1、理论力学CAI版权所有,2000(c)上海交通大学工程力学系Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础2Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础3 分析力学分析力学 从十八世纪开始，出现与矢量力学并驾齐驱的另一力学从十八世纪开始，出现与矢量力学并驾齐驱的另一力学体系体系 特点是对能量与功的分析代替对力与力矩的分析特点是对能量与功的分析代替对力与力矩的分析 由拉格朗日由拉格朗日(J.L.Lagrange)于于1788年年奠定的。以拉格朗奠定的。以拉格朗日方程为基础的分析力学，称为日方程为基础的分析力学，称为拉格朗日力学
2、拉格朗日力学 1834年年哈密顿哈密顿(Hamilton)将拉格朗日第二类方程变换成将拉格朗日第二类方程变换成一种正则形式，将动力学基本原理归纳为变分形式的哈一种正则形式，将动力学基本原理归纳为变分形式的哈密顿原理，从而建立了密顿原理，从而建立了哈密顿力学哈密顿力学分析力学基础/前言Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础4 分析力学方法分析力学方法1：拉格朗日第一类方程拉格朗日第一类方程 在理想约束力与约束方程间建立起一种直接的关系，避在理想约束力与约束方程间建立起一种直接的关系，避免未知理想约束力的出现免未知理想约束力的出现 矢量力学一般方法程式化更
3、为明显的动力学方程矢量力学一般方法程式化更为明显的动力学方程 分析力学方法分析力学方法2：拉格朗日第二类方程拉格朗日第二类方程 从独立坐标出发，利用纯数学分析方法，将用独立坐标从独立坐标出发，利用纯数学分析方法，将用独立坐标描述的动力学方程用统一的原理与公式进行表达描述的动力学方程用统一的原理与公式进行表达 克服了在矢量动力学中建立这种方程依赖技巧的缺点克服了在矢量动力学中建立这种方程依赖技巧的缺点分析力学基础/前言Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础5分析力学基础/前言 本章首先介绍分析力学的两个基本原理本章首先介绍分析力学的两个基本原理 达朗贝尔
4、达朗贝尔(J.le R.dAlember)原理原理 利用达朗贝尔原理处理动力学的瞬时分析利用达朗贝尔原理处理动力学的瞬时分析 虚位移原理虚位移原理 利用虚位移原理处理在静力学问题利用虚位移原理处理在静力学问题 在此基础上导出拉格朗日第一类方程与拉格朗在此基础上导出拉格朗日第一类方程与拉格朗日第二类方程日第二类方程Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础6分析力学基础/达朗贝尔原理Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础7前言前言 质点系的达朗贝尔原理是质点系的达朗贝尔原理是1743年由达朗贝尔提年由达朗贝尔提出的出
5、的 与矢量动力学不同，它从另一个角度给出了作与矢量动力学不同，它从另一个角度给出了作用于系统的力与系统运动的关系，构成了分析用于系统的力与系统运动的关系，构成了分析动力学的基础动力学的基础 分析力学基础/达朗贝尔原理/前言Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础8达朗贝尔惯性力、质点系达朗贝尔达朗贝尔惯性力、质点系达朗贝尔原理原理 达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力 质点系达朗贝尔原理质点系达朗贝尔原理分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础9达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性
6、力 考虑惯性基下质点的运动考虑惯性基下质点的运动分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理根据牛顿定律根据牛顿定律质点的动力学方程质点的动力学方程 mrFFamFmr*amF*定义定义达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力 0*FF质点运动的任意时刻，质点的达朗贝尔惯性力与作用质点运动的任意时刻，质点的达朗贝尔惯性力与作用于质点的所有真实的作用力组成平衡力系于质点的所有真实的作用力组成平衡力系 质点达朗贝尔原理质点达朗贝尔原理 zyxOakrFm*FWednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础10分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理 动静法动
7、静法真实的作用力指作用于质真实的作用力指作用于质点的外力点的外力(包括理想约束力包括理想约束力)0*FFF引入达朗贝尔惯性力使惯引入达朗贝尔惯性力使惯性基下的质点动力学方程性基下的质点动力学方程变换为一种力的平衡方程变换为一种力的平衡方程的形式的形式*F这种处理方法称为这种处理方法称为动静法动静法Fam0*FFzyxOakrFmzyxOkrFm*F动力学动力学“静力学静力学”Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础11分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理 非惯性系下动力学方程非惯性系下动力学方程CamFFamyxOrFmbybxCCr惯性
