它可以帮助人们从数量关它可以帮助人们从数量关系的角度更正确、清晰地认识、描述和把握现实世界系的角度更正确、清晰地认识、描述和把握现实世界.诸如纳税问题、分期付款、打折销售、增长率、储蓄诸如纳税问题、分期付款、打折销售、增长率、储蓄利息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题利息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题,常可以常可以抽象成抽象成“方程方程(组组)”)”模型模型,通过列方程通过列方程(组组)加以解决加以解决.2.2.建立建立“不等式不等式(组组)”)”模型模型:现实生活中同样也广泛存现实生活中同样也广泛存在着数量之间的不等关系
38、在着数量之间的不等关系.诸如统筹安排、市场营销、诸如统筹安排、市场营销、生产决策、核定价格范围等问题生产决策、核定价格范围等问题,可以通过给出的一些可以通过给出的一些数据进行分析数据进行分析,将实际问题转化成相应的不等式将实际问题转化成相应的不等式(组组)问问题题,利用不等式的有关性质加以解决利用不等式的有关性质加以解决.3.3.建立建立“函数函数”模型模型:函数反映了事物间的广泛联系函数反映了事物间的广泛联系,揭示了现实世界众多的数量关系及运动规律揭示了现实世界众多的数量关系及运动规律.现实生活现实生活中中,诸如最大获利、用料最省、最佳投资、最小成本、诸如最大获利、用料最省、最佳投资、最小成
39、本、方案最优化等问题方案最优化等问题,常可建立函数模型求解常可建立函数模型求解.4.4.建立建立“几何几何”模型模型:几何与人类生活和实际密切相关几何与人类生活和实际密切相关,诸如测量、航海、建筑、工程定位、道路拱桥设计等诸如测量、航海、建筑、工程定位、道路拱桥设计等涉及一定图形的性质时涉及一定图形的性质时,常需建立常需建立“几何几何”模型模型,把实把实际问题转化为几何问题加以解决际问题转化为几何问题加以解决.【典例【典例4 4】(2016(2016江西中考江西中考)如图如图1 1是一副创意卡通圆是一副创意卡通圆规规,图图2 2是其平面示意图是其平面示意图,OA,OA是支撑臂是支撑臂,OB,O
40、B是旋转臂是旋转臂,使用使用时时,以点以点A A为支撑点为支撑点,铅笔芯端点铅笔芯端点B B可绕点可绕点A A旋转作出圆旋转作出圆.已知已知OA=OB=10cm.OA=OB=10cm.(1)(1)当当AOB=18AOB=18时时,求所作圆的半径求所作圆的半径.(.(结果精确到结果精确到0.01cm)0.01cm)(2)(2)保持保持AOB=18AOB=18不变不变,在旋转臂在旋转臂OBOB末端的铅笔芯折末端的铅笔芯折断了一截的情况下断了一截的情况下,作出的圆与作出的圆与(1)(1)中所作圆的大小相中所作圆的大小相等等,求铅笔芯折断部分的长度求铅笔芯折断部分的长度.(.(结果精确到结果精确到0.
41、01cm)0.01cm)(参考数参考数据据:sin9:sin90.1564,cos90.1564,cos90.9877,sin180.9877,sin180.3090.3090,cos180,cos180.9511,0.9511,可使用科学计算器可使用科学计算器)【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)根据题意作辅助线根据题意作辅助线OCABOCAB于点于点C,C,根据根据OA=OB=10cm,OCB=90OA=OB=10cm,OCB=90,AOB=18,AOB=18,可以求得可以求得BOCBOC的度数的度数,从而可以求得从而可以求得ABAB的长的长.(2)(2)由题意可知由题意可知,作出的圆与作
42、出的圆与(1)(1)中所作圆的大小相等中所作圆的大小相等,则则AE=AB,AE=AB,然后作出相应的辅助线然后作出相应的辅助线,画出图形画出图形,从而可以从而可以求得求得BEBE的长的长,本题得以解决本题得以解决.【标准解答】【标准解答】(1)(1)作作OCABOCAB于点于点C,C,如图所示如图所示:由题意可得由题意可得,OA=OB=10cm,OCB=90,OA=OB=10cm,OCB=90,AOB=18AOB=18,BOC=9,BOC=9,AB=2BC=2OBsin9AB=2BC=2OBsin92210100.15643.13(cm),0.15643.13(cm),即所作圆的半径即所作圆的
43、半径约为约为3.13cm.3.13cm.(2)(2)作作ADOBADOB于点于点D,D,作作AE=AB,AE=AB,如图所示如图所示:保持保持AOB=18AOB=18不变不变,在旋转臂在旋转臂OBOB末端的铅笔芯折断末端的铅笔芯折断了一截的情况下了一截的情况下,作出的圆与作出的圆与(1)(1)中所作圆的大小相等中所作圆的大小相等,折断的部分为折断的部分为BE,AOB=18BE,AOB=18,OA=OB,OA=OB,ODA=90ODA=90,OAB=81,OAB=81,OAD=72,OAD=72,BAD=9BAD=9,BE=2BD=2ABsin9,BE=2BD=2ABsin9223.133.13
