1、第第2 2讲讲 三角变换与解三角形三角变换与解三角形1.1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1 1）coscos（）=cos cos sin sin=cos cos sin sin .（2 2）sinsin（）=sin=sincoscoscoscos sin sin.（3 3）tantan（）=2.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1 1）sin2 =2sin cossin2 =2sin cos .（2 2）cos2 =coscos2 =cos2 2 -sin -sin2 2 =2cos =2cos2 2 -1=1-2sin -
2、1=1-2sin2 2 .（3 3）tan2 =tan2 =.tantan1tantan.tan1tan223.3.三角恒等式的证明方法三角恒等式的证明方法 （1 1）从等式的一边推导变形到另一边，一般是化）从等式的一边推导变形到另一边，一般是化 繁为简繁为简.（2 2）等式的两边同时变形为同一个式子）等式的两边同时变形为同一个式子.（3 3）将式子变形后再证明）将式子变形后再证明.4.4.正弦定理正弦定理 （2 2R R为为ABCABC外接圆的直径外接圆的直径).).变形：变形：a a=2=2R RsinsinA A,b b=2=2R RsinsinB B,c c=2=2R RsinsinC
3、 C.sinsinA A=,sin=,sinB B=,sin=,sinC C=.=.a ab bc c=sin=sinA AsinsinB BsinsinC C.RCcBbAa2sinsinsinRa2Rb2Rc25.5.余弦定理余弦定理 a a2 2=b b2 2+c c2 2-2-2bcbccoscosA A,b b2 2=a a2 2+c c2 2-2-2acaccoscosB B,c c2 2=a a2 2+b b2 2-2-2b b2 2coscosC C.推论：推论：coscosA A=,cos=,cosB B=,=,coscosC C=.=.变形：变形：b b2 2+c c2 2
4、-a a2 2=2=2bcbccoscosA A,a a2 2+c c2 2-b b2 2=2=2acaccoscosB B,a a2 2+b b2 2-c c2 2=2=2ababcoscosC C.bcacb2222acbca2222abcba22226.6.面积公式面积公式 S SABCABC=bcbcsinsinA A=acacsinsinB B=ababsinsinC C.7.7.解三角形解三角形 （1 1）已知两角及一边，利用正弦定理求解）已知两角及一边，利用正弦定理求解.（2 2）已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余）已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余 弦定理求解，解的情况
5、可能不唯一弦定理求解，解的情况可能不唯一.（3 3）已知两边及其夹角，利用余弦定理求解）已知两边及其夹角，利用余弦定理求解.（4 4）已知三边，利用余弦定理求解）已知三边，利用余弦定理求解.212121一、两角和与差的三角函数公式的应用一、两角和与差的三角函数公式的应用例例1 1 （1 1）已知）已知0 ,0 0,0 0,0 ）（）（x xRR）的最大值）的最大值 是是1 1，其图象经过点，其图象经过点MM （1 1）求）求f f（x x）的解析式；）的解析式；（2 2）已知）已知 、，且，且f f（）=，f f（）=，求，求f f（）的值）的值.解解 （1 1）依题意知）依题意知A A=1,
6、=1,则则f f（x x）=sin=sin（x x+）.将点将点M M 代入得代入得sin sin 而而0 ,0 ,.21，32，053131221，3，213.653.655613554131253sinsincoscos)cos()(，13513121sin，54531sin，20，1312cos，53cos)2(.cos2sin)(，222f，、xxxf而依题意有故二、正、余弦定理的应用二、正、余弦定理的应用例例2 2 已知已知ABCABC是半径为是半径为R R的圆内接三角形，的圆内接三角形，且且2 2R R（sinsin2 2A A-sin-sin2 2C C）=（a a-b b）si