8、基惯性基eObeC非惯性平动基非惯性平动基CaaraaaCCrr CrrFamamCrrFFamFmbybxCFra定义定义非惯性系下动力学方程非惯性系下动力学方程考虑特殊情况：考虑特殊情况：惯性系下动力学方程惯性系下动力学方程牵连加速度牵连加速度牵连惯性力牵连惯性力CaFamrWednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础12分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理CamFrFFam非惯性系惯性力非惯性系惯性力牵连加速度牵连加速度amF达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力 达朗贝尔惯性力与非惯性系惯性力达朗贝尔惯性力与非惯性系惯性力绝对加速度绝对加速度0
9、*FF处理相对运动问题处理相对运动问题动静法处理绝对运动问题动静法处理绝对运动问题zyxOkrFm*FFmbybxCFraWednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础13分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理zyxOkrkPnPiP1PkiF质点系质点系),(21nPPP外力外力kF内力内力牛顿定律牛顿定律质点质点Pi所对所对Pk的作用力力的作用力力kiF);,2,1(kni质点质点Pk 所受的力所受的力),2,1(nknkikikkkFFrm,1),2,1(nk质点系达朗贝尔原理质点系达朗贝尔原理kkkrmF*定义定义达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯
10、性力 0,1*nkikikkFFF*kFkFWednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础14分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理质点系质点系),(21nPPP外力外力kF内力内力kiF);,2,1(kni质点质点Pk 所受的力所受的力),2,1(nk01,11*1 nknkikinkknkkFFFn个方程相加个方程相加ikkiFF),2,1,(nkikkkrmF*达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力),2,1(nk0,1*nkikikkFFF01*1nkknkkFFzyxOkrkPnPiP1PikFkiFkF*kFWednesday,December
11、 28,2022理论力学CAI 分析力学基础15分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理质点系质点系),(21nPPP外力系外力系nFFF,21力系主矢力系主矢*2*1,nFFF达朗贝尔达朗贝尔惯性力系惯性力系 01*1nkknkkFFzyxOkPnPiP1P*kFkF1FnFiF*nF*1F*iF外力系与达朗贝尔惯性力系构成平衡外力系与达朗贝尔惯性力系构成平衡力系力系01*1nkknkkFF力系对点力系对点O的主矩的主矩 01*1nkkOnkkOFMFM质点系达朗贝尔原理质点系达朗贝尔原理 平衡方程平衡方程Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力
12、学基础16分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/例例例小球小球P1与与P2与铅垂轴与铅垂轴AB固连固连将小球视为质点，质量均为将小球视为质点，质量均为m轴轴AB作匀角速度作匀角速度w w旋转。旋转。求轴承求轴承A与与B处所受的力处所受的力 1Pb2PblwABWednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础17分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/解解解连体基连体基运动分析运动分析 Awbxby1PgmAyFBxF1aAxF2Pgm2a*1F*2FbeA系统作定轴匀角速度转动系统作定轴匀角速度转动 质点质点P1与与P2作匀速圆周运
13、动转动作匀速圆周运动转动 加速度加速度 1a2a动静法动静法 系统系统“冻结冻结”（一般状态下（一般状态下）加惯性力加惯性力*1Fwsin221baa*2F设定正向设定正向wsin2*2*1bmFF真实外力真实外力主动力主动力gm理想约束力理想约束力BAyFAxFBxF设定正向设定正向BzFAzF?Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础18分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/解连体基连体基Awbxby1PgmAyFBxF1aAxF2Pgm2a*1F*2FbeA动静法动静法 系统系统“冻结冻结”（一般状态下（一般状态下）惯性力惯性力ws
14、in2*2*1bmFF主动力主动力gm理想约束力理想约束力AyFBAxFBxF平面力系平面力系平衡方程平衡方程0)(kkAzFm0*MlFBx0kxFFFBxAx 00kyFFmgAy20构成力偶构成力偶w2sincos222*1*bmFbM*MWednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础19分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/解连体基连体基Awbxby1PgmAyFBxF1aAxF2Pgm2a*1F*2FbeA动静法动静法 系统系统“冻结冻结”（一般状态下（一般状态下）B平面力系平面力系平衡方程平衡方程0)(kkAzFm0*MlFBx0k