44、0.15640.98cm,0.15640.98cm,即铅笔芯折断部分的长度约是即铅笔芯折断部分的长度约是0.98cm.0.98cm.【题组过关】【题组过关】1.(20161.(2016西宁中考西宁中考)某经销商销售一批电话手表某经销商销售一批电话手表,第一第一个月以个月以550550元元/块的价格售出块的价格售出6060块块,第二个月起降价第二个月起降价,以以500500元元/块的价格将这批电话手表全部售出块的价格将这批电话手表全部售出,销售总额超销售总额超过了过了5.55.5万元万元.这批电话手表至少有这批电话手表至少有()A.103A.103块块B.104B.104块块C.105C.105
45、块块D.106D.106块块【解析】【解析】选选C.C.设这批手表有设这批手表有x x块块,55055060+(x-60)60+(x-60)50055000,50055000,解得解得x104,x104,这批电话手表至少有这批电话手表至少有105105块块.2.(20162.(2016荆门中考荆门中考)为了改善办学条件为了改善办学条件,学校购置了笔学校购置了笔记本电脑和台式电脑共记本电脑和台式电脑共100100台台,已知笔记本电脑的台数已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的比台式电脑的台数的 还少还少5 5台台,则购置的笔记本电脑则购置的笔记本电脑有有_台台.14【解析】【解析】设购置的笔记本
46、电脑有设购置的笔记本电脑有x x台台,则购置的台式电则购置的台式电脑为脑为(100-x)(100-x)台台,依题意得依题意得:x=(100-x)-5,:x=(100-x)-5,即即20-x=0,20-x=0,解得解得x=16.x=16.购置的笔记本电脑有购置的笔记本电脑有1616台台.答案答案:161614543.(20163.(2016西宁中考西宁中考)青海新闻网讯青海新闻网讯:2016:2016年年2 2月月2121日日,西西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用.市政市政府今年投资了府今年投资了112112万元万元,建成建成4040个公共自行
47、车站点、配个公共自行车站点、配置置720720辆公共自行车辆公共自行车.今后将逐年增加投资今后将逐年增加投资,用于建设新用于建设新站点、配置公共自行车站点、配置公共自行车.预计预计20182018年将投资年将投资340.5340.5万元万元,新建新建120120个公共自行车站点、配置个公共自行车站点、配置22052205辆公共自行车辆公共自行车.(1)(1)请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元少万元?(2)(2)请你求出请你求出20162016年到年到20182018年市政府配置公共自行车数年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率量的年
48、平均增长率.【解析】【解析】(1)(1)设每个站点造价设每个站点造价x x万元万元,自行车单价为自行车单价为y y万万元元.根据题意可得根据题意可得:答答:每个站点造价为每个站点造价为1 1万元万元,自行车单价为自行车单价为0.10.1万元万元.40 x720y112,x1,120 x2 205y340.5y0.1.解得，(2)(2)设设20162016年到年到20182018年市政府配置公共自行车数量的年年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为平均增长率为a.a.根据题意可得根据题意可得:720(1+a):720(1+a)2 2=2205,=2205,解此方程解此方程:(1+a):(1+a
49、)2 2=,=,即即a a1 1=75%,a=75%,a2 2=-,(=-,(不符合题意不符合题意,舍去舍去)答答:2016:2016年到年到20182018年市政府配置公共自行车数量的年平年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为均增长率为75%.75%.4916341141.成为世界上经济增长速度最快的国家，创造了世界经济增长史上的新奇迹。2.社会生产力高速发展，人民生活发生翻天覆地的变化。3、掌握十一届三中全会是伟大的历史转折4、理解我国在农村和城市改革的成果5.所有制形式单一，排斥多种经济形式和经营方式。6.经营决策集中在国家手中，企业缺乏自主权。7.分配实行统收统支，国家统负盈亏，吃“大锅饭”。8.否定商品经济的存在，否定市场及价值规律对经济的调节作用。