7、nsinB B.（1 1）求角）求角C C；（2 2）试求）试求ABCABC的面积的面积S S的最大值的最大值.思维启迪思维启迪 题设中的条件等式是题设中的条件等式是ABCABC中角、边及中角、边及 外接圆半径外接圆半径R R的混合关系式，因此，可以利用正、的混合关系式，因此，可以利用正、余弦定理将其统一为一种元素（边或角）余弦定理将其统一为一种元素（边或角）.2正弦定理正弦定理角化边角化边余弦定理余弦定理求角求角C C表示出表示出ABCABC的面的面积进而求出最值积进而求出最值 解解 （1 1）由）由2 2R R（sinsin2 2A A-sin-sin2 2C C）=（）sinsinB B
8、，两边同乘以两边同乘以2 2R R，得（，得（2 2R RsinsinA A）2 2-（2 2R RsinsinC C）2 2=(a a-b b)2)2R RsinsinB B,根据正弦定理，得根据正弦定理，得a a=2=2R RsinsinA A,b b=2 2R RsinsinB B,c c=2=2R RsinsinC C,a a2 2-c c2 2=(=(a a-b b)b b,即即a a2 2+b b2 2-c c2 2 =abab.再由余弦定理，得再由余弦定理，得coscosC C=,=,又又00C C ,b b，则有一解；，则有一解；若若a ab b，则无解，则无解.（2 2）当）
9、当A A为锐角时，如下表：为锐角时，如下表：6.6.三角形中的常用结论三角形中的常用结论 （1 1）三角形内角和定理：）三角形内角和定理：A A+B B+C C=.=.（2 2）A A B B C C a a b b c csinsinA AsinsinB BsinsinC C.（3 3）a a=b bcoscosC C+c ccoscosB B.7.7.在在ABCABC中，三边分别为中，三边分别为a a,b b,c c（a ab bc c）（1 1）若）若a a2 2+b b2 2 c c2 2,则则ABCABC为锐角三角形为锐角三角形.a a b bsinsinA Aa a=b bsins
10、inA Ab bsinsinA A a a b ba ab b无解无解一解一解两解两解一解一解 （2 2）若）若a a2 2+b b2 2=c c2 2，则，则ABCABC为直角三角形为直角三角形.（3 3）若）若a a2 2+b b2 2 00）,y y=f f（x x）的图象与直线）的图象与直线y y=2=2的两个的两个 相邻交点的距离等于相邻交点的距离等于 ,则则f f（x x）的单调递增区间）的单调递增区间 是是 （）A.A.B.B.3Z，125，12kkkZ，1211，125kkkZ，6，3kkkZ，32，6kkkC.C.D.D.解析解析 f f（x x）=sin=sinx x+co
11、s+cos x x=2sin .=2sin .因为因为函数函数y y=f f（x x）的图象与）的图象与y y=2=2的两个相邻交点的距离的两个相邻交点的距离为为 ,故函数故函数y y=f f（x x）的周期为）的周期为 ,所以所以 ,即即 =2.=2.所以所以f f（x x）=2sin .=2sin .令令2 2k k -36x262xx223，322322226kkxkk即得).Z(6kkx答案答案 C C5.5.（20082008福建理，福建理，1010）在）在ABCABC中中,角角A A、B B、C C的的 对边分别为对边分别为a a、b b、c c，若（，若（a a2 2+c c2
12、2-b b2 2）tantanB B=acac，则角则角B B的值为的值为 （）A.A.B.B.C.C.D.D.解析解析 （a a2 2+c c2 2-b b2 2）tantanB B=acac,tan tanB B=，即即coscosB BtantanB B=sin=sinB B=.=.00B B ,0,0)0,0)在闭区间在闭区间-,0-,0上的图上的图 象如图所示，则象如图所示，则 =.解析解析 由函数由函数y y=A Asinsin（x x+）的图象可知：）的图象可知：2T.3，322.32，3)32()3(TT38.8.若若f f（x x）=a asinsin +b bsinsin