15、xFFFBxAx 00kyFFmgAy20w2sin22*bmM w2sin22lbmFBxFmgAy 2w2sin22lbmFAx由于平面由于平面x-y随轴随轴AB一起转动，所以轴承受一起转动，所以轴承受到的力在惯性基上观察是在不断的改变方向到的力在惯性基上观察是在不断的改变方向 Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础20分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/例例例变摆长的摆套在环上，摆绳原长变摆长的摆套在环上，摆绳原长为为l0，以匀速，以匀速v向下拉向下拉小球视为质点，质量为小球视为质点，质量为m建立此摆的的动力学方程建立此摆的的动
16、力学方程 Ov0lWednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础21分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/解解解小球运动的一般位置小球运动的一般位置动静法动静法 Ogmv*yF*xFTFxy惯性基惯性基eOxlvt()cos0ylvt()sin0小球加速度小球加速度sin2cos)(sin)(200 vvtlvtlxaxcos2sin)(cos)(200 vvtlvtlyayyaxa惯性力惯性力Fmxm lvtm lvtmvx*()sin()cossin 0022设定正向设定正向Fmym lvtm lvtmvy*()cos()sincos002
17、2真实外力真实外力主动力主动力gm理想约束力理想约束力TF以小球为对象以小球为对象坐标坐标 小球笛卡儿坐标小球笛卡儿坐标Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础22分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/解动静法动静法 Ogmv*yF*xFTFxy惯性基惯性基eOyaxasin2cos)(sin)(200*mvvtlmvtlmFxcos2sin)(cos)(200*mvvtlmvtlmFygmTF小球平衡方程小球平衡方程：FFmgyx*cossinsin0()sinlvtvg020小球动力学方程小球动力学方程 Wednesday,Decem
18、ber 28,2022理论力学CAI 分析力学基础23一般运动刚体动静法一般运动刚体动静法 刚体的达朗贝尔原理刚体的达朗贝尔原理 刚体达朗贝尔惯性力的简化刚体达朗贝尔惯性力的简化分析力学基础/达朗贝尔原理/一般运动刚体动静法Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础24分析力学基础/达朗贝尔原理/一般运动刚体动静法 刚体达朗贝尔原理刚体达朗贝尔原理01*1nkknkkFF 01*1nkkCnkkCFMFM质点系达朗贝尔原理质点系达朗贝尔原理 naFF主动力主动力与理想与理想约束力约束力主矢主矢主动力与主动力与理想约束理想约束力对质心力对质心C的主矩的主矩n
19、aCCMM惯性力惯性力系主矢系主矢*F*CM刚体达朗贝尔原理刚体达朗贝尔原理 0*naFFF0*naCCCMMMzyxO*F*CMaFaCMnFnCMC惯性力惯性力对质心对质心C的主的主矩矩Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础25分析力学基础/达朗贝尔原理/一般运动刚体动静法 刚体达朗贝尔原理的变换刚体达朗贝尔原理的变换zyxOCr刚体达朗贝尔原理刚体达朗贝尔原理0*naFFF0*naCCCMMM对点对点O 0*naFFF*F*CMaFaCMnFnCMC对质心对质心C0*naOOOMMMaaaFrMMCCO*F*OMnnnFrMMCCO*FrMMCC
20、O),(),(aaaaOCMFMF),(),(nnnnOCMFMF),(),(*OCMFMF刚体达朗贝尔原理刚体达朗贝尔原理Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础26分析力学基础/达朗贝尔原理/一般运动刚体动静法 刚体达朗贝尔惯性力刚体达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力的主矢达朗贝尔惯性力的主矢zyxOkrkPC*kFCr*FnkkFF1*nkkkrm1 CCamrmF*CankkkCrmrm1Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础27分析力学基础/达朗贝尔原理/一般运动刚体动静法zyxOkrkPC*kFkCr*CM
21、nkkkCFM1*nkkkkrm1 nkkkknkkkkrmtrmt11dd)(ddnkkCkknkkkkrmrmt11)(ddkCkrrnkkkCmr1mkkkn10tLMCCdd*kkkkkkkkkrmrmtrmt dd)(ddnkkkknkkkkrmtrmt11)(dd)(ddCLtdd达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力对质心对质心C的主矩的主矩Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础28分析力学基础/达朗贝尔原理/一般运动刚体动静法达朗贝尔惯性力对质心达朗贝尔惯性力对质心C简化简化zyxOkPC*kF*F*CMCaCCLM*CamF*p该力等于惯性力系
22、的主矢该力等于惯性力系的主矢该力偶的力偶矩矢量等于惯性力系该力偶的力偶矩矢量等于惯性力系对质心对质心C的主矩的主矩简化结果为作用于质心的一个力与一简化结果为作用于质心的一个力与一力偶力偶Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础29平面运动刚体动静法平面运动刚体动静法 平面运动刚体惯性力的简化平面运动刚体惯性力的简化分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法CCLM*yxOCCr*FCawCzCzCzJJM*CzMCCrmamF*CCxxxmmaF*CCyyymmaF*:eCCmmraF*对质心对质心C的主矩的主矩CzCzLM*主矢主矢Wednesda
