1、3.1 矩阵的初等变换 上页下页返回引例首页结束铃 矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算 它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用.上页下页铃结束返回补充例题首页979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxxv方程组的同解变换与增广矩阵的关系 979634226422424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换.同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上.显然 交换B
2、的第1行与第2行即得B1.97963422644121121112B979634226421112412111B增广矩阵的比较 例如下页.上页下页铃结束返回补充例题首页979632113221112412112B2 2 显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2.979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxxv方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换.同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上.例如979634226441
3、21121112B9796323242224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx增广矩阵的比较 下页.上页下页铃结束返回补充例题首页979634226441211613303B979634226442633432143214321432xxxxxxxxxxxxxxx2 2 显然 把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3.979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxxv方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换.同解变换有 交换两个方程的位置 把
4、某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上.例如97963422644121121112B增广矩阵的比较 下页.上页下页铃结束返回补充例题首页 线性方程组与其增广矩阵相互对应 对方程组的变换完全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换.把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上 就得到矩阵的三种初等变换.v方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换.同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上.下页.上页下页铃结束返回补充例题首页 下面三种变换称为矩阵的初等行(列)
5、变换 (i)对调两行(列)(ii)以非零数k乘某一行(列)中的所有元素 (3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去.v矩阵的初等变换 这三种变换都是可逆的 且其逆变换是同一类型的初等变换.例如 变换ri+krj的逆变换为ri+(k)rj(或记作rikrj).rirj(cicj)对调i j两行(列)rik(cik)表示第i行(列)乘非零数k ri+krj(ci+kcj)表示第j行(列)的k倍加到第i行(列)上.v初等变换的符号 下页.上页下页铃结束返回补充例题首页v矩阵的等价关系 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B 就称矩阵A与B等价 记作 A B.如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B
6、就称矩阵A与B行等价 记作 A B.r 如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B 就称矩阵A与B列等价 记作 A B.cv等价关系的性质 (i)反身性 AA (ii)对称性 若AB 则BA (iii)传递性 若AB BC 则AC.下页.上页下页铃结束返回补充例题首页 r3r41 1 2 1 40 1 1 1 00 0 0 2 61 1 2 1 40 2 2 2 00 5 5 3 60 3 3 4 31 1 2 1 42 1 1 1 22 3 1 1 23 6 9 7 9r42r3v矩阵初等变换举例 97963422644121121112r1r2r2r3r32r1r43r11 1 2 1 40
