1、数学物理方法复习数学物理方法复习2018年1月复变函数部分复变函数部分v复数与复变函数复数与复变函数v解析函数解析函数v复变函数的积分复变函数的积分v级数级数v留数定理及其应用留数定理及其应用第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数v第一节第一节 复数及运算复数及运算v第二节第二节 区域区域v第三节第三节 复变函数复变函数v第四节第四节 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性教科书：第一章4100i1)i1(和求v典型例子典型例子|bzaz求0,0r1经=iz变换后在平面上的图形。求z平面上带形区域-Rez+,0Imz经=ez 变换后在平面上的图形。计算Ln2，Ln(-1)，Ln(-i
2、)，Ln(1+i)求解sinz=0 和 sinz=2的全部根的极限求122lim21zzzz zz不存在证明极限zzz0lim求0,0r1经=iz变换后在平面上的图形。z平面平面=iz=zexp(i/2)求z平面上带形区域-Rez+,0Imz经=ez 变换后在平面上的图形。=ez0,00,veuyRxx注意,0,0 xxR yuev 试确定函数 f(z)=z2-z 将z平面上的区域0Imz1映射为w平面上的图像0y02vxxu1y1212xvxxu45412vuf(z)=z2-zyxuv455514计算Ln2，Ln(-1)，Ln(-i)，Ln(1+i)O x y1+i2-i-1,2,1,0,2
3、2)32ln(i,2,1,0,nnznnz求解sinz=0 和 sinz=2的全部根求解方程31sin44tancos4ziziz第二章第二章 解析函数解析函数v第一节第一节 导数导数v第二节第二节 解析函数解析函数v第三节第三节 解析函数的变换性质解析函数的变换性质教科书：第二章v典型例子典型例子已知解析函数f(z)的实部为u(x,y)=2(x-1)y，且f(2)=-i 求此解析函数f(z)证明：x2-2xy不能成为的一个解析函数的虚部 证明：函数f(z)=zImz在点z=0可导，但不解析 已知某解析函数 f(z)的虚部,),(22yxxyxv求该解析函数。已知解析函数f(z)=u(x,y)
4、+iv(x,y)，且u-v=(x-y)(x2+4xy+y2)求此解析函数f(z)已知解析函数f(z)的实部u(x,y)=2(x-1)y，且f(2)=-i 求此解析函数f(z)12xyuxvyuxvyvxu,yxuyv2222212yxxdydydxxdyyvdxxvdvCyxxv222iCzziiCyxxiyxzf)2()2()1(2)(222)1()2()(ziizzizf已知某解析函数 f(z)的虚部,),(22yxxyxv求该解析函数。11,uvvurrrr 2sin2),(rrv2cos211rvrru2sin2rrvru2cos22sin22cos21rddrdrrdudrruduC
5、rru2cos2),(Czzf)(已知解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，且u-v=(x-y)(x2+4xy+y2)求此解析函数f(z)22(4)()(24)uvuuxxyyxyxyxxxyyuxvyvxu,22236(33)3uududxdyxydxxydydx yyxy23233()3(3)(1)(1)f zx yyixyxi Cizi C22(4)()(24)uvuuxxyyxyyxyyyx 2233uxyy6uxyx233ux yyC233vxyxC已知解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，且u=x+y求此解析函数的导数 yuxvyvxu,()1uvfziixx
6、1uy1ux1vuxy 1vuyx第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分v第一节第一节 积分的概念及性质积分的概念及性质v第二节第二节 Cauchy定理定理v第三节第三节 原函数与不定积分原函数与不定积分v第四节第四节 Cauchy积分公式积分公式教科书：第三章v典型例子典型例子CzdzImImzezdzizz221ezzdzzz i22321()其中：(1)C为由原点到(2,0)再到(2,1)的折线；(2)C为由原点到(2,1)的直线02211|2zdzzz证明：1|/1i 2zzdzze21sin14Czdzz 计算积分：路径C：1232|1/21sin014zzdzz|1|1sin/