23、y,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础30 平动刚体惯性力的简化平动刚体惯性力的简化分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法0*CzM平动刚体惯性力向质心简化结果只有一个过质心的力，其平动刚体惯性力向质心简化结果只有一个过质心的力，其大小与方向等于惯性力的主矢大小与方向等于惯性力的主矢CCrmamF*CCxxxmmaF*CCyyymmaF*:e00wyxOCCr*FCa*CzMWednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础31 平面定轴转动刚体惯性力的简化平面定轴转动刚体惯性力的简化分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法
24、yxOCCr*FCaCa*FwCCrmamF*主矢主矢CCCaaa定轴定轴Ow质心加速度质心加速度2wCCraCCraCCamamF*F*F2*wCmrF 离心惯性力离心惯性力切向惯性力切向惯性力 CmrF*FFF质心向心加速度质心向心加速度质心切向加速度质心切向加速度方向方向CCrr/*F方向方向CCrzr/*FWednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础32分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法yxOCCr*CF*CFw方法方法1对质心对质心C的主矩的主矩wCzCzCzJJM*向点向点O的主矩的主矩对点对点O的主矩的主矩*FrMMCCO*CM*F
25、rMMCCO2CCzmrJ*OM定轴定轴Ow*FFF*FrMCCCmrF*OzOJM2CCzmrJ方向与角加速度方向相反方向与角加速度方向相反Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础33分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法yxOkrkP*kF*kFkakaw2*wkkkrmFkkkrmF*kkkOFrM*kkkkOFmrM*方法方法2对点对点O的主矩的主矩定轴定轴Owkkkaaa质点质点Pk加速度加速度2wkkrakkra*kkkkkFFamF质点质点Pk惯性力惯性力对点对点O的主矩的主矩kkkrm2OzOJM*OMkkkFr*方向与角加速度方
26、向相反方向与角加速度方向相反Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础34分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法yxOCCr*F*Fw*OM平面定轴转动刚体惯性力系平面定轴转动刚体惯性力系对转轴对转轴O简化简化该力等于惯性力系的主矢该力等于惯性力系的主矢该力偶的力偶矩矢量等于惯性该力偶的力偶矩矢量等于惯性力系对点力系对点O的主矩的主矩简化结果为作用于点简化结果为作用于点 O的一个力的一个力与一力偶与一力偶*FFFOzOJM方向与角加速度方向相反方向与角加速度方向相反2*wCmrF CmrF*方向方向CCrr/*F方向方向CCrzr/*FWednes
27、day,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础35 平面运动刚体达朗贝尔原理平面运动刚体达朗贝尔原理分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法yxOkrkPC*kFCr*F*CM0*naFFF0*naCCCMMM平动平动0*naFFF平面定轴转动平面定轴转动0*naFFF0*naOOOMMMyxO*F*F*OMWednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础36分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/例例例 EXIT均质杆均质杆AB长为长为l，质量为，质量为m。当该杆由静止开始，在地面当该杆由静止开始，在地面与墙面上无摩擦地滑动
28、与墙面上无摩擦地滑动试利用达朗贝尔原理求解杆刚试利用达朗贝尔原理求解杆刚开始滑动时的角加速度与约束开始滑动时的角加速度与约束反力反力 Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础37分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解解EXITyx惯性基惯性基eO0CxaCya杆的运动为平面一般运动杆的运动为平面一般运动 运动学分析运动学分析 cos2,sin2lylxCC00cos2 lxaCCx00sin2 lyaCCy质心位置质心位置质心加速度质心加速度00cos2sin2sin2cos222 llyllxCC0杆的角速度杆的角速度杆的角速度与加加速度杆