13、（abab00）是偶）是偶 函数，则有序实数对（函数，则有序实数对（a a，b b）可以是）可以是 .（注：只要填满足（注：只要填满足a a+b b=0=0的一组数字即可）的一组数字即可）解析解析 当当a a=1=1，b b=-1=-1时，满足时，满足a a+b b=0.=0.此时，此时，y y=sin -sin =sin -sin =cos=cosx x，为偶函数，为偶函数.4x4x4x4xxxxxcos22sin22cos22sin222（1 1，-1-1）三、解答题三、解答题9.9.（20092009青岛模拟）已知函数青岛模拟）已知函数f f（x x）=m mn n，其中，其中 m m=
14、(sin =(sin x x+cos+cos x x，coscos x x）,n n=(cos=(cos x x-sin sinx x,2sin,2sin x x），其中），其中 00，若，若f f（x x）相邻两）相邻两 对称轴间的距离大于等于对称轴间的距离大于等于 .（1 1）求）求 的取值范围；的取值范围；（2 2）在）在ABCABC中，中，a a,b b,c c分别是角分别是角A A，B B，C C的对的对 边，边，a a=,=,b b+c c=3=3，当，当 最大时，最大时，f f（A A）=1,=1,求求 ABCABC的面积的面积.323 解解 （1 1）f f（x x）=m mn
15、 n=cos=cos2 2 x x-sin-sin2 2 x x+2 +2 cos cos x xsinsin x x=2sin=2sin（2 2 x x+）.0 0，函数函数f f（x x）的周期）的周期T T=，由题意可，由题意可 知知 ,解得解得0 10 1，即，即 的取值范围是的取值范围是|0 1.|0 1.（2 2）由（）由（1 1）可知）可知 的最大值为的最大值为1 1，f f（x x）=2sin=2sin（2 2x x+）.f f（A A）=1,sin=1,sin（2 2A A+）=.=.362222，22即T6621，2，3.3，2cos.3，6562，61362622222b
16、ccbbccbbcacbAAAA联立解得又由余弦定理知而S SABCABC=.23sin21Abc10.10.（20092009重庆理，重庆理，1616）设函数）设函数f f（x x）=sin =sin -2cos -2cos2 2 x x+1.+1.（1 1）求）求f f（x x）的最小正周期）的最小正周期;（2 2）若函数）若函数y y=g g（x x）与）与y y=f f（x x）的图象关于直线）的图象关于直线 x x=1=1对称，求当对称，求当x x 时，时，y y=g g（x x）的最大值）的最大值.解解 （1 1）f f（x x）=sin =sin x xcos -coscos -
17、cos x xsinsin -cos cos x x=64x834，046464xx4cos234sin23,34sin3x故故f f（x x）的最小正周期为）的最小正周期为.842T（2 2）方法一方法一 在在y y=g g（x x）的图象上任取一点（）的图象上任取一点（x x,g g（x x）,它关于它关于x x=1=1的对称点为（的对称点为（2-2-x x,g g（x x）.由题设条件，点（由题设条件，点（2-2-x x,g g（x x）在）在y y=f f（x x）的图象）的图象 上，从而上，从而g g（x x）=f f（2-2-x x）=当当00 x x 时，时，x x+,+,因此因
18、此y y=g g（x x）在）在 区间区间 上的最大值为上的最大值为g g（x x）maxmax=3)2(4sin3x.34cos3342sin3xx343433234，0.233cos3方法二方法二 因区间因区间 关于关于x x=1=1的对称区间为的对称区间为 ，且，且 y y=g g（x x）与）与y y=f f（x x）的图象关于）的图象关于x x=1=1对称，故对称，故y y=g g（x x）在在 上的最大值即为上的最大值即为y y=f f（x x）在）在 上的最大值上的最大值.由（由（1 1）知）知f f（x x）,当当 x x22时，时，-x x-.-.因此因此y y=g g（x x）在）在 上的最大值为上的最大值为g g（x x）maxmax=sin=sin=34，02，3234，02，3234sin3x32643634，036.23返回