7、1 1 1 00 0 0 2 60 0 0 1 3r22r35r2r43r2r32r1r2r2r3行阶梯形矩阵 行最简形矩阵 1 0 1 0 40 1 1 0 30 0 0 1 30 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 1 3下页.上页下页铃结束返回补充例题首页 可以证明 对于任何矩阵A 总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.下页 r3r41 1 2 1 40 1 1 1 00 0 0 2 61 1 2 1 40 2 2 2 00 5 5 3 60 3 3 4 31 1 2 1 42 1 1 1 22 3 1 1 23 6 9 7 9r42r3v矩阵初等变换举例
8、97963422644121121112r1r2r2r3r32r1r43r11 1 2 1 40 1 1 1 00 0 0 2 60 0 0 1 3r22r35r2r43r2r32r1r2r2r31 0 1 0 40 1 1 0 30 0 0 1 30 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 1 3.上页下页铃结束返回补充例题首页v矩阵初等变换举例 对行最简形矩阵再施以初等列变换 可变成一种形状更简单的矩阵 称为标准形.其特点是 左上角是一个单位矩阵 其余元素全为0.v矩阵的标准形00000310003011040101 c00000010000001000001比如上述行最简形矩阵经初等
9、列变换得 下页0000031000011104121100000310003011040101.rr9796342264412112111200000001000001000001.c.上页下页铃结束返回补充例题首页 因为有上述等价关系 所以有同解线性方程组 v行最简形矩阵与线性方程组的解 v矩阵初等变换举例 979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx与00 3 3 4 43231xxxxx 其解为33443231xxxxx 其 x3为自由未知数.完整解题过程 下页0000031000011104121100000310003011040101
10、.rr97963422644121121112.上页下页铃结束返回补充例题首页v矩阵初等变换举例 所有行等价的矩阵组成的一个集合 集合中矩阵所对应的线性方程组都是同解的 其中行最简形矩阵所对应的线性方程组是最简单的 而且是最容易求解的.v行最简形矩阵与线性方程组的解 结束0000031000011104121100000310003011040101.rr97963422644121121112.3.2 初等矩阵 矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算 这有着广泛的应用.上页下页铃结束返回首页补充例题.上页下页铃结束返回补充例题首页 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.v初等矩
11、阵 E(i(k)表示用非零数k乘单位矩阵E的第i行(列)得到初等矩阵.E(ij(k)表示把单位矩阵E的第j行的k倍加到第i行上 或把单位矩阵E的第i列的k倍加到第j列上得到初等矩阵.E(i j)表示对调单位矩阵E的第i j两行(列)得到的初等矩阵.100001010)2 ,1(3E100030001)32(3E102010001)2(1 3(E例如下页.上页下页铃结束返回补充例题首页 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.v初等矩阵 E(i(k)表示用非零数k乘单位矩阵E的第i行(列)得到初等矩阵.E(ij(k)表示把单位矩阵E的第j行的k倍加到第i行上 或把单位矩阵E的第i列的
12、k倍加到第j列上得到初等矩阵.E(i j)表示对调单位矩阵E的第i j两行(列)得到的初等矩阵.初等矩阵都是可逆的 并且 v初等矩阵的可逆性 E(i j)1E(i j)1()(1kiEkiE E(ij(k)1E(ij(k).下页.上页下页铃结束返回补充例题首页v定理1(初等矩阵在矩阵乘法中的作用)设A是一个mn矩阵.对A施行一次初等行变换 相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.110211103A21rr 110103211110211103100001010)2 ,1(3AE1101032111102111031000010
13、10)2 ,1(3AE110103211.例如 设 则有 110211103A110211103A21rr 110103211 下页r1r2.上页下页铃结束返回补充例题首页 例如 设 则有 110211103A110211103A21rr 110103211110211103A312cc 112215105 102010001110211103)2(1 3(3AE112215105102010001110211103)2(1 3(3AE112215105.v定理1(初等矩阵在矩阵乘法中的作用)设A是一个mn矩阵.对A施行一次初等行变换 相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列