29、的角速度与加加速度000w？00 开始时刻开始时刻Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础38分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解EXITyx000*cos2 mlxmFCxCxaCya*yF*xF惯性力主矢惯性力主矢设定正向设定正向00*sin2 mlymFCy00cos2 lxaCCx00sin2 lyaCCy000w？00 惯性力主矩惯性力主矩02*12 mlJMCC*CM设定正向设定正向Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础39分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解EXITyx0
30、gmBFNAFN00*cos2 mlFx*yF*xF惯性力主矢惯性力主矢00*sin2 mlFy受力分析受力分析主动力主动力gm理想约束力理想约束力AFNBFN00惯性力主矩惯性力主矩02*12 mlMCmFSzkk()00sin2)(cos20*0*lmgFlFMyxC000sin23lg 平衡分析平衡分析S*CMWednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础40分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解EXITyx0gmBFNAFN00*cos2 mlFx*yF*xF00*sin2 mlFy02*12 mlMCmFSzkk()0000sin23lg
31、 平衡分析平衡分析SFkxk 00*NxBFFFkyk 00*NmgFFyA00Nsincos43mgFB02Nsin431mgFA*CMWednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础41分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/例例例 EXIT质量为质量为m，长为，长为l的均质杆的均质杆AB一端一端A与半径为与半径为r的圆盘的边的圆盘的边缘固结缘固结圆盘以角速度圆盘以角速度w w与角加速度与角加速度 绕绕O转动转动不计重力不计重力计算图示瞬时计算图示瞬时AB杆在杆在A处的约处的约束力束力OrwACBWednesday,December 28,2022理
32、论力学CAI 分析力学基础42ACB分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解解解 EXIT运动分析运动分析OO*FwCaCa*F*OMACByx连体基连体基eOCCCaaa质心加速度质心加速度2wbaCbaC定轴定轴Owbrl224/惯性力向点惯性力向点O简化简化mbF*2*wmbF 主矢正向设定主矢正向设定主矩正向设定主矩正向设定MJOO*JJmbm rlOC2223(/)Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础43ACB分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解EXIT受力分析受力分析OrO*FwCaCa*FAxFAyFAMACBy
33、x连体基连体基eObrl224/mbF*2*wmbFCMJOO*JJmbm rlOC2223(/)理想约束力正向设定理想约束力正向设定对象对象ABAyFAMAxFFkxk 00cossin*FFFAxFkyk 00sincos*FFFAy0)(kkAzFM0cossin*rFrFMMOA2/coslbrbsin平衡分析平衡分析*OMWednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础44ACB分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解EXITOrO*FwCaCa*FAxFAyFAMACByx连体基连体基eObrl224/mbF*2*wmbFCMJOO*JJm
34、bm rlOC2223(/)0cossin*FFFAx0sincos*FFFAy0cossin*rFrFMMOA2/coslbrbsinFmrmlAxw22/FmlmrAy w/22MmlmrlA 2232w/平衡方程平衡方程*OMWednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础45分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/例例例 EXIT两根质量为两根质量为m，长为，长为l的均质杆的均质杆OA与与AB以铰链连接，铰链以铰链连接，铰链O与机座连与机座连接接在图示位置无初速开始运动在图示位置无初速开始运动求此瞬时两杆的瞬时角加速度求此瞬时两杆的瞬时角加速度O
35、ABWednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础46分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解解解 EXIT惯性基惯性基eO杆杆OA定轴转动定轴转动运动分析运动分析角加速度角加速度设定正向设定正向O2CBAxy1C121CaAaxCa2yCa21杆杆AB连体基连体基22eC 平面一般运动平面一般运动2角加速度角加速度质心加速度质心加速度1Ca2/11laC设定正向设定正向质心加速度质心加速度yCxCCaaa2222222eeetCCCCaaaa12etlaaAC2/2e2laC2/sin212llaxCcos12layC2x2yAa2Cet2Cae2
