1、椭圆的几何性质椭圆的几何性质青岛城市管理职业学校青岛城市管理职业学校知识回顾知识回顾1F2Fxyo.M(x,y)(-c,0)(c,0)F1 (0，-c)F2 (0，c)xy0M(x，y).12222byax椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：12222bxay焦点在焦点在x轴轴时时焦点在焦点在y轴轴时时2 22 22 2c cb ba a 根据前面所学的画出根据前面所学的画出椭圆椭圆116y25x22 xy0椭圆方程椭圆方程 1 1b by ya ax x2 22 22 22 2椭圆的图形关于椭圆的图形关于y y轴成轴对称图形轴成轴对称图形椭圆的图形关于椭圆的图形关于x x轴成轴对称图形轴成轴对称
2、图形xy0(x,y)(x,-y)(-x,y)一、椭圆的对称性一、椭圆的对称性结论结论:椭圆的图形关于椭圆的图形关于y y轴成轴对称图形轴成轴对称图形椭圆的图形关于椭圆的图形关于x x轴成轴对称图形轴成轴对称图形一、椭圆的对称性一、椭圆的对称性椭圆的图形关于椭圆的图形关于原点原点成中心对称图形成中心对称图形(x,y)xy0(-x,-y)得到椭圆与得到椭圆与y轴的两个交点轴的两个交点:即椭圆与即椭圆与x x轴，轴，y y轴有四个交点轴有四个交点,这四个交点叫做这四个交点叫做椭圆的顶点椭圆的顶点。二二 椭圆的顶点椭圆的顶点 由此，得到椭圆的六个特殊点：由此，得到椭圆的六个特殊点：)0,c(F)0,c
3、(F)b,0(B)b,0(B)0,a(A)0,a(A212121、得椭圆与得椭圆与 x 轴的两个交点，轴的两个交点，)0,a(A1)0,a(A2)b,0(B1)b,0(B2)0,c(F1)0,c(F2xy0 在椭圆的标准方程在椭圆的标准方程 里里,)0ba(1byax2222 )0,a(A)0,a(A21、)b,0(B)b,0(B21、ax （2）y=0时时(2)0 x 时时（1）b by y二二 椭圆的顶点椭圆的顶点1、有关概念有关概念)0,a(A1)0,a(A2)b,0(B1)b,0(B2)0,c(F1)0,c(F2xy021AA21BB线段线段 、分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长轴长轴和和
4、短轴短轴。a和和b分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长半轴长长半轴长和和短半轴长短半轴长2a2b它们的长分别等于它们的长分别等于 和和 ，F1F2叫椭圆的焦距，它的长是叫椭圆的焦距，它的长是2c2 、a,b,c的几何意义的几何意义如图可知：如图可知：=1A2A1B2B1F2FX0Y=a 在前面我们讲到了椭圆的标准方程，当时我们是在前面我们讲到了椭圆的标准方程，当时我们是222cab|FB|11|FB|21|FB|22|F FB B|1 12 2令令 ，究竟其中有怎样的意义呢？，究竟其中有怎样的意义呢？2 、a,b,c的几何意义的几何意义如图可知：如图可知：|FB|11在直角三角形在直角三角形 中中，
5、22FOB2222222FBOBOF|即即222abc 所以所以222bac|FB|21|FB|22=a 在前面我们讲到了椭圆的标准方程，当时我们是在前面我们讲到了椭圆的标准方程，当时我们是222cab|F FB B|1 12 2这就是我们前面令这就是我们前面令 的几何意义的几何意义。222cab 令令 ，究竟其中有怎样的意义呢？，究竟其中有怎样的意义呢？1A2A1B2B1F2FX0Yabc说出下列椭圆的顶点坐标和焦点坐标说出下列椭圆的顶点坐标和焦点坐标14y9x122 )(81yx9222 )(解解:（1）由）由 549bac22a=3 b=2得顶点坐标得顶点坐标2,0B2,0B0,3A0,
6、3A2121焦点坐标焦点坐标0,5F0,5F21由由 a=9 b=326981bac22得顶点坐标得顶点坐标0,3B0,3B9,0A9,0A2121焦点坐标焦点坐标26,0F26,0F21（2）把椭圆的方程化为标准式得：把椭圆的方程化为标准式得：181y9x22 三三 、范围、范围在椭圆标准方程在椭圆标准方程 中中)0ba(1byax2222 椭圆上点的坐标椭圆上点的坐标(x,y)都适合上式都适合上式22by22ax 即22by b|y|,a|x|这说明椭圆位于直线这说明椭圆位于直线 所围成的矩形区域里所围成的矩形区域里byax 和X0y11 22by022ax022ax因为因为所以所以即即a