14、变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.下页c12c3.上页下页铃结束返回补充例题首页v定理2(矩阵可逆的充要条件)方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1 P2 Pl 使AP1P2 Pl.v推论2 mn矩阵A与B等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q 使PAQB.v定理1(初等矩阵在矩阵乘法中的作用)设A是一个mn矩阵.对A施行一次初等行变换 相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.v推论1 方阵A可逆的充分必要条件是A E.r下页 .上页下页铃结束返回补充例题首页 设A为n阶可逆矩阵 B为ns
15、矩阵.显然A1也可逆 所以存在初等矩阵P1 P2 Pl 使 A1P1P2 Pl 于是有 A1AP1P2 Pl A 即 E P1P2 Pl A及 A1BP1P2 Pl B 这表明 如果对A进行若干次初等行变换化为E 则对B进行同样的初等行变换将化为A1B.两式合起来为 P1P2 Pl(A B)(E A1B).矩阵A可逆AP1P2 Pl 其中P1 P2 Pl都是初等矩阵.求逆矩阵的初等行变换法 下页.上页下页铃结束返回补充例题首页 设A为n阶可逆矩阵 B为ns矩阵 则存在初等矩阵P1 P2 Pl 使 P1P2 Pl(A B)(E A1B).上式的意义 (i)取BE时 上式成为P1P2 Pl(A E
16、)(E A1).(ii)当A为可逆矩阵时 方程AXB的解为XA1B.求AXB的解可以对(A B)进行初等行变换 使之成为(E A1B)此时即得XA1B.矩阵A可逆AP1P2 Pl 其中P1 P2 Pl都是初等矩阵.求逆矩阵的初等行变换法 下页.上页下页铃结束返回补充例题首页若矩阵A可逆 则矩阵(A E)经初等行变换可化为(E A1).例1 设 求A1.032203120A 解 0 2 1 1 0 03 0 2 0 1 02 3 0 0 0 1(A E)1 1 1 1 1 13 0 2 0 1 02 3 0 0 0 1r1r2r1r31 1 1 1 1 10 3 1 3 2 30 5 2 2 2
17、 3 r23r1r32r1 1 1 1 1 1 10 1 0 4 2 30 5 2 2 2 3r22r2r3 1 1 1 1 1 10 1 0 4 2 30 0 2 18 8 12r35r2 1 1 1 1 1 10 1 0 4 2 30 0 1 9 4 6r2(1)r3(2)因为下页.上页下页铃结束返回补充例题首页若矩阵A可逆 则矩阵(A E)经初等行变换可化为(E A1).例1 设 求A1.032203120A 1 1 1 1 1 10 1 0 4 2 30 0 1 9 4 6r 0 2 1 1 0 03 0 2 0 1 02 3 0 0 0 1(A E)r1r2r1r3 1 0 0 6
18、3 40 1 0 4 2 30 0 1 9 4 6 所以6493244361A.所以 解 因为下页.上页下页铃结束返回补充例题首页若矩阵A可逆 则矩阵(A B)经初等行变换可化为(E A1B).例2 设231221312A 2211b 5012b 求线性方程组Ax1b1和Ax2b2的解.记X(x1 x2)B(b1 b2)则两个线性方程组可合成一个矩阵方程AXB.解 因为 522310222111312),(BA231001001024001 r所以2310241BAX2310241BAX 即3041x 2122x.2310241BAX 即下页 .上页下页铃结束返回补充例题首页若矩阵A可逆 则矩
19、阵(A B)经初等行变换可化为(E A1B).例3 求解矩阵方程AXAX 其中 .010312022A 把所给方程变形为(AE)XA.解 010110312302022021),(AEA因为312100302010622001 r312302622)(1AEAX所以312302622)(1AEAX.讨论 如何求解矩阵方程XAB?其中A可逆.结束 提示 .3.3 矩阵的秩 我们已经知道 给定一个mn矩阵A 它的标准形 nmrOOOEF由数r完全确定.这个数也就是A的行阶梯形中非零行的行数 这个数便是矩阵A的秩.上页下页铃结束返回首页.上页下页铃结束返回补充例题首页 1 1 2 1 42 1 1
20、1 22 3 1 1 23 6 9 7 9A vk阶子式 在mn矩阵A中 任取k行与k列(km kn)位于这些行列交叉处的k2个元素 不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式 称为矩阵A的k阶子式.例如 1 13 1D 是A的一个二阶子式.1 1 2 1 42 1 1 1 22 3 1 1 23 6 9 7 9A 下页 mn 矩阵 A 的 k 阶子式有knkmCC个.上页下页铃结束返回补充例题首页说明 v矩阵的秩 设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D 且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0 那么D称为矩阵A的最高阶非零子式 数r称为矩阵A的秩 记作R(A).并规定零矩阵的秩等于0.矩