36、CaWednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础47分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解EXIT杆杆OA定轴转动定轴转动惯性力分析惯性力分析杆杆AB 平面一般运动平面一般运动2/11laC2/sin212llaxCcos12layCOA2CBxy1C121CaAaxCa2yCa2OA2CB1C*1OM*1F*2xF*2yF*2CMFml112*/11*1OOJM对点对点O简化简化对点对点C2简化简化Fmlmlx2122*sin/Fmly21*cos2*22CCJMWednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础4
37、8分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解EXITxyOxFOyFOA2CB1C*1OM*1F*2xF*2yFgmgm*2CMFml112*/11*1OOJMFmlmlx2122*sin/Fmly21*cos2*22CCJM受力分析受力分析主动力主动力gmgm约束力约束力OxFOyF0)(kkOzFM02/sincos*2*1*2mgllFMMxOC13312 g l/3/221lmJO12/222lmJC6/平衡分析平衡分析整体为对象整体为对象Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础49分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解EXI
38、TxyOA2CB*2xF*2yFgm*2CMFml112*/11*1OOJMFmlmlx2122*sin/Fmly21*cos2*22CCJM受力分析受力分析主动力主动力gm约束力约束力AxFAyF0)(kkAzFM02/2/*2*2mgllFMyC34612 g l/3/221lmJO12/222lmJC6/平衡分析平衡分析AB为对象为对象AyFAxFWednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础50分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解EXIT34612 g l/13312 g l/OA2CBxy1C121CaAaxCa2yCa21218556
39、955glgl/,/Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础51定轴转动刚体动静法定轴转动刚体动静法 动反力动反力 讨论对象讨论对象分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法OwA定轴转动刚体定轴转动刚体作用于刚体的力为空间力系作用于刚体的力为空间力系旋转轴旋转轴OA不是刚体的主轴不是刚体的主轴刚体的质心不在旋转轴刚体的质心不在旋转轴OA上上刚体定轴转动的一般情况刚体定轴转动的一般情况w不能抽象为平面问题不能抽象为平面问题Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础52 运动分析运动分析分析力学基础/达朗贝尔原理/
40、定轴转动刚体动静法连体基连体基eOzyOxCrwAkrkPCkvkkkrzrvw)(2kkkkrzzrzra w质点质点Pk的速度的速度 加速度加速度 刚体绕刚体绕Oz轴的转角为轴的转角为角速度角速度zzwwzzz w角加速度角加速度)(2CCCCrzzrzra w质心质心C的加速度的加速度 kaCaWednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础53 惯性力的简化惯性力的简化分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法zyOxCrwAkrkPC)(2kkkrzzrzaw质点质点Pk的惯性力的惯性力 kkkamF*)(2CCCrzzrzaw惯性力主矢惯性力主矢
41、 CamF*FCa*kFka)(2kkkkrzzmrzmw)(2*CCrzzmrzmFw)(2CCrzzmrzmwWednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础54分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法zyOxCrwAkrkPCkv)(2kkkrzzrzaw)(2*kkkkkkkrzzmrzmamFw)(2CCCrzzrzawnkkkOFrM1*惯性力对点惯性力对点O的主矩的主矩 nkkkknkkkkrzzrmrzrm121)()(w rzzrz rzrk()()()kkk rzrr zz r rkk()()kkk2cbabcacba)()()(nkk
42、kkkkkOrzrzrrzzrmM122*)()(w*OM*kFWednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础55分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法zyOxCrwAkrkPC定轴转动刚体惯性力的主矢定轴转动刚体惯性力的主矢nkkkkkkkOrzrzrrzzrmM122*)()(w*kF*OM*F)(2*CCrzzmrzmFwCCmmrzzrzF2*wnkkkkkkkOrm1T2T2*)()(rzrzrrzzMw在连体基的坐标式在连体基的坐标式定轴转动刚体惯性力对点定轴转动刚体惯性力对点O的主矩的主矩Wednesday,December 28,202
43、2理论力学CAI 分析力学基础56分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法zyOxCrwAkrkPCkv*kF*OM*FCCmmrzzrzF2*wnkkkkkkkOrm1T2T2*)()(rzrzrrzzMw在连体基的坐标式在连体基的坐标式kkkkCCCCzyxrzyxr,000001010,100zzrxyzkkkk2222022*CCCCyxxymwwFnkkkkkkkkkkkkOxzyzyxyzxzm1222*0wMwwzzxzyzyzxOJJJJJ22*MWednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础57分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动