7、(1)41zzzdzz 2|3sin41zzdzz 1211izCe dzz 计算积分：1|1/()izz iezidzezi 123ii12路径C：2|1|2|2 23sin,2zizzizir 211izCe dzz 2|2|zzz edzz 计算积分：奇点 z=022|2|2|2zzzzz eedzdzzz031()zzzaF zedzzza取何值时，函数是单值的？0zz310zCaedzzzC：围原点的闭合曲线3|1zzaedzzz222!iia2a 第四章第四章 级数级数v第一节第一节 复数项级数复数项级数v第二节第二节 幂级数幂级数v第三节第三节 Taylor级数表示级数表示v第四
8、节第四节 Laurent级数表示级数表示v第五节第五节 孤立奇点的分类孤立奇点的分类教科书：第四、五、六章v典型例子典型例子求函数f zzz112()()011|z11|z分别在下列区域内的洛朗级数展开式求下列函数的孤立奇点，并指出类型22)1)(1(2)(zzzzf232)(sin)2)(1()(zzzzf在指定点展成Taylor级数，并给出收敛半径 21-f zz在z=1展开：在z=0展开（前四项）：1exp1f zz在z=0展开：211fzzz210zz2/31,2ize2/31ize2/32ize 121()()f zzzzz1212111zzzzzz1212121111111zzzz
9、zzzz在z=0展开：sin1zf zz210(1)sin(21)!kkkzzk011jjzz 2100sin(1)1(21)!kkjkjzf zzzzk2100(1)(21)!kkjkjzk(1)/210(1)(21)!knnnkzk在指定点及区域展成Laurent级数 21(1)f zzz 2132fzzz(1)(2)(4)(3)zzf zzz(1)(2)zf zzz求下列方程在z=0领域内的级数解2220d wz wdz220d wzwdz第五章第五章 留数定理及其应用留数定理及其应用v第一节第一节 留数及留数定理留数及留数定理v第二节第二节 应用留数定理计算实函数的积分应用留数定理计算
10、实函数的积分教科书：第七章v典型例子典型例子计算积分 )10(221|zzdzz计算积分dzzzezz122|计算积分dzzzz142|计算积分dzzzezz22|)1(|2coshzzedzz 奇点 z=/2i,3/2i,|22coshcosh2zzzeedzizizz 在的留数和计算积分：20sincos231d20cos11d其中00时杆上各点的温度分布。2220,00,0(,0),0uuaxttxxu xux 利用Fourier变换方法求解一维无界弦的受迫振动问题 22222(,),0(,0)(),(,0)(),tuuaf x txttxu xx u xxx 利用Fourier变换方法
11、求解二维无界平面上的自由振动问题 2222222,0(,0)(,),(,0)(,),tuuuax yttxyu x yx y u x yx yx y 第十二章第十二章 Green函数法函数法v第一节第一节 基本解和基本解和Green公式公式v第二节第二节 边值问题的解的积分表示和边值问题的解的积分表示和Green函数函数v第三节第三节 Green函数的求解函数的求解v第四节第四节 特殊区域上边值问题的解特殊区域上边值问题的解v第五节第五节 热传导方程的热传导方程的Green函数法函数法v第六节第六节 波动方程的波动方程的Green函数法函数法教科书：第二十章v典型例子上半空间上的Green函数
12、球内的Green函数上半平面上的Green函数四分之一平面上的Green函数圆内的Green函数半圆内的Green函数(,)(,),(,)(,)aax yBuf x yx yBux y 20(,),(,)()yuf x yx yRux 一维热传导方程初边混合问题的一维热传导方程初边混合问题的Green函数：函数：200()(),0,0(,;,):0,or 0,0,0,0 txxttxx lGa Gxtxl tG x tGGxlGGt 一维热传导方程初始问题的一维热传导方程初始问题的Green函数：函数：20()(),0(,;,):0,or 0,ntxxnttGa GxtxR tG x tGGxR 一维弦振动方程初边混合问题的一维弦振动方程初边混合问题的Green函数：函数：2000()(),0,0(,;,):0,0,0,0,0 ttxxtttxx lGa Gxtxl tG x tGGxlGGt 一维弦振动方程初始问题的一维弦振动方程初始问题的Green函数：函数：200()(),0(,;,):0,0,ttxxtttGa GxtxR tG x tGGxR Thanks!2017.8