21、阵A的秩R(A)就是A中不等于0的子式的最高阶数.(1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0 则R(A)s 若A中所有t阶子式全为0 则R(A)t.(2)若A为mn矩阵 则0R(A)minm n.(3)R(AT)R(A).v几个简单结论 下页.上页下页铃结束返回补充例题首页v矩阵的秩 设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D 且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0 那么D称为矩阵A的最高阶非零子式 数r称为矩阵A的秩 记作R(A).并规定零矩阵的秩等于0.(1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0 则R(A)s 若A中所有t阶子式全为0 则R(A)t.(2)若A为mn矩阵 则0R(A)minm n.(3)
22、R(AT)R(A).v几个简单结论 (4)对于n阶矩阵A 当|A|0时 R(A)n 当|A|0时 R(A)n.可逆矩阵又称为满秩矩阵 不可逆矩阵(奇异矩阵)又称为降秩矩阵.下页.上页下页铃结束返回补充例题首页提示 例4 求矩阵A和B的秩 其中174532321A 00000340005213023012B.在A中 容易看出一个2阶子式 013221 A的3阶子式只有一个|A|经计算可知|A|0 因此R(A)2.解 以三个非零行的首非零元为对角元的3阶子式400230312是一个上三角行列式 它显然不等于0 因此R(B)3.B是一个有3个非零行的行阶梯形矩阵 其所有4阶子式全为零.对于行阶梯形矩
23、阵 它的秩就等于非零行的行数.下页.上页下页铃结束返回补充例题首页v定理1 若AB 则R(A)R(B).根据这一定理 为求矩阵的秩 只要把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩.下页.上页下页铃结束返回补充例题首页因为 解 41461351021632305023A 例2 求矩阵A的秩 并求A的一个最高阶非零子式 其中 41461351021632305023A.00000840001134041461 所以R(A)3.为求A的最高阶非零子式 考虑由A的 1、2、4 列构成的矩阵 1615026235230A.因为A0的子式0502623523 所以这个子式
24、是A的最高阶非零子式.下页.上页下页铃结束返回补充例题首页注 以B为增广矩阵的线性方程组Axb是无解的 这是因为行阶梯形矩阵的第3行表示矛盾方程01.例3 求矩阵A及B(A b)的秩 其中 6063324208421221A 4321b.对B作初等行变换变为行阶梯形矩阵 设B的行阶梯形矩阵为B0(A0 b0)则A0就是A的行阶梯形矩阵 故从B0(A0 b0)中可同时看出R(A)及R(B).解 46063332422084211221B00000100000120011221 因为所以R(A)2 R(B)3.下页.上页下页铃结束返回补充例题首页 例4 设 已知R(A)2 求与的值.6352132
25、111A 解 6352132111A因R(A)2 故 458044302111015044302111 0105 即0105 即15.下页.上页下页铃结束返回补充例题首页 (6)R(AB)R(A)R(B).(5)maxR(A)R(B)R(A B)R(A)R(B)特别地 当Bb为列向量时 有R(A)R(A b)R(A)1.(4)若P、Q可逆 则R(PAQ)R(A).这是因为(AB B)(A B)于是下页R(AB B)R(A B)R(AB)R(A)R(B).v矩阵秩的性质 (1)0R(Amn)minm n.(2)R(AT)R(A).(3)若AB 则R(A)R(B).上页下页铃结束返回补充例题首页v
26、矩阵秩的性质 (8)若Amn BnlO 则R(A)R(B)n.(7)R(AB)minR(A)R(B).(6)R(AB)R(A)R(B).(5)maxR(A)R(B)R(A B)R(A)R(B)特别地 当Bb为列向量时 有R(A)R(A b)R(A)1.(4)若P、Q可逆 则R(PAQ)R(A).下页 (1)0R(Amn)minm n.(2)R(AT)R(A).(3)若AB 则R(A)R(B).上页下页铃结束返回补充例题首页提示 而R(EA)R(AE)所以R(AE)R(AE)n.例5 设A为n阶矩阵 证明R(AE)R(AE)n.证明 因为(AE)(EA)2E 由性质(6)有R(AE)R(EA)R
27、(2E)n R(AB)R(A)R(B).结束.3.4 线性方程组的解 我们知道 n未知数m个方程的线性方程组 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa 22112222212111212111可以写成Axb 其中A(aij)x(x1 x2 xn)T b(b1 b2 bm)T.矩阵B(A b)称为线性方程组的增广矩阵.线性方程组如果有解 就称它是相容的 如果无解就称它不相容.上页下页铃结束返回补充例题首页.上页下页铃结束返回补充例题首页v定理1 n元线性方程组Axb (1)无解的充分必要条件是R(A)R(A b)(2)有唯一解的充分必要条件是R(A)R(A b)n (3)有