44、静法zyOxCrwAkrkPCkv小结：定轴转动刚体惯性力对点小结：定轴转动刚体惯性力对点O可简可简化作用于点化作用于点O一个力与一力偶一个力与一力偶nkkkkkkkOrzrzrrzzrmM122*)()(w*kF*OM*F该力等于惯性力系的主矢该力等于惯性力系的主矢该力偶的力偶矩矢量等于惯性力系对点该力偶的力偶矩矢量等于惯性力系对点O的主矩的主矩)(2*CCrzzmrzmFw在连体基的坐标式在连体基的坐标式022*CCCCyxxymwwFwwzzxzyzyzxOJJJJJ22*M当当Oz轴为刚体的主轴轴为刚体的主轴 MJzOz*Wednesday,December 28,2022理论力学CA
45、I 分析力学基础58 定轴运动刚体达朗贝尔原理定轴运动刚体达朗贝尔原理分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法受力分析受力分析 zyOwA*OM*FxOyFOxFOzFAxFAyF主动力对点主动力对点O的主矢与主矩的主矢与主矩aFaOM约束力约束力FAxFAyFOxFOyFOz平衡方程（空间力系）平衡方程（空间力系）Fkxk 00a*OxAxxxFFFFFkyk 00a*OyAyyyFFFFFkzk 00aOzzFFmFOxkk()00a*AyOxOxlFMMmFOykk()00a*AxOyOylFMMmFOzkk()00a*OzOzMM aFaOMWednesday,December
46、28,2022理论力学CAI 分析力学基础59分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法zyOCrwAC*OM*FxOyFOxFOzFAxFAyF平衡方程平衡方程 0a2OxAxxCCFFFxmymw0a2OyAyyCCFFFymxmw0aOzzFF0a2AyOxzyzxlFMJJw0a2AxOyzxzylFMJJw0aOzzMJ 022*CCCCyxxymwwFwwzzxzyzyzxOJJJJJ22*MFkxk 0Fkyk 0Fkzk 0mFOxkk()0mFOykk()0mFOzkk()05个方程可以解出理想约束力个方程可以解出理想约束力 aFaOMWednesday,December
47、 28,2022理论力学CAI 分析力学基础60分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法zyOCrwACkv*OM*FxOyFOxFOzFAxFAyF0a2OxAxxCCFFFxmymw0a2OyAyyCCFFFymxmw0aOzzFF0a2AyOxzyzxlFMJJw0a2AxOyzxzylFMJJw 刚体的约束力与主动力有关刚体的约束力与主动力有关 aFaOM刚体的约束力与刚体的运动有关刚体的约束力与刚体的运动有关 静约束反力静约束反力动约束反力动约束反力02OxAxCCFFxmymw02OyAyCCFFymxmw02AyzyzxlFJJw02AxzxzylFJJw动平衡方程动平衡方
48、程 可以解出理想动反力可以解出理想动反力 Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础61分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法zyOCrwAC*OM*FxOyFOxFOzFAxFAyF aFaOM动平衡方程动平衡方程 02OxAxCCFFxmymw02OyAyCCFFymxmw02AyzyzxlFJJw02AxzxzylFJJw当当Oz轴为主轴，质心在轴为主轴，质心在Oz轴上，轴轴上，轴承的动反力为零承的动反力为零 系统处于系统处于动平衡动平衡Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础62分析力学基础/达朗贝尔
49、原理/定轴转动刚体动静法/例C例例一质量为一质量为m均质圆盘转子以匀角速均质圆盘转子以匀角速度旋转，轴承的布置对称，离转子度旋转，轴承的布置对称，离转子中心均为中心均为l=0.5m角速度角速度w w=12000r/min圆盘的质心圆盘的质心C偏离该轴为偏离该轴为e=0.01cm 求轴承动反力求轴承动反力eWednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础63分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法/解解解eC0 xzJ连体基连体基Oz为主轴为主轴0yzJexC022*CCCCyxxymwwFwwzzxzyzyzxOJJJJJ22*M0*zyFF000*OzO
50、yOxMMMAxFBxF惯性力惯性力考虑到对称性考虑到对称性约束力约束力BxAxFF动平衡方程动平衡方程AB2/*xBxAxFFFzxCeFmex*w22/1.162/2mgemwe=0.01cm 静反力静反力2/mgFFBxAx*F0CCzy0Wednesday,December 28,2022理论力学CAI 分析力学基础64分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法/例zxxzC例例一质量为一质量为m均质圆盘转子以匀角均质圆盘转子以匀角速度旋转，轴承的布置对称，离速度旋转，轴承的布置对称，离转子中心均为转子中心均为l=0.5m角速度角速度w w=12000r/min转子转轴与圆盘中心轴