7、xa byb 例例1 求椭圆求椭圆 中的中的a,b,c以及长轴和以及长轴和短轴的长，焦点坐标，短轴的长，焦点坐标，顶点坐标，并画出图形顶点坐标，并画出图形400y25x1622 解：解：把已知方程化成标准方程把已知方程化成标准方程:1162522yx因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和和2b=8，椭圆的四个顶点是椭圆的四个顶点是:)4,0(B)4,0(B)05(A)0,5(A2121、，、31625c 这里这里a=,b=4,所以所以两个焦点分别是两个焦点分别是 ,)0,3(F1),(F032.xoy1162522yx4-5-45四、椭圆的离心率四、椭圆的
8、离心率椭圆的焦距与长轴长的比椭圆的焦距与长轴长的比 ，叫做椭圆的离心率。，叫做椭圆的离心率。ace 程程度度。变变化化反反映映了了椭椭圆圆的的圆圆扁扁(2 2)椭椭圆圆的的离离心心率率的的由定义可知，由定义可知，0e1,当当e越小时，椭圆越圆越小时，椭圆越圆当当e越大时，椭圆越扁越大时，椭圆越扁1、求下面椭圆的离心率、求下面椭圆的离心率(1)136y100 x22 (2)16yx422 解解:(1)由由a=10,b=6 得得c=8，所以椭圆的离心率为，所以椭圆的离心率为e=4/5(2)由由a=4,b=2 得得 c=所以椭圆的离心率为所以椭圆的离心率为e=3223116422yx椭圆的几何性质：
9、椭圆的几何性质：离心率离心率 顶点顶点关于关于x轴，轴，y轴成轴对称图形，关于原点成中轴成轴对称图形，关于原点成中心对称图形心对称图形 对称性对称性位于直线位于直线所围成的矩形区域所围成的矩形区域位于直线位于直线 所围成的矩形区域所围成的矩形区域 范围范围 图形图形椭圆标椭圆标准方程准方程)(0ba1byax2222 )(0ba1bxay2222 byax 、bxay 、),(),(),(),(b0Bb0B0aA0aA2121、),(),(),(),(a0Ba0B0bA0bA2121、ace 1、在下列方程所表示的曲线中、在下列方程所表示的曲线中,关于关于x轴轴,y轴都对称的是轴都对称的是()
10、(A)(B)(C)(D)y4x2 0yxy2x2 x5y4x22 9922 yx2、椭圆以坐标轴为对称轴，离心率、椭圆以坐标轴为对称轴，离心率 ，长轴长为，长轴长为6，则椭圆的方程则椭圆的方程 为（为（）32e 120y36x22 15y9x22 19y5x22 120y36x22 136y20 x22 (A)(B)(C)(D)15y9x22 或或或或DC3、讨论下面椭圆的范围，求长轴和短轴的长、离心率、讨论下面椭圆的范围，求长轴和短轴的长、离心率、焦点坐标、顶点坐标，并画出草图：焦点坐标、顶点坐标，并画出草图：1y4x22 1、求下面椭圆的离心率、求下面椭圆的离心率(1)16410022yx
11、(2)364922 yx解解:(1)由由a=10,b=6 得得c=8，离心率为离心率为e=4/5(2)由由a=4,b=2 得得 c=离心率为离心率为e=32232、求适合下列条件的、求适合下列条件的椭圆的标准方程椭圆的标准方程:（1）离心率为）离心率为0.8,焦距为焦距为8;(2)长轴是短轴的长轴是短轴的3倍倍,椭圆经过点椭圆经过点p(3,0)解解:1 19 9x x2 25 5y y 或或 1 19 9y y2 25 5x x2 22 22 22 2 )(11 19 9x x8 81 1y y 或或 1 11 1y y9 9x x2 22 22 22 2 )(2本节课是根据椭圆的标准方程本节课是根据椭圆的标准方程:)0(12222 babyax来研究椭圆的几何性质来研究椭圆的几何性质:1、椭圆的范围、椭圆的范围2、椭圆的对称性、椭圆的对称性3、椭圆的顶点、椭圆的顶点4、椭圆的离心率、椭圆的离心率