28、无限多解的充分必要条件是R(A)R(A b)n.说明 Axb无解R(A)R(A b)的等价叙述 Axb无解R(A)R(A b)R(A)R(A b)Axb无解.R(A)R(A b)Axb有解 R(A)R(A b)Axb无解.要证明定理 只需证明 R(A)R(A b)Axb无解.R(A)R(A b)nAxb有唯一解.R(A)R(A b)nAxb有无限多解.下页.上页下页铃结束返回补充例题首页v定理2 线性方程组Axb有解的充分必要条件是R(A)R(A b).v定理3 n元齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是R(A)n v定理1 n元线性方程组Axb (1)无解的充分必要条件是R(A)R(A
29、 b)(2)有唯一解的充分必要条件是R(A)R(A b)n (3)有无限多解的充分必要条件是R(A)R(A b)n.上页下页铃结束返回补充例题首页 0010011,1111111rrnrrnrnrnrrddbbcbbcxxxx 当方程组Axb有无限多个解时 其解的形式为 rnrnrrrrnrnrnrnrdxbxbxdxbxbxdxbxbx,112,212121,11111 v线性方程组的通解 这是方程组的含有参数的解 称为方程组的通解.令xr1c1 xncnr 可得其中xr1 xn是自由未知数.下页.上页下页铃结束返回补充例题首页v求解线性方程组Axb的步骤 (1)对于非齐次线性方程组 把它的
30、增广矩阵B化成行阶梯形 从B的行阶梯形可同时看出R(A)和R(B).若R(A)R(B)则方程组无解.(2)若R(A)R(B)则进一步把B化成行最简形.而对于齐次线性方程组 则把系数矩阵A化成行最简形.(3)设R(A)R(B)r 把行最简形中r个非零行的首非零元所对应的未知数取作非自由未知数 其余nr个未知数取作自由未知数 并令自由未知数分别等于c1 c2 cnr 由B(或A)的行最简形 即可写出含nr个参数的通解.下页.上页下页铃结束返回补充例题首页432431)3/4(2)3/5(2xxxxxx 4433432431)3/4(2)3/5(2xxxxxxxxxx 对系数矩阵A施行初等行变换 得
31、 解 341122121221A00003/42103/5201341122121221A00003/42103/5201 由此得 或其中c1 c2为任意实数.例1 求解齐次线性方程组 0340222022432143214321xxxxxxxxxxxx.下页4321xxxx103/43/5 0122 43xx 103/43/5 0122 43xx c1 c2.上页下页铃结束返回补充例题首页32222353132432143214321xxxxxxxxxxxx.例2 求解非齐次线性方程组 解 对增广矩阵B施行初等行变换 得 322122351311321B104501045011321 121
32、332rrrr200001045011321 23rr可见R(A)2 R(B)3 故方程组无解.322122351311321B104501045011321 121332rrrr322122351311321B104501045011321 121332rrrr 200001045011321 23rr.下页.上页下页铃结束返回补充例题首页所以有 )4/1()4/7()2/3()4/5()4/3()2/3(432431xxxxxx 4433432431)4/1()4/7()2/3()4/5()4/3()2/3(xxxxxxxxxx 例3 求解非齐次线性方程组 0895443313432143
33、214321xxxxxxxxxxxx.解 089514431311311B000004/14/72/3104/54/32/301因为 4321xxxx即089514431311311B000004/14/72/3104/54/32/301 下页004/14/5104/74/3 012/32/3 43xx (c1 c2R).004/14/5104/74/3 012/32/3 43xx c1 c2.上页下页铃结束返回补充例题首页11131110111B)3)(1()3(0030111 r 解 对增广矩阵B施行初等行变换 得 例4 设有线性方程组 321321321)1(3)1(0)1(xxxxxx
34、xxx 此方程组(1)有唯一解(2)无解(3)有无限多个解？并在有无限多解时求其通解.问取何值时 (1)当0且3时 R(A)R(B)3 方程组有唯一解 (2)当0时 R(A)1 R(B)2 方程组有无解 (3)当3时 R(A)R(B)2 方程组有无限多个解.下页11131110111B)3)(1()3(0030111 r.上页下页铃结束返回补充例题首页000021101101321131210112B 解 例4 设有线性方程组 321321321)1(3)1(0)1(xxxxxxxxx 此方程组(1)有唯一解(2)无解(3)有无限多个解？并在有无限多解时求其通解.问取何值时(3)当3时 R(A)R(B)2 方程组有无限多个解.这时 由此得 33323121xxxxxx 即33323121xxxxxx 即321xxx021111c(cR).000021101101321131210112B 下页.上页下页铃结束返回补充例题首页v定理4 矩阵方程AXB有解的充分必要件是R(A)R(A B).v定理5 设ABC 则R(C)minR(A)R(B).v定理6 矩阵方程AmnXnl0只有零解的充分必要条件是R(A)n.结束v其它结论 .
